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12.2.   分治搜索策略

我们已经学过，搜索算法分为两大类：暴力搜索、自适应搜索。暴力搜索的时间复杂度为 O(n) 。自适应搜索利用特有的数据组织形式或先验信息，可达到 O(\log n) 甚至 O(1) 的时间复杂度。

实际上，O(\log n) 的搜索算法通常都是基于分治策略实现的，例如：

• 二分查找的每一步都将问题（在数组中搜索目标元素）分解为一个小问题（在数组的一半中搜索目标元素），这个过程一直持续到数组为空或找到目标元素为止。
• 树是分治关系的代表，在二叉搜索树、AVL 树、堆等数据结构中，各种操作的时间复杂度皆为 O(\log n) 。

分治之所以能够提升搜索效率，是因为暴力搜索每轮只能排除一个选项，而基于分治的搜索每轮可以排除一半选项。

12.2.1.   基于分治实现二分

接下来，我们尝试从分治策略的角度分析二分查找的性质：

• 问题可以被分解：二分查找递归地将原问题（在数组中进行查找）分解为子问题（在数组的一半中进行查找），这是通过比较中间元素和目标元素来实现的。
• 子问题是独立的：在二分查找中，每轮只处理一个子问题，它不受另外子问题的影响。
• 子问题的解无需合并：二分查找旨在查找一个特定元素，因此不需要将子问题的解进行合并。当子问题得到解决时，原问题也会同时得到解决。

在之前章节中，我们基于递推（迭代）实现二分查找。现在，我们尝试基于递归分治来实现它。

问题定义为：在数组 nums 的区间 [i, j] 内查找元素 target ，记为 f(i, j) 。

设数组长度为 n ，则二分查找的流程为：从原问题 f(0, n-1) 开始，每轮排除一半索引区间，递归求解规模减小一半的子问题，直至找到 target 或区间为空时返回。

下图展示了在数组中二分查找目标元素 6 的分治过程。

Fig. 二分查找的分治过程

如下代码所示，我们声明一个递归函数 dfs() 来求解问题 f(i, j) 。

=== "Java"

```java title="binary_search_recur.java"
/* 二分查找：问题 f(i, j) */
int dfs(int[] nums, int target, int i, int j) {
    // 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
    if (i > j) {
        return -1;
    }
    // 计算中点索引 m
    int m = (i + j) / 2;
    if (nums[m] < target) {
        // 递归子问题 f(m+1, j)
        return dfs(nums, target, m + 1, j);
    } else if (nums[m] > target) {
        // 递归子问题 f(i, m-1)
        return dfs(nums, target, i, m - 1);
    } else {
        // 找到目标元素，返回其索引
        return m;
    }
}

/* 二分查找 */
int binarySearch(int[] nums, int target) {
    int n = nums.length;
    // 求解问题 f(0, n-1)
    return dfs(nums, target, 0, n - 1);
}
```

=== "C++"

```cpp title="binary_search_recur.cpp"
/* 二分查找：问题 f(i, j) */
int dfs(vector<int> &nums, int target, int i, int j) {
    // 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
    if (i > j) {
        return -1;
    }
    // 计算中点索引 m
    int m = (i + j) / 2;
    if (nums[m] < target) {
        // 递归子问题 f(m+1, j)
        return dfs(nums, target, m + 1, j);
    } else if (nums[m] > target) {
        // 递归子问题 f(i, m-1)
        return dfs(nums, target, i, m - 1);
    } else {
        // 找到目标元素，返回其索引
        return m;
    }
}

/* 二分查找 */
int binarySearch(vector<int> &nums, int target) {
    int n = nums.size();
    // 求解问题 f(0, n-1)
    return dfs(nums, target, 0, n - 1);
}
```

=== "Python"

```python title="binary_search_recur.py"
def dfs(nums: list[int], target: int, i: int, j: int) -> int:
    """二分查找：问题 f(i, j)"""
    # 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
    if i > j:
        return -1
    # 计算中点索引 m
    m = (i + j) // 2
    if nums[m] < target:
        # 递归子问题 f(m+1, j)
        return dfs(nums, target, m + 1, j)
    elif nums[m] > target:
        # 递归子问题 f(i, m-1)
        return dfs(nums, target, i, m - 1)
    else:
        # 找到目标元素，返回其索引
        return m

def binary_search(nums: list[int], target: int) -> int:
    """二分查找"""
    n = len(nums)
    # 求解问题 f(0, n-1)
    return dfs(nums, target, 0, n - 1)
```

=== "Go"

```go title="binary_search_recur.go"
[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{binarySearch}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="binary_search_recur.js"
[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{binarySearch}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="binary_search_recur.ts"
[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{binarySearch}
```

=== "C"

```c title="binary_search_recur.c"
[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{binarySearch}
```

=== "C#"

```csharp title="binary_search_recur.cs"
/* 二分查找：问题 f(i, j) */
int dfs(int[] nums, int target, int i, int j) {
    // 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
    if (i > j) {
        return -1;
    }
    // 计算中点索引 m
    int m = (i + j) / 2;
    if (nums[m] < target) {
        // 递归子问题 f(m+1, j)
        return dfs(nums, target, m + 1, j);
    } else if (nums[m] > target) {
        // 递归子问题 f(i, m-1)
        return dfs(nums, target, i, m - 1);
    } else {
        // 找到目标元素，返回其索引
        return m;
    }
}

/* 二分查找 */
int binarySearch(int[] nums, int target) {
    int n = nums.Length;
    // 求解问题 f(0, n-1)
    return dfs(nums, target, 0, n - 1);
}
```

=== "Swift"

```swift title="binary_search_recur.swift"
[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{binarySearch}
```

=== "Zig"

```zig title="binary_search_recur.zig"
[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{binarySearch}
```

=== "Dart"

```dart title="binary_search_recur.dart"
[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{binarySearch}
```