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15.2 分数背包问题

!!! question

给定 $n$ 个物品，第 $i$ 个物品的重量为 $wgt[i-1]$、价值为 $val[i-1]$ ，和一个容量为 $cap$ 的背包。每个物品只能选择一次，**但可以选择物品的一部分，价值根据选择的重量比例计算**，问在不超过背包容量下背包中物品的最大价值。

图 15-3 分数背包问题的示例数据

分数背包和 0-1 背包整体上非常相似，状态包含当前物品 i 和容量 c ，目标是求不超过背包容量下的最大价值。

不同点在于，本题允许只选择物品的一部分。如图 15-4 所示，我们可以对物品任意地进行切分，并按照重量比例来计算物品价值。

对于物品 i ，它在单位重量下的价值为 val[i-1] / wgt[i-1] ，简称为单位价值。
假设放入一部分物品 i ，重量为 w ，则背包增加的价值为 w \times val[i-1] / wgt[i-1] 。

图 15-4 物品在单位重量下的价值

1. 贪心策略确定

最大化背包内物品总价值，本质上是要最大化单位重量下的物品价值。由此便可推出图 15-5 所示的贪心策略。

将物品按照单位价值从高到低进行排序。
遍历所有物品，每轮贪心地选择单位价值最高的物品。
若剩余背包容量不足，则使用当前物品的一部分填满背包即可。

图 15-5 分数背包的贪心策略

2. 代码实现

我们建立了一个物品类 Item ，以便将物品按照单位价值进行排序。循环进行贪心选择，当背包已满时跳出并返回解。

=== "Python"

```python title="fractional_knapsack.py"
class Item:
    """物品"""

    def __init__(self, w: int, v: int):
        self.w = w  # 物品重量
        self.v = v  # 物品价值

def fractional_knapsack(wgt: list[int], val: list[int], cap: int) -> int:
    """分数背包：贪心"""
    # 创建物品列表，包含两个属性：重量、价值
    items = [Item(w, v) for w, v in zip(wgt, val)]
    # 按照单位价值 item.v / item.w 从高到低进行排序
    items.sort(key=lambda item: item.v / item.w, reverse=True)
    # 循环贪心选择
    res = 0
    for item in items:
        if item.w <= cap:
            # 若剩余容量充足，则将当前物品整个装进背包
            res += item.v
            cap -= item.w
        else:
            # 若剩余容量不足，则将当前物品的一部分装进背包
            res += (item.v / item.w) * cap
            # 已无剩余容量，因此跳出循环
            break
    return res
```

=== "C++"

```cpp title="fractional_knapsack.cpp"
/* 物品 */
class Item {
  public:
    int w; // 物品重量
    int v; // 物品价值

    Item(int w, int v) : w(w), v(v) {
    }
};

/* 分数背包：贪心 */
double fractionalKnapsack(vector<int> &wgt, vector<int> &val, int cap) {
    // 创建物品列表，包含两个属性：重量、价值
    vector<Item> items;
    for (int i = 0; i < wgt.size(); i++) {
        items.push_back(Item(wgt[i], val[i]));
    }
    // 按照单位价值 item.v / item.w 从高到低进行排序
    sort(items.begin(), items.end(), [](Item &a, Item &b) { return (double)a.v / a.w > (double)b.v / b.w; });
    // 循环贪心选择
    double res = 0;
    for (auto &item : items) {
        if (item.w <= cap) {
            // 若剩余容量充足，则将当前物品整个装进背包
            res += item.v;
            cap -= item.w;
        } else {
            // 若剩余容量不足，则将当前物品的一部分装进背包
            res += (double)item.v / item.w * cap;
            // 已无剩余容量，因此跳出循环
            break;
        }
    }
    return res;
}
```

=== "Java"

```java title="fractional_knapsack.java"
/* 物品 */
class Item {
    int w; // 物品重量
    int v; // 物品价值

    public Item(int w, int v) {
        this.w = w;
        this.v = v;
    }
}

/* 分数背包：贪心 */
double fractionalKnapsack(int[] wgt, int[] val, int cap) {
    // 创建物品列表，包含两个属性：重量、价值
    Item[] items = new Item[wgt.length];
    for (int i = 0; i < wgt.length; i++) {
        items[i] = new Item(wgt[i], val[i]);
    }
    // 按照单位价值 item.v / item.w 从高到低进行排序
    Arrays.sort(items, Comparator.comparingDouble(item -> -((double) item.v / item.w)));
    // 循环贪心选择
    double res = 0;
    for (Item item : items) {
        if (item.w <= cap) {
            // 若剩余容量充足，则将当前物品整个装进背包
            res += item.v;
            cap -= item.w;
        } else {
            // 若剩余容量不足，则将当前物品的一部分装进背包
            res += (double) item.v / item.w * cap;
            // 已无剩余容量，因此跳出循环
            break;
        }
    }
    return res;
}
```

=== "C#"

```csharp title="fractional_knapsack.cs"
/* 物品 */
class Item {
    public int w; // 物品重量
    public int v; // 物品价值

    public Item(int w, int v) {
        this.w = w;
        this.v = v;
    }
}

/* 分数背包：贪心 */
double FractionalKnapsack(int[] wgt, int[] val, int cap) {
    // 创建物品列表，包含两个属性：重量、价值
    Item[] items = new Item[wgt.Length];
    for (int i = 0; i < wgt.Length; i++) {
        items[i] = new Item(wgt[i], val[i]);
    }
    // 按照单位价值 item.v / item.w 从高到低进行排序
    Array.Sort(items, (x, y) => (y.v / y.w).CompareTo(x.v / x.w));
    // 循环贪心选择
    double res = 0;
    foreach (Item item in items) {
        if (item.w <= cap) {
            // 若剩余容量充足，则将当前物品整个装进背包
            res += item.v;
            cap -= item.w;
        } else {
            // 若剩余容量不足，则将当前物品的一部分装进背包
            res += (double)item.v / item.w * cap;
            // 已无剩余容量，因此跳出循环
            break;
        }
    }
    return res;
}
```

=== "Go"

```go title="fractional_knapsack.go"
/* 物品 */
type Item struct {
    w int // 物品重量
    v int // 物品价值
}

/* 分数背包：贪心 */
func fractionalKnapsack(wgt []int, val []int, cap int) float64 {
    // 创建物品列表，包含两个属性：重量、价值
    items := make([]Item, len(wgt))
    for i := 0; i < len(wgt); i++ {
        items[i] = Item{wgt[i], val[i]}
    }
    // 按照单位价值 item.v / item.w 从高到低进行排序
    sort.Slice(items, func(i, j int) bool {
        return float64(items[i].v)/float64(items[i].w) > float64(items[j].v)/float64(items[j].w)
    })
    // 循环贪心选择
    res := 0.0
    for _, item := range items {
        if item.w <= cap {
            // 若剩余容量充足，则将当前物品整个装进背包
            res += float64(item.v)
            cap -= item.w
        } else {
            // 若剩余容量不足，则将当前物品的一部分装进背包
            res += float64(item.v) / float64(item.w) * float64(cap)
            // 已无剩余容量，因此跳出循环
            break
        }
    }
    return res
}
```

=== "Swift"

```swift title="fractional_knapsack.swift"
/* 物品 */
class Item {
    var w: Int // 物品重量
    var v: Int // 物品价值

    init(w: Int, v: Int) {
        self.w = w
        self.v = v
    }
}

/* 分数背包：贪心 */
func fractionalKnapsack(wgt: [Int], val: [Int], cap: Int) -> Double {
    // 创建物品列表，包含两个属性：重量、价值
    var items = zip(wgt, val).map { Item(w: $0, v: $1) }
    // 按照单位价值 item.v / item.w 从高到低进行排序
    items.sort(by: { -(Double($0.v) / Double($0.w)) < -(Double($1.v) / Double($1.w)) })
    // 循环贪心选择
    var res = 0.0
    var cap = cap
    for item in items {
        if item.w <= cap {
            // 若剩余容量充足，则将当前物品整个装进背包
            res += Double(item.v)
            cap -= item.w
        } else {
            // 若剩余容量不足，则将当前物品的一部分装进背包
            res += Double(item.v) / Double(item.w) * Double(cap)
            // 已无剩余容量，因此跳出循环
            break
        }
    }
    return res
}
```

=== "JS"

```javascript title="fractional_knapsack.js"
/* 物品 */
class Item {
    constructor(w, v) {
        this.w = w; // 物品重量
        this.v = v; // 物品价值
    }
}

/* 分数背包：贪心 */
function fractionalKnapsack(wgt, val, cap) {
    // 创建物品列表，包含两个属性：重量、价值
    const items = wgt.map((w, i) => new Item(w, val[i]));
    // 按照单位价值 item.v / item.w 从高到低进行排序
    items.sort((a, b) => b.v / b.w - a.v / a.w);
    // 循环贪心选择
    let res = 0;
    for (const item of items) {
        if (item.w <= cap) {
            // 若剩余容量充足，则将当前物品整个装进背包
            res += item.v;
            cap -= item.w;
        } else {
            // 若剩余容量不足，则将当前物品的一部分装进背包
            res += (item.v / item.w) * cap;
            // 已无剩余容量，因此跳出循环
            break;
        }
    }
    return res;
}
```

=== "TS"

```typescript title="fractional_knapsack.ts"
/* 物品 */
class Item {
    w: number; // 物品重量
    v: number; // 物品价值

    constructor(w: number, v: number) {
        this.w = w;
        this.v = v;
    }
}

/* 分数背包：贪心 */
function fractionalKnapsack(wgt: number[], val: number[], cap: number): number {
    // 创建物品列表，包含两个属性：重量、价值
    const items: Item[] = wgt.map((w, i) => new Item(w, val[i]));
    // 按照单位价值 item.v / item.w 从高到低进行排序
    items.sort((a, b) => b.v / b.w - a.v / a.w);
    // 循环贪心选择
    let res = 0;
    for (const item of items) {
        if (item.w <= cap) {
            // 若剩余容量充足，则将当前物品整个装进背包
            res += item.v;
            cap -= item.w;
        } else {
            // 若剩余容量不足，则将当前物品的一部分装进背包
            res += (item.v / item.w) * cap;
            // 已无剩余容量，因此跳出循环
            break;
        }
    }
    return res;
}
```

=== "Dart"

```dart title="fractional_knapsack.dart"
/* 物品 */
class Item {
  int w; // 物品重量
  int v; // 物品价值

  Item(this.w, this.v);
}

/* 分数背包：贪心 */
double fractionalKnapsack(List<int> wgt, List<int> val, int cap) {
  // 创建物品列表，包含两个属性：重量、价值
  List<Item> items = List.generate(wgt.length, (i) => Item(wgt[i], val[i]));
  // 按照单位价值 item.v / item.w 从高到低进行排序
  items.sort((a, b) => (b.v / b.w).compareTo(a.v / a.w));
  // 循环贪心选择
  double res = 0;
  for (Item item in items) {
    if (item.w <= cap) {
      // 若剩余容量充足，则将当前物品整个装进背包
      res += item.v;
      cap -= item.w;
    } else {
      // 若剩余容量不足，则将当前物品的一部分装进背包
      res += item.v / item.w * cap;
      // 已无剩余容量，因此跳出循环
      break;
    }
  }
  return res;
}
```

=== "Rust"

```rust title="fractional_knapsack.rs"
/* 物品 */
struct Item {
    w: i32, // 物品重量
    v: i32, // 物品价值
}

impl Item {
    fn new(w: i32, v: i32) -> Self {
        Self { w, v }
    }
}

/* 分数背包：贪心 */
fn fractional_knapsack(wgt: &[i32], val: &[i32], mut cap: i32) -> f64 {
    // 创建物品列表，包含两个属性：重量、价值
    let mut items = wgt
        .iter()
        .zip(val.iter())
        .map(|(&w, &v)| Item::new(w, v))
        .collect::<Vec<Item>>();
    // 按照单位价值 item.v / item.w 从高到低进行排序
    items.sort_by(|a, b| {
        (b.v as f64 / b.w as f64)
            .partial_cmp(&(a.v as f64 / a.w as f64))
            .unwrap()
    });
    // 循环贪心选择
    let mut res = 0.0;
    for item in &items {
        if item.w <= cap {
            // 若剩余容量充足，则将当前物品整个装进背包
            res += item.v as f64;
            cap -= item.w;
        } else {
            // 若剩余容量不足，则将当前物品的一部分装进背包
            res += item.v as f64 / item.w as f64 * cap as f64;
            // 已无剩余容量，因此跳出循环
            break;
        }
    }
    res
}
```

=== "C"

```c title="fractional_knapsack.c"
/* 物品 */
typedef struct {
    int w; // 物品重量
    int v; // 物品价值
} Item;

/* 分数背包：贪心 */
float fractionalKnapsack(int wgt[], int val[], int itemCount, int cap) {
    // 创建物品列表，包含两个属性：重量、价值
    Item *items = malloc(sizeof(Item) * itemCount);
    for (int i = 0; i < itemCount; i++) {
        items[i] = (Item){.w = wgt[i], .v = val[i]};
    }
    // 按照单位价值 item.v / item.w 从高到低进行排序
    qsort(items, (size_t)itemCount, sizeof(Item), sortByValueDensity);
    // 循环贪心选择
    float res = 0.0;
    for (int i = 0; i < itemCount; i++) {
        if (items[i].w <= cap) {
            // 若剩余容量充足，则将当前物品整个装进背包
            res += items[i].v;
            cap -= items[i].w;
        } else {
            // 若剩余容量不足，则将当前物品的一部分装进背包
            res += (float)cap / items[i].w * items[i].v;
            cap = 0;
            break;
        }
    }
    free(items);
    return res;
}
```

=== "Zig"

```zig title="fractional_knapsack.zig"
[class]{Item}-[func]{}

[class]{}-[func]{fractionalKnapsack}
```

最差情况下，需要遍历整个物品列表，因此时间复杂度为 $O(n)$ ，其中 n 为物品数量。

由于初始化了一个 Item 对象列表，因此空间复杂度为 $O(n)$ 。

3. 正确性证明

采用反证法。假设物品 x 是单位价值最高的物品，使用某算法求得最大价值为 res ，但该解中不包含物品 x 。

现在从背包中拿出单位重量的任意物品，并替换为单位重量的物品 x 。由于物品 x 的单位价值最高，因此替换后的总价值一定大于 res 。这与 res 是最优解矛盾，说明最优解中必须包含物品 $x$ 。

对于该解中的其他物品，我们也可以构建出上述矛盾。总而言之，单位价值更大的物品总是更优选择，这说明贪心策略是有效的。

如图 15-6 所示，如果将物品重量和物品单位价值分别看作一个 2D 图表的横轴和纵轴，则分数背包问题可被转化为“求在有限横轴区间下的最大围成面积”。这个类比可以帮助我们从几何角度理解贪心策略的有效性。

图 15-6 分数背包问题的几何表示

17 KiB Raw Blame History

15.2 分数背包问题

1. 贪心策略确定

2. 代码实现

3. 正确性证明

17 KiB

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