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哈希冲突
上节提到，通常情况下哈希函数的输入空间远大于输出空间，因此理论上哈希冲突是不可避免的。比如，输入空间为全体整数，输出空间为数组容量大小，则必然有多个整数映射至同一数组索引。
哈希冲突会导致查询结果错误，严重影响哈希表的可用性。为解决该问题，我们可以每当遇到哈希冲突时就进行哈希表扩容，直至冲突消失为止。此方法简单粗暴且有效，但效率太低，因为哈希表扩容需要进行大量的数据搬运与哈希值计算。为了提升效率，我们可以采用以下思路。
- 改良哈希表数据结构，使得哈希表可以在存在哈希冲突时正常工作。
- 仅在必要时，即当哈希冲突比较严重时，才执行扩容操作。
哈希表的结构改良方法主要包括“链式地址”和“开放寻址”。
链式地址
在原始哈希表中，每个桶仅能存储一个键值对。「链式地址 separate chaining」将单个元素转换为链表，将键值对作为链表节点，将所有发生冲突的键值对都存储在同一链表中。下图展示了一个链式地址哈希表的例子。
哈希表在链式地址下的操作方法发生了一些变化。
- 查询元素：输入
key，经过哈希函数得到数组索引，即可访问链表头节点，然后遍历链表并对比key以查找目标键值对。 - 添加元素：先通过哈希函数访问链表头节点，然后将节点（即键值对）添加到链表中。
- 删除元素：根据哈希函数的结果访问链表头部，接着遍历链表以查找目标节点，并将其删除。
链式地址存在以下局限性。
- 占用空间增大，链表包含节点指针，它相比数组更加耗费内存空间。
- 查询效率降低，因为需要线性遍历链表来查找对应元素。
以下代码给出了链式地址哈希表的简单实现，需要注意两点。
- 使用列表（动态数组）代替链表，从而简化代码。在这种设定下，哈希表（数组）包含多个桶，每个桶都是一个列表。
- 以下实现包含哈希表扩容方法。当负载因子超过
0.75时，我们将哈希表扩容至2倍。
=== "Java"
```java title="hash_map_chaining.java"
[class]{HashMapChaining}-[func]{}
```
=== "C++"
```cpp title="hash_map_chaining.cpp"
[class]{HashMapChaining}-[func]{}
```
=== "Python"
```python title="hash_map_chaining.py"
[class]{HashMapChaining}-[func]{}
```
=== "Go"
```go title="hash_map_chaining.go"
[class]{hashMapChaining}-[func]{}
```
=== "JS"
```javascript title="hash_map_chaining.js"
[class]{HashMapChaining}-[func]{}
```
=== "TS"
```typescript title="hash_map_chaining.ts"
[class]{HashMapChaining}-[func]{}
```
=== "C"
```c title="hash_map_chaining.c"
[class]{hashMapChaining}-[func]{}
```
=== "C#"
```csharp title="hash_map_chaining.cs"
[class]{HashMapChaining}-[func]{}
```
=== "Swift"
```swift title="hash_map_chaining.swift"
[class]{HashMapChaining}-[func]{}
```
=== "Zig"
```zig title="hash_map_chaining.zig"
[class]{HashMapChaining}-[func]{}
```
=== "Dart"
```dart title="hash_map_chaining.dart"
[class]{HashMapChaining}-[func]{}
```
=== "Rust"
```rust title="hash_map_chaining.rs"
[class]{HashMapChaining}-[func]{}
```
!!! tip
当链表很长时，查询效率 $O(n)$ 很差，**此时可以将链表转换为“AVL 树”或“红黑树”**，从而将查询操作的时间复杂度优化至 $O(\log n)$ 。
开放寻址
「开放寻址 open addressing」不引入额外的数据结构，而是通过“多次探测”来处理哈希冲突，探测方式主要包括线性探测、平方探测、多次哈希等。
线性探测
线性探测采用固定步长的线性搜索来进行探测，其操作方法与普通哈希表有所不同。
- 插入元素：通过哈希函数计算数组索引，若发现桶内已有元素，则从冲突位置向后线性遍历（步长通常为
1），直至找到空位，将元素插入其中。 - 查找元素：若发现哈希冲突，则使用相同步长向后线性遍历，直到找到对应元素，返回
value即可；如果遇到空位，说明目标键值对不在哈希表中，返回\text{None}。
下图展示了一个在开放寻址（线性探测）下工作的哈希表。
然而，线性探测存在以下缺陷。
- 不能直接删除元素。删除元素会在数组内产生一个空位，当查找该空位之后的元素时，该空位可能导致程序误判元素不存在。为此，通常需要借助一个标志位来标记已删除元素。
- 容易产生聚集。数组内连续被占用位置越长，这些连续位置发生哈希冲突的可能性越大，进一步促使这一位置的聚堆生长，形成恶性循环，最终导致增删查改操作效率劣化。
以下代码实现了一个简单的开放寻址（线性探测）哈希表。
- 我们使用一个固定的键值对实例
removed来标记已删除元素。也就是说，当一个桶内的元素为\text{None}或removed时，说明这个桶是空的，可用于放置键值对。 - 在线性探测时，我们从当前索引
index向后遍历；而当越过数组尾部时，需要回到头部继续遍历。
=== "Java"
```java title="hash_map_open_addressing.java"
[class]{HashMapOpenAddressing}-[func]{}
```
=== "C++"
```cpp title="hash_map_open_addressing.cpp"
[class]{HashMapOpenAddressing}-[func]{}
```
=== "Python"
```python title="hash_map_open_addressing.py"
[class]{HashMapOpenAddressing}-[func]{}
```
=== "Go"
```go title="hash_map_open_addressing.go"
[class]{hashMapOpenAddressing}-[func]{}
```
=== "JS"
```javascript title="hash_map_open_addressing.js"
[class]{HashMapOpenAddressing}-[func]{}
```
=== "TS"
```typescript title="hash_map_open_addressing.ts"
[class]{HashMapOpenAddressing}-[func]{}
```
=== "C"
```c title="hash_map_open_addressing.c"
[class]{hashMapOpenAddressing}-[func]{}
```
=== "C#"
```csharp title="hash_map_open_addressing.cs"
[class]{HashMapOpenAddressing}-[func]{}
```
=== "Swift"
```swift title="hash_map_open_addressing.swift"
[class]{HashMapOpenAddressing}-[func]{}
```
=== "Zig"
```zig title="hash_map_open_addressing.zig"
[class]{HashMapOpenAddressing}-[func]{}
```
=== "Dart"
```dart title="hash_map_open_addressing.dart"
[class]{HashMapOpenAddressing}-[func]{}
```
=== "Rust"
```rust title="hash_map_open_addressing.rs"
[class]{HashMapOpenAddressing}-[func]{}
```
多次哈希
顾名思义，多次哈希方法是使用多个哈希函数 $f_1(x)$、$f_2(x)$、$f_3(x)$、\dots 进行探测。
- 插入元素：若哈希函数
f_1(x)出现冲突，则尝试f_2(x)，以此类推，直到找到空位后插入元素。 - 查找元素：在相同的哈希函数顺序下进行查找，直到找到目标元素时返回；或遇到空位或已尝试所有哈希函数，说明哈希表中不存在该元素，则返回
\text{None}。
与线性探测相比，多次哈希方法不易产生聚集，但多个哈希函数会增加额外的计算量。
编程语言的选择
Java 采用链式地址。自 JDK 1.8 以来，当 HashMap 内数组长度达到 64 且链表长度达到 8 时，链表会被转换为红黑树以提升查找性能。
Python 采用开放寻址。字典 dict 使用伪随机数进行探测。
Golang 采用链式地址。Go 规定每个桶最多存储 8 个键值对，超出容量则连接一个溢出桶；当溢出桶过多时，会执行一次特殊的等量扩容操作，以确保性能。