hello-algo/docs/chapter_hashing/hash_collision.md

# 哈希冲突

上节提到，**通常情况下哈希函数的输入空间远大于输出空间**，因此理论上哈希冲突是不可避免的。比如，输入空间为全体整数，输出空间为数组容量大小，则必然有多个整数映射至同一数组索引。

哈希冲突会导致查询结果错误，严重影响哈希表的可用性。为解决该问题，我们可以每当遇到哈希冲突时就进行哈希表扩容，直至冲突消失为止。此方法简单粗暴且有效，但效率太低，因为哈希表扩容需要进行大量的数据搬运与哈希值计算。为了提升效率，我们可以采用以下思路。

1. 改良哈希表数据结构，**使得哈希表可以在存在哈希冲突时正常工作**。
2. 仅在必要时，即当哈希冲突比较严重时，才执行扩容操作。

哈希表的结构改良方法主要包括“链式地址”和“开放寻址”。

## 链式地址

在原始哈希表中，每个桶仅能存储一个键值对。「链式地址 separate chaining」将单个元素转换为链表，将键值对作为链表节点，将所有发生冲突的键值对都存储在同一链表中。下图展示了一个链式地址哈希表的例子。

![链式地址哈希表](hash_collision.assets/hash_table_chaining.png)

哈希表在链式地址下的操作方法发生了一些变化。

- **查询元素**：输入 `key` ，经过哈希函数得到数组索引，即可访问链表头节点，然后遍历链表并对比 `key` 以查找目标键值对。
- **添加元素**：先通过哈希函数访问链表头节点，然后将节点（即键值对）添加到链表中。
- **删除元素**：根据哈希函数的结果访问链表头部，接着遍历链表以查找目标节点，并将其删除。

链式地址存在以下局限性。

- **占用空间增大**，链表包含节点指针，它相比数组更加耗费内存空间。
- **查询效率降低**，因为需要线性遍历链表来查找对应元素。

以下代码给出了链式地址哈希表的简单实现，需要注意两点。

- 使用列表（动态数组）代替链表，从而简化代码。在这种设定下，哈希表（数组）包含多个桶，每个桶都是一个列表。
- 以下实现包含哈希表扩容方法。当负载因子超过 $0.75$ 时，我们将哈希表扩容至 $2$ 倍。

=== "Java"

    ```java title="hash_map_chaining.java"
    [class]{HashMapChaining}-[func]{}
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="hash_map_chaining.cpp"
    [class]{HashMapChaining}-[func]{}
    ```

=== "Python"

    ```python title="hash_map_chaining.py"
    [class]{HashMapChaining}-[func]{}
    ```

=== "Go"

    ```go title="hash_map_chaining.go"
    [class]{hashMapChaining}-[func]{}
    ```

=== "JS"

    ```javascript title="hash_map_chaining.js"
    [class]{HashMapChaining}-[func]{}
    ```

=== "TS"

    ```typescript title="hash_map_chaining.ts"
    [class]{HashMapChaining}-[func]{}
    ```

=== "C"

    ```c title="hash_map_chaining.c"
    [class]{hashMapChaining}-[func]{}
    ```

=== "C#"

    ```csharp title="hash_map_chaining.cs"
    [class]{HashMapChaining}-[func]{}
    ```

=== "Swift"

    ```swift title="hash_map_chaining.swift"
    [class]{HashMapChaining}-[func]{}
    ```

=== "Zig"

    ```zig title="hash_map_chaining.zig"
    [class]{HashMapChaining}-[func]{}
    ```

=== "Dart"

    ```dart title="hash_map_chaining.dart"
    [class]{HashMapChaining}-[func]{}
    ```

=== "Rust"

    ```rust title="hash_map_chaining.rs"
    [class]{HashMapChaining}-[func]{}
    ```

!!! tip

    当链表很长时，查询效率 $O(n)$ 很差，**此时可以将链表转换为“AVL 树”或“红黑树”**，从而将查询操作的时间复杂度优化至 $O(\log n)$ 。

## 开放寻址

「开放寻址 open addressing」不引入额外的数据结构，而是通过“多次探测”来处理哈希冲突，探测方式主要包括线性探测、平方探测、多次哈希等。

### 线性探测

线性探测采用固定步长的线性搜索来进行探测，其操作方法与普通哈希表有所不同。

- **插入元素**：通过哈希函数计算数组索引，若发现桶内已有元素，则从冲突位置向后线性遍历（步长通常为 $1$ ），直至找到空位，将元素插入其中。
- **查找元素**：若发现哈希冲突，则使用相同步长向后线性遍历，直到找到对应元素，返回 `value` 即可；如果遇到空位，说明目标键值对不在哈希表中，返回 $\text{None}$ 。

下图展示了一个在开放寻址（线性探测）下工作的哈希表。

![开放寻址和线性探测](hash_collision.assets/hash_table_linear_probing.png)

然而，线性探测存在以下缺陷。

- **不能直接删除元素**。删除元素会在数组内产生一个空位，当查找该空位之后的元素时，该空位可能导致程序误判元素不存在。为此，通常需要借助一个标志位来标记已删除元素。
- **容易产生聚集**。数组内连续被占用位置越长，这些连续位置发生哈希冲突的可能性越大，进一步促使这一位置的聚堆生长，形成恶性循环，最终导致增删查改操作效率劣化。

以下代码实现了一个简单的开放寻址（线性探测）哈希表。

- 我们使用一个固定的键值对实例 `removed` 来标记已删除元素。也就是说，当一个桶内的元素为 $\text{None}$ 或 `removed` 时，说明这个桶是空的，可用于放置键值对。
- 在线性探测时，我们从当前索引 `index` 向后遍历；而当越过数组尾部时，需要回到头部继续遍历。

=== "Java"

    ```java title="hash_map_open_addressing.java"
    [class]{HashMapOpenAddressing}-[func]{}
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="hash_map_open_addressing.cpp"
    [class]{HashMapOpenAddressing}-[func]{}
    ```

=== "Python"

    ```python title="hash_map_open_addressing.py"
    [class]{HashMapOpenAddressing}-[func]{}
    ```

=== "Go"

    ```go title="hash_map_open_addressing.go"
    [class]{hashMapOpenAddressing}-[func]{}
    ```

=== "JS"

    ```javascript title="hash_map_open_addressing.js"
    [class]{HashMapOpenAddressing}-[func]{}
    ```

=== "TS"

    ```typescript title="hash_map_open_addressing.ts"
    [class]{HashMapOpenAddressing}-[func]{}
    ```

=== "C"

    ```c title="hash_map_open_addressing.c"
    [class]{hashMapOpenAddressing}-[func]{}
    ```

=== "C#"

    ```csharp title="hash_map_open_addressing.cs"
    [class]{HashMapOpenAddressing}-[func]{}
    ```

=== "Swift"

    ```swift title="hash_map_open_addressing.swift"
    [class]{HashMapOpenAddressing}-[func]{}
    ```

=== "Zig"

    ```zig title="hash_map_open_addressing.zig"
    [class]{HashMapOpenAddressing}-[func]{}
    ```

=== "Dart"

    ```dart title="hash_map_open_addressing.dart"
    [class]{HashMapOpenAddressing}-[func]{}
    ```

=== "Rust"

    ```rust title="hash_map_open_addressing.rs"
    [class]{HashMapOpenAddressing}-[func]{}
    ```

### 多次哈希

顾名思义，多次哈希方法是使用多个哈希函数 $f_1(x)$、$f_2(x)$、$f_3(x)$、$\dots$ 进行探测。

- **插入元素**：若哈希函数 $f_1(x)$ 出现冲突，则尝试 $f_2(x)$ ，以此类推，直到找到空位后插入元素。
- **查找元素**：在相同的哈希函数顺序下进行查找，直到找到目标元素时返回；或遇到空位或已尝试所有哈希函数，说明哈希表中不存在该元素，则返回 $\text{None}$ 。

与线性探测相比，多次哈希方法不易产生聚集，但多个哈希函数会增加额外的计算量。

## 编程语言的选择

Java 采用链式地址。自 JDK 1.8 以来，当 HashMap 内数组长度达到 64 且链表长度达到 8 时，链表会被转换为红黑树以提升查找性能。

Python 采用开放寻址。字典 dict 使用伪随机数进行探测。

Golang 采用链式地址。Go 规定每个桶最多存储 8 个键值对，超出容量则连接一个溢出桶；当溢出桶过多时，会执行一次特殊的等量扩容操作，以确保性能。