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二分查找
「二分查找 Binary Search」是一种基于分治思想的高效搜索算法。它利用数据的有序性，每轮减少一半搜索范围，实现定位目标元素。
我们先来求解一个简单的二分查找问题。
!!! question "给定一个长度为 n 的有序数组 nums ，元素按从小到大的顺序排列。查找并返回元素 target 在该数组中的索引。若数组中不包含该元素，则返回 -1 。数组中不包含重复元素。"
该数组的索引范围可以使用区间 [0, n - 1] 来表示。其中，中括号表示“闭区间”，即包含边界值本身。在该表示下，区间 [i, j] 在 i = j 时仍包含一个元素，在 i > j 时为空区间。
接下来，我们基于上述区间定义实现二分查找。先初始化指针 i = 0 和 j = n - 1 ，分别指向数组首元素和尾元素。之后循环执行以下两个步骤:
- 计算中点索引
m = \lfloor {(i + j) / 2} \rfloor，其中\lfloor \space \rfloor表示向下取整操作。 - 根据
nums[m]和target缩小搜索区间，分为三种情况：- 当
nums[m] < target时，说明target在区间[m + 1, j]中，因此执行i = m + 1； - 当
nums[m] > target时，说明target在区间[i, m - 1]中，因此执行j = m - 1； - 当
nums[m] = target时，说明找到目标元素，直接返回索引m即可；
- 当
若数组不包含目标元素，搜索区间最终会缩小为空，即达到 i > j 。此时，终止循环并返回 -1 即可。
为了更清晰地表示区间，我们在下图中以折线图的形式表示数组。
=== "<0>"
=== "<1>"
=== "<2>"
=== "<3>"
=== "<4>"
=== "<5>"
=== "<6>"
=== "<7>"
值得注意的是，当数组长度 n 很大时，加法 i + j 的结果可能会超出 int 类型的取值范围。为了避免大数越界，我们通常采用公式 m = \lfloor {i + (j - i) / 2} \rfloor 来计算中点。
有趣的是，理论上 Python 的数字可以无限大（取决于内存大小），因此无需考虑大数越界问题。
=== "Java"
```java title="binary_search.java"
[class]{binary_search}-[func]{binarySearch}
```
=== "C++"
```cpp title="binary_search.cpp"
[class]{}-[func]{binarySearch}
```
=== "Python"
```python title="binary_search.py"
[class]{}-[func]{binary_search}
```
=== "Go"
```go title="binary_search.go"
[class]{}-[func]{binarySearch}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="binary_search.js"
[class]{}-[func]{binarySearch}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="binary_search.ts"
[class]{}-[func]{binarySearch}
```
=== "C"
```c title="binary_search.c"
[class]{}-[func]{binarySearch}
```
=== "C#"
```csharp title="binary_search.cs"
[class]{binary_search}-[func]{binarySearch}
```
=== "Swift"
```swift title="binary_search.swift"
[class]{}-[func]{binarySearch}
```
=== "Zig"
```zig title="binary_search.zig"
[class]{}-[func]{binarySearch}
```
时间复杂度为 O(\log n) 。每轮缩小一半区间，因此二分循环次数为 \log_2 n 。
空间复杂度为 O(1) 。指针 i , j 使用常数大小空间。
区间表示方法
除了上述的双闭区间外，常见的区间表示还有“左闭右开”区间，定义为 [0, n) ，即左边界包含自身，右边界不包含自身。在该表示下，区间 [i, j] 在 i = j 时为空。
我们可以基于该表示实现具有相同功能的二分查找算法。
=== "Java"
```java title="binary_search.java"
[class]{binary_search}-[func]{binarySearchLCRO}
```
=== "C++"
```cpp title="binary_search.cpp"
[class]{}-[func]{binarySearchLCRO}
```
=== "Python"
```python title="binary_search.py"
[class]{}-[func]{binary_search_lcro}
```
=== "Go"
```go title="binary_search.go"
[class]{}-[func]{binarySearchLCRO}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="binary_search.js"
[class]{}-[func]{binarySearchLCRO}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="binary_search.ts"
[class]{}-[func]{binarySearchLCRO}
```
=== "C"
```c title="binary_search.c"
[class]{}-[func]{binarySearchLCRO}
```
=== "C#"
```csharp title="binary_search.cs"
[class]{binary_search}-[func]{binarySearchLCRO}
```
=== "Swift"
```swift title="binary_search.swift"
[class]{}-[func]{binarySearchLCRO}
```
=== "Zig"
```zig title="binary_search.zig"
[class]{}-[func]{binarySearchLCRO}
```
如下图所示，在两种区间表示下，二分查找算法的初始化、循环条件和缩小区间操作皆有所不同。
在“双闭区间”表示法中，由于左右边界都被定义为闭区间，因此指针 i 和 j 缩小区间操作也是对称的。这样更不容易出错。因此，我们通常采用“双闭区间”的写法。
优点与局限性
二分查找效率很高，主要体现在：
- 二分查找的时间复杂度较低。对数阶在大数据量情况下具有显著优势。例如，当数据大小
n = 2^{20}时，线性查找需要2^{20} = 1048576轮循环，而二分查找仅需\log_2 2^{20} = 20轮循环。 - 二分查找无需额外空间。与哈希查找相比，二分查找更加节省空间。
然而，并非所有情况下都可使用二分查找，原因如下：
- 二分查找仅适用于有序数据。若输入数据无序，为了使用二分查找而专门进行排序，得不偿失。因为排序算法的时间复杂度通常为
O(n \log n)，比线性查找和二分查找都更高。对于频繁插入元素的场景，为保持数组有序性，需要将元素插入到特定位置，时间复杂度为O(n)，也是非常昂贵的。 - 二分查找仅适用于数组。二分查找需要跳跃式（非连续地）访问元素，而在链表中执行跳跃式访问的效率较低，因此不适合应用在链表或基于链表实现的数据结构。
- 小数据量下，线性查找性能更佳。在线性查找中，每轮只需要 1 次判断操作；而在二分查找中，需要 1 次加法、1 次除法、1 ~ 3 次判断操作、1 次加法（减法），共 4 ~ 6 个单元操作；因此，当数据量
n较小时，线性查找反而比二分查找更快。