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synced 2024-12-24 20:26:29 +08:00
1. Update extra.css for overwrite
the sections title color. 2. Add figures to hash collision. 3. Add inorder traversal in binary search tree.
This commit is contained in:
Yudong Jin
parent
08bfa0669a
commit
f103fdecc9
7 changed files with 115 additions and 93 deletions
Binary file not shown.
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After Width: | Height: | Size: 89 KiB |
Binary file not shown.
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After Width: | Height: | Size: 59 KiB |
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@ -2,45 +2,46 @@
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comments: true
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# 哈希冲突处理
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# 哈希冲突
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理想情况下，哈希函数应该为每个输入产生唯一的输出，使得 key 和 value 一一对应。而实际上，往往存在向哈希函数输入不同的 key 而产生相同输出的情况，这种情况被称为「哈希冲突 Hash Collision」。
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理想情况下，哈希函数应该为每个输入产生唯一的输出，使得 key 和 value 一一对应。而实际上，往往存在向哈希函数输入不同的 key 而产生相同输出的情况，这种情况被称为「哈希冲突 Hash Collision」。哈希冲突会导致查询结果错误，从而严重影响哈希表的可用性。
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**哈希冲突会严重影响哈希表的实用性**。试想一下，如果在哈希表中总是查找到错误的结果，那么我们肯定不会继续使用这样的数据结构了。
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那么，为什么会出现哈希冲突呢？本质上看，**由于哈希函数的输入空间往往远大于输出空间**，因此不可避免地会出现多个输入产生相同输出的情况，即为哈希冲突。比如，输入空间是全体整数，输出空间是一个固定大小的桶（数组）的索引范围，那么必定会有多个整数同时映射到一个桶索引。
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!!! question "为什么会出现哈希冲突？"
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为了缓解哈希冲突，一方面，我们可以通过「哈希表扩容」来减小冲突概率。极端情况下，当输入空间和输出空间大小相等时，哈希表就等价于数组了，可谓“大力出奇迹”。
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因为 **哈希函数的输入空间往往远大于输出空间**，所以不可避免地会出现多个输入产生相同输出的情况。比如，输入空间是全体整数，输出空间是一个固定大小的桶（数组）的索引范围，那么必定会有多个整数同时映射到一个桶索引。
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另一方面，**考虑通过优化数据结构以缓解哈希冲突**，常见的方法有「链式地址」和「开放寻址」。
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虽然理论上哈希冲突难以避免，**但我们仍然可以在数据结构层面上缓解哈希冲突所带来的负面影响**，尽量保证哈希表的增删查改操作效率。
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## 哈希表扩容
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常见的哈希冲突的解决方案有「链式地址」和「开放寻址」。
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「负载因子 Load Factor」定义为 **哈希表中元素数量除以桶槽数量（即数组大小）**，代表哈希冲突的严重程度。
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**负载因子常用作哈希表扩容的触发条件**。比如在 Java 中，当负载因子 $> 0.75$ 时则触发扩容，将 HashMap 大小扩充至原先 $2$ 倍。
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与数组扩容类似，**哈希表扩容操作的开销很大**，因为需要将所有键值对从原哈希表依次移动至新哈希表。
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## 链式地址
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「链式地址」通过引入链表来解决哈希冲突问题，代价是占用空间变大，因为链表或二叉树包含结点指针，相比于数组更加耗费内存空间。
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在原始哈希表中，桶内的每个地址只能存储一个元素（即键值对）。**考虑将单个元素转化成一个链表，将所有冲突元素都存储在一个链表中**。
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### 链表引入
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在原始哈希表中，一个桶地址只能存储一个元素（即键值对）。**考虑将桶地址内的单个元素转变成一个链表，将所有冲突元素都存储在一个链表中**，此时哈希表操作方法为：
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链式地址下，哈希表操作方法为：
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- **查询元素**：先将 key 输入到哈希函数得到桶地址（即访问链表头部），再遍历链表来确定对应的 value 。
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- **添加元素**：先通过哈希函数访问链表头部，再将元素直接添加到链表头部即可。
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||||
- **删除元素**：同样先访问链表头部，再遍历链表查找对应元素，删除之即可。
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||||
- **查询元素**：先将 key 输入到哈希函数得到桶内索引，即可访问链表头结点，再通过遍历链表查找对应 value 。
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||||
- **添加元素**：先通过哈希函数访问链表头部，再将结点（即键值对）添加到链表头部即可。
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||||
- **删除元素**：同样先根据哈希函数结果访问链表头部，再遍历链表查找对应结点，删除之即可。
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（图）
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链式地址虽然解决了哈希冲突问题，但仍存在局限性，包括：
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### 二叉树引入
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- **占用空间变大**，因为链表或二叉树包含结点指针，相比于数组更加耗费内存空间；
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- **查询效率降低**，因为需要线性遍历链表来查找对应元素；
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引入链表虽然解决了哈希冲突，但查询效率也随之降低了，因为需要线性查找（即遍历链表）来确认对应元素。为了缓解此问题，**当某个桶地址内的链表太长时，可以把链表转化为「平衡二叉搜索树」**，将时间复杂度降低至 $O(\log n)$ 。
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||||
!!! note "工业界方案"
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Java 使用了链式地址来解决哈希冲突。在 JDK 1.8 之后， HashMap 内长度大于 8 的链表会被转化为「红黑树」，以提升查找性能。
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为了缓解时间效率问题，**可以把「链表」转化为「AVL 树」或「红黑树」**，将查询操作的时间复杂度优化至 $O(\log n)$ 。
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## 开放寻址
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「开放寻址」不引入额外数据结构，而是通过“向后探测”来解决哈希冲突。根据探测方法的不同，主要分为 **线性探测、平方探测、多次哈希**。
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||||
「开放寻址」不引入额外数据结构，而是通过“多次探测”来解决哈希冲突。根据探测方法的不同，主要分为 **线性探测、平方探测、多次哈希**。
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### 线性探测
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@ -53,16 +54,16 @@ comments: true
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1. 找到对应元素，返回 value 即可；
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2. 若遇到空位，则说明查找键值对不在哈希表中；
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（图）
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线性探测有以下缺陷：
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线性探测存在以下缺陷：
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- **不能直接删除元素**。删除元素会导致桶内出现一个空位，在查找其他元素时，该空位有可能导致程序认为元素不存在（即上述第 `2.` 种情况）。因此需要借助一个标志位来标记删除元素。
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- **容易产生聚集**。桶内被占用的连续位置越长，这些连续位置发生哈希冲突的可能性越大，从而进一步促进这一位置的“聚堆生长”，最终导致增删查改操作效率的劣化。
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### 多次哈希
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||||
顾名思义，「多次哈希」的思路是基于多个哈希函数 $f_1(x)$ , $f_2(x)$ , $f_3(x)$ , $\cdots$ 进行探测。
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顾名思义，「多次哈希」的思路是使用多个哈希函数 $f_1(x)$ , $f_2(x)$ , $f_3(x)$ , $\cdots$ 进行探测。
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||||
**插入元素**：若哈希函数 $f_1(x)$ 出现冲突，则尝试 $f_2(x)$ ，以此类推……直到找到空位后插入元素。
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@ -72,3 +73,11 @@ comments: true
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|||
2. 到空位或已尝试所有哈希函数，说明哈希表中无此元素；
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相比于「线性探测」，「多次哈希」方法更不容易产生聚集，代价是多个哈希函数增加了额外计算量。
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!!! note "工业界方案"
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||||
Java 采用「链式地址」。在 JDK 1.8 之后，HashMap 内数组长度 $> 64$ 时，长度大于 8 的链表会被转化为「红黑树」，以提升查找性能。
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Python 采用「开放寻址」。字典 dict 采用的是随机探测，即使用伪随机数来探测。
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@ -12,7 +12,7 @@ comments: true
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<p align="center"> Fig. 哈希表抽象表示 </p>
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## 哈希表优势
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## 哈希表效率
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除了哈希表之外，还可以使用以下数据结构来实现上述查询功能：
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@ -42,7 +42,7 @@ comments: true
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```java title="hash_map.java"
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||||
/* 初始化哈希表 */
|
||||
Map<Integer, String> map = new HashMap<>();
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||||
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||||
/* 添加操作 */
|
||||
// 在哈希表中添加键值对 (key, value)
|
||||
map.put(12836, "小哈");
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||||
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@ -50,11 +50,11 @@ comments: true
|
|||
map.put(16750, "小算");
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||||
map.put(13276, "小法");
|
||||
map.put(10583, "小鸭");
|
||||
|
||||
|
||||
/* 查询操作 */
|
||||
// 向哈希表输入键 key ，得到值 value
|
||||
String name = map.get(15937);
|
||||
|
||||
|
||||
/* 删除操作 */
|
||||
// 在哈希表中删除键值对 (key, value)
|
||||
map.remove(10583);
|
||||
|
|
@ -65,7 +65,7 @@ comments: true
|
|||
```cpp title="hash_map.cpp"
|
||||
/* 初始化哈希表 */
|
||||
unordered_map<int, string> map;
|
||||
|
||||
|
||||
/* 添加操作 */
|
||||
// 在哈希表中添加键值对 (key, value)
|
||||
map[12836] = "小哈";
|
||||
|
|
@ -73,11 +73,11 @@ comments: true
|
|||
map[16750] = "小算";
|
||||
map[13276] = "小法";
|
||||
map[10583] = "小鸭";
|
||||
|
||||
|
||||
/* 查询操作 */
|
||||
// 向哈希表输入键 key ，得到值 value
|
||||
string name = map[15937];
|
||||
|
||||
|
||||
/* 删除操作 */
|
||||
// 在哈希表中删除键值对 (key, value)
|
||||
map.erase(10583);
|
||||
|
|
@ -88,7 +88,7 @@ comments: true
|
|||
```python title="hash_map.py"
|
||||
""" 初始化哈希表 """
|
||||
mapp = {}
|
||||
|
||||
|
||||
""" 添加操作 """
|
||||
# 在哈希表中添加键值对 (key, value)
|
||||
mapp[12836] = "小哈"
|
||||
|
|
@ -96,11 +96,11 @@ comments: true
|
|||
mapp[16750] = "小算"
|
||||
mapp[13276] = "小法"
|
||||
mapp[10583] = "小鸭"
|
||||
|
||||
|
||||
""" 查询操作 """
|
||||
# 向哈希表输入键 key ，得到值 value
|
||||
name = mapp[15937]
|
||||
|
||||
|
||||
""" 删除操作 """
|
||||
# 在哈希表中删除键值对 (key, value)
|
||||
mapp.pop(10583)
|
||||
|
|
@ -111,7 +111,7 @@ comments: true
|
|||
```go title="hash_map.go"
|
||||
/* 初始化哈希表 */
|
||||
mapp := make(map[int]string)
|
||||
|
||||
|
||||
/* 添加操作 */
|
||||
// 在哈希表中添加键值对 (key, value)
|
||||
mapp[12836] = "小哈"
|
||||
|
|
@ -119,11 +119,11 @@ comments: true
|
|||
mapp[16750] = "小算"
|
||||
mapp[13276] = "小法"
|
||||
mapp[10583] = "小鸭"
|
||||
|
||||
|
||||
/* 查询操作 */
|
||||
// 向哈希表输入键 key ，得到值 value
|
||||
name := mapp[15937]
|
||||
|
||||
|
||||
/* 删除操作 */
|
||||
// 在哈希表中删除键值对 (key, value)
|
||||
delete(mapp, 10583)
|
||||
|
|
@ -141,11 +141,11 @@ comments: true
|
|||
map.set(16750, '小算');
|
||||
map.set(13276, '小法');
|
||||
map.set(10583, '小鸭');
|
||||
|
||||
|
||||
/* 查询操作 */
|
||||
// 向哈希表输入键 key ，得到值 value
|
||||
let name = map.get(15937);
|
||||
|
||||
|
||||
/* 删除操作 */
|
||||
// 在哈希表中删除键值对 (key, value)
|
||||
map.delete(10583);
|
||||
|
|
@ -165,12 +165,12 @@ comments: true
|
|||
map.set(10583, '小鸭');
|
||||
console.info('\n添加完成后，哈希表为\nKey -> Value');
|
||||
console.info(map);
|
||||
|
||||
|
||||
/* 查询操作 */
|
||||
// 向哈希表输入键 key ，得到值 value
|
||||
let name = map.get(15937);
|
||||
console.info('\n输入学号 15937 ，查询到姓名 ' + name);
|
||||
|
||||
|
||||
/* 删除操作 */
|
||||
// 在哈希表中删除键值对 (key, value)
|
||||
map.delete(10583);
|
||||
|
|
@ -181,7 +181,7 @@ comments: true
|
|||
=== "C"
|
||||
|
||||
```c title="hash_map.c"
|
||||
|
||||
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "C#"
|
||||
|
|
@ -189,7 +189,7 @@ comments: true
|
|||
```csharp title="hash_map.cs"
|
||||
/* 初始化哈希表 */
|
||||
Dictionary<int, String> map = new ();
|
||||
|
||||
|
||||
/* 添加操作 */
|
||||
// 在哈希表中添加键值对 (key, value)
|
||||
map.Add(12836, "小哈");
|
||||
|
|
@ -197,11 +197,11 @@ comments: true
|
|||
map.Add(16750, "小算");
|
||||
map.Add(13276, "小法");
|
||||
map.Add(10583, "小鸭");
|
||||
|
||||
|
||||
/* 查询操作 */
|
||||
// 向哈希表输入键 key ，得到值 value
|
||||
String name = map[15937];
|
||||
|
||||
|
||||
/* 删除操作 */
|
||||
// 在哈希表中删除键值对 (key, value)
|
||||
map.Remove(10583);
|
||||
|
|
@ -212,7 +212,7 @@ comments: true
|
|||
```swift title="hash_map.swift"
|
||||
/* 初始化哈希表 */
|
||||
var map: [Int: String] = [:]
|
||||
|
||||
|
||||
/* 添加操作 */
|
||||
// 在哈希表中添加键值对 (key, value)
|
||||
map[12836] = "小哈"
|
||||
|
|
@ -220,11 +220,11 @@ comments: true
|
|||
map[16750] = "小算"
|
||||
map[13276] = "小法"
|
||||
map[10583] = "小鸭"
|
||||
|
||||
|
||||
/* 查询操作 */
|
||||
// 向哈希表输入键 key ，得到值 value
|
||||
let name = map[15937]!
|
||||
|
||||
|
||||
/* 删除操作 */
|
||||
// 在哈希表中删除键值对 (key, value)
|
||||
map.removeValue(forKey: 10583)
|
||||
|
|
@ -341,7 +341,7 @@ comments: true
|
|||
=== "C"
|
||||
|
||||
```c title="hash_map.c"
|
||||
|
||||
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "C#"
|
||||
|
|
@ -413,7 +413,7 @@ $$
|
|||
this.val = val;
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
/* 基于数组简易实现的哈希表 */
|
||||
class ArrayHashMap {
|
||||
private List<Entry> bucket;
|
||||
|
|
@ -424,13 +424,13 @@ $$
|
|||
bucket.add(null);
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
/* 哈希函数 */
|
||||
private int hashFunc(int key) {
|
||||
int index = key % 100;
|
||||
return index;
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
/* 查询操作 */
|
||||
public String get(int key) {
|
||||
int index = hashFunc(key);
|
||||
|
|
@ -438,14 +438,14 @@ $$
|
|||
if (pair == null) return null;
|
||||
return pair.val;
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
/* 添加操作 */
|
||||
public void put(int key, String val) {
|
||||
Entry pair = new Entry(key, val);
|
||||
int index = hashFunc(key);
|
||||
bucket.set(index, pair);
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
/* 删除操作 */
|
||||
public void remove(int key) {
|
||||
int index = hashFunc(key);
|
||||
|
|
@ -468,7 +468,7 @@ $$
|
|||
this->val = val;
|
||||
}
|
||||
};
|
||||
|
||||
|
||||
/* 基于数组简易实现的哈希表 */
|
||||
class ArrayHashMap {
|
||||
private:
|
||||
|
|
@ -478,27 +478,27 @@ $$
|
|||
// 初始化一个长度为 100 的桶（数组）
|
||||
bucket= vector<Entry*>(100);
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
/* 哈希函数 */
|
||||
int hashFunc(int key) {
|
||||
int index = key % 100;
|
||||
return index;
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
/* 查询操作 */
|
||||
string get(int key) {
|
||||
int index = hashFunc(key);
|
||||
Entry* pair = bucket[index];
|
||||
return pair->val;
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
/* 添加操作 */
|
||||
void put(int key, string val) {
|
||||
Entry* pair = new Entry(key, val);
|
||||
int index = hashFunc(key);
|
||||
bucket[index] = pair;
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
/* 删除操作 */
|
||||
void remove(int key) {
|
||||
int index = hashFunc(key);
|
||||
|
|
@ -557,24 +557,24 @@ $$
|
|||
key int
|
||||
val string
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
/* 基于数组简易实现的哈希表 */
|
||||
type arrayHashMap struct {
|
||||
bucket []*entry
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
func newArrayHashMap() *arrayHashMap {
|
||||
// 初始化一个长度为 100 的桶（数组）
|
||||
bucket := make([]*entry, 100)
|
||||
return &arrayHashMap{bucket: bucket}
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
/* 哈希函数 */
|
||||
func (a *arrayHashMap) hashFunc(key int) int {
|
||||
index := key % 100
|
||||
return index
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
/* 查询操作 */
|
||||
func (a *arrayHashMap) get(key int) string {
|
||||
index := a.hashFunc(key)
|
||||
|
|
@ -584,14 +584,14 @@ $$
|
|||
}
|
||||
return pair.val
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
/* 添加操作 */
|
||||
func (a *arrayHashMap) put(key int, val string) {
|
||||
pair := &entry{key: key, val: val}
|
||||
index := a.hashFunc(key)
|
||||
a.bucket[index] = pair
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
/* 删除操作 */
|
||||
func (a *arrayHashMap) remove(key int) {
|
||||
index := a.hashFunc(key)
|
||||
|
|
@ -610,7 +610,7 @@ $$
|
|||
this.val = val;
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
/* 基于数组简易实现的哈希表 */
|
||||
class ArrayHashMap {
|
||||
#bucket;
|
||||
|
|
@ -618,12 +618,12 @@ $$
|
|||
// 初始化一个长度为 100 的桶（数组）
|
||||
this.#bucket = new Array(100).fill(null);
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
/* 哈希函数 */
|
||||
#hashFunc(key) {
|
||||
return key % 100;
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
/* 查询操作 */
|
||||
get(key) {
|
||||
let index = this.#hashFunc(key);
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||||
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@ -631,13 +631,13 @@ $$
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|||
if (entry === null) return null;
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||||
return entry.val;
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}
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||||
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||||
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||||
/* 添加操作 */
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||||
set(key, val) {
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||||
let index = this.#hashFunc(key);
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||||
this.#bucket[index] = new Entry(key, val);
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||||
}
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||||
|
||||
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||||
/* 删除操作 */
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||||
delete(key) {
|
||||
let index = this.#hashFunc(key);
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||||
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@ -735,7 +735,7 @@ $$
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|||
=== "C"
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||||
```c title="array_hash_map.c"
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||||
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||||
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```
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=== "C#"
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||||
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@ -752,7 +752,7 @@ $$
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|||
this.val = val;
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}
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||||
}
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||||
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||||
|
||||
/* 基于数组简易实现的哈希表 */
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||||
class ArrayHashMap
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||||
{
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||||
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@ -804,44 +804,44 @@ $$
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class Entry {
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||||
var key: Int
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var val: String
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||||
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||||
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||||
init(key: Int, val: String) {
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||||
self.key = key
|
||||
self.val = val
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||||
}
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||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
/* 基于数组简易实现的哈希表 */
|
||||
class ArrayHashMap {
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||||
private var bucket: [Entry?] = []
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||||
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||||
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||||
init() {
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||||
// 初始化一个长度为 100 的桶（数组）
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for _ in 0 ..< 100 {
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bucket.append(nil)
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||||
}
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||||
}
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||||
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||||
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||||
/* 哈希函数 */
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||||
private func hashFunc(key: Int) -> Int {
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||||
let index = key % 100
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||||
return index
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||||
}
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||||
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||||
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||||
/* 查询操作 */
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||||
func get(key: Int) -> String? {
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||||
let index = hashFunc(key: key)
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||||
let pair = bucket[index]
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||||
return pair?.val
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||||
}
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||||
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||||
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||||
/* 添加操作 */
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||||
func put(key: Int, val: String) {
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||||
let pair = Entry(key: key, val: val)
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||||
let index = hashFunc(key: key)
|
||||
bucket[index] = pair
|
||||
}
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||||
|
||||
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||||
/* 删除操作 */
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||||
func remove(key: Int) {
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||||
let index = hashFunc(key: key)
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@ -853,13 +853,13 @@ $$
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||||
## 哈希冲突
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||||
细心的同学可能会发现，**哈希函数 $f(x) = x \% 100$ 会在某些情况下失效**。具体地，当输入的 key 后两位相同时，哈希函数的计算结果也相同，指向同一个 value 。例如，分别查询两个学号 12836 和 20336 ，则有
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||||
细心的同学可能会发现，**哈希函数 $f(x) = x \% 100$ 会在某些情况下失效**。具体地，当输入的 key 后两位相同时，哈希函数的计算结果也相同，指向同一个 value 。例如，分别查询两个学号 $12836$ 和 $20336$ ，则有
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$$
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||||
f(12836) = f(20336) = 36
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$$
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||||
两个学号指向了同一个姓名，这明显是不对的，我们将这种现象称为「哈希冲突 Hash Collision」，其会严重影响查询的正确性。如何避免哈希冲突的问题将被留在下章讨论。
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||||
两个学号指向了同一个姓名，这明显是不对的，我们将这种现象称为「哈希冲突 Hash Collision」。如何避免哈希冲突的问题将被留在下章讨论。
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||||
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|||
Binary file not shown.
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After Width: | Height: | Size: 104 KiB |
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@ -163,7 +163,7 @@ comments: true
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|||
=== "C"
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||||
```c title="binary_search_tree.c"
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||||
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||||
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||||
```
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||||
=== "C#"
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||||
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@ -286,10 +286,10 @@ comments: true
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# 若树为空，直接提前返回
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if root is None:
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||||
return None
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||||
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||||
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cur = root
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pre = None
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||||
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||||
# 循环查找，越过叶结点后跳出
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||||
while cur is not None:
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||||
# 找到重复结点，直接返回
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||||
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@ -302,7 +302,7 @@ comments: true
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|||
# 插入位置在 cur 的左子树中
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||||
else:
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cur = cur.left
|
||||
|
||||
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||||
# 插入结点 val
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||||
node = TreeNode(num)
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||||
if pre.val < num:
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@ -410,7 +410,7 @@ comments: true
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|||
=== "C"
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||||
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||||
```c title="binary_search_tree.c"
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||||
|
||||
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||||
```
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||||
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||||
=== "C#"
|
||||
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@ -433,7 +433,7 @@ comments: true
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|||
// 插入位置在 cur 的左子树中
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||||
else cur = cur.left;
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||||
}
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||||
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||||
// 插入结点 val
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||||
TreeNode node = new TreeNode(num);
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||||
if (pre != null)
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@ -519,6 +519,14 @@ comments: true
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|||
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||||
删除结点操作也使用 $O(\log n)$ 时间，其中查找待删除结点 $O(\log n)$ ，获取中序遍历后继结点 $O(\log n)$ 。
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### 排序
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我们知道，「中序遍历」遵循“左 $\rightarrow$ 根 $\rightarrow$ 右”的遍历优先级，而二叉搜索树遵循“左子结点 $<$ 根结点 $<$ 右子结点”的大小关系。因此，在二叉搜索树中进行中序遍历时，总是会优先遍历下一个最小结点，从而得出一条重要性质：**二叉搜索树的中序遍历序列是升序的**。
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借助中序遍历升序的性质，我们在二叉搜索树中获取有序数据仅需 $O(n)$ 时间，而无需额外排序，非常高效。
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=== "Java"
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||||
```java title="binary_search_tree.java"
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@ -614,10 +622,10 @@ comments: true
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|||
# 若树为空，直接提前返回
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||||
if root is None:
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||||
return None
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||||
cur = root
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pre = None
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||||
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||||
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||||
# 循环查找，越过叶结点后跳出
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||||
while cur is not None:
|
||||
# 找到待删除结点，跳出循环
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||||
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|
@ -628,11 +636,11 @@ comments: true
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|||
cur = cur.right
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||||
else: # 待删除结点在 cur 的左子树中
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||||
cur = cur.left
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||||
# 若无待删除结点，则直接返回
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||||
if cur is None:
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return None
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||||
# 子结点数量 = 0 or 1
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||||
if cur.left is None or cur.right is None:
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||||
# 当子结点数量 = 0 / 1 时， child = null / 该子结点
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||||
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|
@ -811,7 +819,7 @@ comments: true
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|||
=== "C"
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||||
|
||||
```c title="binary_search_tree.c"
|
||||
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||||
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||||
```
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||||
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||||
=== "C#"
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||||
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|
@ -926,7 +934,7 @@ comments: true
|
|||
}
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```
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||||
## 二叉搜索树的优势
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## 二叉搜索树的效率
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假设给定 $n$ 个数字，最常用的存储方式是「数组」，那么对于这串乱序的数字，常见操作的效率为：
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@ -22,6 +22,11 @@
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|||
--md-typeset-a-color: #21C8B8;
|
||||
}
|
||||
|
||||
/* https://github.com/squidfunk/mkdocs-material/issues/4832#issuecomment-1374891676 */
|
||||
.md-nav__link[for] {
|
||||
color: var(--md-default-fg-color) !important
|
||||
}
|
||||
|
||||
/* Center Markdown Tables (requires md_in_html extension) */
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||||
.center-table {
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text-align: center;
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