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9.2. 图基础操作

图的基础操作分为对「边」的操作和对「顶点」的操作，在「邻接矩阵」和「邻接表」这两种表示下的实现方式不同。

9.2.1. 基于邻接矩阵的实现

设图的顶点总数为 n ，则有：

• 添加或删除边：直接在邻接矩阵中修改指定边的对应元素即可，使用 O(1) 时间。而由于是无向图，因此需要同时更新两个方向的边。
• 添加顶点：在邻接矩阵的尾部添加一行一列，并全部填 0 即可，使用 O(n) 时间。
• 删除顶点：在邻接矩阵中删除一行一列。当删除首行首列时达到最差情况，需要将 (n-1)^2 个元素“向左上移动”，从而使用 O(n^2) 时间。
• 初始化：传入 n 个顶点，初始化长度为 n 的顶点列表 vertices ，使用 O(n) 时间；初始化 n \times n 大小的邻接矩阵 adjMat ，使用 O(n^2) 时间。

=== "初始化邻接矩阵"

=== "添加边"

=== "删除边"

=== "添加顶点"

=== "删除顶点"

以下是基于邻接矩阵表示图的实现代码。

=== "Java"

```java title="graph_adjacency_matrix.java"
[class]{GraphAdjMat}-[func]{}
```

=== "C++"

```cpp title="graph_adjacency_matrix.cpp"
[class]{GraphAdjMat}-[func]{}
```

=== "Python"

```python title="graph_adjacency_matrix.py"
[class]{GraphAdjMat}-[func]{}
```

=== "Go"

```go title="graph_adjacency_matrix.go"
[class]{graphAdjMat}-[func]{}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="graph_adjacency_matrix.js"
[class]{GraphAdjMat}-[func]{}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="graph_adjacency_matrix.ts"
[class]{GraphAdjMat}-[func]{}
```

=== "C"

```c title="graph_adjacency_matrix.c"
[class]{graphAdjMat}-[func]{}
```

=== "C#"

```csharp title="graph_adjacency_matrix.cs"
[class]{GraphAdjMat}-[func]{}
```

=== "Swift"

```swift title="graph_adjacency_matrix.swift"
[class]{GraphAdjMat}-[func]{}
```

=== "Zig"

```zig title="graph_adjacency_matrix.zig"

```

9.2.2. 基于邻接表的实现

设图的顶点总数为 n 、边总数为 m ，则有：

• 添加边：在顶点对应链表的尾部添加边即可，使用 O(1) 时间。因为是无向图，所以需要同时添加两个方向的边。
• 删除边：在顶点对应链表中查询与删除指定边，使用 O(m) 时间。与添加边一样，需要同时删除两个方向的边。
• 添加顶点：在邻接表中添加一个链表即可，并以新增顶点为链表头结点，使用 O(1) 时间。
• 删除顶点：需要遍历整个邻接表，删除包含指定顶点的所有边，使用 O(n + m) 时间。
• 初始化：需要在邻接表中建立 n 个结点和 2m 条边，使用 O(n + m) 时间。

=== "初始化邻接表"

=== "添加边"

=== "删除边"

=== "添加顶点"

=== "删除顶点"

基于邻接表实现图的代码如下所示。

!!! question "为什么需要使用顶点类 Vertex ？"

如果我们直接通过顶点值来区分不同顶点，那么值重复的顶点将无法被区分。
如果建立一个顶点列表，用索引来区分不同顶点，那么假设我们想要删除索引为 `i` 的顶点，则需要遍历整个邻接表，将其中 $> i$ 的索引全部执行 $-1$ ，这样的操作是比较耗时的。
因此，通过引入顶点类 `Vertex` ，每个顶点都是唯一的对象，这样在删除操作时就无需改动其余顶点了。

=== "Java"

```java title="graph_adjacency_list.java"
[class]{Vertex}-[func]{}

[class]{GraphAdjList}-[func]{}
```

=== "C++"

```cpp title="graph_adjacency_list.cpp"
[class]{Vertex}-[func]{}

[class]{GraphAdjList}-[func]{}
```

=== "Python"

```python title="graph_adjacency_list.py"
[class]{Vertex}-[func]{}

[class]{GraphAdjList}-[func]{}
```

=== "Go"

```go title="graph_adjacency_list.go"
[class]{vertex}-[func]{}

[class]{graphAdjList}-[func]{}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="graph_adjacency_list.js"
[class]{Vertex}-[func]{}

[class]{GraphAdjList}-[func]{}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="graph_adjacency_list.ts"
[class]{Vertex}-[func]{}

[class]{GraphAdjList}-[func]{}
```

=== "C"

```c title="graph_adjacency_list.c"
[class]{vertex}-[func]{}

[class]{graphAdjList}-[func]{}
```

=== "C#"

```csharp title="graph_adjacency_list.cs"
[class]{Vertex}-[func]{}

[class]{GraphAdjList}-[func]{}
```

=== "Swift"

```swift title="graph_adjacency_list.swift"
[class]{Vertex}-[func]{}

[class]{GraphAdjList}-[func]{}
```

=== "Zig"

```zig title="graph_adjacency_list.zig"
[class]{Vertex}-[func]{}

[class]{GraphAdjList}-[func]{}
```

9.2.3. 效率对比

设图中共有 n 个顶点和 m 条边，下表为邻接矩阵和邻接表的时间和空间效率对比。

	邻接矩阵	邻接表（链表）	邻接表（哈希表）
判断是否邻接	O(1)	O(m)	O(1)
添加边	O(1)	O(1)	O(1)
删除边	O(1)	O(m)	O(1)
添加顶点	O(n)	O(1)	O(1)
删除顶点	O(n^2)	O(n + m)	O(n)
内存空间占用	O(n^2)	O(n + m)	O(n + m)

观察上表，貌似邻接表（哈希表）的时间与空间效率最优。但实际上，在邻接矩阵中操作边的效率更高，只需要一次数组访问或赋值操作即可。总结以上，邻接矩阵体现“以空间换时间”，邻接表体现“以时间换空间”。