xmengnet/hello-algo
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hello-algo/chapter_computational_complexity/time_complexity.md
krahets dbdd9551e6 build
2023-06-02 15:07:33 +08:00

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---
# 2.2.   时间复杂度
## 2.2.1.   统计算法运行时间
运行时间可以直观且准确地反映算法的效率。然而，如果我们想要准确预估一段代码的运行时间，应该如何操作呢？
1. **确定运行平台**，包括硬件配置、编程语言、系统环境等，这些因素都会影响代码的运行效率。
2. **评估各种计算操作所需的运行时间**，例如加法操作 `+` 需要 1 ns，乘法操作 `*` 需要 10 ns，打印操作需要 5 ns 等。
3. **统计代码中所有的计算操作**，并将所有操作的执行时间求和，从而得到运行时间。
例如以下代码，输入数据大小为 $n$ ，根据以上方法，可以得到算法运行时间为 $6n + 12$ ns 。
$$
1 + 1 + 10 + (1 + 5) \times n = 6n + 12
$$
=== "Java"
```java title=""
// 在某运行平台下
void algorithm(int n) {
int a = 2; // 1 ns
a = a + 1; // 1 ns
a = a * 2; // 10 ns
// 循环 n 次
for (int i = 0; i < n; i++) { // 1 ns ，每轮都要执行 i++
System.out.println(0); // 5 ns
}
}
```
=== "C++"
```cpp title=""
// 在某运行平台下
void algorithm(int n) {
int a = 2; // 1 ns
a = a + 1; // 1 ns
a = a * 2; // 10 ns
// 循环 n 次
for (int i = 0; i < n; i++) { // 1 ns ，每轮都要执行 i++
cout << 0 << endl; // 5 ns
}
}
```
=== "Python"
```python title=""
# 在某运行平台下
def algorithm(n: int) -> None:
a = 2 # 1 ns
a = a + 1 # 1 ns
a = a * 2 # 10 ns
# 循环 n 次
for _ in range(n): # 1 ns
print(0) # 5 ns
```
=== "Go"
```go title=""
// 在某运行平台下
func algorithm(n int) {
a := 2 // 1 ns
a = a + 1 // 1 ns
a = a * 2 // 10 ns
// 循环 n 次
for i := 0; i < n; i++ { // 1 ns
fmt.Println(a) // 5 ns
}
}
```
=== "JavaScript"
```javascript title=""
// 在某运行平台下
function algorithm(n) {
var a = 2; // 1 ns
a = a + 1; // 1 ns
a = a * 2; // 10 ns
// 循环 n 次
for(let i = 0; i < n; i++) { // 1 ns ，每轮都要执行 i++
console.log(0); // 5 ns
}
}
```
=== "TypeScript"
```typescript title=""
// 在某运行平台下
function algorithm(n: number): void {
var a: number = 2; // 1 ns
a = a + 1; // 1 ns
a = a * 2; // 10 ns
// 循环 n 次
for(let i = 0; i < n; i++) { // 1 ns ，每轮都要执行 i++
console.log(0); // 5 ns
}
}
```
=== "C"
```c title=""
// 在某运行平台下
void algorithm(int n) {
int a = 2; // 1 ns
a = a + 1; // 1 ns
a = a * 2; // 10 ns
// 循环 n 次
for (int i = 0; i < n; i++) { // 1 ns ，每轮都要执行 i++
printf("%d", 0); // 5 ns
}
}
```
=== "C#"
```csharp title=""
// 在某运行平台下
void algorithm(int n)
{
int a = 2; // 1 ns
a = a + 1; // 1 ns
a = a * 2; // 10 ns
// 循环 n 次
for (int i = 0; i < n; i++)
{ // 1 ns ，每轮都要执行 i++
Console.WriteLine(0); // 5 ns
}
}
```
=== "Swift"
```swift title=""
// 在某运行平台下
func algorithm(n: Int) {
var a = 2 // 1 ns
a = a + 1 // 1 ns
a = a * 2 // 10 ns
// 循环 n 次
for _ in 0 ..< n { // 1 ns
print(0) // 5 ns
}
}
```
=== "Zig"
```zig title=""
```
=== "Dart"
```dart title=""
// 在某运行平台下
void algorithm(int n) {
int a = 2; // 1 ns
a = a + 1; // 1 ns
a = a * 2; // 10 ns
// 循环 n 次
for (int i = 0; i < n; i++) { // 1 ns ，每轮都要执行 i++
print(0); // 5 ns
}
}
```
然而实际上，**统计算法的运行时间既不合理也不现实**。首先，我们不希望预估时间和运行平台绑定，因为算法需要在各种不同的平台上运行。其次，我们很难获知每种操作的运行时间，这给预估过程带来了极大的难度。
## 2.2.2. &nbsp; 统计时间增长趋势
「时间复杂度分析」采取了一种不同的方法，其统计的不是算法运行时间，**而是算法运行时间随着数据量变大时的增长趋势**。
“时间增长趋势”这个概念较为抽象，我们通过一个例子来加以理解。假设输入数据大小为 $n$ ，给定三个算法 `A` , `B` , `C` 。
- 算法 `A` 只有 $1$ 个打印操作，算法运行时间不随着 $n$ 增大而增长。我们称此算法的时间复杂度为「常数阶」。
- 算法 `B` 中的打印操作需要循环 $n$ 次，算法运行时间随着 $n$ 增大呈线性增长。此算法的时间复杂度被称为「线性阶」。
- 算法 `C` 中的打印操作需要循环 $1000000$ 次，但运行时间仍与输入数据大小 $n$ 无关。因此 `C` 的时间复杂度和 `A` 相同，仍为「常数阶」。
=== "Java"
```java title=""
// 算法 A 时间复杂度：常数阶
void algorithm_A(int n) {
System.out.println(0);
}
// 算法 B 时间复杂度：线性阶
void algorithm_B(int n) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
System.out.println(0);
}
}
// 算法 C 时间复杂度：常数阶
void algorithm_C(int n) {
for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
System.out.println(0);
}
}
```
=== "C++"
```cpp title=""
// 算法 A 时间复杂度：常数阶
void algorithm_A(int n) {
cout << 0 << endl;
}
// 算法 B 时间复杂度：线性阶
void algorithm_B(int n) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
cout << 0 << endl;
}
}
// 算法 C 时间复杂度：常数阶
void algorithm_C(int n) {
for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
cout << 0 << endl;
}
}
```
=== "Python"
```python title=""
# 算法 A 时间复杂度：常数阶
def algorithm_A(n: int) -> None:
print(0)
# 算法 B 时间复杂度：线性阶
def algorithm_B(n: int) -> None:
for _ in range(n):
print(0)
# 算法 C 时间复杂度：常数阶
def algorithm_C(n: int) -> None:
for _ in range(1000000):
print(0)
```
=== "Go"
```go title=""
// 算法 A 时间复杂度：常数阶
func algorithm_A(n int) {
fmt.Println(0)
}
// 算法 B 时间复杂度：线性阶
func algorithm_B(n int) {
for i := 0; i < n; i++ {
fmt.Println(0)
}
}
// 算法 C 时间复杂度：常数阶
func algorithm_C(n int) {
for i := 0; i < 1000000; i++ {
fmt.Println(0)
}
}
```
=== "JavaScript"
```javascript title=""
// 算法 A 时间复杂度：常数阶
function algorithm_A(n) {
console.log(0);
}
// 算法 B 时间复杂度：线性阶
function algorithm_B(n) {
for (let i = 0; i < n; i++) {
console.log(0);
}
}
// 算法 C 时间复杂度：常数阶
function algorithm_C(n) {
for (let i = 0; i < 1000000; i++) {
console.log(0);
}
}
```
=== "TypeScript"
```typescript title=""
// 算法 A 时间复杂度：常数阶
function algorithm_A(n: number): void {
console.log(0);
}
// 算法 B 时间复杂度：线性阶
function algorithm_B(n: number): void {
for (let i = 0; i < n; i++) {
console.log(0);
}
}
// 算法 C 时间复杂度：常数阶
function algorithm_C(n: number): void {
for (let i = 0; i < 1000000; i++) {
console.log(0);
}
}
```
=== "C"
```c title=""
// 算法 A 时间复杂度：常数阶
void algorithm_A(int n) {
printf("%d", 0);
}
// 算法 B 时间复杂度：线性阶
void algorithm_B(int n) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
printf("%d", 0);
}
}
// 算法 C 时间复杂度：常数阶
void algorithm_C(int n) {
for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
printf("%d", 0);
}
}
```
=== "C#"
```csharp title=""
// 算法 A 时间复杂度：常数阶
void algorithm_A(int n)
{
Console.WriteLine(0);
}
// 算法 B 时间复杂度：线性阶
void algorithm_B(int n)
{
for (int i = 0; i < n; i++)
{
Console.WriteLine(0);
}
}
// 算法 C 时间复杂度：常数阶
void algorithm_C(int n)
{
for (int i = 0; i < 1000000; i++)
{
Console.WriteLine(0);
}
}
```
=== "Swift"
```swift title=""
// 算法 A 时间复杂度：常数阶
func algorithmA(n: Int) {
print(0)
}
// 算法 B 时间复杂度：线性阶
func algorithmB(n: Int) {
for _ in 0 ..< n {
print(0)
}
}
// 算法 C 时间复杂度：常数阶
func algorithmC(n: Int) {
for _ in 0 ..< 1000000 {
print(0)
}
}
```
=== "Zig"
```zig title=""
```
=== "Dart"
```dart title=""
// 算法 A 时间复杂度：常数阶
void algorithmA(int n) {
print(0);
}
// 算法 B 时间复杂度：线性阶
void algorithmB(int n) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
print(0);
}
}
// 算法 C 时间复杂度：常数阶
void algorithmC(int n) {
for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
print(0);
}
}
```
![算法 A, B, C 的时间增长趋势](time_complexity.assets/time_complexity_simple_example.png)
<p align="center"> Fig. 算法 A, B, C 的时间增长趋势 </p>
相较于直接统计算法运行时间，时间复杂度分析有哪些优势和局限性呢？
**时间复杂度能够有效评估算法效率**。例如，算法 `B` 的运行时间呈线性增长，在 $n > 1$ 时比算法 `A` 慢，在 $n > 1000000$ 时比算法 `C` 慢。事实上，只要输入数据大小 $n$ 足够大，复杂度为「常数阶」的算法一定优于「线性阶」的算法，这正是时间增长趋势所表达的含义。
**时间复杂度的推算方法更简便**。显然，运行平台和计算操作类型都与算法运行时间的增长趋势无关。因此在时间复杂度分析中，我们可以简单地将所有计算操作的执行时间视为相同的“单位时间”，从而将“计算操作的运行时间的统计”简化为“计算操作的数量的统计”，这样的简化方法大大降低了估算难度。
**时间复杂度也存在一定的局限性**。例如，尽管算法 `A` 和 `C` 的时间复杂度相同，但实际运行时间差别很大。同样，尽管算法 `B` 的时间复杂度比 `C` 高，但在输入数据大小 $n$ 较小时，算法 `B` 明显优于算法 `C` 。在这些情况下，我们很难仅凭时间复杂度判断算法效率高低。当然，尽管存在上述问题，复杂度分析仍然是评判算法效率最有效且常用的方法。
## 2.2.3. &nbsp; 函数渐近上界
设算法的计算操作数量是一个关于输入数据大小 $n$ 的函数，记为 $T(n)$ ，则以下算法的操作数量为
$$
T(n) = 3 + 2n
$$
=== "Java"
```java title=""
void algorithm(int n) {
int a = 1; // +1
a = a + 1; // +1
a = a * 2; // +1
// 循环 n 次
for (int i = 0; i < n; i++) { // +1（每轮都执行 i ++）
System.out.println(0); // +1
}
}
```
=== "C++"
```cpp title=""
void algorithm(int n) {
int a = 1; // +1
a = a + 1; // +1
a = a * 2; // +1
// 循环 n 次
for (int i = 0; i < n; i++) { // +1（每轮都执行 i ++）
cout << 0 << endl; // +1
}
}
```
=== "Python"
```python title=""
def algorithm(n: int) -> None:
a = 1 # +1
a = a + 1 # +1
a = a * 2 # +1
# 循环 n 次
for i in range(n): # +1
print(0) # +1
```
=== "Go"
```go title=""
func algorithm(n int) {
a := 1 // +1
a = a + 1 // +1
a = a * 2 // +1
// 循环 n 次
for i := 0; i < n; i++ { // +1
fmt.Println(a) // +1
}
}
```
=== "JavaScript"
```javascript title=""
function algorithm(n) {
var a = 1; // +1
a += 1; // +1
a *= 2; // +1
// 循环 n 次
for(let i = 0; i < n; i++){ // +1（每轮都执行 i ++）
console.log(0); // +1
}
}
```
=== "TypeScript"
```typescript title=""
function algorithm(n: number): void{
var a: number = 1; // +1
a += 1; // +1
a *= 2; // +1
// 循环 n 次
for(let i = 0; i < n; i++){ // +1（每轮都执行 i ++）
console.log(0); // +1
}
}
```
=== "C"
```c title=""
void algorithm(int n) {
int a = 1; // +1
a = a + 1; // +1
a = a * 2; // +1
// 循环 n 次
for (int i = 0; i < n; i++) { // +1（每轮都执行 i ++）
printf("%d", 0); // +1
}
}
```
=== "C#"
```csharp title=""
void algorithm(int n)
{
int a = 1; // +1
a = a + 1; // +1
a = a * 2; // +1
// 循环 n 次
for (int i = 0; i < n; i++) // +1（每轮都执行 i ++）
{
Console.WriteLine(0); // +1
}
}
```
=== "Swift"
```swift title=""
func algorithm(n: Int) {
var a = 1 // +1
a = a + 1 // +1
a = a * 2 // +1
// 循环 n 次
for _ in 0 ..< n { // +1
print(0) // +1
}
}
```
=== "Zig"
```zig title=""
```
=== "Dart"
```dart title=""
void algorithm(int n) {
int a = 1; // +1
a = a + 1; // +1
a = a * 2; // +1
// 循环 n 次
for (int i = 0; i < n; i++) { // +1（每轮都执行 i ++）
print(0); // +1
}
}
```
$T(n)$ 是一次函数，说明时间增长趋势是线性的，因此可以得出时间复杂度是线性阶。
我们将线性阶的时间复杂度记为 $O(n)$ ，这个数学符号称为「大 $O$ 记号 Big-$O$ Notation」，表示函数 $T(n)$ 的「渐近上界 Asymptotic Upper Bound」。
推算时间复杂度本质上是计算“操作数量函数 $T(n)$”的渐近上界。接下来，我们来看函数渐近上界的数学定义。
!!! abstract "函数渐近上界"
若存在正实数 $c$ 和实数 $n_0$ ，使得对于所有的 $n > n_0$ ，均有
$$
T(n) \leq c \cdot f(n)
$$
则可认为 $f(n)$ 给出了 $T(n)$ 的一个渐近上界，记为
$$
T(n) = O(f(n))
$$
![函数的渐近上界](time_complexity.assets/asymptotic_upper_bound.png)
<p align="center"> Fig. 函数的渐近上界 </p>
从本质上讲，计算渐近上界就是寻找一个函数 $f(n)$ ，使得当 $n$ 趋向于无穷大时，$T(n)$ 和 $f(n)$ 处于相同的增长级别，仅相差一个常数项 $c$ 的倍数。
## 2.2.4. &nbsp; 推算方法
渐近上界的数学味儿有点重，如果你感觉没有完全理解，也无需担心。因为在实际使用中，我们只需要掌握推算方法，数学意义可以逐渐领悟。
根据定义，确定 $f(n)$ 之后，我们便可得到时间复杂度 $O(f(n))$ 。那么如何确定渐近上界 $f(n)$ 呢？总体分为两步：首先统计操作数量，然后判断渐近上界。
### 1) 统计操作数量
针对代码，逐行从上到下计算即可。然而，由于上述 $c \cdot f(n)$ 中的常数项 $c$ 可以取任意大小，**因此操作数量 $T(n)$ 中的各种系数、常数项都可以被忽略**。根据此原则，可以总结出以下计数简化技巧：
1. **忽略与 $n$ 无关的操作**。因为它们都是 $T(n)$ 中的常数项，对时间复杂度不产生影响。
2. **省略所有系数**。例如，循环 $2n$ 次、$5n + 1$ 次等，都可以简化记为 $n$ 次，因为 $n$ 前面的系数对时间复杂度没有影响。
3. **循环嵌套时使用乘法**。总操作数量等于外层循环和内层循环操作数量之积，每一层循环依然可以分别套用上述 `1.` 和 `2.` 技巧。
以下示例展示了使用上述技巧前、后的统计结果。
$$
\begin{aligned}
T(n) & = 2n(n + 1) + (5n + 1) + 2 & \text{完整统计 (-.-|||)} \newline
& = 2n^2 + 7n + 3 \newline
T(n) & = n^2 + n & \text{偷懒统计 (o.O)}
\end{aligned}
$$
最终，两者都能推出相同的时间复杂度结果，即 $O(n^2)$ 。
=== "Java"
```java title=""
void algorithm(int n) {
int a = 1; // +0（技巧 1）
a = a + n; // +0（技巧 1）
// +n（技巧 2）
for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
System.out.println(0);
}
// +n*n（技巧 3）
for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
System.out.println(0);
}
}
}
```
=== "C++"
```cpp title=""
void algorithm(int n) {
int a = 1; // +0（技巧 1）
a = a + n; // +0（技巧 1）
// +n（技巧 2）
for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
cout << 0 << endl;
}
// +n*n（技巧 3）
for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
cout << 0 << endl;
}
}
}
```
=== "Python"
```python title=""
def algorithm(n: int) -> None:
a = 1 # +0（技巧 1）
a = a + n # +0（技巧 1）
# +n（技巧 2）
for i in range(5 * n + 1):
print(0)
# +n*n（技巧 3）
for i in range(2 * n):
for j in range(n + 1):
print(0)
```
=== "Go"
```go title=""
func algorithm(n int) {
a := 1 // +0（技巧 1）
a = a + n // +0（技巧 1）
// +n（技巧 2）
for i := 0; i < 5 * n + 1; i++ {
fmt.Println(0)
}
// +n*n（技巧 3）
for i := 0; i < 2 * n; i++ {
for j := 0; j < n + 1; j++ {
fmt.Println(0)
}
}
}
```
=== "JavaScript"
```javascript title=""
function algorithm(n) {
let a = 1; // +0（技巧 1）
a = a + n; // +0（技巧 1）
// +n（技巧 2）
for (let i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
console.log(0);
}
// +n*n（技巧 3）
for (let i = 0; i < 2 * n; i++) {
for (let j = 0; j < n + 1; j++) {
console.log(0);
}
}
}
```
=== "TypeScript"
```typescript title=""
function algorithm(n: number): void {
let a = 1; // +0（技巧 1）
a = a + n; // +0（技巧 1）
// +n（技巧 2）
for (let i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
console.log(0);
}
// +n*n（技巧 3）
for (let i = 0; i < 2 * n; i++) {
for (let j = 0; j < n + 1; j++) {
console.log(0);
}
}
}
```
=== "C"
```c title=""
void algorithm(int n) {
int a = 1; // +0（技巧 1）
a = a + n; // +0（技巧 1）
// +n（技巧 2）
for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
printf("%d", 0);
}
// +n*n（技巧 3）
for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
printf("%d", 0);
}
}
}
```
=== "C#"
```csharp title=""
void algorithm(int n)
{
int a = 1; // +0（技巧 1）
a = a + n; // +0（技巧 1）
// +n（技巧 2）
for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++)
{
Console.WriteLine(0);
}
// +n*n（技巧 3）
for (int i = 0; i < 2 * n; i++)
{
for (int j = 0; j < n + 1; j++)
{
Console.WriteLine(0);
}
}
}
```
=== "Swift"
```swift title=""
func algorithm(n: Int) {
var a = 1 // +0（技巧 1）
a = a + n // +0（技巧 1）
// +n（技巧 2）
for _ in 0 ..< (5 * n + 1) {
print(0)
}
// +n*n（技巧 3）
for _ in 0 ..< (2 * n) {
for _ in 0 ..< (n + 1) {
print(0)
}
}
}
```
=== "Zig"
```zig title=""
```
=== "Dart"
```dart title=""
void algorithm(int n) {
int a = 1; // +0（技巧 1）
a = a + n; // +0（技巧 1）
// +n（技巧 2）
for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
print(0);
}
// +n*n（技巧 3）
for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
print(0);
}
}
}
```
### 2) 判断渐近上界
**时间复杂度由多项式 $T(n)$ 中最高阶的项来决定**。这是因为在 $n$ 趋于无穷大时，最高阶的项将发挥主导作用，其他项的影响都可以被忽略。
以下表格展示了一些例子，其中一些夸张的值是为了强调“系数无法撼动阶数”这一结论。当 $n$ 趋于无穷大时，这些常数变得无足轻重。
<div class="center-table" markdown>
| 操作数量 $T(n)$ | 时间复杂度 $O(f(n))$ |
| ---------------------- | -------------------- |
| $100000$ | $O(1)$ |
| $3n + 2$ | $O(n)$ |
| $2n^2 + 3n + 2$ | $O(n^2)$ |
| $n^3 + 10000n^2$ | $O(n^3)$ |
| $2^n + 10000n^{10000}$ | $O(2^n)$ |
</div>
## 2.2.5. &nbsp; 常见类型
设输入数据大小为 $n$ ，常见的时间复杂度类型包括（按照从低到高的顺序排列）：
$$
\begin{aligned}
O(1) < O(\log n) < O(n) < O(n \log n) < O(n^2) < O(2^n) < O(n!) \newline
\text{常数阶} < \text{对数阶} < \text{线性阶} < \text{线性对数阶} < \text{平方阶} < \text{指数阶} < \text{阶乘阶}
\end{aligned}
$$
![时间复杂度的常见类型](time_complexity.assets/time_complexity_common_types.png)
<p align="center"> Fig. 时间复杂度的常见类型 </p>
!!! tip
部分示例代码需要一些预备知识，包括数组、递归算法等。如果遇到不理解的部分，请不要担心，可以在学习完后面章节后再回顾。现阶段，请先专注于理解时间复杂度的含义和推算方法。
### 常数阶 $O(1)$
常数阶的操作数量与输入数据大小 $n$ 无关，即不随着 $n$ 的变化而变化。
对于以下算法，尽管操作数量 `size` 可能很大，但由于其与数据大小 $n$ 无关，因此时间复杂度仍为 $O(1)$ 。
=== "Java"
```java title="time_complexity.java"
/* 常数阶 */
int constant(int n) {
int count = 0;
int size = 100000;
for (int i = 0; i < size; i++)
count++;
return count;
}
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity.cpp"
/* 常数阶 */
int constant(int n) {
int count = 0;
int size = 100000;
for (int i = 0; i < size; i++)
count++;
return count;
}
```
=== "Python"
```python title="time_complexity.py"
def constant(n: int) -> int:
"""常数阶"""
count = 0
size = 100000
for _ in range(size):
count += 1
return count
```
=== "Go"
```go title="time_complexity.go"
/* 常数阶 */
func constant(n int) int {
count := 0
size := 100000
for i := 0; i < size; i++ {
count++
}
return count
}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="time_complexity.js"
/* 常数阶 */
function constant(n) {
let count = 0;
const size = 100000;
for (let i = 0; i < size; i++) count++;
return count;
}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="time_complexity.ts"
/* 常数阶 */
function constant(n: number): number {
let count = 0;
const size = 100000;
for (let i = 0; i < size; i++) count++;
return count;
}
```
=== "C"
```c title="time_complexity.c"
/* 常数阶 */
int constant(int n) {
int count = 0;
int size = 100000;
int i = 0;
for (int i = 0; i < size; i++) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
/* 常数阶 */
int constant(int n) {
int count = 0;
int size = 100000;
for (int i = 0; i < size; i++)
count++;
return count;
}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
/* 常数阶 */
func constant(n: Int) -> Int {
var count = 0
let size = 100_000
for _ in 0 ..< size {
count += 1
}
return count
}
```
=== "Zig"
```zig title="time_complexity.zig"
// 常数阶
fn constant(n: i32) i32 {
_ = n;
var count: i32 = 0;
const size: i32 = 100_000;
var i: i32 = 0;
while(i<size) : (i += 1) {
count += 1;
}
return count;
}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
/* 常数阶 */
int constant(int n) {
int count = 0;
int size = 100000;
for (var i = 0; i < size; i++) {
count++;
}
return count;
}
```
### 线性阶 $O(n)$
线性阶的操作数量相对于输入数据大小以线性级别增长。线性阶通常出现在单层循环中。
=== "Java"
```java title="time_complexity.java"
/* 线性阶 */
int linear(int n) {
int count = 0;
for (int i = 0; i < n; i++)
count++;
return count;
}
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity.cpp"
/* 线性阶 */
int linear(int n) {
int count = 0;
for (int i = 0; i < n; i++)
count++;
return count;
}
```
=== "Python"
```python title="time_complexity.py"
def linear(n: int) -> int:
"""线性阶"""
count = 0
for _ in range(n):
count += 1
return count
```
=== "Go"
```go title="time_complexity.go"
/* 线性阶 */
func linear(n int) int {
count := 0
for i := 0; i < n; i++ {
count++
}
return count
}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="time_complexity.js"
/* 线性阶 */
function linear(n) {
let count = 0;
for (let i = 0; i < n; i++) count++;
return count;
}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="time_complexity.ts"
/* 线性阶 */
function linear(n: number): number {
let count = 0;
for (let i = 0; i < n; i++) count++;
return count;
}
```
=== "C"
```c title="time_complexity.c"
/* 线性阶 */
int linear(int n) {
int count = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
/* 线性阶 */
int linear(int n) {
int count = 0;
for (int i = 0; i < n; i++)
count++;
return count;
}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
/* 线性阶 */
func linear(n: Int) -> Int {
var count = 0
for _ in 0 ..< n {
count += 1
}
return count
}
```
=== "Zig"
```zig title="time_complexity.zig"
// 线性阶
fn linear(n: i32) i32 {
var count: i32 = 0;
var i: i32 = 0;
while (i < n) : (i += 1) {
count += 1;
}
return count;
}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
/* 线性阶 */
int linear(int n) {
int count = 0;
for (var i = 0; i < n; i++) {
count++;
}
return count;
}
```
遍历数组和遍历链表等操作的时间复杂度均为 $O(n)$ ，其中 $n$ 为数组或链表的长度。
!!! question "如何确定输入数据大小 $n$ ？"
**数据大小 $n$ 需根据输入数据的类型来具体确定**。例如，在上述示例中，我们直接将 $n$ 视为输入数据大小；在下面遍历数组的示例中，数据大小 $n$ 为数组的长度。
=== "Java"
```java title="time_complexity.java"
/* 线性阶（遍历数组） */
int arrayTraversal(int[] nums) {
int count = 0;
// 循环次数与数组长度成正比
for (int num : nums) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity.cpp"
/* 线性阶（遍历数组） */
int arrayTraversal(vector<int> &nums) {
int count = 0;
// 循环次数与数组长度成正比
for (int num : nums) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "Python"
```python title="time_complexity.py"
def array_traversal(nums: list[int]) -> int:
"""线性阶（遍历数组）"""
count = 0
# 循环次数与数组长度成正比
for num in nums:
count += 1
return count
```
=== "Go"
```go title="time_complexity.go"
/* 线性阶（遍历数组） */
func arrayTraversal(nums []int) int {
count := 0
// 循环次数与数组长度成正比
for range nums {
count++
}
return count
}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="time_complexity.js"
/* 线性阶（遍历数组） */
function arrayTraversal(nums) {
let count = 0;
// 循环次数与数组长度成正比
for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="time_complexity.ts"
/* 线性阶（遍历数组） */
function arrayTraversal(nums: number[]): number {
let count = 0;
// 循环次数与数组长度成正比
for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "C"
```c title="time_complexity.c"
/* 线性阶（遍历数组） */
int arrayTraversal(int *nums, int n) {
int count = 0;
// 循环次数与数组长度成正比
for (int i = 0; i < n; i++) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
/* 线性阶（遍历数组） */
int arrayTraversal(int[] nums) {
int count = 0;
// 循环次数与数组长度成正比
foreach (int num in nums) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
/* 线性阶（遍历数组） */
func arrayTraversal(nums: [Int]) -> Int {
var count = 0
// 循环次数与数组长度成正比
for _ in nums {
count += 1
}
return count
}
```
=== "Zig"
```zig title="time_complexity.zig"
// 线性阶（遍历数组）
fn arrayTraversal(nums: []i32) i32 {
var count: i32 = 0;
// 循环次数与数组长度成正比
for (nums) |_| {
count += 1;
}
return count;
}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
/* 线性阶（遍历数组） */
int arrayTraversal(List<int> nums) {
int count = 0;
// 循环次数与数组长度成正比
for (var num in nums) {
count++;
}
return count;
}
```
### 平方阶 $O(n^2)$
平方阶的操作数量相对于输入数据大小以平方级别增长。平方阶通常出现在嵌套循环中，外层循环和内层循环都为 $O(n)$ ，因此总体为 $O(n^2)$ 。
=== "Java"
```java title="time_complexity.java"
/* 平方阶 */
int quadratic(int n) {
int count = 0;
// 循环次数与数组长度成平方关系
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
count++;
}
}
return count;
}
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity.cpp"
/* 平方阶 */
int quadratic(int n) {
int count = 0;
// 循环次数与数组长度成平方关系
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
count++;
}
}
return count;
}
```
=== "Python"
```python title="time_complexity.py"
def quadratic(n: int) -> int:
"""平方阶"""
count = 0
# 循环次数与数组长度成平方关系
for i in range(n):
for j in range(n):
count += 1
return count
```
=== "Go"
```go title="time_complexity.go"
/* 平方阶 */
func quadratic(n int) int {
count := 0
// 循环次数与数组长度成平方关系
for i := 0; i < n; i++ {
for j := 0; j < n; j++ {
count++
}
}
return count
}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="time_complexity.js"
/* 平方阶 */
function quadratic(n) {
let count = 0;
// 循环次数与数组长度成平方关系
for (let i = 0; i < n; i++) {
for (let j = 0; j < n; j++) {
count++;
}
}
return count;
}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="time_complexity.ts"
/* 平方阶 */
function quadratic(n: number): number {
let count = 0;
// 循环次数与数组长度成平方关系
for (let i = 0; i < n; i++) {
for (let j = 0; j < n; j++) {
count++;
}
}
return count;
}
```
=== "C"
```c title="time_complexity.c"
/* 平方阶 */
int quadratic(int n) {
int count = 0;
// 循环次数与数组长度成平方关系
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
count++;
}
}
return count;
}
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
/* 平方阶 */
int quadratic(int n) {
int count = 0;
// 循环次数与数组长度成平方关系
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
count++;
}
}
return count;
}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
/* 平方阶 */
func quadratic(n: Int) -> Int {
var count = 0
// 循环次数与数组长度成平方关系
for _ in 0 ..< n {
for _ in 0 ..< n {
count += 1
}
}
return count
}
```
=== "Zig"
```zig title="time_complexity.zig"
// 平方阶
fn quadratic(n: i32) i32 {
var count: i32 = 0;
var i: i32 = 0;
// 循环次数与数组长度成平方关系
while (i < n) : (i += 1) {
var j: i32 = 0;
while (j < n) : (j += 1) {
count += 1;
}
}
return count;
}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
/* 平方阶 */
int quadratic(int n) {
int count = 0;
// 循环次数与数组长度成平方关系
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
count++;
}
}
return count;
}
```
![常数阶、线性阶、平方阶的时间复杂度](time_complexity.assets/time_complexity_constant_linear_quadratic.png)
<p align="center"> Fig. 常数阶、线性阶、平方阶的时间复杂度 </p>
以「冒泡排序」为例，外层循环执行 $n - 1$ 次，内层循环执行 $n-1, n-2, \cdots, 2, 1$ 次，平均为 $\frac{n}{2}$ 次，因此时间复杂度为 $O(n^2)$ 。
$$
O((n - 1) \frac{n}{2}) = O(n^2)
$$
=== "Java"
```java title="time_complexity.java"
/* 平方阶（冒泡排序） */
int bubbleSort(int[] nums) {
int count = 0; // 计数器
// 外循环：未排序区间为 [0, i]
for (int i = nums.length - 1; i > 0; i--) {
// 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (nums[j] > nums[j + 1]) {
// 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
int tmp = nums[j];
nums[j] = nums[j + 1];
nums[j + 1] = tmp;
count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作
}
}
}
return count;
}
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity.cpp"
/* 平方阶（冒泡排序） */
int bubbleSort(vector<int> &nums) {
int count = 0; // 计数器
// 外循环：未排序区间为 [0, i]
for (int i = nums.size() - 1; i > 0; i--) {
// 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (nums[j] > nums[j + 1]) {
// 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
int tmp = nums[j];
nums[j] = nums[j + 1];
nums[j + 1] = tmp;
count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作
}
}
}
return count;
}
```
=== "Python"
```python title="time_complexity.py"
def bubble_sort(nums: list[int]) -> int:
"""平方阶（冒泡排序）"""
count = 0 # 计数器
# 外循环：未排序区间为 [0, i]
for i in range(len(nums) - 1, 0, -1):
# 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
for j in range(i):
if nums[j] > nums[j + 1]:
# 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
tmp: int = nums[j]
nums[j] = nums[j + 1]
nums[j + 1] = tmp
count += 3 # 元素交换包含 3 个单元操作
return count
```
=== "Go"
```go title="time_complexity.go"
/* 平方阶（冒泡排序） */
func bubbleSort(nums []int) int {
count := 0 // 计数器
// 外循环：未排序区间为 [0, i]
for i := len(nums) - 1; i > 0; i-- {
// 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
for j := 0; j < i; j++ {
if nums[j] > nums[j+1] {
// 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
tmp := nums[j]
nums[j] = nums[j+1]
nums[j+1] = tmp
count += 3 // 元素交换包含 3 个单元操作
}
}
}
return count
}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="time_complexity.js"
/* 平方阶（冒泡排序） */
function bubbleSort(nums) {
let count = 0; // 计数器
// 外循环：未排序区间为 [0, i]
for (let i = nums.length - 1; i > 0; i--) {
// 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
for (let j = 0; j < i; j++) {
if (nums[j] > nums[j + 1]) {
// 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
let tmp = nums[j];
nums[j] = nums[j + 1];
nums[j + 1] = tmp;
count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作
}
}
}
return count;
}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="time_complexity.ts"
/* 平方阶（冒泡排序） */
function bubbleSort(nums: number[]): number {
let count = 0; // 计数器
// 外循环：未排序区间为 [0, i]
for (let i = nums.length - 1; i > 0; i--) {
// 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
for (let j = 0; j < i; j++) {
if (nums[j] > nums[j + 1]) {
// 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
let tmp = nums[j];
nums[j] = nums[j + 1];
nums[j + 1] = tmp;
count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作
}
}
}
return count;
}
```
=== "C"
```c title="time_complexity.c"
/* 平方阶（冒泡排序） */
int bubbleSort(int *nums, int n) {
int count = 0; // 计数器
// 外循环：未排序区间为 [0, i]
for (int i = n - 1; i > 0; i--) {
// 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (nums[j] > nums[j + 1]) {
// 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
int tmp = nums[j];
nums[j] = nums[j + 1];
nums[j + 1] = tmp;
count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作
}
}
}
return count;
}
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
/* 平方阶（冒泡排序） */
int bubbleSort(int[] nums) {
int count = 0; // 计数器
// 外循环：未排序区间为 [0, i]
for (int i = nums.Length - 1; i > 0; i--) {
// 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (nums[j] > nums[j + 1]) {
// 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
int tmp = nums[j];
nums[j] = nums[j + 1];
nums[j + 1] = tmp;
count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作
}
}
}
return count;
}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
/* 平方阶（冒泡排序） */
func bubbleSort(nums: inout [Int]) -> Int {
var count = 0 // 计数器
// 外循环：未排序区间为 [0, i]
for i in stride(from: nums.count - 1, to: 0, by: -1) {
// 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
for j in 0 ..< i {
if nums[j] > nums[j + 1] {
// 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
let tmp = nums[j]
nums[j] = nums[j + 1]
nums[j + 1] = tmp
count += 3 // 元素交换包含 3 个单元操作
}
}
}
return count
}
```
=== "Zig"
```zig title="time_complexity.zig"
// 平方阶（冒泡排序）
fn bubbleSort(nums: []i32) i32 {
var count: i32 = 0; // 计数器
// 外循环：未排序区间为 [0, i]
var i: i32 = @intCast(i32, nums.len ) - 1;
while (i > 0) : (i -= 1) {
var j: usize = 0;
// 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
while (j < i) : (j += 1) {
if (nums[j] > nums[j + 1]) {
// 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
var tmp = nums[j];
nums[j] = nums[j + 1];
nums[j + 1] = tmp;
count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作
}
}
}
return count;
}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
/* 平方阶（冒泡排序） */
int bubbleSort(List<int> nums) {
int count = 0; // 计数器
// 外循环：未排序区间为 [0, i]
for (var i = nums.length - 1; i > 0; i--) {
// 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
for (var j = 0; j < i; j++) {
if (nums[j] > nums[j + 1]) {
// 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
int tmp = nums[j];
nums[j] = nums[j + 1];
nums[j + 1] = tmp;
count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作
}
}
}
return count;
}
```
### 指数阶 $O(2^n)$
!!! note
生物学的“细胞分裂”是指数阶增长的典型例子：初始状态为 $1$ 个细胞，分裂一轮后变为 $2$ 个，分裂两轮后变为 $4$ 个，以此类推，分裂 $n$ 轮后有 $2^n$ 个细胞。
指数阶增长非常迅速，在实际应用中通常是不可接受的。若一个问题使用「暴力枚举」求解的时间复杂度为 $O(2^n)$ ，那么通常需要使用「动态规划」或「贪心算法」等方法来解决。
=== "Java"
```java title="time_complexity.java"
/* 指数阶（循环实现） */
int exponential(int n) {
int count = 0, base = 1;
// cell 每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < base; j++) {
count++;
}
base *= 2;
}
// count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
return count;
}
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity.cpp"
/* 指数阶（循环实现） */
int exponential(int n) {
int count = 0, base = 1;
// cell 每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < base; j++) {
count++;
}
base *= 2;
}
// count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
return count;
}
```
=== "Python"
```python title="time_complexity.py"
def exponential(n: int) -> int:
"""指数阶（循环实现）"""
count = 0
base = 1
# cell 每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
for _ in range(n):
for _ in range(base):
count += 1
base *= 2
# count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
return count
```
=== "Go"
```go title="time_complexity.go"
/* 指数阶（循环实现）*/
func exponential(n int) int {
count, base := 0, 1
// cell 每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
for i := 0; i < n; i++ {
for j := 0; j < base; j++ {
count++
}
base *= 2
}
// count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
return count
}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="time_complexity.js"
/* 指数阶（循环实现） */
function exponential(n) {
let count = 0,
base = 1;
// cell 每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
for (let i = 0; i < n; i++) {
for (let j = 0; j < base; j++) {
count++;
}
base *= 2;
}
// count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
return count;
}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="time_complexity.ts"
/* 指数阶（循环实现） */
function exponential(n: number): number {
let count = 0,
base = 1;
// cell 每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
for (let i = 0; i < n; i++) {
for (let j = 0; j < base; j++) {
count++;
}
base *= 2;
}
// count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
return count;
}
```
=== "C"
```c title="time_complexity.c"
/* 指数阶（循环实现） */
int exponential(int n) {
int count = 0;
int bas = 1;
// cell 每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < bas; j++) {
count++;
}
bas *= 2;
}
// count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
return count;
}
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
/* 指数阶（循环实现） */
int exponential(int n) {
int count = 0, bas = 1;
// cell 每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < bas; j++) {
count++;
}
bas *= 2;
}
// count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
return count;
}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
/* 指数阶（循环实现） */
func exponential(n: Int) -> Int {
var count = 0
var base = 1
// cell 每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
for _ in 0 ..< n {
for _ in 0 ..< base {
count += 1
}
base *= 2
}
// count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
return count
}
```
=== "Zig"
```zig title="time_complexity.zig"
// 指数阶（循环实现）
fn exponential(n: i32) i32 {
var count: i32 = 0;
var bas: i32 = 1;
var i: i32 = 0;
// cell 每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
while (i < n) : (i += 1) {
var j: i32 = 0;
while (j < bas) : (j += 1) {
count += 1;
}
bas *= 2;
}
// count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
return count;
}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
/* 指数阶（循环实现） */
int exponential(int n) {
int count = 0, base = 1;
// cell 每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
for (var i = 0; i < n; i++) {
for (var j = 0; j < base; j++) {
count++;
}
base *= 2;
}
// count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
return count;
}
```
![指数阶的时间复杂度](time_complexity.assets/time_complexity_exponential.png)
<p align="center"> Fig. 指数阶的时间复杂度 </p>
在实际算法中，指数阶常出现于递归函数。例如以下代码，不断地一分为二，经过 $n$ 次分裂后停止。
=== "Java"
```java title="time_complexity.java"
/* 指数阶（递归实现） */
int expRecur(int n) {
if (n == 1)
return 1;
return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1;
}
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity.cpp"
/* 指数阶（递归实现） */
int expRecur(int n) {
if (n == 1)
return 1;
return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1;
}
```
=== "Python"
```python title="time_complexity.py"
def exp_recur(n: int) -> int:
"""指数阶（递归实现）"""
if n == 1:
return 1
return exp_recur(n - 1) + exp_recur(n - 1) + 1
```
=== "Go"
```go title="time_complexity.go"
/* 指数阶（递归实现）*/
func expRecur(n int) int {
if n == 1 {
return 1
}
return expRecur(n-1) + expRecur(n-1) + 1
}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="time_complexity.js"
/* 指数阶（递归实现） */
function expRecur(n) {
if (n == 1) return 1;
return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1;
}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="time_complexity.ts"
/* 指数阶（递归实现） */
function expRecur(n: number): number {
if (n == 1) return 1;
return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1;
}
```
=== "C"
```c title="time_complexity.c"
/* 指数阶（递归实现） */
int expRecur(int n) {
if (n == 1)
return 1;
return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1;
}
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
/* 指数阶（递归实现） */
int expRecur(int n) {
if (n == 1) return 1;
return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1;
}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
/* 指数阶（递归实现） */
func expRecur(n: Int) -> Int {
if n == 1 {
return 1
}
return expRecur(n: n - 1) + expRecur(n: n - 1) + 1
}
```
=== "Zig"
```zig title="time_complexity.zig"
// 指数阶（递归实现）
fn expRecur(n: i32) i32 {
if (n == 1) return 1;
return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1;
}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
/* 指数阶（递归实现） */
int expRecur(int n) {
if (n == 1) return 1;
return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1;
}
```
### 对数阶 $O(\log n)$
与指数阶相反，对数阶反映了“每轮缩减到一半的情况”。对数阶仅次于常数阶，时间增长缓慢，是理想的时间复杂度。
对数阶常出现于「二分查找」和「分治算法」中，体现了“一分为多”和“化繁为简”的算法思想。
设输入数据大小为 $n$ ，由于每轮缩减到一半，因此循环次数是 $\log_2 n$ ，即 $2^n$ 的反函数。
=== "Java"
```java title="time_complexity.java"
/* 对数阶（循环实现） */
int logarithmic(float n) {
int count = 0;
while (n > 1) {
n = n / 2;
count++;
}
return count;
}
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity.cpp"
/* 对数阶（循环实现） */
int logarithmic(float n) {
int count = 0;
while (n > 1) {
n = n / 2;
count++;
}
return count;
}
```
=== "Python"
```python title="time_complexity.py"
def logarithmic(n: float) -> int:
"""对数阶（循环实现）"""
count = 0
while n > 1:
n = n / 2
count += 1
return count
```
=== "Go"
```go title="time_complexity.go"
/* 对数阶（循环实现）*/
func logarithmic(n float64) int {
count := 0
for n > 1 {
n = n / 2
count++
}
return count
}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="time_complexity.js"
/* 对数阶（循环实现） */
function logarithmic(n) {
let count = 0;
while (n > 1) {
n = n / 2;
count++;
}
return count;
}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="time_complexity.ts"
/* 对数阶（循环实现） */
function logarithmic(n: number): number {
let count = 0;
while (n > 1) {
n = n / 2;
count++;
}
return count;
}
```
=== "C"
```c title="time_complexity.c"
/* 对数阶（循环实现） */
int logarithmic(float n) {
int count = 0;
while (n > 1) {
n = n / 2;
count++;
}
return count;
}
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
/* 对数阶（循环实现） */
int logarithmic(float n) {
int count = 0;
while (n > 1) {
n = n / 2;
count++;
}
return count;
}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
/* 对数阶（循环实现） */
func logarithmic(n: Double) -> Int {
var count = 0
var n = n
while n > 1 {
n = n / 2
count += 1
}
return count
}
```
=== "Zig"
```zig title="time_complexity.zig"
// 对数阶（循环实现）
fn logarithmic(n: f32) i32 {
var count: i32 = 0;
var n_var = n;
while (n_var > 1)
{
n_var = n_var / 2;
count +=1;
}
return count;
}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
/* 对数阶（循环实现） */
int logarithmic(num n) {
int count = 0;
while (n > 1) {
n = n / 2;
count++;
}
return count;
}
```
![对数阶的时间复杂度](time_complexity.assets/time_complexity_logarithmic.png)
<p align="center"> Fig. 对数阶的时间复杂度 </p>
与指数阶类似，对数阶也常出现于递归函数。以下代码形成了一个高度为 $\log_2 n$ 的递归树。
=== "Java"
```java title="time_complexity.java"
/* 对数阶（递归实现） */
int logRecur(float n) {
if (n <= 1)
return 0;
return logRecur(n / 2) + 1;
}
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity.cpp"
/* 对数阶（递归实现） */
int logRecur(float n) {
if (n <= 1)
return 0;
return logRecur(n / 2) + 1;
}
```
=== "Python"
```python title="time_complexity.py"
def log_recur(n: float) -> int:
"""对数阶（递归实现）"""
if n <= 1:
return 0
return log_recur(n / 2) + 1
```
=== "Go"
```go title="time_complexity.go"
/* 对数阶（递归实现）*/
func logRecur(n float64) int {
if n <= 1 {
return 0
}
return logRecur(n/2) + 1
}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="time_complexity.js"
/* 对数阶（递归实现） */
function logRecur(n) {
if (n <= 1) return 0;
return logRecur(n / 2) + 1;
}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="time_complexity.ts"
/* 对数阶（递归实现） */
function logRecur(n: number): number {
if (n <= 1) return 0;
return logRecur(n / 2) + 1;
}
```
=== "C"
```c title="time_complexity.c"
/* 对数阶（递归实现） */
int logRecur(float n) {
if (n <= 1)
return 0;
return logRecur(n / 2) + 1;
}
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
/* 对数阶（递归实现） */
int logRecur(float n) {
if (n <= 1) return 0;
return logRecur(n / 2) + 1;
}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
/* 对数阶（递归实现） */
func logRecur(n: Double) -> Int {
if n <= 1 {
return 0
}
return logRecur(n: n / 2) + 1
}
```
=== "Zig"
```zig title="time_complexity.zig"
// 对数阶（递归实现）
fn logRecur(n: f32) i32 {
if (n <= 1) return 0;
return logRecur(n / 2) + 1;
}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
/* 对数阶（递归实现） */
int logRecur(num n) {
if (n <= 1) return 0;
return logRecur(n / 2) + 1;
}
```
### 线性对数阶 $O(n \log n)$
线性对数阶常出现于嵌套循环中，两层循环的时间复杂度分别为 $O(\log n)$ 和 $O(n)$ 。
主流排序算法的时间复杂度通常为 $O(n \log n)$ ，例如快速排序、归并排序、堆排序等。
=== "Java"
```java title="time_complexity.java"
/* 线性对数阶 */
int linearLogRecur(float n) {
if (n <= 1)
return 1;
int count = linearLogRecur(n / 2) +
linearLogRecur(n / 2);
for (int i = 0; i < n; i++) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity.cpp"
/* 线性对数阶 */
int linearLogRecur(float n) {
if (n <= 1)
return 1;
int count = linearLogRecur(n / 2) + linearLogRecur(n / 2);
for (int i = 0; i < n; i++) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "Python"
```python title="time_complexity.py"
def linear_log_recur(n: float) -> int:
"""线性对数阶"""
if n <= 1:
return 1
count: int = linear_log_recur(n // 2) + linear_log_recur(n // 2)
for _ in range(n):
count += 1
return count
```
=== "Go"
```go title="time_complexity.go"
/* 线性对数阶 */
func linearLogRecur(n float64) int {
if n <= 1 {
return 1
}
count := linearLogRecur(n/2) +
linearLogRecur(n/2)
for i := 0.0; i < n; i++ {
count++
}
return count
}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="time_complexity.js"
/* 线性对数阶 */
function linearLogRecur(n) {
if (n <= 1) return 1;
let count = linearLogRecur(n / 2) + linearLogRecur(n / 2);
for (let i = 0; i < n; i++) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="time_complexity.ts"
/* 线性对数阶 */
function linearLogRecur(n: number): number {
if (n <= 1) return 1;
let count = linearLogRecur(n / 2) + linearLogRecur(n / 2);
for (let i = 0; i < n; i++) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "C"
```c title="time_complexity.c"
/* 线性对数阶 */
int linearLogRecur(float n) {
if (n <= 1)
return 1;
int count = linearLogRecur(n / 2) + linearLogRecur(n / 2);
for (int i = 0; i < n; i++) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
/* 线性对数阶 */
int linearLogRecur(float n) {
if (n <= 1) return 1;
int count = linearLogRecur(n / 2) +
linearLogRecur(n / 2);
for (int i = 0; i < n; i++) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
/* 线性对数阶 */
func linearLogRecur(n: Double) -> Int {
if n <= 1 {
return 1
}
var count = linearLogRecur(n: n / 2) + linearLogRecur(n: n / 2)
for _ in stride(from: 0, to: n, by: 1) {
count += 1
}
return count
}
```
=== "Zig"
```zig title="time_complexity.zig"
// 线性对数阶
fn linearLogRecur(n: f32) i32 {
if (n <= 1) return 1;
var count: i32 = linearLogRecur(n / 2) +
linearLogRecur(n / 2);
var i: f32 = 0;
while (i < n) : (i += 1) {
count += 1;
}
return count;
}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
/* 线性对数阶 */
int linearLogRecur(num n) {
if (n <= 1) return 1;
int count = linearLogRecur(n / 2) + linearLogRecur(n / 2);
for (var i = 0; i < n; i++) {
count++;
}
return count;
}
```
![线性对数阶的时间复杂度](time_complexity.assets/time_complexity_logarithmic_linear.png)
<p align="center"> Fig. 线性对数阶的时间复杂度 </p>
### 阶乘阶 $O(n!)$
阶乘阶对应数学上的「全排列」问题。给定 $n$ 个互不重复的元素，求其所有可能的排列方案，方案数量为：
$$
n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \cdots \times 2 \times 1
$$
阶乘通常使用递归实现。例如以下代码，第一层分裂出 $n$ 个，第二层分裂出 $n - 1$ 个，以此类推，直至第 $n$ 层时终止分裂。
=== "Java"
```java title="time_complexity.java"
/* 阶乘阶（递归实现） */
int factorialRecur(int n) {
if (n == 0)
return 1;
int count = 0;
// 从 1 个分裂出 n 个
for (int i = 0; i < n; i++) {
count += factorialRecur(n - 1);
}
return count;
}
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity.cpp"
/* 阶乘阶（递归实现） */
int factorialRecur(int n) {
if (n == 0)
return 1;
int count = 0;
// 从 1 个分裂出 n 个
for (int i = 0; i < n; i++) {
count += factorialRecur(n - 1);
}
return count;
}
```
=== "Python"
```python title="time_complexity.py"
def factorial_recur(n: int) -> int:
"""阶乘阶（递归实现）"""
if n == 0:
return 1
count = 0
# 从 1 个分裂出 n 个
for _ in range(n):
count += factorial_recur(n - 1)
return count
```
=== "Go"
```go title="time_complexity.go"
/* 阶乘阶（递归实现） */
func factorialRecur(n int) int {
if n == 0 {
return 1
}
count := 0
// 从 1 个分裂出 n 个
for i := 0; i < n; i++ {
count += factorialRecur(n - 1)
}
return count
}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="time_complexity.js"
/* 阶乘阶（递归实现） */
function factorialRecur(n) {
if (n == 0) return 1;
let count = 0;
// 从 1 个分裂出 n 个
for (let i = 0; i < n; i++) {
count += factorialRecur(n - 1);
}
return count;
}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="time_complexity.ts"
/* 阶乘阶（递归实现） */
function factorialRecur(n: number): number {
if (n == 0) return 1;
let count = 0;
// 从 1 个分裂出 n 个
for (let i = 0; i < n; i++) {
count += factorialRecur(n - 1);
}
return count;
}
```
=== "C"
```c title="time_complexity.c"
/* 阶乘阶（递归实现） */
int factorialRecur(int n) {
if (n == 0)
return 1;
int count = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
count += factorialRecur(n - 1);
}
return count;
}
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity.cs"
/* 阶乘阶（递归实现） */
int factorialRecur(int n) {
if (n == 0) return 1;
int count = 0;
// 从 1 个分裂出 n 个
for (int i = 0; i < n; i++) {
count += factorialRecur(n - 1);
}
return count;
}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
/* 阶乘阶（递归实现） */
func factorialRecur(n: Int) -> Int {
if n == 0 {
return 1
}
var count = 0
// 从 1 个分裂出 n 个
for _ in 0 ..< n {
count += factorialRecur(n: n - 1)
}
return count
}
```
=== "Zig"
```zig title="time_complexity.zig"
// 阶乘阶（递归实现）
fn factorialRecur(n: i32) i32 {
if (n == 0) return 1;
var count: i32 = 0;
var i: i32 = 0;
// 从 1 个分裂出 n 个
while (i < n) : (i += 1) {
count += factorialRecur(n - 1);
}
return count;
}
```
=== "Dart"
```dart title="time_complexity.dart"
/* 阶乘阶（递归实现） */
int factorialRecur(int n) {
if (n == 0) return 1;
int count = 0;
// 从 1 个分裂出 n 个
for (var i = 0; i < n; i++) {
count += factorialRecur(n - 1);
}
return count;
}
```
![阶乘阶的时间复杂度](time_complexity.assets/time_complexity_factorial.png)
<p align="center"> Fig. 阶乘阶的时间复杂度 </p>
## 2.2.6. &nbsp; 最差、最佳、平均时间复杂度
**某些算法的时间复杂度不是固定的，而是与输入数据的分布有关**。例如，假设输入一个长度为 $n$ 的数组 `nums` ，其中 `nums` 由从 $1$ 至 $n$ 的数字组成，但元素顺序是随机打乱的；算法的任务是返回元素 $1$ 的索引。我们可以得出以下结论：
- 当 `nums = [?, ?, ..., 1]` ，即当末尾元素是 $1$ 时，需要完整遍历数组，此时达到 **最差时间复杂度 $O(n)$**；
- 当 `nums = [1, ?, ?, ...]` ，即当首个数字为 $1$ 时，无论数组多长都不需要继续遍历，此时达到 **最佳时间复杂度 $\Omega(1)$**；
“函数渐近上界”使用大 $O$ 记号表示，代表「最差时间复杂度」。相应地，“函数渐近下界”用 $\Omega$ 记号来表示，代表「最佳时间复杂度」。
=== "Java"
```java title="worst_best_time_complexity.java"
/* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */
int[] randomNumbers(int n) {
Integer[] nums = new Integer[n];
// 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
for (int i = 0; i < n; i++) {
nums[i] = i + 1;
}
// 随机打乱数组元素
Collections.shuffle(Arrays.asList(nums));
// Integer[] -> int[]
int[] res = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
res[i] = nums[i];
}
return res;
}
/* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
int findOne(int[] nums) {
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
// 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
// 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
if (nums[i] == 1)
return i;
}
return -1;
}
```
=== "C++"
```cpp title="worst_best_time_complexity.cpp"
/* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */
vector<int> randomNumbers(int n) {
vector<int> nums(n);
// 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
for (int i = 0; i < n; i++) {
nums[i] = i + 1;
}
// 使用系统时间生成随机种子
unsigned seed = chrono::system_clock::now().time_since_epoch().count();
// 随机打乱数组元素
shuffle(nums.begin(), nums.end(), default_random_engine(seed));
return nums;
}
/* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
int findOne(vector<int> &nums) {
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
// 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
// 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
if (nums[i] == 1)
return i;
}
return -1;
}
```
=== "Python"
```python title="worst_best_time_complexity.py"
def random_numbers(n: int) -> list[int]:
"""生成一个数组，元素为: 1, 2, ..., n ，顺序被打乱"""
# 生成数组 nums =: 1, 2, 3, ..., n
nums = [i for i in range(1, n + 1)]
# 随机打乱数组元素
random.shuffle(nums)
return nums
def find_one(nums: list[int]) -> int:
"""查找数组 nums 中数字 1 所在索引"""
for i in range(len(nums)):
# 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
# 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
if nums[i] == 1:
return i
return -1
```
=== "Go"
```go title="worst_best_time_complexity.go"
/* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */
func randomNumbers(n int) []int {
nums := make([]int, n)
// 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
for i := 0; i < n; i++ {
nums[i] = i + 1
}
// 随机打乱数组元素
rand.Shuffle(len(nums), func(i, j int) {
nums[i], nums[j] = nums[j], nums[i]
})
return nums
}
/* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
func findOne(nums []int) int {
for i := 0; i < len(nums); i++ {
// 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
// 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
if nums[i] == 1 {
return i
}
}
return -1
}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="worst_best_time_complexity.js"
/* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */
function randomNumbers(n) {
const nums = Array(n);
// 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
for (let i = 0; i < n; i++) {
nums[i] = i + 1;
}
// 随机打乱数组元素
for (let i = 0; i < n; i++) {
const r = Math.floor(Math.random() * (i + 1));
const temp = nums[i];
nums[i] = nums[r];
nums[r] = temp;
}
return nums;
}
/* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
function findOne(nums) {
for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
// 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
// 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
if (nums[i] === 1) {
return i;
}
}
return -1;
}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="worst_best_time_complexity.ts"
/* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */
function randomNumbers(n: number): number[] {
const nums = Array(n);
// 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
for (let i = 0; i < n; i++) {
nums[i] = i + 1;
}
// 随机打乱数组元素
for (let i = 0; i < n; i++) {
const r = Math.floor(Math.random() * (i + 1));
const temp = nums[i];
nums[i] = nums[r];
nums[r] = temp;
}
return nums;
}
/* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
function findOne(nums: number[]): number {
for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
// 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
// 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
if (nums[i] === 1) {
return i;
}
}
return -1;
}
```
=== "C"
```c title="worst_best_time_complexity.c"
/* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */
int *randomNumbers(int n) {
// 分配堆区内存（创建一维可变长数组：数组中元素数量为n，元素类型为int）
int *nums = (int *)malloc(n * sizeof(int));
// 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
for (int i = 0; i < n; i++) {
nums[i] = i + 1;
}
// 随机打乱数组元素
for (int i = n - 1; i > 0; i--) {
int j = rand() % (i + 1);
int temp = nums[i];
nums[i] = nums[j];
nums[j] = temp;
}
return nums;
}
/* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
int findOne(int *nums, int n) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
// 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
// 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
if (nums[i] == 1)
return i;
}
return -1;
}
```
=== "C#"
```csharp title="worst_best_time_complexity.cs"
/* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */
int[] randomNumbers(int n) {
int[] nums = new int[n];
// 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
for (int i = 0; i < n; i++) {
nums[i] = i + 1;
}
// 随机打乱数组元素
for (int i = 0; i < nums.Length; i++) {
var index = new Random().Next(i, nums.Length);
var tmp = nums[i];
var ran = nums[index];
nums[i] = ran;
nums[index] = tmp;
}
return nums;
}
/* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
int findOne(int[] nums) {
for (int i = 0; i < nums.Length; i++) {
// 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
// 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
if (nums[i] == 1)
return i;
}
return -1;
}
```
=== "Swift"
```swift title="worst_best_time_complexity.swift"
/* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */
func randomNumbers(n: Int) -> [Int] {
// 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
var nums = Array(1 ... n)
// 随机打乱数组元素
nums.shuffle()
return nums
}
/* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
func findOne(nums: [Int]) -> Int {
for i in nums.indices {
// 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
// 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
if nums[i] == 1 {
return i
}
}
return -1
}
```
=== "Zig"
```zig title="worst_best_time_complexity.zig"
// 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱
pub fn randomNumbers(comptime n: usize) [n]i32 {
var nums: [n]i32 = undefined;
// 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
for (nums) |*num, i| {
num.* = @intCast(i32, i) + 1;
}
// 随机打乱数组元素
const rand = std.crypto.random;
rand.shuffle(i32, &nums);
return nums;
}
// 查找数组 nums 中数字 1 所在索引
pub fn findOne(nums: []i32) i32 {
for (nums) |num, i| {
// 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
// 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
if (num == 1) return @intCast(i32, i);
}
return -1;
}
```
=== "Dart"
```dart title="worst_best_time_complexity.dart"
/* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */
List<int> randomNumbers(int n) {
final nums = List.filled(n, 0);
// 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
for (var i = 0; i < n; i++) {
nums[i] = i + 1;
}
// 随机打乱数组元素
nums.shuffle();
return nums;
}
/* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
int findOne(List<int> nums) {
for (var i = 0; i < nums.length; i++) {
// 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
// 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
if (nums[i] == 1) return i;
}
return -1;
}
```
!!! tip
实际应用中我们很少使用「最佳时间复杂度」，因为通常只有在很小概率下才能达到，可能会带来一定的误导性。相反，「最差时间复杂度」更为实用，因为它给出了一个“效率安全值”，让我们可以放心地使用算法。
从上述示例可以看出，最差或最佳时间复杂度只出现在“特殊分布的数据”中，这些情况的出现概率可能很小，因此并不能最真实地反映算法运行效率。相较之下，**「平均时间复杂度」可以体现算法在随机输入数据下的运行效率**，用 $\Theta$ 记号来表示。
对于部分算法，我们可以简单地推算出随机数据分布下的平均情况。比如上述示例，由于输入数组是被打乱的，因此元素 $1$ 出现在任意索引的概率都是相等的，那么算法的平均循环次数则是数组长度的一半 $\frac{n}{2}$ ，平均时间复杂度为 $\Theta(\frac{n}{2}) = \Theta(n)$ 。
但在实际应用中，尤其是较为复杂的算法，计算平均时间复杂度比较困难，因为很难简便地分析出在数据分布下的整体数学期望。在这种情况下，我们通常使用最差时间复杂度作为算法效率的评判标准。
!!! question "为什么很少看到 $\Theta$ 符号？"
可能由于 $O$ 符号过于朗朗上口，我们常常使用它来表示「平均复杂度」，但从严格意义上看，这种做法并不规范。在本书和其他资料中，若遇到类似“平均时间复杂度 $O(n)$”的表述，请将其直接理解为 $\Theta(n)$ 。
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