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# 二分查找
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「二分查找 Binary Search」是一种基于分治思想的高效搜索算法。它利用数据的有序性，每轮减少一半搜索范围，实现定位目标元素。
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我们先来求解一个简单的二分查找问题。
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!!! question "给定一个长度为 $n$ 的有序数组 `nums` ，元素按从小到大的顺序排列。查找并返回元素 `target` 在该数组中的索引。若数组中不包含该元素，则返回 $-1$ 。数组中不包含重复元素。"
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该数组的索引范围可以使用区间 $[0, n - 1]$ 来表示。其中，**中括号表示“闭区间”，即包含边界值本身**。在该表示下，区间 $[i, j]$ 在 $i = j$ 时仍包含一个元素，在 $i > j$ 时为空区间。
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接下来，我们基于上述区间定义实现二分查找。先初始化指针 $i = 0$ 和 $j = n - 1$ ，分别指向数组首元素和尾元素。之后循环执行以下两个步骤:
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1. 计算中点索引 $m = \lfloor {(i + j) / 2} \rfloor$ ，其中 $\lfloor \space \rfloor$ 表示向下取整操作。
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2. 根据 `nums[m]` 和 `target` 缩小搜索区间，分为三种情况：
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1. 当 `nums[m] < target` 时，说明 `target` 在区间 $[m + 1, j]$ 中，因此执行 $i = m + 1$ ；
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2. 当 `nums[m] > target` 时，说明 `target` 在区间 $[i, m - 1]$ 中，因此执行 $j = m - 1$ ；
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3. 当 `nums[m] = target` 时，说明找到目标元素，直接返回索引 $m$ 即可；
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**若数组不包含目标元素，搜索区间最终会缩小为空**，即达到 $i > j$ 。此时，终止循环并返回 $-1$ 即可。
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为了更清晰地表示区间，我们在下图中以折线图的形式表示数组。
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=== "<0>"
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=== "<1>"
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=== "<2>"
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=== "<3>"
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=== "<4>"
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=== "<5>"
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=== "<6>"
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=== "<7>"
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值得注意的是，**当数组长度 $n$ 很大时，加法 $i + j$ 的结果可能会超出 `int` 类型的取值范围**。为了避免大数越界，我们通常采用公式 $m = \lfloor {i + (j - i) / 2} \rfloor$ 来计算中点。
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有趣的是，理论上 Python 的数字可以无限大（取决于内存大小），因此无需考虑大数越界问题。
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=== "Java"
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```java title="binary_search.java"
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[class]{binary_search}-[func]{binarySearch}
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```
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=== "C++"
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```cpp title="binary_search.cpp"
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[class]{}-[func]{binarySearch}
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```
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=== "Python"
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```python title="binary_search.py"
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[class]{}-[func]{binary_search}
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```
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=== "Go"
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```go title="binary_search.go"
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[class]{}-[func]{binarySearch}
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```
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=== "JavaScript"
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```javascript title="binary_search.js"
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[class]{}-[func]{binarySearch}
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```
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=== "TypeScript"
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```typescript title="binary_search.ts"
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[class]{}-[func]{binarySearch}
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```
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=== "C"
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```c title="binary_search.c"
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[class]{}-[func]{binarySearch}
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```
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=== "C#"
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```csharp title="binary_search.cs"
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[class]{binary_search}-[func]{binarySearch}
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```
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=== "Swift"
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```swift title="binary_search.swift"
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[class]{}-[func]{binarySearch}
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```
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=== "Zig"
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```zig title="binary_search.zig"
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[class]{}-[func]{binarySearch}
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```
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时间复杂度为 $O(\log n)$ 。每轮缩小一半区间，因此二分循环次数为 $\log_2 n$ 。
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空间复杂度为 $O(1)$ 。指针 `i` , `j` 使用常数大小空间。
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## 区间表示方法
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除了上述的双闭区间外，常见的区间表示还有“左闭右开”区间，定义为 $[0, n)$ ，即左边界包含自身，右边界不包含自身。在该表示下，区间 $[i, j]$ 在 $i = j$ 时为空。
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我们可以基于该表示实现具有相同功能的二分查找算法。
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=== "Java"
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```java title="binary_search.java"
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[class]{binary_search}-[func]{binarySearchLCRO}
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```
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=== "C++"
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```cpp title="binary_search.cpp"
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[class]{}-[func]{binarySearchLCRO}
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```
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=== "Python"
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```python title="binary_search.py"
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[class]{}-[func]{binary_search_lcro}
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```
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=== "Go"
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```go title="binary_search.go"
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[class]{}-[func]{binarySearchLCRO}
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```
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=== "JavaScript"
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```javascript title="binary_search.js"
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[class]{}-[func]{binarySearchLCRO}
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```
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=== "TypeScript"
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```typescript title="binary_search.ts"
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[class]{}-[func]{binarySearchLCRO}
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=== "C"
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```c title="binary_search.c"
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[class]{}-[func]{binarySearchLCRO}
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```
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=== "C#"
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```csharp title="binary_search.cs"
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[class]{binary_search}-[func]{binarySearchLCRO}
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```
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=== "Swift"
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```swift title="binary_search.swift"
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[class]{}-[func]{binarySearchLCRO}
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```
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=== "Zig"
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```zig title="binary_search.zig"
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[class]{}-[func]{binarySearchLCRO}
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```
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如下图所示，在两种区间表示下，二分查找算法的初始化、循环条件和缩小区间操作皆有所不同。
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在“双闭区间”表示法中，由于左右边界都被定义为闭区间，因此指针 $i$ 和 $j$ 缩小区间操作也是对称的。这样更不容易出错。因此，**我们通常采用“双闭区间”的写法**。
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## 优点与局限性
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二分查找效率很高，主要体现在：
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- **二分查找的时间复杂度较低**。对数阶在大数据量情况下具有显著优势。例如，当数据大小 $n = 2^{20}$ 时，线性查找需要 $2^{20} = 1048576$ 轮循环，而二分查找仅需 $\log_2 2^{20} = 20$ 轮循环。
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- **二分查找无需额外空间**。与哈希查找相比，二分查找更加节省空间。
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然而，并非所有情况下都可使用二分查找，原因如下：
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- **二分查找仅适用于有序数据**。若输入数据无序，为了使用二分查找而专门进行排序，得不偿失。因为排序算法的时间复杂度通常为 $O(n \log n)$ ，比线性查找和二分查找都更高。对于频繁插入元素的场景，为保持数组有序性，需要将元素插入到特定位置，时间复杂度为 $O(n)$ ，也是非常昂贵的。
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- **二分查找仅适用于数组**。二分查找需要跳跃式（非连续地）访问元素，而在链表中执行跳跃式访问的效率较低，因此不适合应用在链表或基于链表实现的数据结构。
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- **小数据量下，线性查找性能更佳**。在线性查找中，每轮只需要 1 次判断操作；而在二分查找中，需要 1 次加法、1 次除法、1 ~ 3 次判断操作、1 次加法（减法），共 4 ~ 6 个单元操作；因此，当数据量 $n$ 较小时，线性查找反而比二分查找更快。
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