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# 堆積
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<u>堆積（heap）</u>是一種滿足特定條件的完全二元樹，主要可分為兩種型別，如下圖所示。
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- <u>小頂堆積（min heap）</u>：任意節點的值 $\leq$ 其子節點的值。
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- <u>大頂堆積（max heap）</u>：任意節點的值 $\geq$ 其子節點的值。
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堆積作為完全二元樹的一個特例，具有以下特性。
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- 最底層節點靠左填充，其他層的節點都被填滿。
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- 我們將二元樹的根節點稱為“堆積頂”，將底層最靠右的節點稱為“堆積底”。
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- 對於大頂堆積（小頂堆積），堆積頂元素（根節點）的值是最大（最小）的。
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## 堆積的常用操作
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需要指出的是，許多程式語言提供的是<u>優先佇列（priority queue）</u>，這是一種抽象的資料結構，定義為具有優先順序排序的佇列。
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實際上，**堆積通常用於實現優先佇列，大頂堆積相當於元素按從大到小的順序出列的優先佇列**。從使用角度來看，我們可以將“優先佇列”和“堆積”看作等價的資料結構。因此，本書對兩者不做特別區分，統一稱作“堆積”。
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堆積的常用操作見下表，方法名需要根據程式語言來確定。
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<p align="center"> 表 <id> 堆積的操作效率 </p>
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| 方法名 | 描述 | 時間複雜度 |
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| ----------- | ------------------------------------------------ | ----------- |
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| `push()` | 元素入堆積 | $O(\log n)$ |
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| `pop()` | 堆積頂元素出堆積 | $O(\log n)$ |
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| `peek()` | 訪問堆積頂元素（對於大 / 小頂堆積分別為最大 / 小值） | $O(1)$ |
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| `size()` | 獲取堆積的元素數量 | $O(1)$ |
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| `isEmpty()` | 判斷堆積是否為空 | $O(1)$ |
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在實際應用中，我們可以直接使用程式語言提供的堆積類別（或優先佇列類別）。
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類似於排序演算法中的“從小到大排列”和“從大到小排列”，我們可以透過設定一個 `flag` 或修改 `Comparator` 實現“小頂堆積”與“大頂堆積”之間的轉換。程式碼如下所示：
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=== "Python"
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```python title="heap.py"
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# 初始化小頂堆積
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min_heap, flag = [], 1
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# 初始化大頂堆積
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max_heap, flag = [], -1
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# Python 的 heapq 模組預設實現小頂堆積
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# 考慮將“元素取負”後再入堆積，這樣就可以將大小關係顛倒，從而實現大頂堆積
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# 在本示例中，flag = 1 時對應小頂堆積，flag = -1 時對應大頂堆積
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# 元素入堆積
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heapq.heappush(max_heap, flag * 1)
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heapq.heappush(max_heap, flag * 3)
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heapq.heappush(max_heap, flag * 2)
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heapq.heappush(max_heap, flag * 5)
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heapq.heappush(max_heap, flag * 4)
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# 獲取堆積頂元素
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peek: int = flag * max_heap[0] # 5
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# 堆積頂元素出堆積
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# 出堆積元素會形成一個從大到小的序列
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val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 5
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val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 4
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val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 3
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val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 2
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val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 1
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# 獲取堆積大小
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size: int = len(max_heap)
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# 判斷堆積是否為空
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is_empty: bool = not max_heap
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# 輸入串列並建堆積
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min_heap: list[int] = [1, 3, 2, 5, 4]
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heapq.heapify(min_heap)
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```
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=== "C++"
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```cpp title="heap.cpp"
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/* 初始化堆積 */
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// 初始化小頂堆積
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priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> minHeap;
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// 初始化大頂堆積
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priority_queue<int, vector<int>, less<int>> maxHeap;
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/* 元素入堆積 */
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maxHeap.push(1);
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maxHeap.push(3);
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maxHeap.push(2);
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maxHeap.push(5);
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maxHeap.push(4);
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/* 獲取堆積頂元素 */
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int peek = maxHeap.top(); // 5
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/* 堆積頂元素出堆積 */
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// 出堆積元素會形成一個從大到小的序列
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||
maxHeap.pop(); // 5
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||
maxHeap.pop(); // 4
|
||
maxHeap.pop(); // 3
|
||
maxHeap.pop(); // 2
|
||
maxHeap.pop(); // 1
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/* 獲取堆積大小 */
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int size = maxHeap.size();
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/* 判斷堆積是否為空 */
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bool isEmpty = maxHeap.empty();
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/* 輸入串列並建堆積 */
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vector<int> input{1, 3, 2, 5, 4};
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priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> minHeap(input.begin(), input.end());
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```
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=== "Java"
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```java title="heap.java"
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/* 初始化堆積 */
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// 初始化小頂堆積
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Queue<Integer> minHeap = new PriorityQueue<>();
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// 初始化大頂堆積（使用 lambda 表示式修改 Comparator 即可）
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Queue<Integer> maxHeap = new PriorityQueue<>((a, b) -> b - a);
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/* 元素入堆積 */
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maxHeap.offer(1);
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maxHeap.offer(3);
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maxHeap.offer(2);
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maxHeap.offer(5);
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maxHeap.offer(4);
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/* 獲取堆積頂元素 */
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int peek = maxHeap.peek(); // 5
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/* 堆積頂元素出堆積 */
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// 出堆積元素會形成一個從大到小的序列
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||
peek = maxHeap.poll(); // 5
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peek = maxHeap.poll(); // 4
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peek = maxHeap.poll(); // 3
|
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peek = maxHeap.poll(); // 2
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||
peek = maxHeap.poll(); // 1
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/* 獲取堆積大小 */
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int size = maxHeap.size();
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/* 判斷堆積是否為空 */
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boolean isEmpty = maxHeap.isEmpty();
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/* 輸入串列並建堆積 */
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minHeap = new PriorityQueue<>(Arrays.asList(1, 3, 2, 5, 4));
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```
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=== "C#"
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```csharp title="heap.cs"
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/* 初始化堆積 */
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// 初始化小頂堆積
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PriorityQueue<int, int> minHeap = new();
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// 初始化大頂堆積（使用 lambda 表示式修改 Comparator 即可）
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PriorityQueue<int, int> maxHeap = new(Comparer<int>.Create((x, y) => y - x));
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/* 元素入堆積 */
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maxHeap.Enqueue(1, 1);
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maxHeap.Enqueue(3, 3);
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maxHeap.Enqueue(2, 2);
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||
maxHeap.Enqueue(5, 5);
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||
maxHeap.Enqueue(4, 4);
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/* 獲取堆積頂元素 */
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int peek = maxHeap.Peek();//5
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/* 堆積頂元素出堆積 */
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// 出堆積元素會形成一個從大到小的序列
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peek = maxHeap.Dequeue(); // 5
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peek = maxHeap.Dequeue(); // 4
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peek = maxHeap.Dequeue(); // 3
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peek = maxHeap.Dequeue(); // 2
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peek = maxHeap.Dequeue(); // 1
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/* 獲取堆積大小 */
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int size = maxHeap.Count;
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/* 判斷堆積是否為空 */
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bool isEmpty = maxHeap.Count == 0;
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/* 輸入串列並建堆積 */
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minHeap = new PriorityQueue<int, int>([(1, 1), (3, 3), (2, 2), (5, 5), (4, 4)]);
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```
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=== "Go"
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```go title="heap.go"
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// Go 語言中可以透過實現 heap.Interface 來構建整數大頂堆積
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// 實現 heap.Interface 需要同時實現 sort.Interface
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type intHeap []any
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// Push heap.Interface 的方法，實現推入元素到堆積
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func (h *intHeap) Push(x any) {
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// Push 和 Pop 使用 pointer receiver 作為參數
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// 因為它們不僅會對切片的內容進行調整，還會修改切片的長度。
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*h = append(*h, x.(int))
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}
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// Pop heap.Interface 的方法，實現彈出堆積頂元素
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func (h *intHeap) Pop() any {
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// 待出堆積元素存放在最後
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last := (*h)[len(*h)-1]
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*h = (*h)[:len(*h)-1]
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return last
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}
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// Len sort.Interface 的方法
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func (h *intHeap) Len() int {
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return len(*h)
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}
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// Less sort.Interface 的方法
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func (h *intHeap) Less(i, j int) bool {
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// 如果實現小頂堆積，則需要調整為小於號
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return (*h)[i].(int) > (*h)[j].(int)
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}
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// Swap sort.Interface 的方法
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func (h *intHeap) Swap(i, j int) {
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(*h)[i], (*h)[j] = (*h)[j], (*h)[i]
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}
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// Top 獲取堆積頂元素
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func (h *intHeap) Top() any {
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return (*h)[0]
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}
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/* Driver Code */
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func TestHeap(t *testing.T) {
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/* 初始化堆積 */
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// 初始化大頂堆積
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maxHeap := &intHeap{}
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heap.Init(maxHeap)
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/* 元素入堆積 */
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// 呼叫 heap.Interface 的方法，來新增元素
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heap.Push(maxHeap, 1)
|
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heap.Push(maxHeap, 3)
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heap.Push(maxHeap, 2)
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heap.Push(maxHeap, 4)
|
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heap.Push(maxHeap, 5)
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/* 獲取堆積頂元素 */
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top := maxHeap.Top()
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fmt.Printf("堆積頂元素為 %d\n", top)
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/* 堆積頂元素出堆積 */
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// 呼叫 heap.Interface 的方法，來移除元素
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heap.Pop(maxHeap) // 5
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||
heap.Pop(maxHeap) // 4
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||
heap.Pop(maxHeap) // 3
|
||
heap.Pop(maxHeap) // 2
|
||
heap.Pop(maxHeap) // 1
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/* 獲取堆積大小 */
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size := len(*maxHeap)
|
||
fmt.Printf("堆積元素數量為 %d\n", size)
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/* 判斷堆積是否為空 */
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isEmpty := len(*maxHeap) == 0
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||
fmt.Printf("堆積是否為空 %t\n", isEmpty)
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||
}
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```
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=== "Swift"
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```swift title="heap.swift"
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/* 初始化堆積 */
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// Swift 的 Heap 型別同時支持最大堆積和最小堆積，且需要引入 swift-collections
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var heap = Heap<Int>()
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/* 元素入堆積 */
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heap.insert(1)
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heap.insert(3)
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heap.insert(2)
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heap.insert(5)
|
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heap.insert(4)
|
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/* 獲取堆積頂元素 */
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var peek = heap.max()!
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/* 堆積頂元素出堆積 */
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peek = heap.removeMax() // 5
|
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peek = heap.removeMax() // 4
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peek = heap.removeMax() // 3
|
||
peek = heap.removeMax() // 2
|
||
peek = heap.removeMax() // 1
|
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/* 獲取堆積大小 */
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let size = heap.count
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/* 判斷堆積是否為空 */
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let isEmpty = heap.isEmpty
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/* 輸入串列並建堆積 */
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let heap2 = Heap([1, 3, 2, 5, 4])
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```
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=== "JS"
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```javascript title="heap.js"
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// JavaScript 未提供內建 Heap 類別
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```
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=== "TS"
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```typescript title="heap.ts"
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||
// TypeScript 未提供內建 Heap 類別
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```
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=== "Dart"
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```dart title="heap.dart"
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// Dart 未提供內建 Heap 類別
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```
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=== "Rust"
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```rust title="heap.rs"
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use std::collections::BinaryHeap;
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use std::cmp::Reverse;
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/* 初始化堆積 */
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// 初始化小頂堆積
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let mut min_heap = BinaryHeap::<Reverse<i32>>::new();
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// 初始化大頂堆積
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let mut max_heap = BinaryHeap::new();
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/* 元素入堆積 */
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max_heap.push(1);
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max_heap.push(3);
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max_heap.push(2);
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max_heap.push(5);
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max_heap.push(4);
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/* 獲取堆積頂元素 */
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let peek = max_heap.peek().unwrap(); // 5
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/* 堆積頂元素出堆積 */
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// 出堆積元素會形成一個從大到小的序列
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let peek = max_heap.pop().unwrap(); // 5
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||
let peek = max_heap.pop().unwrap(); // 4
|
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let peek = max_heap.pop().unwrap(); // 3
|
||
let peek = max_heap.pop().unwrap(); // 2
|
||
let peek = max_heap.pop().unwrap(); // 1
|
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|
||
/* 獲取堆積大小 */
|
||
let size = max_heap.len();
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/* 判斷堆積是否為空 */
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let is_empty = max_heap.is_empty();
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/* 輸入串列並建堆積 */
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let min_heap = BinaryHeap::from(vec![Reverse(1), Reverse(3), Reverse(2), Reverse(5), Reverse(4)]);
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```
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=== "C"
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```c title="heap.c"
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// C 未提供內建 Heap 類別
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```
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=== "Kotlin"
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```kotlin title="heap.kt"
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/* 初始化堆積 */
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// 初始化小頂堆積
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var minHeap = PriorityQueue<Int>()
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// 初始化大頂堆積（使用 lambda 表示式修改 Comparator 即可）
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val maxHeap = PriorityQueue { a: Int, b: Int -> b - a }
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/* 元素入堆積 */
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maxHeap.offer(1)
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maxHeap.offer(3)
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maxHeap.offer(2)
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||
maxHeap.offer(5)
|
||
maxHeap.offer(4)
|
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|
||
/* 獲取堆積頂元素 */
|
||
var peek = maxHeap.peek() // 5
|
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|
||
/* 堆積頂元素出堆積 */
|
||
// 出堆積元素會形成一個從大到小的序列
|
||
peek = maxHeap.poll() // 5
|
||
peek = maxHeap.poll() // 4
|
||
peek = maxHeap.poll() // 3
|
||
peek = maxHeap.poll() // 2
|
||
peek = maxHeap.poll() // 1
|
||
|
||
/* 獲取堆積大小 */
|
||
val size = maxHeap.size
|
||
|
||
/* 判斷堆積是否為空 */
|
||
val isEmpty = maxHeap.isEmpty()
|
||
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||
/* 輸入串列並建堆積 */
|
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minHeap = PriorityQueue(mutableListOf(1, 3, 2, 5, 4))
|
||
```
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||
=== "Ruby"
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```ruby title="heap.rb"
|
||
# Ruby 未提供內建 Heap 類別
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```
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||
=== "Zig"
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```zig title="heap.zig"
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```
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??? pythontutor "視覺化執行"
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https://pythontutor.com/render.html#code=import%20heapq%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E5%B0%8F%E9%A0%82%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20min_heap%2C%20flag%20%3D%20%5B%5D%2C%201%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E5%A4%A7%E9%A0%82%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20max_heap%2C%20flag%20%3D%20%5B%5D%2C%20-1%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20Python%20%E7%9A%84%20heapq%20%E6%A8%A1%E7%B5%84%E9%A0%90%E8%A8%AD%E5%AF%A6%E7%8F%BE%E5%B0%8F%E9%A0%82%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20%23%20%E8%80%83%E6%85%AE%E5%B0%87%E2%80%9C%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%8F%96%E8%B2%A0%E2%80%9D%E5%BE%8C%E5%86%8D%E5%85%A5%E5%A0%86%E7%A9%8D%EF%BC%8C%E9%80%99%E6%A8%A3%E5%B0%B1%E5%8F%AF%E4%BB%A5%E5%B0%87%E5%A4%A7%E5%B0%8F%E9%97%9C%E4%BF%82%E9%A1%9B%E5%80%92%EF%BC%8C%E5%BE%9E%E8%80%8C%E5%AF%A6%E7%8F%BE%E5%A4%A7%E9%A0%82%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20%23%20%E5%9C%A8%E6%9C%AC%E7%A4%BA%E4%BE%8B%E4%B8%AD%EF%BC%8Cflag%20%3D%201%20%E6%99%82%E5%B0%8D%E6%87%89%E5%B0%8F%E9%A0%82%E5%A0%86%E7%A9%8D%EF%BC%8Cflag%20%3D%20-1%20%E6%99%82%E5%B0%8D%E6%87%89%E5%A4%A7%E9%A0%82%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%85%A5%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20heapq.heappush%28max_heap%2C%20flag%20%2A%201%29%0A%20%20%20%20heapq.heappush%28max_heap%2C%20flag%20%2A%203%29%0A%20%20%20%20heapq.heappush%28max_heap%2C%20flag%20%2A%202%29%0A%20%20%20%20heapq.heappush%28max_heap%2C%20flag%20%2A%205%29%0A%20%20%20%20heapq.heappush%28max_heap%2C%20flag%20%2A%204%29%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8D%B2%E5%8F%96%E5%A0%86%E7%A9%8D%E9%A0%82%E5%85%83%E7%B4%A0%0A%20%20%20%20peek%20%3D%20flag%20%2A%20max_heap%5B0%5D%20%23%205%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E5%A0%86%E7%A9%8D%E9%A0%82%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%87%BA%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20%23%20%E5%87%BA%E5%A0%86%E7%A9%8D%E5%85%83%E7%B4%A0%E6%9C%83%E5%BD%A2%E6%88%90%E4%B8%80%E5%80%8B%E5%BE%9E%E5%A4%A7%E5%88%B0%E5%B0%8F%E7%9A%84%E5%BA%8F%E5%88%97%0A%20%20%20%20val%20%3D%20flag%20%2A%20heapq.heappop%28max_heap%29%20%23%205%0A%20%20%20%20val%20%3D%20flag%20%2A%20heapq.heappop%28max_heap%29%20%23%204%0A%20%20%20%20val%20%3D%20flag%20%2A%20heapq.heappop%28max_heap%29%20%23%203%0A%20%20%20%20val%20%3D%20flag%20%2A%20heapq.heappop%28max_heap%29%20%23%202%0A%20%20%20%20val%20%3D%20flag%20%2A%20heapq.heappop%28max_heap%29%20%23%201%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8D%B2%E5%8F%96%E5%A0%86%E7%A9%8D%E5%A4%A7%E5%B0%8F%0A%20%20%20%20size%20%3D%20len%28max_heap%29%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%A4%E6%96%B7%E5%A0%86%E7%A9%8D%E6%98%AF%E5%90%A6%E7%82%BA%E7%A9%BA%0A%20%20%20%20is_empty%20%3D%20not%20max_heap%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E8%BC%B8%E5%85%A5%E4%B8%B2%E5%88%97%E4%B8%A6%E5%BB%BA%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20min_heap%20%3D%20%5B1%2C%203%2C%202%2C%205%2C%204%5D%0A%20%20%20%20heapq.heapify%28min_heap%29&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&mode=display&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false
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## 堆積的實現
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下文實現的是大頂堆積。若要將其轉換為小頂堆積，只需將所有大小邏輯判斷進行逆轉（例如，將 $\geq$ 替換為 $\leq$ ）。感興趣的讀者可以自行實現。
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### 堆積的儲存與表示
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“二元樹”章節講過，完全二元樹非常適合用陣列來表示。由於堆積正是一種完全二元樹，**因此我們將採用陣列來儲存堆積**。
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當使用陣列表示二元樹時，元素代表節點值，索引代表節點在二元樹中的位置。**節點指標透過索引對映公式來實現**。
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如下圖所示，給定索引 $i$ ，其左子節點的索引為 $2i + 1$ ，右子節點的索引為 $2i + 2$ ，父節點的索引為 $(i - 1) / 2$（向下整除）。當索引越界時，表示空節點或節點不存在。
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我們可以將索引對映公式封裝成函式，方便後續使用：
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```src
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[file]{my_heap}-[class]{max_heap}-[func]{parent}
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```
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### 訪問堆積頂元素
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堆積頂元素即為二元樹的根節點，也就是串列的首個元素：
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```src
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[file]{my_heap}-[class]{max_heap}-[func]{peek}
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```
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### 元素入堆積
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給定元素 `val` ，我們首先將其新增到堆積底。新增之後，由於 `val` 可能大於堆積中其他元素，堆積的成立條件可能已被破壞，**因此需要修復從插入節點到根節點的路徑上的各個節點**，這個操作被稱為<u>堆積化（heapify）</u>。
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考慮從入堆積節點開始，**從底至頂執行堆積化**。如下圖所示，我們比較插入節點與其父節點的值，如果插入節點更大，則將它們交換。然後繼續執行此操作，從底至頂修復堆積中的各個節點，直至越過根節點或遇到無須交換的節點時結束。
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=== "<9>"
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設節點總數為 $n$ ，則樹的高度為 $O(\log n)$ 。由此可知，堆積化操作的迴圈輪數最多為 $O(\log n)$ ，**元素入堆積操作的時間複雜度為 $O(\log n)$** 。程式碼如下所示：
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```src
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[file]{my_heap}-[class]{max_heap}-[func]{sift_up}
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```
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### 堆積頂元素出堆積
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堆積頂元素是二元樹的根節點，即串列首元素。如果我們直接從串列中刪除首元素，那麼二元樹中所有節點的索引都會發生變化，這將使得後續使用堆積化進行修復變得困難。為了儘量減少元素索引的變動，我們採用以下操作步驟。
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1. 交換堆積頂元素與堆積底元素（交換根節點與最右葉節點）。
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2. 交換完成後，將堆積底從串列中刪除（注意，由於已經交換，因此實際上刪除的是原來的堆積頂元素）。
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3. 從根節點開始，**從頂至底執行堆積化**。
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如下圖所示，**“從頂至底堆積化”的操作方向與“從底至頂堆積化”相反**，我們將根節點的值與其兩個子節點的值進行比較，將最大的子節點與根節點交換。然後迴圈執行此操作，直到越過葉節點或遇到無須交換的節點時結束。
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=== "<1>"
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=== "<10>"
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與元素入堆積操作相似，堆積頂元素出堆積操作的時間複雜度也為 $O(\log n)$ 。程式碼如下所示：
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```src
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[file]{my_heap}-[class]{max_heap}-[func]{sift_down}
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```
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## 堆積的常見應用
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- **優先佇列**：堆積通常作為實現優先佇列的首選資料結構，其入列和出列操作的時間複雜度均為 $O(\log n)$ ，而建堆積操作為 $O(n)$ ，這些操作都非常高效。
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- **堆積排序**：給定一組資料，我們可以用它們建立一個堆積，然後不斷地執行元素出堆積操作，從而得到有序資料。然而，我們通常會使用一種更優雅的方式實現堆積排序，詳見“堆積排序”章節。
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- **獲取最大的 $k$ 個元素**：這是一個經典的演算法問題，同時也是一種典型應用，例如選擇熱度前 10 的新聞作為微博熱搜，選取銷量前 10 的商品等。
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