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# 图
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「图 Graph」是一种非线性数据结构，由「顶点 Vertex」和「边 Edge」组成。我们可将图 $G$ 抽象地表示为一组顶点 $V$ 和一组边 $E$ 的集合。例如，以下表示一个包含 5 个顶点和 7 条边的图
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$$
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\begin{aligned}
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V & = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \newline
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E & = \{ (1,2), (1,3), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (4,5) \} \newline
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G & = \{ V, E \} \newline
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\end{aligned}
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$$
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那么，图与其他数据结构的关系是什么？如果我们把「顶点」看作结点，把「边」看作连接各个结点的指针，则可将「图」看成一种从「链表」拓展而来的数据结构。**相比线性关系（链表）和分治关系（树），网络关系（图）的自由度更高，也从而更为复杂**。
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## 图常见类型
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根据边是否有方向，分为「无向图 Undirected Graph」和「有向图 Directed Graph」。
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- 在无向图中，边表示两结点之间“双向”的连接关系，例如微信或 QQ 中的“好友关系”；
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- 在有向图中，边是有方向的，即 $A \rightarrow B$ 和 $A \leftarrow B$ 两个方向的边是相互独立的，例如微博或抖音上的“关注”与“被关注”关系；
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根据所有顶点是否连通，分为「连通图 Connected Graph」和「非连通图 Disconnected Graph」。
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- 对于连通图，从某个结点出发，可以到达其余任意结点；
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- 对于非连通图，从某个结点出发，至少有一个结点无法到达；
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我们可以给边添加“权重”变量，得到「有权图 Weighted Graph」。例如，在王者荣耀等游戏中，系统会根据共同游戏时间来计算玩家之间的“亲密度”，这种亲密度网络就可以使用有权图来表示。
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## 图常用术语
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- 「邻接 Adjacency」：当两顶点之间有边相连时，称此两顶点“邻接”。
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- 「路径 Path」：从顶点 A 到顶点 B 走过的边构成的序列，被称为从 A 到 B 的“路径”。
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- 「度 Degree」表示一个顶点具有多少条边。对于有向图，「入度 In-Degree」表示有多少条边指向该顶点，「出度 Out-Degree」表示有多少条边从该顶点指出。
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## 图的表示
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图的常用表示方法有「邻接矩阵」和「邻接表」。以下皆使用无边图来举例。
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### 邻接矩阵
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设图的顶点数量为 $n$ ，「邻接矩阵 Adjacency Matrix」使用一个 $n \times n$ 大小的矩阵来表示图，每一行（列）代表一个顶点，矩阵元素代表边，使用 $1$ 或 $0$ 来表示两个顶点之间有边或无边。
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邻接矩阵具有以下性质：
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- 顶点不能与自身相连，因而邻接矩阵主对角线元素没有意义。
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- 「无向图」两个方向的边等价，此时邻接矩阵关于主对角线对称。
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- 将邻接矩阵的元素从 $1$ , $0$ 替换为权重，则能够表示「有权图」。
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使用邻接矩阵表示图时，我们可以直接通过访问矩阵元素来获取边，因此增删查操作的效率很高，时间复杂度均为 $O(1)$ 。然而，矩阵的空间复杂度为 $O(n^2)$ ，内存占用较大。
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### 邻接表
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「邻接表 Adjacency List」使用 $n$ 个链表来表示图，链表结点表示顶点。第 $i$ 条链表对应顶点 $i$ ，其中存储了所有与该顶点相连的顶点。
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邻接表仅存储存在的边，而边的总数往往远小于 $n^2$ ，因此更加节省空间。但是，因为在邻接表中需要通过遍历链表来查找边，所以其时间效率不如邻接矩阵。
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观察上图发现，**邻接表结构与哈希表「链地址法」非常相似，因此我们也可以用类似方法来优化效率**。比如，当链表较长时，可以把链表转化为「AVL 树」，从而将时间效率从 $O(n)$ 优化至 $O(\log n)$ ，还可以通过中序遍历获取有序序列；还可以将链表转化为 HashSet（即哈希表），将时间复杂度降低至 $O(1)$ ，。
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## 图基础操作
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以下分别介绍图在「邻接矩阵」和「邻接表」表示下的基础操作。
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### 基于邻接矩阵的实现
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设图的顶点总数为 $n$ ，则有：
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- **添加或删除边**：直接在邻接矩阵中修改指定边的对应元素即可，使用 $O(1)$ 时间。而由于是无向图，因此需要同时更新两个方向的边。
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- **添加顶点**：在邻接矩阵的尾部添加一行一列，并全部填 $0$ 即可，使用 $O(n)$ 时间。
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- **删除顶点**：在邻接矩阵中删除一行一列。当删除首行首列时达到最差情况，需要将 $(n-1)^2$ 个元素“向左上移动”，从而使用 $O(n^2)$ 时间。
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- **初始化**：传入 $n$ 个顶点，初始化长度为 $n$ 的顶点列表 `vertices` ，使用 $O(n)$ 时间；初始化 $n \times n$ 大小的邻接矩阵 `adjMat` ，使用 $O(n^2)$ 时间。
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=== "初始化邻接矩阵"
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=== "添加边"
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=== "删除边"
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=== "添加顶点"
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=== "删除顶点"
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以下是基于邻接矩阵表示图的实现代码。
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=== "Java"
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```java title="graph_adjacency_matrix.java"
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/* 基于邻接矩阵实现的无向图类 */
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class GraphAdjMat {
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List<Integer> vertices; // 顶点列表，元素代表“顶点值”，索引代表“顶点索引”
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List<List<Integer>> adjMat; // 邻接矩阵，行列索引对应“顶点索引”
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/* 构造函数 */
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public GraphAdjMat(int[] vertices, int[][] edges) {
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this.vertices = new ArrayList<>();
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this.adjMat = new ArrayList<>();
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// 添加顶点
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for (int val : vertices) {
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addVertex(val);
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}
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// 添加边
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// 请注意，edges 元素代表顶点索引，即对应 vertices 元素索引
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for (int[] e : edges) {
|
||
addEdge(e[0], e[1]);
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}
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||
}
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/* 获取顶点数量 */
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public int size() {
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return vertices.size();
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}
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/* 添加顶点 */
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public void addVertex(int val) {
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int n = size();
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// 向顶点列表中添加新顶点的值
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vertices.add(val);
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// 在邻接矩阵中添加一行
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List<Integer> newRow = new ArrayList<>(n);
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for (int j = 0; j < n; j++) {
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newRow.add(0);
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}
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adjMat.add(newRow);
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||
// 在邻接矩阵中添加一列
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for (List<Integer> row : adjMat) {
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||
row.add(0);
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}
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||
}
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/* 删除顶点 */
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public void removeVertex(int index) {
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if (index >= size())
|
||
throw new IndexOutOfBoundsException();
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// 在顶点列表中移除索引 index 的顶点
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vertices.remove(index);
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||
// 在邻接矩阵中删除索引 index 的行
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adjMat.remove(index);
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// 在邻接矩阵中删除索引 index 的列
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for (List<Integer> row : adjMat) {
|
||
row.remove(index);
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||
}
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||
}
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||
|
||
/* 添加边 */
|
||
// 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
|
||
public void addEdge(int i, int j) {
|
||
// 索引越界与相等处理
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||
if (i < 0 || j < 0 || i >= size() || j >= size() || i == j)
|
||
throw new IndexOutOfBoundsException();
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||
// 在无向图中，邻接矩阵沿主对角线对称，即满足 (i, j) == (j, i)
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||
adjMat.get(i).set(j, 1);
|
||
adjMat.get(j).set(i, 1);
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||
}
|
||
|
||
/* 删除边 */
|
||
// 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
|
||
public void removeEdge(int i, int j) {
|
||
// 索引越界与相等处理
|
||
if (i < 0 || j < 0 || i >= size() || j >= size() || i == j)
|
||
throw new IndexOutOfBoundsException();
|
||
adjMat.get(i).set(j, 0);
|
||
adjMat.get(j).set(i, 0);
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||
}
|
||
}
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||
```
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=== "C++"
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```cpp title="graph_adjacency_matrix.cpp"
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```
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=== "Python"
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```python title="graph_adjacency_matrix.py"
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||
```
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=== "Go"
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```go title="graph_adjacency_matrix.go"
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||
```
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=== "JavaScript"
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```js title="graph_adjacency_matrix.js"
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||
```
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=== "TypeScript"
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```typescript title="graph_adjacency_matrix.ts"
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```
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=== "C"
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```c title="graph_adjacency_matrix.c"
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```
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=== "C#"
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```csharp title="graph_adjacency_matrix.cs"
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```
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=== "Swift"
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```swift title="graph_adjacency_matrix.swift"
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```
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### 基于邻接表的实现
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设图的顶点总数为 $n$ 、边总数为 $m$ ，则有：
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- **添加边**：在顶点对应链表的尾部添加边即可，使用 $O(1)$ 时间。因为是无向图，所以需要同时添加两个方向的边。
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||
- **删除边**：在顶点对应链表中查询与删除指定边，使用 $O(m)$ 时间。与添加边一样，需要同时删除两个方向的边。
|
||
- **添加顶点**：在邻接表中添加一个链表即可，并以新增顶点为链表头结点，使用 $O(1)$ 时间。
|
||
- **删除顶点**：需要遍历整个邻接表，删除包含指定顶点的所有边，使用 $O(n + m)$ 时间。
|
||
- **初始化**：需要在邻接表中建立 $n$ 个结点和 $2m$ 条边，使用 $O(n + m)$ 时间。
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=== "初始化邻接表"
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=== "添加边"
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=== "删除边"
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=== "添加顶点"
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=== "删除顶点"
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基于邻接表实现图的代码如下所示。
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=== "Java"
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```java title="graph_adjacency_list.java"
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/* 顶点类 */
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class Vertex {
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int val;
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public Vertex(int val) {
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this.val = val;
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}
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}
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/* 基于邻接表实现的无向图类 */
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class GraphAdjList {
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||
// 请注意，vertices 和 adjList 中存储的都是 Vertex 对象
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Map<Vertex, Set<Vertex>> adjList; // 邻接表（使用哈希表实现）
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/* 构造函数 */
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public GraphAdjList(Vertex[][] edges) {
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this.adjList = new HashMap<>();
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// 添加所有顶点和边
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for (Vertex[] edge : edges) {
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addVertex(edge[0]);
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addVertex(edge[1]);
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addEdge(edge[0], edge[1]);
|
||
}
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||
}
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/* 获取顶点数量 */
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public int size() {
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return adjList.size();
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}
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/* 添加边 */
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public void addEdge(Vertex vet1, Vertex vet2) {
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||
if (!adjList.containsKey(vet1) || !adjList.containsKey(vet2) || vet1 == vet2)
|
||
throw new IllegalArgumentException();
|
||
// 添加边 vet1 - vet2
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adjList.get(vet1).add(vet2);
|
||
adjList.get(vet2).add(vet1);
|
||
}
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|
||
/* 删除边 */
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||
public void removeEdge(Vertex vet1, Vertex vet2) {
|
||
if (!adjList.containsKey(vet1) || !adjList.containsKey(vet2) || vet1 == vet2)
|
||
throw new IllegalArgumentException();
|
||
// 删除边 vet1 - vet2
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||
adjList.get(vet1).remove(vet2);
|
||
adjList.get(vet2).remove(vet1);
|
||
}
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||
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/* 添加顶点 */
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public void addVertex(Vertex vet) {
|
||
if (adjList.containsKey(vet))
|
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return;
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// 在邻接表中添加一个新链表（即 HashSet）
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adjList.put(vet, new HashSet<>());
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||
}
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/* 删除顶点 */
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public void removeVertex(Vertex vet) {
|
||
if (!adjList.containsKey(vet))
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||
throw new IllegalArgumentException();
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// 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表（即 HashSet）
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adjList.remove(vet);
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// 遍历其它顶点的链表（即 HashSet），删除所有包含 vet 的边
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for (Set<Vertex> set : adjList.values()) {
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set.remove(vet);
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}
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||
}
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||
}
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```
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=== "C++"
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```cpp title="graph_adjacency_list.cpp"
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```
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=== "Python"
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```python title="graph_adjacency_list.py"
|
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```
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=== "Go"
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||
|
||
```go title="graph_adjacency_list.go"
|
||
|
||
```
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||
=== "JavaScript"
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||
|
||
```js title="graph_adjacency_list.js"
|
||
|
||
```
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||
=== "TypeScript"
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|
||
```typescript title="graph_adjacency_list.ts"
|
||
|
||
```
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=== "C"
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```c title="graph_adjacency_list.c"
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```
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=== "C#"
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```csharp title="graph_adjacency_list.cs"
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```
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=== "Swift"
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```swift title="graph_adjacency_list.swift"
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```
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### 效率对比
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设图中共有 $n$ 个顶点和 $m$ 条边，下表为邻接矩阵和邻接表的时间和空间效率对比。
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<div class="center-table" markdown>
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| | 邻接矩阵 | 邻接表（链表） | 邻接表（哈希表） |
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| ------------ | -------- | -------------- | ---------------- |
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| 判断是否邻接 | $O(1)$ | $O(m)$ | $O(1)$ |
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| 添加边 | $O(1)$ | $O(1)$ | $O(1)$ |
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| 删除边 | $O(1)$ | $O(m)$ | $O(1)$ |
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| 添加顶点 | $O(n)$ | $O(1)$ | $O(1)$ |
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| 删除顶点 | $O(n^2)$ | $O(n + m)$ | $O(n)$ |
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| 内存空间占用 | $O(n^2)$ | $O(n + m)$ | $O(n + m)$ |
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</div>
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观察上表，貌似邻接表（哈希表）的时间与空间效率最优。但实际上，在邻接矩阵中操作边的效率更高，只需要一次数组访问或赋值操作即可。总结以上，**邻接矩阵体现“以空间换时间”，邻接表体现“以时间换空间”**。
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## 图常见应用
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现实中的许多系统都可以使用图来建模，对应的待求解问题也可以被约化为图计算问题。
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<div class="center-table" markdown>
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| | 顶点 | 边 | 图计算问题 |
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| -------- | ---- | -------------------- | ------------ |
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| 社交网络 | 用户 | 好友关系 | 潜在好友推荐 |
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||
| 地铁线路 | 站点 | 站点间的连通性 | 最短路线推荐 |
|
||
| 太阳系 | 星体 | 星体间的万有引力作用 | 行星轨道计算 |
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</div>
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