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汉诺塔问题

在归并排序和构建二叉树中，我们将原问题分解为两个规模为原问题一半的子问题。然而，对于即将介绍的汉诺塔问题，我们采用不同的分解策略。

!!! question

给定三根柱子，记为 `A` , `B` , `C` 。起始状态下，柱子 `A` 上套着 $n$ 个圆盘，它们从上到下按照从小到大的顺序排列。我们的任务是要把这 $n$ 个圆盘移到柱子 `C` 上，并保持它们的原有顺序不变。在移动圆盘的过程中，需要遵守以下规则：

1. 圆盘只能从一个柱子顶部拿出，从另一个柱子顶部放入；
2. 每次只能移动一个圆盘；
3. 小圆盘必须时刻位于大圆盘之上；

在本文中，我们将规模为 i 的汉诺塔问题记做 $f(i)$ 。例如 f(3) 代表将 3 个圆盘从 A 移动至 C 的汉诺塔问题。

先考虑最简单的情况：对于问题 f(1) ，即当只有一个圆盘时，则将它直接从 A 移动至 C 即可。

=== "<1>"

=== "<2>"

对于问题 f(2) ，即当有两个圆盘时，由于要时刻满足小圆盘在大圆盘之上，因此需要借助 B 来完成移动，包括三步：

1. 先将上面的小圆盘从 A 移至 B ；
2. 再将大圆盘从 A 移至 C ；
3. 最后将小圆盘从 B 移至 C ；

如下图所示，对于小圆盘的移动，我们称 C 为目标柱、B 为缓冲柱。

=== "<1>"

=== "<2>"

=== "<3>"

=== "<4>"

对于问题 f(3) ，即当有三个圆盘时，情况变得稍微复杂了一些。由于已知 f(1) 和 f(2) 的解，我们可以从分治角度思考，将 A 顶部的两个圆盘看做一个整体，并执行以下步骤：

1. 令 B 为目标柱、C 为缓冲柱，将两个圆盘从 A 移动至 B ；
2. 将 A 中剩余的一个圆盘从 A 移动至 C ；
3. 令 C 为目标柱、A 为缓冲柱，将两个圆盘从 B 移动至 C ；

这样三个圆盘就被顺利地从 A 移动至 C 了。

=== "<1>"

=== "<2>"

=== "<3>"

=== "<4>"

本质上看，我们将问题 f(3) 划分为两个子问题 f(2) 和子问题 $f(1)$。按顺序解决这三个子问题之后，原问题随之得到解决。以上分析说明了子问题的独立性，以及解是可以合并的。

至此，我们可总结出汉诺塔问题的分治策略：将原问题 f(n) 划分为两个子问题 f(n-1) 和一个子问题 $f(1)$ 。子问题的解决顺序为：

1. 将 n-1 个圆盘借助 C 从 A 移至 B ；
2. 将剩余 1 个圆盘从 A 直接移至 C ；
3. 将 n-1 个圆盘借助 A 从 B 移至 C ；

并且，对于这两个子问题 f(n-1) ，可以通过相同的方式进行递归划分，直至达到最小子问题 f(1) 。而 f(1) 的解是已知的，只需一次移动操作即可。

在代码实现中，我们声明一个递归函数 dfs(i, src, buf, tar) ，它的作用是将柱 src 顶部的 i 个圆盘借助缓冲柱 buf 移动至目标柱 tar 。

=== "Java"

```java title="hanota.java"
[class]{hanota}-[func]{move}

[class]{hanota}-[func]{dfs}

[class]{hanota}-[func]{hanota}
```

=== "C++"

```cpp title="hanota.cpp"
[class]{}-[func]{move}

[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{hanota}
```

=== "Python"

```python title="hanota.py"
[class]{}-[func]{move}

[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{hanota}
```

=== "Go"

```go title="hanota.go"
[class]{}-[func]{move}

[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{hanota}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="hanota.js"
[class]{}-[func]{move}

[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{hanota}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="hanota.ts"
[class]{}-[func]{move}

[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{hanota}
```

=== "C"

```c title="hanota.c"
[class]{}-[func]{move}

[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{hanota}
```

=== "C#"

```csharp title="hanota.cs"
[class]{hanota}-[func]{move}

[class]{hanota}-[func]{dfs}

[class]{hanota}-[func]{hanota}
```

=== "Swift"

```swift title="hanota.swift"
[class]{}-[func]{move}

[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{hanota}
```

=== "Zig"

```zig title="hanota.zig"
[class]{}-[func]{move}

[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{hanota}
```

=== "Dart"

```dart title="hanota.dart"
[class]{}-[func]{move}

[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{hanota}
```

如下图所示，汉诺塔问题形成一个高度为 n 的递归树，每个节点代表一个子问题、对应一个开启的 dfs() 函数，因此时间复杂度为 O(2^n) ，空间复杂度为 $O(n)$ 。

有趣的是，汉诺塔问题源自一种古老的传说故事。在古印度的一个寺庙里，僧侣们有三根高大的钻石柱子，以及 64 个大小不一的金圆盘。僧侣们不断地移动原盘，他们相信在最后一个圆盘被正确放置的那一刻，这个世界就会结束。

然而根据以上分析，即使僧侣们每秒钟移动一次，总共需要大约 2^{64} \approx 1.84×10^{19} 秒，合约 5850 亿年，远远超过了现在对宇宙年龄的估计。所以，倘若这个传说是真的，我们应该不需要担心世界末日的到来。