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# 插入排序

「插入排序 Insertion Sort」是一种基于数组插入操作的排序算法。具体来说，选择一个待排序的元素作为基准值 `base` ，将 `base` 与其左侧已排序区间的元素逐一比较大小，并将其插入到正确的位置。

回顾数组插入操作，我们需要将从目标索引到 `base` 之间的所有元素向右移动一位，然后再将 `base` 赋值给目标索引。

![单次插入操作](insertion_sort.assets/insertion_operation.png)

## 算法流程

插入排序的整体流程如下：

1. 首先，选取数组的第 2 个元素作为 `base` ，执行插入操作后，**数组的前 2 个元素已排序**。
2. 接着，选取第 3 个元素作为 `base` ，执行插入操作后，**数组的前 3 个元素已排序**。
3. 以此类推，在最后一轮中，选取数组尾元素作为 `base` ，执行插入操作后，**所有元素均已排序**。

![插入排序流程](insertion_sort.assets/insertion_sort_overview.png)

=== "Java"

    ```java title="insertion_sort.java"
    [class]{insertion_sort}-[func]{insertionSort}
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="insertion_sort.cpp"
    [class]{}-[func]{insertionSort}
    ```

=== "Python"

    ```python title="insertion_sort.py"
    [class]{}-[func]{insertion_sort}
    ```

=== "Go"

    ```go title="insertion_sort.go"
    [class]{}-[func]{insertionSort}
    ```

=== "JavaScript"

    ```javascript title="insertion_sort.js"
    [class]{}-[func]{insertionSort}
    ```

=== "TypeScript"

    ```typescript title="insertion_sort.ts"
    [class]{}-[func]{insertionSort}
    ```

=== "C"

    ```c title="insertion_sort.c"
    [class]{}-[func]{insertionSort}
    ```

=== "C#"

    ```csharp title="insertion_sort.cs"
    [class]{insertion_sort}-[func]{insertionSort}
    ```

=== "Swift"

    ```swift title="insertion_sort.swift"
    [class]{}-[func]{insertionSort}
    ```

=== "Zig"

    ```zig title="insertion_sort.zig"
    [class]{}-[func]{insertionSort}
    ```

## 算法特性

**时间复杂度 $O(n^2)$** ：最差情况下，每次插入操作分别需要循环 $n - 1$ , $n-2$ , $\cdots$ , $2$ , $1$ 次，求和得到 $\frac{(n - 1) n}{2}$ ，因此时间复杂度为 $O(n^2)$ 。当输入数组完全有序时，插入排序达到最佳时间复杂度 $O(n)$ ，因此是“自适应排序”。

**空间复杂度 $O(1)$** ：指针 $i$ , $j$ 使用常数大小的额外空间，所以插入排序是“原地排序”。

在插入操作过程中，我们会将元素插入到相等元素的右侧，不会改变它们的顺序，因此是“稳定排序”。

## 插入排序优势

回顾冒泡排序和插入排序的复杂度分析，两者的循环轮数都是 $\frac{(n - 1) n}{2}$ 。然而，它们之间存在以下差异：

- 冒泡操作基于元素交换实现，需要借助一个临时变量，共涉及 3 个单元操作；
- 插入操作基于元素赋值实现，仅需 1 个单元操作；

粗略估计下来，冒泡排序的计算开销约为插入排序的 3 倍，因此插入排序更受欢迎。实际上，许多编程语言（如 Java）的内置排序函数都采用了插入排序，大致思路为：

- 对于长数组，采用基于分治的排序算法，例如「快速排序」，时间复杂度为 $O(n \log n)$ ；
- 对于短数组，直接使用「插入排序」，时间复杂度为 $O(n^2)$ ；

尽管插入排序的时间复杂度高于快速排序，**但在数据量较小的情况下，插入排序实际上更快**。这是因为在数据量较小时，复杂度中的常数项（即每轮中的单元操作数量）起主导作用。这个现象与「线性查找」和「二分查找」的情况相似。