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krahets 2023-07-26 10:57:40 +08:00
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92
chapter_array_and_linkedlist/array.md
View file

@ -106,6 +106,12 @@ comments: true
List<int> nums = [1, 3, 2, 5, 4];
```
=== "Rust"
```rust title="array.rs"
```
## 4.1.1. &nbsp; 数组优点
**在数组中访问元素非常高效**。由于数组元素被存储在连续的内存空间中，因此计算数组元素的内存地址非常容易。给定数组首个元素的地址和某个元素的索引，我们可以使用以下公式计算得到该元素的内存地址，从而直接访问此元素。
@ -270,6 +276,19 @@ elementAddr = firtstElementAddr + elementLength * elementIndex
}
```
=== "Rust"
```rust title="array.rs"
/* 随机返回一个数组元素 */
fn random_access(nums: &[i32]) -> i32 {
// 在区间 [0, nums.len()) 中随机抽取一个数字
let random_index = rand::thread_rng().gen_range(0..nums.len());
// 获取并返回随机元素
let random_num = nums[random_index];
random_num
}
```
## 4.1.2. &nbsp; 数组缺点
**数组在初始化后长度不可变**。由于系统无法保证数组之后的内存空间是可用的，因此数组长度无法扩展。而若希望扩容数组，则需新建一个数组，然后把原数组元素依次拷贝到新数组，在数组很大的情况下，这是非常耗时的。
@ -457,6 +476,22 @@ elementAddr = firtstElementAddr + elementLength * elementIndex
}
```
=== "Rust"
```rust title="array.rs"
/* 扩展数组长度 */
fn extend(nums: Vec<i32>, enlarge: usize) -> Vec<i32> {
// 初始化一个扩展长度后的数组
let mut res: Vec<i32> = vec![0; nums.len() + enlarge];
// 将原数组中的所有元素复制到新
for i in 0..nums.len() {
res[i] = nums[i];
}
// 返回扩展后的新数组
res
}
```
**数组中插入或删除元素效率低下**。如果我们想要在数组中间插入一个元素，由于数组元素在内存中是“紧挨着的”，它们之间没有空间再放任何数据。因此，我们不得不将此索引之后的所有元素都向后移动一位，然后再把元素赋值给该索引。
![数组插入元素](array.assets/array_insert_element.png)
@ -616,6 +651,20 @@ elementAddr = firtstElementAddr + elementLength * elementIndex
}
```
=== "Rust"
```rust title="array.rs"
/* 在数组的索引 index 处插入元素 num */
fn insert(nums: &mut Vec<i32>, num: i32, index: usize) {
// 把索引 index 以及之后的所有元素向后移动一位
for i in (index + 1..nums.len()).rev() {
nums[i] = nums[i - 1];
}
// 将 num 赋给 index 处元素
nums[index] = num;
}
```
删除元素也类似，如果我们想要删除索引 $i$ 处的元素，则需要把索引 $i$ 之后的元素都向前移动一位。值得注意的是，删除元素后，原先末尾的元素变得“无意义”了，我们无需特意去修改它。
![数组删除元素](array.assets/array_remove_element.png)
@ -755,6 +804,18 @@ elementAddr = firtstElementAddr + elementLength * elementIndex
}
```
=== "Rust"
```rust title="array.rs"
/* 删除索引 index 处元素 */
fn remove(nums: &mut Vec<i32>, index: usize) {
// 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位
for i in index..nums.len() - 1 {
nums[i] = nums[i + 1];
}
}
```
总结来看，数组的插入与删除操作有以下缺点：
- **时间复杂度高**：数组的插入和删除的平均时间复杂度均为 $O(n)$ ，其中 $n$ 为数组长度。
@ -951,6 +1012,23 @@ elementAddr = firtstElementAddr + elementLength * elementIndex
}
```
=== "Rust"
```rust title="array.rs"
/* 遍历数组 */
fn traverse(nums: &[i32]) {
let mut _count = 0;
// 通过索引遍历数组
for _ in 0..nums.len() {
_count += 1;
}
// 直接遍历数组
for _ in nums {
_count += 1;
}
}
```
**数组查找**。通过遍历数组，查找数组内的指定元素，并输出对应索引。
=== "Java"
@ -1096,6 +1174,20 @@ elementAddr = firtstElementAddr + elementLength * elementIndex
}
```
=== "Rust"
```rust title="array.rs"
/* 在数组中查找指定元素 */
fn find(nums: &[i32], target: i32) -> Option<usize> {
for i in 0..nums.len() {
if nums[i] == target {
return Some(i);
}
}
None
}
```
## 4.1.4. &nbsp; 数组典型应用
数组是最基础的数据结构，在各类数据结构和算法中都有广泛应用。

72
chapter_array_and_linkedlist/linked_list.md
View file

@ -169,6 +169,12 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title=""
```
!!! question "尾节点指向什么？"
我们将链表的最后一个节点称为「尾节点」，其指向的是“空”，在 Java, C++, Python 中分别记为 $\text{null}$ , $\text{nullptr}$ , $\text{None}$ 。在不引起歧义的前提下，本书都使用 $\text{None}$ 来表示空。
@ -366,6 +372,12 @@ comments: true
n3.next = n4;
```
=== "Rust"
```rust title="linked_list.rs"
```
## 4.2.1. &nbsp; 链表优点
**链表中插入与删除节点的操作效率高**。例如，如果我们想在链表中间的两个节点 `A` , `B` 之间插入一个新节点 `P` ，我们只需要改变两个节点指针即可，时间复杂度为 $O(1)$ ；相比之下，数组的插入操作效率要低得多。
@ -494,6 +506,18 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title="linked_list.rs"
/* 在链表的节点 n0 之后插入节点 P */
#[allow(non_snake_case)]
pub fn insert<T>(n0: &Rc<RefCell<ListNode<T>>>, P: Rc<RefCell<ListNode<T>>>) {
let n1 = n0.borrow_mut().next.take();
P.borrow_mut().next = n1;
n0.borrow_mut().next = Some(P);
}
```
在链表中删除节点也非常方便，只需改变一个节点的指针即可。如下图所示，尽管在删除操作完成后，节点 `P` 仍然指向 `n1` ，但实际上 `P` 已经不再属于此链表，因为遍历此链表时无法访问到 `P` 。
![链表删除节点](linked_list.assets/linkedlist_remove_node.png)
@ -659,6 +683,22 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title="linked_list.rs"
/* 删除链表的节点 n0 之后的首个节点 */
#[allow(non_snake_case)]
pub fn remove<T>(n0: &Rc<RefCell<ListNode<T>>>) {
if n0.borrow().next.is_none() {return};
// n0 -> P -> n1
let P = n0.borrow_mut().next.take();
if let Some(node) = P {
let n1 = node.borrow_mut().next.take();
n0.borrow_mut().next = n1;
}
}
```
## 4.2.2. &nbsp; 链表缺点
**链表访问节点效率较低**。如上节所述，数组可以在 $O(1)$ 时间下访问任意元素。然而，链表无法直接访问任意节点，这是因为系统需要从头节点出发，逐个向后遍历直至找到目标节点。例如，若要访问链表索引为 `index`（即第 `index + 1` 个）的节点，则需要向后遍历 `index` 轮。
@ -819,6 +859,19 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title="linked_list.rs"
/* 访问链表中索引为 index 的节点 */
pub fn access<T>(head: Rc<RefCell<ListNode<T>>>, index: i32) -> Rc<RefCell<ListNode<T>>> {
if index <= 0 {return head};
if let Some(node) = &head.borrow_mut().next {
return access(node.clone(), index - 1);
}
return head;
}
```
**链表的内存占用较大**。链表以节点为单位，每个节点除了保存值之外，还需额外保存指针（引用）。这意味着在相同数据量的情况下，链表比数组需要占用更多的内存空间。
## 4.2.3. &nbsp; 链表常用操作
@ -1005,6 +1058,19 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title="linked_list.rs"
/* 在链表中查找值为 target 的首个节点 */
pub fn find<T: PartialEq>(head: Rc<RefCell<ListNode<T>>>, target: T, index: i32) -> i32 {
if head.borrow().val == target {return index};
if let Some(node) = &head.borrow_mut().next {
return find(node.clone(), target, index + 1);
}
return -1;
}
```
## 4.2.4. &nbsp; 常见链表类型
**单向链表**。即上述介绍的普通链表。单向链表的节点包含值和指向下一节点的指针（引用）两项数据。我们将首个节点称为头节点，将最后一个节点成为尾节点，尾节点指向空 $\text{None}$ 。
@ -1184,6 +1250,12 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title=""
```
![常见链表种类](linked_list.assets/linkedlist_common_types.png)
<p align="center"> Fig. 常见链表种类 </p>

147
chapter_array_and_linkedlist/list.md
View file

@ -120,6 +120,12 @@ comments: true
List<int> list = [1, 3, 2, 5, 4];
```
=== "Rust"
```rust title="list.rs"
```
**访问与更新元素**。由于列表的底层数据结构是数组，因此可以在 $O(1)$ 时间内访问和更新元素，效率很高。
=== "Java"
@ -228,6 +234,12 @@ comments: true
list[1] = 0; // 将索引 1 处的元素更新为 0
```
=== "Rust"
```rust title="list.rs"
```
**在列表中添加、插入、删除元素**。相较于数组，列表可以自由地添加与删除元素。在列表尾部添加元素的时间复杂度为 $O(1)$ ，但插入和删除元素的效率仍与数组相同，时间复杂度为 $O(N)$ 。
=== "Java"
@ -436,6 +448,12 @@ comments: true
list.removeAt(3); // 删除索引 3 处的元素
```
=== "Rust"
```rust title="list.rs"
```
**遍历列表**。与数组一样，列表可以根据索引遍历，也可以直接遍历各元素。
=== "Java"
@ -603,6 +621,12 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title="list.rs"
```
**拼接两个列表**。给定一个新列表 `list1` ，我们可以将该列表拼接到原列表的尾部。
=== "Java"
@ -694,6 +718,12 @@ comments: true
list.addAll(list1); // 将列表 list1 拼接到 list 之后
```
=== "Rust"
```rust title="list.rs"
```
**排序列表**。排序也是常用的方法之一。完成列表排序后，我们便可以使用在数组类算法题中经常考察的「二分查找」和「双指针」算法。
=== "Java"
@ -772,6 +802,12 @@ comments: true
list.sort(); // 排序后，列表元素从小到大排列
```
=== "Rust"
```rust title="list.rs"
```
## 4.3.2. &nbsp; 列表实现 *
为了帮助加深对列表的理解，我们在此提供一个简易版列表实现。需要关注三个核心点：
@ -1918,3 +1954,114 @@ comments: true
}
}
```
=== "Rust"
```rust title="my_list.rs"
/* 列表类简易实现 */
#[allow(dead_code)]
struct MyList {
nums: Vec<i32>, // 数组（存储列表元素）
capacity: usize, // 列表容量
size: usize, // 列表长度（即当前元素数量）
extend_ratio: usize, // 每次列表扩容的倍数
}
#[allow(unused,unused_comparisons)]
impl MyList {
/* 构造方法 */
pub fn new(capacity: usize) -> Self {
let mut vec = Vec::new();
vec.resize(capacity, 0);
Self {
nums: vec,
capacity,
size: 0,
extend_ratio: 2,
}
}
/* 获取列表长度（即当前元素数量）*/
pub fn size(&self) -> usize {
return self.size;
}
/* 获取列表容量 */
pub fn capacity(&self) -> usize {
return self.capacity;
}
/* 访问元素 */
pub fn get(&self, index: usize) -> i32 {
// 索引如果越界则抛出异常，下同
if index < 0 || index >= self.size {panic!("索引越界")};
return self.nums[index];
}
/* 更新元素 */
pub fn set(&mut self, index: usize, num: i32) {
if index < 0 || index >= self.size {panic!("索引越界")};
self.nums[index] = num;
}
/* 尾部添加元素 */
pub fn add(&mut self, num: i32) {
// 元素数量超出容量时，触发扩容机制
if self.size == self.capacity() {
self.extend_capacity();
}
self.nums[self.size] = num;
// 更新元素数量
self.size += 1;
}
/* 中间插入元素 */
pub fn insert(&mut self, index: usize, num: i32) {
if index < 0 || index >= self.size() {panic!("索引越界")};
// 元素数量超出容量时，触发扩容机制
if self.size == self.capacity() {
self.extend_capacity();
}
// 将索引 index 以及之后的元素都向后移动一位
for j in (index..self.size).rev() {
self.nums[j + 1] = self.nums[j];
}
self.nums[index] = num;
// 更新元素数量
self.size += 1;
}
/* 删除元素 */
pub fn remove(&mut self, index: usize) -> i32 {
if index < 0 || index >= self.size() {panic!("索引越界")};
let num = self.nums[index];
// 将索引 index 之后的元素都向前移动一位
for j in (index..self.size - 1) {
self.nums[j] = self.nums[j + 1];
}
// 更新元素数量
self.size -= 1;
// 返回被删除元素
return num;
}
/* 列表扩容 */
pub fn extend_capacity(&mut self) {
// 新建一个长度为原数组 extend_ratio 倍的新数组，并将原数组拷贝到新数组
let new_capacity = self.capacity * self.extend_ratio;
self.nums.resize(new_capacity, 0);
// 更新列表容量
self.capacity = new_capacity;
}
/* 将列表转换为数组 */
pub fn to_array(&mut self) -> Vec<i32> {
// 仅转换有效长度范围内的列表元素
let mut nums = Vec::new();
for i in 0..self.size {
nums.push(self.get(i));
}
nums
}
}
```

124
chapter_backtracking/backtracking_algorithm.md
View file

@ -165,6 +165,25 @@ comments: true
[class]{}-[func]{preOrder}
```
=== "Rust"
```rust title="preorder_traversal_i_compact.rs"
/* 前序遍历：例题一 */
fn pre_order(res: &mut Vec<Rc<RefCell<TreeNode>>>, root: Option<Rc<RefCell<TreeNode>>>) {
if root.is_none() {
return;
}
if let Some(node) = root {
if node.borrow().val == 7 {
// 记录解
res.push(node.clone());
}
pre_order(res, node.borrow().left.clone());
pre_order(res, node.borrow().right.clone());
}
}
```
![在前序遍历中搜索节点](backtracking_algorithm.assets/preorder_find_nodes.png)
<p align="center"> Fig. 在前序遍历中搜索节点 </p>
@ -370,6 +389,29 @@ comments: true
[class]{}-[func]{preOrder}
```
=== "Rust"
```rust title="preorder_traversal_ii_compact.rs"
/* 前序遍历：例题二 */
fn pre_order(res: &mut Vec<Vec<Rc<RefCell<TreeNode>>>>, path: &mut Vec<Rc<RefCell<TreeNode>>>, root: Option<Rc<RefCell<TreeNode>>>) {
if root.is_none() {
return;
}
if let Some(node) = root {
// 尝试
path.push(node.clone());
if node.borrow().val == 7 {
// 记录解
res.push(path.clone());
}
pre_order(res, path, node.borrow().left.clone());
pre_order(res, path, node.borrow().right.clone());
// 回退
path.remove(path.len() - 1);
}
}
```
在每次“尝试”中，我们通过将当前节点添加进 `path` 来记录路径；而在“回退”前，我们需要将该节点从 `path` 中弹出，**以恢复本次尝试之前的状态**。
观察该过程，**我们可以将尝试和回退理解为“前进”与“撤销”**，两个操作是互为逆向的。
@ -628,6 +670,32 @@ comments: true
[class]{}-[func]{preOrder}
```
=== "Rust"
```rust title="preorder_traversal_iii_compact.rs"
/* 前序遍历：例题三 */
fn pre_order(res: &mut Vec<Vec<Rc<RefCell<TreeNode>>>>, path: &mut Vec<Rc<RefCell<TreeNode>>>, root: Option<Rc<RefCell<TreeNode>>>) {
// 剪枝
if root.is_none() || root.as_ref().unwrap().borrow().val == 3 {
return;
}
if let Some(node) = root {
// 尝试
path.push(node.clone());
if node.borrow().val == 7 {
// 记录解
res.push(path.clone());
path.remove(path.len() - 1);
return;
}
pre_order(res, path, node.borrow().left.clone());
pre_order(res, path, node.borrow().right.clone());
// 回退
path.remove(path.len() - 1);
}
}
```
剪枝是一个非常形象的名词。在搜索过程中，**我们“剪掉”了不满足约束条件的搜索分支**，避免许多无意义的尝试，从而实现搜索效率的提高。
![根据约束条件剪枝](backtracking_algorithm.assets/preorder_find_constrained_paths.png)
@ -902,6 +970,12 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title=""
```
接下来，我们基于框架代码来解决例题三。状态 `state` 为节点遍历路径，选择 `choices` 为当前节点的左子节点和右子节点，结果 `res` 是路径列表。
=== "Java"
@ -1351,6 +1425,56 @@ comments: true
[class]{}-[func]{backtrack}
```
=== "Rust"
```rust title="preorder_traversal_iii_template.rs"
/* 判断当前状态是否为解 */
fn is_solution(state: &mut Vec<Rc<RefCell<TreeNode>>>) -> bool {
return !state.is_empty() && state.get(state.len() - 1).unwrap().borrow().val == 7;
}
/* 记录解 */
fn record_solution(state: &mut Vec<Rc<RefCell<TreeNode>>>, res: &mut Vec<Vec<Rc<RefCell<TreeNode>>>>) {
res.push(state.clone());
}
/* 判断在当前状态下，该选择是否合法 */
fn is_valid(_: &mut Vec<Rc<RefCell<TreeNode>>>, choice: Rc<RefCell<TreeNode>>) -> bool {
return choice.borrow().val != 3;
}
/* 更新状态 */
fn make_choice(state: &mut Vec<Rc<RefCell<TreeNode>>>, choice: Rc<RefCell<TreeNode>>) {
state.push(choice);
}
/* 恢复状态 */
fn undo_choice(state: &mut Vec<Rc<RefCell<TreeNode>>>, _: Rc<RefCell<TreeNode>>) {
state.remove(state.len() - 1);
}
/* 回溯算法：例题三 */
fn backtrack(state: &mut Vec<Rc<RefCell<TreeNode>>>, choices: &mut Vec<Rc<RefCell<TreeNode>>>, res: &mut Vec<Vec<Rc<RefCell<TreeNode>>>>) {
// 检查是否为解
if is_solution(state) {
// 记录解
record_solution(state, res);
}
// 遍历所有选择
for choice in choices {
// 剪枝：检查选择是否合法
if is_valid(state, choice.clone()) {
// 尝试：做出选择，更新状态
make_choice(state, choice.clone());
// 进行下一轮选择
backtrack(state, &mut vec![choice.borrow().left.clone().unwrap(), choice.borrow().right.clone().unwrap()], res);
// 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
undo_choice(state, choice.clone());
}
}
}
```
根据题意，当找到值为 7 的节点后应该继续搜索，**因此我们需要将记录解之后的 `return` 语句删除**。下图对比了保留或删除 `return` 语句的搜索过程。
![保留与删除 return 的搜索过程对比](backtracking_algorithm.assets/backtrack_remove_return_or_not.png)

56
chapter_backtracking/n_queens_problem.md
View file

@ -506,6 +506,62 @@ comments: true
[class]{}-[func]{nQueens}
```
=== "Rust"
```rust title="n_queens.rs"
/* 回溯算法：N 皇后 */
fn backtrack(row: usize, n: usize, state: &mut Vec<Vec<String>>, res: &mut Vec<Vec<Vec<String>>>,
cols: &mut [bool], diags1: &mut [bool], diags2: &mut [bool]) {
// 当放置完所有行时，记录解
if row == n {
let mut copy_state: Vec<Vec<String>> = Vec::new();
for s_row in state.clone() {
copy_state.push(s_row);
}
res.push(copy_state);
return;
}
// 遍历所有列
for col in 0..n {
// 计算该格子对应的主对角线和副对角线
let diag1 = row + n - 1 - col;
let diag2 = row + col;
// 剪枝：不允许该格子所在列、主对角线、副对角线存在皇后
if !cols[col] && !diags1[diag1] && !diags2[diag2] {
// 尝试：将皇后放置在该格子
state.get_mut(row).unwrap()[col] = "Q".into();
(cols[col], diags1[diag1], diags2[diag2]) = (true, true, true);
// 放置下一行
backtrack(row + 1, n, state, res, cols, diags1, diags2);
// 回退：将该格子恢复为空位
state.get_mut(row).unwrap()[col] = "#".into();
(cols[col], diags1[diag1], diags2[diag2]) = (false, false, false);
}
}
}
/* 求解 N 皇后 */
fn n_queens(n: usize) -> Vec<Vec<Vec<String>>> {
// 初始化 n*n 大小的棋盘，其中 'Q' 代表皇后，'#' 代表空位
let mut state: Vec<Vec<String>> = Vec::new();
for _ in 0..n {
let mut row: Vec<String> = Vec::new();
for _ in 0..n {
row.push("#".into());
}
state.push(row);
}
let mut cols = vec![false; n]; // 记录列是否有皇后
let mut diags1 = vec![false; 2 * n - 1]; // 记录主对角线是否有皇后
let mut diags2 = vec![false; 2 * n - 1]; // 记录副对角线是否有皇后
let mut res: Vec<Vec<Vec<String>>> = Vec::new();
backtrack(0, n, &mut state, &mut res, &mut cols, &mut diags1, &mut diags2);
res
}
```
逐行放置 $n$ 次，考虑列约束，则从第一行到最后一行分别有 $n, n-1, \cdots, 2, 1$ 个选择，**因此时间复杂度为 $O(n!)$** 。实际上，根据对角线约束的剪枝也能够大幅地缩小搜索空间，因而搜索效率往往优于以上时间复杂度。
数组 `state` 使用 $O(n^2)$ 空间，数组 `cols` , `diags1` , `diags2` 皆使用 $O(n)$ 空间。最大递归深度为 $n$ ，使用 $O(n)$ 栈帧空间。因此，**空间复杂度为 $O(n^2)$** 。

72
chapter_backtracking/permutations_problem.md
View file

@ -361,6 +361,41 @@ comments: true
[class]{}-[func]{permutationsI}
```
=== "Rust"
```rust title="permutations_i.rs"
/* 回溯算法：全排列 I */
fn backtrack(mut state: Vec<i32>, choices: &[i32], selected: &mut [bool], res: &mut Vec<Vec<i32>>) {
// 当状态长度等于元素数量时，记录解
if state.len() == choices.len() {
res.push(state);
return;
}
// 遍历所有选择
for i in 0..choices.len() {
let choice = choices[i];
// 剪枝：不允许重复选择元素 且 不允许重复选择相等元素
if !selected[i] {
// 尝试：做出选择，更新状态
selected[i] = true;
state.push(choice);
// 进行下一轮选择
backtrack(state.clone(), choices, selected, res);
// 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
selected[i] = false;
state.remove(state.len() - 1);
}
}
}
/* 全排列 I */
fn permutations_i(nums: &mut [i32]) -> Vec<Vec<i32>> {
let mut res = Vec::new(); // 状态（子集）
backtrack(Vec::new(), nums, &mut vec![false; nums.len()], &mut res);
res
}
```
## 13.2.2. &nbsp; 考虑相等元素的情况
!!! question
@ -718,6 +753,43 @@ comments: true
[class]{}-[func]{permutationsII}
```
=== "Rust"
```rust title="permutations_ii.rs"
/* 回溯算法：全排列 II */
fn backtrack(mut state: Vec<i32>, choices: &[i32], selected: &mut [bool], res: &mut Vec<Vec<i32>>) {
// 当状态长度等于元素数量时，记录解
if state.len() == choices.len() {
res.push(state);
return;
}
// 遍历所有选择
let mut duplicated = HashSet::<i32>::new();
for i in 0..choices.len() {
let choice = choices[i];
// 剪枝：不允许重复选择元素 且 不允许重复选择相等元素
if !selected[i] && !duplicated.contains(&choice) {
// 尝试：做出选择，更新状态
duplicated.insert(choice); // 记录选择过的元素值
selected[i] = true;
state.push(choice);
// 进行下一轮选择
backtrack(state.clone(), choices, selected, res);
// 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
selected[i] = false;
state.remove(state.len() - 1);
}
}
}
/* 全排列 II */
fn permutations_ii(nums: &mut [i32]) -> Vec<Vec<i32>> {
let mut res = Vec::new();
backtrack(Vec::new(), nums, &mut vec![false; nums.len()], &mut res);
res
}
```
假设元素两两之间互不相同，则 $n$ 个元素共有 $n!$ 种排列（阶乘）；在记录结果时，需要复制长度为 $n$ 的列表，使用 $O(n)$ 时间。因此，**时间复杂度为 $O(n!n)$** 。
最大递归深度为 $n$ ，使用 $O(n)$ 栈帧空间。`selected` 使用 $O(n)$ 空间。同一时刻最多共有 $n$ 个 `duplicated` ，使用 $O(n^2)$ 空间。**因此空间复杂度为 $O(n^2)$** 。

116
chapter_backtracking/subset_sum_problem.md
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@ -273,6 +273,41 @@ comments: true
[class]{}-[func]{subsetSumINaive}
```
=== "Rust"
```rust title="subset_sum_i_naive.rs"
/* 回溯算法：子集和 I */
fn backtrack(mut state: Vec<i32>, target: i32, total: i32, choices: &[i32], res: &mut Vec<Vec<i32>>) {
// 子集和等于 target 时，记录解
if total == target {
res.push(state);
return;
}
// 遍历所有选择
for i in 0..choices.len() {
// 剪枝：若子集和超过 target ，则跳过该选择
if total + choices[i] > target {
continue;
}
// 尝试：做出选择，更新元素和 total
state.push(choices[i]);
// 进行下一轮选择
backtrack(state.clone(), target, total + choices[i], choices, res);
// 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
state.pop();
}
}
/* 求解子集和 I（包含重复子集） */
fn subset_sum_i_naive(nums: &[i32], target: i32) -> Vec<Vec<i32>> {
let state = Vec::new(); // 状态（子集）
let total = 0; // 子集和
let mut res = Vec::new(); // 结果列表（子集列表）
backtrack(state, target, total, nums, &mut res);
res
}
```
向以上代码输入数组 $[3, 4, 5]$ 和目标元素 $9$ ，输出结果为 $[3, 3, 3], [4, 5], [5, 4]$ 。**虽然成功找出了所有和为 $9$ 的子集，但其中存在重复的子集 $[4, 5]$ 和 $[5, 4]$** 。
这是因为搜索过程是区分选择顺序的，然而子集不区分选择顺序。如下图所示，先选 $4$ 后选 $5$ 与先选 $5$ 后选 $4$ 是两个不同的分支，但两者对应同一个子集。
@ -580,6 +615,44 @@ comments: true
[class]{}-[func]{subsetSumI}
```
=== "Rust"
```rust title="subset_sum_i.rs"
/* 回溯算法：子集和 I */
fn backtrack(mut state: Vec<i32>, target: i32, choices: &[i32], start: usize, res: &mut Vec<Vec<i32>>) {
// 子集和等于 target 时，记录解
if target == 0 {
res.push(state);
return;
}
// 遍历所有选择
// 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
for i in start..choices.len() {
// 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
// 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
if target - choices[i] < 0 {
break;
}
// 尝试：做出选择，更新 target, start
state.push(choices[i]);
// 进行下一轮选择
backtrack(state.clone(), target - choices[i], choices, i, res);
// 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
state.pop();
}
}
/* 求解子集和 I */
fn subset_sum_i(nums: &mut [i32], target: i32) -> Vec<Vec<i32>> {
let state = Vec::new(); // 状态（子集）
nums.sort(); // 对 nums 进行排序
let start = 0; // 遍历起始点
let mut res = Vec::new(); // 结果列表（子集列表）
backtrack(state, target, nums, start, &mut res);
res
}
```
如下图所示，为将数组 $[3, 4, 5]$ 和目标元素 $9$ 输入到以上代码后的整体回溯过程。
![子集和 I 回溯过程](subset_sum_problem.assets/subset_sum_i.png)
@ -903,6 +976,49 @@ comments: true
[class]{}-[func]{subsetSumII}
```
=== "Rust"
```rust title="subset_sum_ii.rs"
/* 回溯算法：子集和 II */
fn backtrack(mut state: Vec<i32>, target: i32, choices: &[i32], start: usize, res: &mut Vec<Vec<i32>>) {
// 子集和等于 target 时，记录解
if target == 0 {
res.push(state);
return;
}
// 遍历所有选择
// 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
// 剪枝三：从 start 开始遍历，避免重复选择同一元素
for i in start..choices.len() {
// 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
// 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
if target - choices[i] < 0 {
break;
}
// 剪枝四：如果该元素与左边元素相等，说明该搜索分支重复，直接跳过
if i > start && choices[i] == choices[i - 1] {
continue;
}
// 尝试：做出选择，更新 target, start
state.push(choices[i]);
// 进行下一轮选择
backtrack(state.clone(), target - choices[i], choices, i, res);
// 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
state.pop();
}
}
/* 求解子集和 II */
fn subset_sum_ii(nums: &mut [i32], target: i32) -> Vec<Vec<i32>> {
let state = Vec::new(); // 状态（子集）
nums.sort(); // 对 nums 进行排序
let start = 0; // 遍历起始点
let mut res = Vec::new(); // 结果列表（子集列表）
backtrack(state, target, nums, start, &mut res);
res
}
```
下图展示了数组 $[4, 4, 5]$ 和目标元素 $9$ 的回溯过程，共包含四种剪枝操作。请你将图示与代码注释相结合，理解整个搜索过程，以及每种剪枝操作是如何工作的。
![子集和 II 回溯过程](subset_sum_problem.assets/subset_sum_ii.png)

118
chapter_computational_complexity/space_complexity.md
View file

@ -286,6 +286,12 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title=""
```
## 2.3.2. &nbsp; 推算方法
空间复杂度的推算方法与时间复杂度大致相同，只是将统计对象从“计算操作数量”转为“使用空间大小”。与时间复杂度不同的是，**我们通常只关注「最差空间复杂度」**，这是因为内存空间是一项硬性要求，我们必须确保在所有输入数据下都有足够的内存空间预留。
@ -418,6 +424,12 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title=""
```
**在递归函数中，需要注意统计栈帧空间**。例如，函数 `loop()` 在循环中调用了 $n$ 次 `function()` ，每轮中的 `function()` 都返回并释放了栈帧空间，因此空间复杂度仍为 $O(1)$ 。而递归函数 `recur()` 在运行过程中会同时存在 $n$ 个未返回的 `recur()` ，从而占用 $O(n)$ 的栈帧空间。
=== "Java"
@ -633,6 +645,12 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title=""
```
## 2.3.3. &nbsp; 常见类型
设输入数据大小为 $n$ ，常见的空间复杂度类型有（从低到高排列）
@ -895,6 +913,28 @@ $$
}
```
=== "Rust"
```rust title="space_complexity.rs"
/* 常数阶 */
#[allow(unused)]
fn constant(n: i32) {
// 常量、变量、对象占用 O(1) 空间
const A: i32 = 0;
let b = 0;
let nums = vec![0; 10000];
let node = ListNode::new(0);
// 循环中的变量占用 O(1) 空间
for i in 0..n {
let c = 0;
}
// 循环中的函数占用 O(1) 空间
for i in 0..n {
function();
}
}
```
### 线性阶 $O(n)$
线性阶常见于元素数量与 $n$ 成正比的数组、链表、栈、队列等。
@ -1140,6 +1180,27 @@ $$
}
```
=== "Rust"
```rust title="space_complexity.rs"
/* 线性阶 */
#[allow(unused)]
fn linear(n: i32) {
// 长度为 n 的数组占用 O(n) 空间
let mut nums = vec![0; n as usize];
// 长度为 n 的列表占用 O(n) 空间
let mut nodes = Vec::new();
for i in 0..n {
nodes.push(ListNode::new(i))
}
// 长度为 n 的哈希表占用 O(n) 空间
let mut map = HashMap::new();
for i in 0..n {
map.insert(i, i.to_string());
}
}
```
以下递归函数会同时存在 $n$ 个未返回的 `algorithm()` 函数，使用 $O(n)$ 大小的栈帧空间。
=== "Java"
@ -1270,6 +1331,17 @@ $$
}
```
=== "Rust"
```rust title="space_complexity.rs"
/* 线性阶（递归实现） */
fn linear_recur(n: i32) {
println!("递归 n = {}", n);
if n == 1 {return};
linear_recur(n - 1);
}
```
![递归函数产生的线性阶空间复杂度](space_complexity.assets/space_complexity_recursive_linear.png)
<p align="center"> Fig. 递归函数产生的线性阶空间复杂度 </p>
@ -1471,6 +1543,26 @@ $$
}
```
=== "Rust"
```rust title="space_complexity.rs"
/* 平方阶 */
#[allow(unused)]
fn quadratic(n: i32) {
// 矩阵占用 O(n^2) 空间
let num_matrix = vec![vec![0; n as usize]; n as usize];
// 二维列表占用 O(n^2) 空间
let mut num_list = Vec::new();
for i in 0..n {
let mut tmp = Vec::new();
for j in 0..n {
tmp.push(0);
}
num_list.push(tmp);
}
}
```
在以下递归函数中，同时存在 $n$ 个未返回的 `algorithm()` ，并且每个函数中都初始化了一个数组，长度分别为 $n, n-1, n-2, ..., 2, 1$ ，平均长度为 $\frac{n}{2}$ ，因此总体占用 $O(n^2)$ 空间。
=== "Java"
@ -1617,6 +1709,19 @@ $$
}
```
=== "Rust"
```rust title="space_complexity.rs"
/* 平方阶（递归实现） */
fn quadratic_recur(n: i32) -> i32 {
if n <= 0 {return 0};
// 数组 nums 长度为 n, n-1, ..., 2, 1
let nums = vec![0; n as usize];
println!("递归 n = {} 中的 nums 长度 = {}", n, nums.len());
return quadratic_recur(n - 1);
}
```
![递归函数产生的平方阶空间复杂度](space_complexity.assets/space_complexity_recursive_quadratic.png)
<p align="center"> Fig. 递归函数产生的平方阶空间复杂度 </p>
@ -1776,6 +1881,19 @@ $$
}
```
=== "Rust"
```rust title="space_complexity.rs"
/* 指数阶（建立满二叉树） */
fn build_tree(n: i32) -> Option<Rc<RefCell<TreeNode>>> {
if n == 0 {return None};
let root = TreeNode::new(0);
root.borrow_mut().left = build_tree(n - 1);
root.borrow_mut().right = build_tree(n - 1);
return Some(root);
}
```
![满二叉树产生的指数阶空间复杂度](space_complexity.assets/space_complexity_exponential.png)
<p align="center"> Fig. 满二叉树产生的指数阶空间复杂度 </p>

221
chapter_computational_complexity/time_complexity.md
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@ -172,6 +172,12 @@ $$
}
```
=== "Rust"
```rust title=""
```
然而实际上，**统计算法的运行时间既不合理也不现实**。首先，我们不希望预估时间和运行平台绑定，因为算法需要在各种不同的平台上运行。其次，我们很难获知每种操作的运行时间，这给预估过程带来了极大的难度。
## 2.2.2. &nbsp; 统计时间增长趋势
@ -398,6 +404,12 @@ $$
}
```
=== "Rust"
```rust title=""
```
![算法 A, B, C 的时间增长趋势](time_complexity.assets/time_complexity_simple_example.png)
<p align="center"> Fig. 算法 A, B, C 的时间增长趋势 </p>
@ -562,6 +574,12 @@ $$
}
```
=== "Rust"
```rust title=""
```
$T(n)$ 是一次函数，说明时间增长趋势是线性的，因此可以得出时间复杂度是线性阶。
我们将线性阶的时间复杂度记为 $O(n)$ ，这个数学符号称为「大 $O$ 记号 Big-$O$ Notation」，表示函数 $T(n)$ 的「渐近上界 Asymptotic Upper Bound」。
@ -803,6 +821,12 @@ $$
}
```
=== "Rust"
```rust title=""
```
### 第二步：判断渐近上界
**时间复杂度由多项式 $T(n)$ 中最高阶的项来决定**。这是因为在 $n$ 趋于无穷大时，最高阶的项将发挥主导作用，其他项的影响都可以被忽略。
@ -994,6 +1018,21 @@ $$
}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
/* 常数阶 */
fn constant(n: i32) -> i32 {
_ = n;
let mut count = 0;
let size = 100_000;
for _ in 0..size {
count += 1;
}
count
}
```
### 线性阶 $O(n)$
线性阶的操作数量相对于输入数据大小以线性级别增长。线性阶通常出现在单层循环中。
@ -1133,6 +1172,19 @@ $$
}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
/* 线性阶 */
fn linear(n: i32) -> i32 {
let mut count = 0;
for _ in 0..n {
count += 1;
}
count
}
```
遍历数组和遍历链表等操作的时间复杂度均为 $O(n)$ ，其中 $n$ 为数组或链表的长度。
!!! question "如何确定输入数据大小 $n$ ？"
@ -1291,6 +1343,20 @@ $$
}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
/* 线性阶（遍历数组） */
fn array_traversal(nums: &[i32]) -> i32 {
let mut count = 0;
// 循环次数与数组长度成正比
for _ in nums {
count += 1;
}
count
}
```
### 平方阶 $O(n^2)$
平方阶的操作数量相对于输入数据大小以平方级别增长。平方阶通常出现在嵌套循环中，外层循环和内层循环都为 $O(n)$ ，因此总体为 $O(n^2)$ 。
@ -1470,6 +1536,22 @@ $$
}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
/* 平方阶 */
fn quadratic(n: i32) -> i32 {
let mut count = 0;
// 循环次数与数组长度成平方关系
for _ in 0..n {
for _ in 0..n {
count += 1;
}
}
count
}
```
![常数阶、线性阶、平方阶的时间复杂度](time_complexity.assets/time_complexity_constant_linear_quadratic.png)
<p align="center"> Fig. 常数阶、线性阶、平方阶的时间复杂度 </p>
@ -1729,6 +1811,29 @@ $$
}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
/* 平方阶（冒泡排序） */
fn bubble_sort(nums: &mut [i32]) -> i32 {
let mut count = 0; // 计数器
// 外循环：未排序区间为 [0, i]
for i in (1..nums.len()).rev() {
// 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
for j in 0..i {
if nums[j] > nums[j + 1] {
// 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
let tmp = nums[j];
nums[j] = nums[j + 1];
nums[j + 1] = tmp;
count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作
}
}
}
count
}
```
### 指数阶 $O(2^n)$
!!! note
@ -1940,6 +2045,25 @@ $$
}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
/* 指数阶（循环实现） */
fn exponential(n: i32) -> i32 {
let mut count = 0;
let mut base = 1;
// cell 每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
for _ in 0..n {
for _ in 0..base {
count += 1
}
base *= 2;
}
// count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
count
}
```
![指数阶的时间复杂度](time_complexity.assets/time_complexity_exponential.png)
<p align="center"> Fig. 指数阶的时间复杂度 </p>
@ -2063,6 +2187,18 @@ $$
}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
/* 指数阶（递归实现） */
fn exp_recur(n: i32) -> i32 {
if n == 1 {
return 1;
}
exp_recur(n - 1) + exp_recur(n - 1) + 1
}
```
### 对数阶 $O(\log n)$
与指数阶相反，对数阶反映了“每轮缩减到一半的情况”。对数阶仅次于常数阶，时间增长缓慢，是理想的时间复杂度。
@ -2226,6 +2362,20 @@ $$
}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
/* 对数阶（循环实现） */
fn logarithmic(mut n: f32) -> i32 {
let mut count = 0;
while n > 1.0 {
n = n / 2.0;
count += 1;
}
count
}
```
![对数阶的时间复杂度](time_complexity.assets/time_complexity_logarithmic.png)
<p align="center"> Fig. 对数阶的时间复杂度 </p>
@ -2349,6 +2499,18 @@ $$
}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
/* 对数阶（递归实现） */
fn log_recur(n: f32) -> i32 {
if n <= 1.0 {
return 0;
}
log_recur(n / 2.0) + 1
}
```
### 线性对数阶 $O(n \log n)$
线性对数阶常出现于嵌套循环中，两层循环的时间复杂度分别为 $O(\log n)$ 和 $O(n)$ 。
@ -2520,6 +2682,23 @@ $$
}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
/* 线性对数阶 */
fn linear_log_recur(n: f32) -> i32 {
if n <= 1.0 {
return 1;
}
let mut count = linear_log_recur(n / 2.0) +
linear_log_recur(n / 2.0);
for _ in 0 ..n as i32 {
count += 1;
}
return count
}
```
![线性对数阶的时间复杂度](time_complexity.assets/time_complexity_logarithmic_linear.png)
<p align="center"> Fig. 线性对数阶的时间复杂度 </p>
@ -2705,6 +2884,23 @@ $$
}
```
=== "Rust"
```rust title="time_complexity.rs"
/* 阶乘阶（递归实现） */
fn factorial_recur(n: i32) -> i32 {
if n == 0 {
return 1;
}
let mut count = 0;
// 从 1 个分裂出 n 个
for _ in 0..n {
count += factorial_recur(n - 1);
}
count
}
```
![阶乘阶的时间复杂度](time_complexity.assets/time_complexity_factorial.png)
<p align="center"> Fig. 阶乘阶的时间复杂度 </p>
@ -3043,6 +3239,31 @@ $$
}
```
=== "Rust"
```rust title="worst_best_time_complexity.rs"
/* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */
fn random_numbers(n: i32) -> Vec<i32> {
// 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
let mut nums = (1..=n).collect::<Vec<i32>>();
// 随机打乱数组元素
nums.shuffle(&mut thread_rng());
nums
}
/* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
fn find_one(nums: &[i32]) -> Option<usize> {
for i in 0..nums.len() {
// 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
// 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
if nums[i] == 1 {
return Some(i);
}
}
None
}
```
!!! tip
实际应用中我们很少使用「最佳时间复杂度」，因为通常只有在很小概率下才能达到，可能会带来一定的误导性。相反，「最差时间复杂度」更为实用，因为它给出了一个“效率安全值”，让我们可以放心地使用算法。

6
chapter_data_structure/basic_data_types.md
View file

@ -143,3 +143,9 @@ comments: true
List<String> characters = List.filled(5, 'a');
List<bool> booleans = List.filled(5, false);
```
=== "Rust"
```rust title=""
```

28
chapter_divide_and_conquer/binary_search_recur.md
View file

@ -247,3 +247,31 @@ status: new
[class]{}-[func]{binarySearch}
```
=== "Rust"
```rust title="binary_search_recur.rs"
/* 二分查找：问题 f(i, j) */
fn dfs(nums: &[i32], target: i32, i: i32, j: i32) -> i32 {
// 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
if i > j { return -1; }
let m: i32 = (i + j) / 2;
if nums[m as usize] < target {
// 递归子问题 f(m+1, j)
return dfs(nums, target, m + 1, j);
} else if nums[m as usize] > target {
// 递归子问题 f(i, m-1)
return dfs(nums, target, i, m - 1);
} else {
// 找到目标元素，返回其索引
return m;
}
}
/* 二分查找 */
fn binary_search(nums: &[i32], target: i32) -> i32 {
let n = nums.len() as i32;
// 求解问题 f(0, n-1)
dfs(nums, target, 0, n - 1)
}
```

31
chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem.md
View file

@ -282,6 +282,37 @@ status: new
[class]{}-[func]{buildTree}
```
=== "Rust"
```rust title="build_tree.rs"
/* 构建二叉树：分治 */
fn dfs(preorder: &[i32], inorder: &[i32], hmap: &HashMap<i32, i32>, i: i32, l: i32, r: i32) -> Option<Rc<RefCell<TreeNode>>> {
// 子树区间为空时终止
if r - l < 0 { return None; }
// 初始化根节点
let root = TreeNode::new(preorder[i as usize]);
// 查询 m ，从而划分左右子树
let m = hmap.get(&preorder[i as usize]).unwrap();
// 子问题：构建左子树
root.borrow_mut().left = dfs(preorder, inorder, hmap, i + 1, l, m - 1);
// 子问题：构建右子树
root.borrow_mut().right = dfs(preorder, inorder, hmap, i + 1 + m - l, m + 1, r);
// 返回根节点
Some(root)
}
/* 构建二叉树 */
fn build_tree(preorder: &[i32], inorder: &[i32]) -> Option<Rc<RefCell<TreeNode>>> {
// 初始化哈希表，存储 inorder 元素到索引的映射
let mut hmap: HashMap<i32, i32> = HashMap::new();
for i in 0..inorder.len() {
hmap.insert(inorder[i], i as i32);
}
let root = dfs(preorder, inorder, &hmap, 0, 0, inorder.len() as i32 - 1);
root
}
```
下图展示了构建二叉树的递归过程，各个节点是在向下“递”的过程中建立的，而各条边（即引用）是在向上“归”的过程中建立的。
=== "<1>"

34
chapter_divide_and_conquer/hanota_problem.md
View file

@ -321,6 +321,40 @@ status: new
[class]{}-[func]{hanota}
```
=== "Rust"
```rust title="hanota.rs"
/* 移动一个圆盘 */
fn move_pan(src: &mut Vec<i32>, tar: &mut Vec<i32>) {
// 从 src 顶部拿出一个圆盘
let pan = src.remove(src.len() - 1);
// 将圆盘放入 tar 顶部
tar.push(pan);
}
/* 求解汉诺塔：问题 f(i) */
fn dfs(i: i32, src: &mut Vec<i32>, buf: &mut Vec<i32>, tar: &mut Vec<i32>) {
// 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
if i == 1 {
move_pan(src, tar);
return;
}
// 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
dfs(i - 1, src, tar, buf);
// 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
move_pan(src, tar);
// 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
dfs(i - 1, buf, src, tar);
}
/* 求解汉诺塔 */
fn hanota(A: &mut Vec<i32>, B: &mut Vec<i32>, C: &mut Vec<i32>) {
let n = A.len() as i32;
// 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
dfs(n, A, B, C);
}
```
如下图所示，汉诺塔问题形成一个高度为 $n$ 的递归树，每个节点代表一个子问题、对应一个开启的 `dfs()` 函数，**因此时间复杂度为 $O(2^n)$ ，空间复杂度为 $O(n)$** 。
![汉诺塔问题的递归树](hanota_problem.assets/hanota_recursive_tree.png)

59
chapter_dynamic_programming/dp_problem_features.md
View file

@ -212,6 +212,26 @@ $$
[class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDP}
```
=== "Rust"
```rust title="min_cost_climbing_stairs_dp.rs"
/* 爬楼梯最小代价：动态规划 */
fn min_cost_climbing_stairs_dp(cost: &[i32]) -> i32 {
let n = cost.len() - 1;
if n == 1 || n == 2 { return cost[n]; }
// 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
let mut dp = vec![-1; n + 1];
// 初始状态：预设最小子问题的解
dp[1] = cost[1];
dp[2] = cost[2];
// 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
for i in 3..=n {
dp[i] = cmp::min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
}
dp[n]
}
```
![爬楼梯最小代价的动态规划过程](dp_problem_features.assets/min_cost_cs_dp.png)
<p align="center"> Fig. 爬楼梯最小代价的动态规划过程 </p>
@ -369,6 +389,23 @@ $$
[class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDPComp}
```
=== "Rust"
```rust title="min_cost_climbing_stairs_dp.rs"
/* 爬楼梯最小代价：状态压缩后的动态规划 */
fn min_cost_climbing_stairs_dp_comp(cost: &[i32]) -> i32 {
let n = cost.len() - 1;
if n == 1 || n == 2 { return cost[n] };
let (mut a, mut b) = (cost[1], cost[2]);
for i in 3..=n {
let tmp = b;
b = cmp::min(a, tmp) + cost[i];
a = tmp;
}
b
}
```
## 14.2.2. &nbsp; 无后效性
「无后效性」是动态规划能够有效解决问题的重要特性之一，定义为：**给定一个确定的状态，它的未来发展只与当前状态有关，而与当前状态过去所经历过的所有状态无关**。
@ -598,6 +635,28 @@ $$
[class]{}-[func]{climbingStairsConstraintDP}
```
=== "Rust"
```rust title="climbing_stairs_constraint_dp.rs"
/* 带约束爬楼梯：动态规划 */
fn climbing_stairs_constraint_dp(n: usize) -> i32 {
if n == 1 || n == 2 { return n as i32 };
// 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
let mut dp = vec![vec![-1; 3]; n + 1];
// 初始状态：预设最小子问题的解
dp[1][1] = 1;
dp[1][2] = 0;
dp[2][1] = 0;
dp[2][2] = 1;
// 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
for i in 3..=n {
dp[i][1] = dp[i - 1][2];
dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2];
}
dp[n][1] + dp[n][2]
}
```
在上面的案例中，由于仅需多考虑前面一个状态，我们仍然可以通过扩展状态定义，使得问题恢复无后效性。然而，许多问题具有非常严重的“有后效性”，例如：
!!! question "爬楼梯与障碍生成"

100
chapter_dynamic_programming/dp_solution_pipeline.md
View file

@ -279,6 +279,27 @@ $$
[class]{}-[func]{minPathSumDFS}
```
=== "Rust"
```rust title="min_path_sum.rs"
/* 最小路径和：暴力搜索 */
fn min_path_sum_dfs(grid: &Vec<Vec<i32>>, i: i32, j: i32) -> i32 {
// 若为左上角单元格，则终止搜索
if i == 0 && j == 0 {
return grid[0][0];
}
// 若行列索引越界，则返回 +∞ 代价
if i < 0 || j < 0 {
return i32::MAX;
}
// 计算从左上角到 (i-1, j) 和 (i, j-1) 的最小路径代价
let left = min_path_sum_dfs(grid, i - 1, j);
let up = min_path_sum_dfs(grid, i, j - 1);
// 返回从左上角到 (i, j) 的最小路径代价
std::cmp::min(left, up) + grid[i as usize][j as usize]
}
```
下图给出了以 $dp[2, 1]$ 为根节点的递归树，其中包含一些重叠子问题，其数量会随着网格 `grid` 的尺寸变大而急剧增多。
本质上看，造成重叠子问题的原因为：**存在多条路径可以从左上角到达某一单元格**。
@ -498,6 +519,32 @@ $$
[class]{}-[func]{minPathSumDFSMem}
```
=== "Rust"
```rust title="min_path_sum.rs"
/* 最小路径和：记忆化搜索 */
fn min_path_sum_dfs_mem(grid: &Vec<Vec<i32>>, mem: &mut Vec<Vec<i32>>, i: i32, j: i32) -> i32 {
// 若为左上角单元格，则终止搜索
if i == 0 && j == 0 {
return grid[0][0];
}
// 若行列索引越界，则返回 +∞ 代价
if i < 0 || j < 0 {
return i32::MAX;
}
// 若已有记录，则直接返回
if mem[i as usize][j as usize] != -1 {
return mem[i as usize][j as usize];
}
// 左边和上边单元格的最小路径代价
let left = min_path_sum_dfs_mem(grid, mem, i - 1, j);
let up = min_path_sum_dfs_mem(grid, mem, i, j - 1);
// 记录并返回左上角到 (i, j) 的最小路径代价
mem[i as usize][j as usize] = std::cmp::min(left, up) + grid[i as usize][j as usize];
mem[i as usize][j as usize]
}
```
引入记忆化后，所有子问题的解只需计算一次，因此时间复杂度取决于状态总数，即网格尺寸 $O(nm)$ 。
![记忆化搜索递归树](dp_solution_pipeline.assets/min_path_sum_dfs_mem.png)
@ -721,6 +768,33 @@ $$
[class]{}-[func]{minPathSumDP}
```
=== "Rust"
```rust title="min_path_sum.rs"
/* 最小路径和：动态规划 */
fn min_path_sum_dp(grid: &Vec<Vec<i32>>) -> i32 {
let (n, m) = (grid.len(), grid[0].len());
// 初始化 dp 表
let mut dp = vec![vec![0; m]; n];
dp[0][0] = grid[0][0];
// 状态转移：首行
for j in 1..m {
dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j];
}
// 状态转移：首列
for i in 1..n {
dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
}
// 状态转移：其余行列
for i in 1..n {
for j in 1..m {
dp[i][j] = std::cmp::min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + grid[i][j];
}
}
dp[n - 1][m - 1]
}
```
下图展示了最小路径和的状态转移过程，其遍历了整个网格，**因此时间复杂度为 $O(nm)$** 。
数组 `dp` 大小为 $n \times m$ ，**因此空间复杂度为 $O(nm)$** 。
@ -969,3 +1043,29 @@ $$
```dart title="min_path_sum.dart"
[class]{}-[func]{minPathSumDPComp}
```
=== "Rust"
```rust title="min_path_sum.rs"
/* 最小路径和：状态压缩后的动态规划 */
fn min_path_sum_dp_comp(grid: &Vec<Vec<i32>>) -> i32 {
let (n, m) = (grid.len(), grid[0].len());
// 初始化 dp 表
let mut dp = vec![0; m];
// 状态转移：首行
dp[0] = grid[0][0];
for j in 1..m {
dp[j] = dp[j - 1] + grid[0][j];
}
// 状态转移：其余行
for i in 1..n {
// 状态转移：首列
dp[0] = dp[0] + grid[i][0];
// 状态转移：其余列
for j in 1..m {
dp[j] = std::cmp::min(dp[j - 1], dp[j]) + grid[i][j];
}
}
dp[m - 1]
}
```

63
chapter_dynamic_programming/edit_distance_problem.md
View file

@ -310,6 +310,36 @@ $$
[class]{}-[func]{editDistanceDP}
```
=== "Rust"
```rust title="edit_distance.rs"
/* 编辑距离：动态规划 */
fn edit_distance_dp(s: &str, t: &str) -> i32 {
let (n, m) = (s.len(), t.len());
let mut dp = vec![vec![0; m + 1]; n + 1];
// 状态转移：首行首列
for i in 1..= n {
dp[i][0] = i as i32;
}
for j in 1..m {
dp[0][j] = j as i32;
}
// 状态转移：其余行列
for i in 1..=n {
for j in 1..=m {
if s.chars().nth(i - 1) == t.chars().nth(j - 1) {
// 若两字符相等，则直接跳过此两字符
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
} else {
// 最少编辑步数 = 插入、删除、替换这三种操作的最少编辑步数 + 1
dp[i][j] = std::cmp::min(std::cmp::min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;
}
}
}
dp[n][m]
}
```
如下图所示，编辑距离问题的状态转移过程与背包问题非常类似，都可以看作是填写一个二维网格的过程。
=== "<1>"
@ -615,3 +645,36 @@ $$
```dart title="edit_distance.dart"
[class]{}-[func]{editDistanceDPComp}
```
=== "Rust"
```rust title="edit_distance.rs"
/* 编辑距离：状态压缩后的动态规划 */
fn edit_distance_dp_comp(s: &str, t: &str) -> i32 {
let (n, m) = (s.len(), t.len());
let mut dp = vec![0; m + 1];
// 状态转移：首行
for j in 1..m {
dp[j] = j as i32;
}
// 状态转移：其余行
for i in 1..=n {
// 状态转移：首列
let mut leftup = dp[0]; // 暂存 dp[i-1, j-1]
dp[0] = i as i32;
// 状态转移：其余列
for j in 1..=m {
let temp = dp[j];
if s.chars().nth(i - 1) == t.chars().nth(j - 1) {
// 若两字符相等，则直接跳过此两字符
dp[j] = leftup;
} else {
// 最少编辑步数 = 插入、删除、替换这三种操作的最少编辑步数 + 1
dp[j] = std::cmp::min(std::cmp::min(dp[j - 1], dp[j]), leftup) + 1;
}
leftup = temp; // 更新为下一轮的 dp[i-1, j-1]
}
}
dp[m]
}
```

106
chapter_dynamic_programming/intro_to_dynamic_programming.md
View file

@ -265,6 +265,34 @@ status: new
[class]{}-[func]{climbingStairsBacktrack}
```
=== "Rust"
```rust title="climbing_stairs_backtrack.rs"
/* 回溯 */
fn backtrack(choices: &[i32], state: i32, n: i32, res: &mut [i32]) {
// 当爬到第 n 阶时，方案数量加 1
if state == n { res[0] = res[0] + 1; }
// 遍历所有选择
for &choice in choices {
// 剪枝：不允许越过第 n 阶
if state + choice > n { break; }
// 尝试：做出选择，更新状态
backtrack(choices, state + choice, n, res);
// 回退
}
}
/* 爬楼梯：回溯 */
fn climbing_stairs_backtrack(n: usize) -> i32 {
let choices = vec![ 1, 2 ]; // 可选择向上爬 1 或 2 阶
let state = 0; // 从第 0 阶开始爬
let mut res = Vec::new();
res.push(0); // 使用 res[0] 记录方案数量
backtrack(&choices, state, n as i32, &mut res);
res[0]
}
```
## 14.1.1. &nbsp; 方法一：暴力搜索
回溯算法通常并不显式地对问题进行拆解，而是将问题看作一系列决策步骤，通过试探和剪枝，搜索所有可能的解。
@ -462,6 +490,24 @@ $$
[class]{}-[func]{climbingStairsDFS}
```
=== "Rust"
```rust title="climbing_stairs_dfs.rs"
/* 搜索 */
fn dfs(i: usize) -> i32 {
// 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
if i == 1 || i == 2 { return i as i32; }
// dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
let count = dfs(i - 1) + dfs(i - 2);
count
}
/* 爬楼梯：搜索 */
fn climbing_stairs_dfs(n: usize) -> i32 {
dfs(n)
}
```
下图展示了暴力搜索形成的递归树。对于问题 $dp[n]$ ，其递归树的深度为 $n$ ，时间复杂度为 $O(2^n)$ 。指数阶属于爆炸式增长，如果我们输入一个比较大的 $n$ ，则会陷入漫长的等待之中。
![爬楼梯对应递归树](intro_to_dynamic_programming.assets/climbing_stairs_dfs_tree.png)
@ -702,6 +748,30 @@ $$
[class]{}-[func]{climbingStairsDFSMem}
```
=== "Rust"
```rust title="climbing_stairs_dfs_mem.rs"
/* 记忆化搜索 */
fn dfs(i: usize, mem: &mut [i32]) -> i32 {
// 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
if i == 1 || i == 2 { return i as i32; }
// 若存在记录 dp[i] ，则直接返回之
if mem[i] != -1 { return mem[i]; }
// dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
let count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem);
// 记录 dp[i]
mem[i] = count;
count
}
/* 爬楼梯：记忆化搜索 */
fn climbing_stairs_dfs_mem(n: usize) -> i32 {
// mem[i] 记录爬到第 i 阶的方案总数，-1 代表无记录
let mut mem = vec![-1; n + 1];
dfs(n, &mut mem)
}
```
观察下图，**经过记忆化处理后，所有重叠子问题都只需被计算一次，时间复杂度被优化至 $O(n)$** ，这是一个巨大的飞跃。
![记忆化搜索对应递归树](intro_to_dynamic_programming.assets/climbing_stairs_dfs_memo_tree.png)
@ -881,6 +951,26 @@ $$
[class]{}-[func]{climbingStairsDP}
```
=== "Rust"
```rust title="climbing_stairs_dp.rs"
/* 爬楼梯：动态规划 */
fn climbing_stairs_dp(n: usize) -> i32 {
// 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
if n == 1 || n == 2 { return n as i32; }
// 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
let mut dp = vec![-1; n + 1];
// 初始状态：预设最小子问题的解
dp[1] = 1;
dp[2] = 2;
// 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
for i in 3..=n {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}
dp[n]
}
```
与回溯算法一样，动态规划也使用“状态”概念来表示问题求解的某个特定阶段，每个状态都对应一个子问题以及相应的局部最优解。例如，爬楼梯问题的状态定义为当前所在楼梯阶数 $i$ 。
总结以上，动态规划的常用术语包括：
@ -1038,6 +1128,22 @@ $$
[class]{}-[func]{climbingStairsDPComp}
```
=== "Rust"
```rust title="climbing_stairs_dp.rs"
/* 爬楼梯：状态压缩后的动态规划 */
fn climbing_stairs_dp_comp(n: usize) -> i32 {
if n == 1 || n == 2 { return n as i32; }
let (mut a, mut b) = (1, 2);
for _ in 3..=n {
let tmp = b;
b = a + b;
a = tmp;
}
b
}
```
观察以上代码，由于省去了数组 `dp` 占用的空间，因此空间复杂度从 $O(n)$ 降低至 $O(1)$ 。
**这种空间优化技巧被称为「状态压缩」**。在常见的动态规划问题中，当前状态仅与前面有限个状态有关，这时我们可以应用状态压缩，只保留必要的状态，通过“降维”来节省内存空间。

93
chapter_dynamic_programming/knapsack_problem.md
View file

@ -231,6 +231,27 @@ $$
[class]{}-[func]{knapsackDFS}
```
=== "Rust"
```rust title="knapsack.rs"
/* 0-1 背包：暴力搜索 */
fn knapsack_dfs(wgt: &[i32], val: &[i32], i: usize, c: usize) -> i32 {
// 若已选完所有物品或背包无容量，则返回价值 0
if i == 0 || c == 0 {
return 0;
}
// 若超过背包容量，则只能不放入背包
if wgt[i - 1] > c as i32 {
return knapsack_dfs(wgt, val, i - 1, c);
}
// 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
let no = knapsack_dfs(wgt, val, i - 1, c);
let yes = knapsack_dfs(wgt, val, i - 1, c - wgt[i - 1] as usize) + val[i - 1];
// 返回两种方案中价值更大的那一个
std::cmp::max(no, yes)
}
```
如下图所示，由于每个物品都会产生不选和选两条搜索分支，因此时间复杂度为 $O(2^n)$ 。
观察递归树，容易发现其中存在重叠子问题，例如 $dp[1, 10]$ 等。而当物品较多、背包容量较大，尤其是相同重量的物品较多时，重叠子问题的数量将会大幅增多。
@ -449,6 +470,32 @@ $$
[class]{}-[func]{knapsackDFSMem}
```
=== "Rust"
```rust title="knapsack.rs"
/* 0-1 背包：记忆化搜索 */
fn knapsack_dfs_mem(wgt: &[i32], val: &[i32], mem: &mut Vec<Vec<i32>>, i: usize, c: usize) -> i32 {
// 若已选完所有物品或背包无容量，则返回价值 0
if i == 0 || c == 0 {
return 0;
}
// 若已有记录，则直接返回
if mem[i][c] != -1 {
return mem[i][c];
}
// 若超过背包容量，则只能不放入背包
if wgt[i - 1] > c as i32 {
return knapsack_dfs_mem(wgt, val, mem, i - 1, c);
}
// 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
let no = knapsack_dfs_mem(wgt, val, mem, i - 1, c);
let yes = knapsack_dfs_mem(wgt, val, mem, i - 1, c - wgt[i - 1] as usize) + val[i - 1];
// 记录并返回两种方案中价值更大的那一个
mem[i][c] = std::cmp::max(no, yes);
mem[i][c]
}
```
![0-1 背包的记忆化搜索递归树](knapsack_problem.assets/knapsack_dfs_mem.png)
<p align="center"> Fig. 0-1 背包的记忆化搜索递归树 </p>
@ -648,6 +695,30 @@ $$
[class]{}-[func]{knapsackDP}
```
=== "Rust"
```rust title="knapsack.rs"
/* 0-1 背包：动态规划 */
fn knapsack_dp(wgt: &[i32], val: &[i32], cap: usize) -> i32 {
let n = wgt.len();
// 初始化 dp 表
let mut dp = vec![vec![0; cap + 1]; n + 1];
// 状态转移
for i in 1..=n {
for c in 1..=cap {
if wgt[i - 1] > c as i32 {
// 若超过背包容量，则不选物品 i
dp[i][c] = dp[i - 1][c];
} else {
// 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
dp[i][c] = std::cmp::max(dp[i - 1][c], dp[i - 1][c - wgt[i - 1] as usize] + val[i - 1]);
}
}
}
dp[n][cap]
}
```
如下图所示，时间复杂度和空间复杂度都由数组 `dp` 大小决定，即 $O(n \times cap)$ 。
=== "<1>"
@ -903,3 +974,25 @@ $$
```dart title="knapsack.dart"
[class]{}-[func]{knapsackDPComp}
```
=== "Rust"
```rust title="knapsack.rs"
/* 0-1 背包：状态压缩后的动态规划 */
fn knapsack_dp_comp(wgt: &[i32], val: &[i32], cap: usize) -> i32 {
let n = wgt.len();
// 初始化 dp 表
let mut dp = vec![0; cap + 1];
// 状态转移
for i in 1..=n {
// 倒序遍历
for c in (1..=cap).rev() {
if wgt[i - 1] <= c as i32 {
// 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
dp[c] = std::cmp::max(dp[c], dp[c - wgt[i - 1] as usize] + val[i - 1]);
}
}
}
dp[cap]
}
```

157
chapter_dynamic_programming/unbounded_knapsack_problem.md
View file

@ -228,6 +228,30 @@ $$
[class]{}-[func]{unboundedKnapsackDP}
```
=== "Rust"
```rust title="unbounded_knapsack.rs"
/* 完全背包：动态规划 */
fn unbounded_knapsack_dp(wgt: &[i32], val: &[i32], cap: usize) -> i32 {
let n = wgt.len();
// 初始化 dp 表
let mut dp = vec![vec![0; cap + 1]; n + 1];
// 状态转移
for i in 1..=n {
for c in 1..=cap {
if wgt[i - 1] > c as i32 {
// 若超过背包容量，则不选物品 i
dp[i][c] = dp[i - 1][c];
} else {
// 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
dp[i][c] = std::cmp::max(dp[i - 1][c], dp[i][c - wgt[i - 1] as usize] + val[i - 1]);
}
}
}
return dp[n][cap];
}
```
### 状态压缩
由于当前状态是从左边和上边的状态转移而来，**因此状态压缩后应该对 $dp$ 表中的每一行采取正序遍历**。
@ -443,6 +467,30 @@ $$
[class]{}-[func]{unboundedKnapsackDPComp}
```
=== "Rust"
```rust title="unbounded_knapsack.rs"
/* 完全背包：状态压缩后的动态规划 */
fn unbounded_knapsack_dp_comp(wgt: &[i32], val: &[i32], cap: usize) -> i32 {
let n = wgt.len();
// 初始化 dp 表
let mut dp = vec![0; cap + 1];
// 状态转移
for i in 1..=n {
for c in 1..=cap {
if wgt[i - 1] > c as i32 {
// 若超过背包容量，则不选物品 i
dp[c] = dp[c];
} else {
// 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
dp[c] = std::cmp::max(dp[c], dp[c - wgt[i - 1] as usize] + val[i - 1]);
}
}
}
dp[cap]
}
```
## 14.5.2. &nbsp; 零钱兑换问题
背包问题是一大类动态规划问题的代表，其拥有很多的变种，例如零钱兑换问题。
@ -724,6 +772,35 @@ $$
[class]{}-[func]{coinChangeDP}
```
=== "Rust"
```rust title="coin_change.rs"
/* 零钱兑换：动态规划 */
fn coin_change_dp(coins: &[i32], amt: usize) -> i32 {
let n = coins.len();
let max = amt + 1;
// 初始化 dp 表
let mut dp = vec![vec![0; amt + 1]; n + 1];
// 状态转移：首行首列
for a in 1..= amt {
dp[0][a] = max;
}
// 状态转移：其余行列
for i in 1..=n {
for a in 1..=amt {
if coins[i - 1] > a as i32 {
// 若超过背包容量，则不选硬币 i
dp[i][a] = dp[i - 1][a];
} else {
// 不选和选硬币 i 这两种方案的较小值
dp[i][a] = std::cmp::min(dp[i - 1][a], dp[i][a - coins[i - 1] as usize] + 1);
}
}
}
if dp[n][amt] != max { return dp[n][amt] as i32; } else { -1 }
}
```
下图展示了零钱兑换的动态规划过程，和完全背包非常相似。
=== "<1>"
@ -991,6 +1068,33 @@ $$
[class]{}-[func]{coinChangeDPComp}
```
=== "Rust"
```rust title="coin_change.rs"
/* 零钱兑换：状态压缩后的动态规划 */
fn coin_change_dp_comp(coins: &[i32], amt: usize) -> i32 {
let n = coins.len();
let max = amt + 1;
// 初始化 dp 表
let mut dp = vec![0; amt + 1];
dp.fill(max);
dp[0] = 0;
// 状态转移
for i in 1..=n {
for a in 1..=amt {
if coins[i - 1] > a as i32 {
// 若超过背包容量，则不选硬币 i
dp[a] = dp[a];
} else {
// 不选和选硬币 i 这两种方案的较小值
dp[a] = std::cmp::min(dp[a], dp[a - coins[i - 1] as usize] + 1);
}
}
}
if dp[amt] != max { return dp[amt] as i32; } else { -1 }
}
```
## 14.5.3. &nbsp; 零钱兑换问题 II
!!! question
@ -1231,6 +1335,34 @@ $$
[class]{}-[func]{coinChangeIIDP}
```
=== "Rust"
```rust title="coin_change_ii.rs"
/* 零钱兑换 II：动态规划 */
fn coin_change_ii_dp(coins: &[i32], amt: usize) -> i32 {
let n = coins.len();
// 初始化 dp 表
let mut dp = vec![vec![0; amt + 1]; n + 1];
// 初始化首列
for i in 0..= n {
dp[i][0] = 1;
}
// 状态转移
for i in 1..=n {
for a in 1..=amt {
if coins[i - 1] > a as i32 {
// 若超过背包容量，则不选硬币 i
dp[i][a] = dp[i - 1][a];
} else {
// 不选和选硬币 i 这两种方案的较小值
dp[i][a] = dp[i - 1][a] + dp[i][a - coins[i - 1] as usize];
}
}
}
dp[n][amt]
}
```
### 状态压缩
状态压缩处理方式相同，删除硬币维度即可。
@ -1431,3 +1563,28 @@ $$
```dart title="coin_change_ii.dart"
[class]{}-[func]{coinChangeIIDPComp}
```
=== "Rust"
```rust title="coin_change_ii.rs"
/* 零钱兑换 II：状态压缩后的动态规划 */
fn coin_change_ii_dp_comp(coins: &[i32], amt: usize) -> i32 {
let n = coins.len();
// 初始化 dp 表
let mut dp = vec![0; amt + 1];
dp[0] = 1;
// 状态转移
for i in 1..=n {
for a in 1..=amt {
if coins[i - 1] > a as i32 {
// 若超过背包容量，则不选硬币 i
dp[a] = dp[a];
} else {
// 不选和选硬币 i 这两种方案的较小值
dp[a] = dp[a] + dp[a - coins[i - 1] as usize];
}
}
}
dp[amt]
}
```

195
chapter_graph/graph_operations.md
View file

@ -1021,6 +1021,107 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title="graph_adjacency_matrix.rs"
/* 基于邻接矩阵实现的无向图类型 */
pub struct GraphAdjMat {
// 顶点列表，元素代表“顶点值”，索引代表“顶点索引”
pub vertices: Vec<i32>,
// 邻接矩阵，行列索引对应“顶点索引”
pub adj_mat: Vec<Vec<i32>>,
}
impl GraphAdjMat {
/* 构造方法 */
pub fn new(vertices: Vec<i32>, edges: Vec<[usize; 2]>) -> Self {
let mut graph = GraphAdjMat {
vertices: vec![],
adj_mat: vec![],
};
// 添加顶点
for val in vertices {
graph.add_vertex(val);
}
// 添加边
// 请注意，edges 元素代表顶点索引，即对应 vertices 元素索引
for edge in edges {
graph.add_edge(edge[0], edge[1])
}
graph
}
/* 获取顶点数量 */
pub fn size(&self) -> usize {
self.vertices.len()
}
/* 添加顶点 */
pub fn add_vertex(&mut self, val: i32) {
let n = self.size();
// 向顶点列表中添加新顶点的值
self.vertices.push(val);
// 在邻接矩阵中添加一行
self.adj_mat.push(vec![0; n]);
// 在邻接矩阵中添加一列
for row in &mut self.adj_mat {
row.push(0);
}
}
/* 删除顶点 */
pub fn remove_vertex(&mut self, index: usize) {
if index >= self.size() {
panic!("index error")
}
// 在顶点列表中移除索引 index 的顶点
self.vertices.remove(index);
// 在邻接矩阵中删除索引 index 的行
self.adj_mat.remove(index);
// 在邻接矩阵中删除索引 index 的列
for row in &mut self.adj_mat {
row.remove(index);
}
}
/* 添加边 */
pub fn add_edge(&mut self, i: usize, j: usize) {
// 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
// 索引越界与相等处理
if i >= self.size() || j >= self.size() || i == j {
panic!("index error")
}
// 在无向图中，邻接矩阵沿主对角线对称，即满足 (i, j) == (j, i)
self.adj_mat[i][j] = 1;
self.adj_mat[j][i] = 1;
}
/* 删除边 */
// 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
pub fn remove_edge(&mut self, i: usize, j: usize) {
// 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
// 索引越界与相等处理
if i >= self.size() || j >= self.size() || i == j {
panic!("index error")
}
self.adj_mat[i][j] = 0;
self.adj_mat[j][i] = 0;
}
/* 打印邻接矩阵 */
pub fn print(&self) {
println!("顶点列表 = {:?}", self.vertices);
println!("邻接矩阵 =");
println!("[");
for row in &self.adj_mat {
println!(" {:?},", row);
}
println!("]")
}
}
```
## 9.2.2. &nbsp; 基于邻接表的实现
设无向图的顶点总数为 $n$ 、边总数为 $m$ ，则有：
@ -1913,6 +2014,100 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title="graph_adjacency_list.rs"
/* 基于邻接表实现的无向图类型 */
pub struct GraphAdjList {
// 邻接表，key: 顶点，value：该顶点的所有邻接顶点
pub adj_list: HashMap<Vertex, Vec<Vertex>>,
}
impl GraphAdjList {
/* 构造方法 */
pub fn new(edges: Vec<[Vertex; 2]>) -> Self {
let mut graph = GraphAdjList {
adj_list: HashMap::new(),
};
// 添加所有顶点和边
for edge in edges {
graph.add_vertex(edge[0]);
graph.add_vertex(edge[1]);
graph.add_edge(edge[0], edge[1]);
}
graph
}
/* 获取顶点数量 */
#[allow(unused)]
pub fn size(&self) -> usize {
self.adj_list.len()
}
/* 添加边 */
pub fn add_edge(&mut self, vet1: Vertex, vet2: Vertex) {
if !self.adj_list.contains_key(&vet1) || !self.adj_list.contains_key(&vet2) || vet1 == vet2
{
panic!("value error");
}
// 添加边 vet1 - vet2
self.adj_list.get_mut(&vet1).unwrap().push(vet2);
self.adj_list.get_mut(&vet2).unwrap().push(vet1);
}
/* 删除边 */
#[allow(unused)]
pub fn remove_edge(&mut self, vet1: Vertex, vet2: Vertex) {
if !self.adj_list.contains_key(&vet1) || !self.adj_list.contains_key(&vet2) || vet1 == vet2
{
panic!("value error");
}
// 删除边 vet1 - vet2
self.adj_list
.get_mut(&vet1)
.unwrap()
.retain(|&vet| vet != vet2);
self.adj_list
.get_mut(&vet2)
.unwrap()
.retain(|&vet| vet != vet1);
}
/* 添加顶点 */
pub fn add_vertex(&mut self, vet: Vertex) {
if self.adj_list.contains_key(&vet) {
return;
}
// 在邻接表中添加一个新链表
self.adj_list.insert(vet, vec![]);
}
/* 删除顶点 */
#[allow(unused)]
pub fn remove_vertex(&mut self, vet: Vertex) {
if !self.adj_list.contains_key(&vet) {
panic!("value error");
}
// 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表
self.adj_list.remove(&vet);
// 遍历其他顶点的链表，删除所有包含 vet 的边
for list in self.adj_list.values_mut() {
list.retain(|&v| v != vet);
}
}
/* 打印邻接表 */
pub fn print(&self) {
println!("邻接表 =");
for (vertex, list) in &self.adj_list {
let list = list.iter().map(|vertex| vertex.val).collect::<Vec<i32>>();
println!("{}: {:?},", vertex.val, list);
}
}
}
```
## 9.2.3. &nbsp; 效率对比
设图中共有 $n$ 个顶点和 $m$ 条边，下表为邻接矩阵和邻接表的时间和空间效率对比。

66
chapter_graph/graph_traversal.md
View file

@ -358,6 +358,40 @@ BFS 通常借助「队列」来实现。队列具有“先入先出”的性质
}
```
=== "Rust"
```rust title="graph_bfs.rs"
/* 广度优先遍历 BFS */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
fn graph_bfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> Vec<Vertex> {
// 顶点遍历序列
let mut res = vec![];
// 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
let mut visited = HashSet::new();
visited.insert(start_vet);
// 队列用于实现 BFS
let mut que = VecDeque::new();
que.push_back(start_vet);
// 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
while !que.is_empty() {
let vet = que.pop_front().unwrap(); // 队首顶点出队
res.push(vet); // 记录访问顶点
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
if let Some(adj_vets) = graph.adj_list.get(&vet) {
for &adj_vet in adj_vets {
if visited.contains(&adj_vet) {
continue; // 跳过已被访问过的顶点
}
que.push_back(adj_vet); // 只入队未访问的顶点
visited.insert(adj_vet); // 标记该顶点已被访问
}
}
}
// 返回顶点遍历序列
res
}
```
代码相对抽象，建议对照以下动画图示来加深理解。
=== "<1>"
@ -729,6 +763,38 @@ BFS 通常借助「队列」来实现。队列具有“先入先出”的性质
}
```
=== "Rust"
```rust title="graph_dfs.rs"
/* 深度优先遍历 DFS 辅助函数 */
fn dfs(graph: &GraphAdjList, visited: &mut HashSet<Vertex>, res: &mut Vec<Vertex>, vet: Vertex) {
res.push(vet); // 记录访问顶点
visited.insert(vet); // 标记该顶点已被访问
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
if let Some(adj_vets) = graph.adj_list.get(&vet) {
for &adj_vet in adj_vets {
if visited.contains(&adj_vet) {
continue; // 跳过已被访问过的顶点
}
// 递归访问邻接顶点
dfs(graph, visited, res, adj_vet);
}
}
}
/* 深度优先遍历 DFS */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
fn graph_dfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> Vec<Vertex> {
// 顶点遍历序列
let mut res = vec![];
// 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
let mut visited = HashSet::new();
dfs(&graph, &mut visited, &mut res, start_vet);
res
}
```
深度优先遍历的算法流程如下图所示，其中：
- **直虚线代表向下递推**，表示开启了一个新的递归方法来访问新顶点。

47
chapter_greedy/fractional_knapsack_problem.md
View file

@ -281,6 +281,53 @@ status: new
[class]{}-[func]{fractionalKnapsack}
```
=== "Rust"
```rust title="fractional_knapsack.rs"
/* 物品 */
struct Item {
w: i32, // 物品重量
v: i32, // 物品价值
}
impl Item {
fn new(w: i32, v: i32) -> Self {
Self { w, v }
}
}
/* 分数背包：贪心 */
fn fractional_knapsack(wgt: &[i32], val: &[i32], mut cap: i32) -> f64 {
// 创建物品列表，包含两个属性：重量、价值
let mut items = wgt
.iter()
.zip(val.iter())
.map(|(&w, &v)| Item::new(w, v))
.collect::<Vec<Item>>();
// 按照单位价值 item.v / item.w 从高到低进行排序
items.sort_by(|a, b| {
(b.v as f64 / b.w as f64)
.partial_cmp(&(a.v as f64 / a.w as f64))
.unwrap()
});
// 循环贪心选择
let mut res = 0.0;
for item in &items {
if item.w <= cap {
// 若剩余容量充足，则将当前物品整个装进背包
res += item.v as f64;
cap -= item.w;
} else {
// 若剩余容量不足，则将当前物品的一部分装进背包
res += item.v as f64 / item.w as f64 * cap as f64;
// 已无剩余容量，因此跳出循环
break;
}
}
res
}
```
最差情况下，需要遍历整个物品列表，**因此时间复杂度为 $O(n)$** ，其中 $n$ 为物品数量。
由于初始化了一个 `Item` 对象列表，**因此空间复杂度为 $O(n)$** 。

27
chapter_greedy/greedy_algorithm.md
View file

@ -177,6 +177,33 @@ status: new
[class]{}-[func]{coinChangeGreedy}
```
=== "Rust"
```rust title="coin_change_greedy.rs"
/* 零钱兑换：贪心 */
fn coin_change_greedy(coins: &[i32], mut amt: i32) -> i32 {
// 假设 coins 列表有序
let mut i = coins.len() - 1;
let mut count = 0;
// 循环进行贪心选择，直到无剩余金额
while amt > 0 {
// 找到小于且最接近剩余金额的硬币
while coins[i] > amt {
i -= 1;
}
// 选择 coins[i]
amt -= coins[i];
count += 1;
}
// 若未找到可行方案，则返回 -1
if amt == 0 {
count
} else {
-1
}
}
```
## 15.1.1. &nbsp; 贪心优点与局限性
**贪心算法不仅操作直接、实现简单，而且通常效率也很高**。在以上代码中，记硬币最小面值为 $\min(coins)$ ，则贪心选择最多循环 $amt / \min(coins)$ 次，时间复杂度为 $O(amt / \min(coins))$ 。这比动态规划解法的时间复杂度 $O(n \times amt)$ 提升了一个数量级。

26
chapter_greedy/max_capacity_problem.md
View file

@ -248,6 +248,32 @@ $$
[class]{}-[func]{maxCapacity}
```
=== "Rust"
```rust title="max_capacity.rs"
/* 最大容量：贪心 */
fn max_capacity(ht: &[i32]) -> i32 {
// 初始化 i, j 分列数组两端
let mut i = 0;
let mut j = ht.len() - 1;
// 初始最大容量为 0
let mut res = 0;
// 循环贪心选择，直至两板相遇
while i < j {
// 更新最大容量
let cap = std::cmp::min(ht[i], ht[j]) * (j - i) as i32;
res = std::cmp::max(res, cap);
// 向内移动短板
if ht[i] < ht[j] {
i += 1;
} else {
j -= 1;
}
}
res
}
```
### 正确性证明
之所以贪心比穷举更快，是因为每轮的贪心选择都会“跳过”一些状态。

25
chapter_greedy/max_product_cutting_problem.md
View file

@ -230,6 +230,31 @@ $$
[class]{}-[func]{maxProductCutting}
```
=== "Rust"
```rust title="max_product_cutting.rs"
/* 最大切分乘积：贪心 */
fn max_product_cutting(n: i32) -> i32 {
// 当 n <= 3 时，必须切分出一个 1
if n <= 3 {
return 1 * (n - 1);
}
// 贪心地切分出 3 ，a 为 3 的个数，b 为余数
let a = n / 3;
let b = n % 3;
if b == 1 {
// 当余数为 1 时，将一对 1 * 3 转化为 2 * 2
3_i32.pow(a as u32 - 1) * 2 * 2
} else if b == 2 {
// 当余数为 2 时，不做处理
3_i32.pow(a as u32) * 2
} else {
// 当余数为 0 时，不做处理
3_i32.pow(a as u32)
}
}
```
![最大切分乘积的计算方法](max_product_cutting_problem.assets/max_product_cutting_greedy_calculation.png)
<p align="center"> Fig. 最大切分乘积的计算方法 </p>

18
chapter_hashing/hash_algorithm.md
View file

@ -384,6 +384,18 @@ index = hash(key) % capacity
[class]{}-[func]{rot_hash}
```
=== "Rust"
```rust title="simple_hash.rs"
[class]{}-[func]{add_hash}
[class]{}-[func]{mul_hash}
[class]{}-[func]{xor_hash}
[class]{}-[func]{rot_hash}
```
观察发现，每种哈希算法的最后一步都是对大质数 $1000000007$ 取模，以确保哈希值在合适的范围内。值得思考的是，为什么要强调对质数取模，或者说对合数取模的弊端是什么？这是一个有趣的问题。
先抛出结论：**当我们使用大质数作为模数时，可以最大化地保证哈希值的均匀分布**。因为质数不会与其他数字存在公约数，可以减少因取模操作而产生的周期性模式，从而避免哈希冲突。
@ -638,6 +650,12 @@ $$
// 节点对象 Instance of 'ListNode' 的哈希值为 1033450432
```
=== "Rust"
```rust title="built_in_hash.rs"
```
在许多编程语言中，**只有不可变对象才可作为哈希表的 `key`** 。假如我们将列表（动态数组）作为 `key` ，当列表的内容发生变化时，它的哈希值也随之改变，我们就无法在哈希表中查询到原先的 `value` 了。
虽然自定义对象（比如链表节点）的成员变量是可变的，但它是可哈希的。**这是因为对象的哈希值通常是基于内存地址生成的**，即使对象的内容发生了变化，但它的内存地址不变，哈希值仍然是不变的。

12
chapter_hashing/hash_collision.md
View file

@ -807,6 +807,12 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title="hash_map_chaining.rs"
[class]{HashMapChaining}-[func]{}
```
!!! tip
当链表很长时，查询效率 $O(n)$ 很差，**此时可以将链表转换为「AVL 树」或「红黑树」**，从而将查询操作的时间复杂度优化至 $O(\log n)$ 。
@ -1709,6 +1715,12 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title="hash_map_open_addressing.rs"
[class]{HashMapOpenAddressing}-[func]{}
```
### 多次哈希
顾名思义，多次哈希方法是使用多个哈希函数 $f_1(x)$ , $f_2(x)$ , $f_3(x)$ , $\cdots$ 进行探测。

83
chapter_hashing/hash_map.md
View file

@ -256,6 +256,12 @@ comments: true
map.remove(10583);
```
=== "Rust"
```rust title="hash_map.rs"
```
哈希表有三种常用遍历方式：遍历键值对、遍历键和遍历值。
=== "Java"
@ -431,6 +437,12 @@ comments: true
});
```
=== "Rust"
```rust title="hash_map.rs"
```
## 6.1.2. &nbsp; 哈希表简单实现
我们先考虑最简单的情况，**仅用一个数组来实现哈希表**。在哈希表中，我们将数组中的每个空位称为「桶 Bucket」，每个桶可存储一个键值对。因此，查询操作就是找到 `key` 对应的桶，并在桶中获取 `value` 。
@ -1403,6 +1415,77 @@ index = hash(key) % capacity
}
```
=== "Rust"
```rust title="array_hash_map.rs"
/* 键值对 */
pub struct Pair {
pub key: i32,
pub val: String,
}
/* 基于数组简易实现的哈希表 */
pub struct ArrayHashMap {
buckets: Vec<Option<Pair>>
}
impl ArrayHashMap {
pub fn new() -> ArrayHashMap {
// 初始化数组，包含 100 个桶
Self { buckets: vec![None; 100] }
}
/* 哈希函数 */
fn hash_func(&self, key: i32) -> usize {
key as usize % 100
}
/* 查询操作 */
pub fn get(&self, key: i32) -> Option<&String> {
let index = self.hash_func(key);
self.buckets[index].as_ref().map(|pair| &pair.val)
}
/* 添加操作 */
pub fn put(&mut self, key: i32, val: &str) {
let index = self.hash_func(key);
self.buckets[index] = Some(Pair {
key,
val: val.to_string(),
});
}
/* 删除操作 */
pub fn remove(&mut self, key: i32) {
let index = self.hash_func(key);
// 置为 None ，代表删除
self.buckets[index] = None;
}
/* 获取所有键值对 */
pub fn entry_set(&self) -> Vec<&Pair> {
self.buckets.iter().filter_map(|pair| pair.as_ref()).collect()
}
/* 获取所有键 */
pub fn key_set(&self) -> Vec<&i32> {
self.buckets.iter().filter_map(|pair| pair.as_ref().map(|pair| &pair.key)).collect()
}
/* 获取所有值 */
pub fn value_set(&self) -> Vec<&String> {
self.buckets.iter().filter_map(|pair| pair.as_ref().map(|pair| &pair.val)).collect()
}
/* 打印哈希表 */
pub fn print(&self) {
for pair in self.entry_set() {
println!("{} -> {}", pair.key, pair.val);
}
}
}
```
## 6.1.3. &nbsp; 哈希冲突与扩容
本质上看，哈希函数的作用是将所有 `key` 构成的输入空间映射到数组所有索引构成的输出空间，而输入空间往往远大于输出空间。因此，**理论上一定存在“多个输入对应相同输出”的情况**。

15
chapter_heap/build_heap.md
View file

@ -176,6 +176,21 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title="my_heap.rs"
/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
fn new(nums: Vec<i32>) -> Self {
// 将列表元素原封不动添加进堆
let mut heap = MaxHeap { max_heap: nums };
// 堆化除叶节点以外的其他所有节点
for i in (0..=Self::parent(heap.size() - 1)).rev() {
heap.sift_down(i);
}
heap
}
```
## 8.2.3. &nbsp; 复杂度分析
为什么第二种建堆方法的时间复杂度是 $O(n)$ ？我们来展开推算一下。

108
chapter_heap/heap.md
View file

@ -313,6 +313,12 @@ comments: true
// Dart 未提供内置 Heap 类
```
=== "Rust"
```rust title="heap.rs"
```
## 8.1.2. &nbsp; 堆的实现
下文实现的是大顶堆。若要将其转换为小顶堆，只需将所有大小逻辑判断取逆（例如，将 $\geq$ 替换为 $\leq$ ）。感兴趣的读者可以自行实现。
@ -539,6 +545,25 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title="my_heap.rs"
/* 获取左子节点索引 */
fn left(i: usize) -> usize {
2 * i + 1
}
/* 获取右子节点索引 */
fn right(i: usize) -> usize {
2 * i + 2
}
/* 获取父节点索引 */
fn parent(i: usize) -> usize {
(i - 1) / 2 // 向下整除
}
```
### 访问堆顶元素
堆顶元素即为二叉树的根节点，也就是列表的首个元素。
@ -641,6 +666,15 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title="my_heap.rs"
/* 访问堆顶元素 */
fn peek(&self) -> Option<i32> {
self.max_heap.first().copied()
}
```
### 元素入堆
给定元素 `val` ，我们首先将其添加到堆底。添加之后，由于 val 可能大于堆中其他元素，堆的成立条件可能已被破坏。因此，**需要修复从插入节点到根节点的路径上的各个节点**，这个操作被称为「堆化 Heapify」。
@ -966,6 +1000,38 @@ comments: true
[class]{MaxHeap}-[func]{siftUp}
```
=== "Rust"
```rust title="my_heap.rs"
/* 元素入堆 */
fn push(&mut self, val: i32) {
// 添加节点
self.max_heap.push(val);
// 从底至顶堆化
self.sift_up(self.size() - 1);
}
/* 从节点 i 开始，从底至顶堆化 */
fn sift_up(&mut self, mut i: usize) {
loop {
// 节点 i 已经是堆顶节点了，结束堆化
if i == 0 {
break;
}
// 获取节点 i 的父节点
let p = Self::parent(i);
// 当“节点无需修复”时，结束堆化
if self.max_heap[i] <= self.max_heap[p] {
break;
}
// 交换两节点
self.swap(i, p);
// 循环向上堆化
i = p;
}
}
```
### 堆顶元素出堆
堆顶元素是二叉树的根节点，即列表首元素。如果我们直接从列表中删除首元素，那么二叉树中所有节点的索引都会发生变化，这将使得后续使用堆化修复变得困难。为了尽量减少元素索引的变动，我们采取以下操作步骤：
@ -1422,6 +1488,48 @@ comments: true
[class]{MaxHeap}-[func]{siftDown}
```
=== "Rust"
```rust title="my_heap.rs"
/* 元素出堆 */
fn pop(&mut self) -> i32 {
// 判空处理
if self.is_empty() {
panic!("index out of bounds");
}
// 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
self.swap(0, self.size() - 1);
// 删除节点
let val = self.max_heap.remove(self.size() - 1);
// 从顶至底堆化
self.sift_down(0);
// 返回堆顶元素
val
}
/* 从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
fn sift_down(&mut self, mut i: usize) {
loop {
// 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
let (l, r, mut ma) = (Self::left(i), Self::right(i), i);
if l < self.size() && self.max_heap[l] > self.max_heap[ma] {
ma = l;
}
if r < self.size() && self.max_heap[r] > self.max_heap[ma] {
ma = r;
}
// 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
if ma == i {
break;
}
// 交换两节点
self.swap(i, ma);
// 循环向下堆化
i = ma;
}
}
```
## 8.1.3. &nbsp; 堆常见应用
- **优先队列**：堆通常作为实现优先队列的首选数据结构，其入队和出队操作的时间复杂度均为 $O(\log n)$ ，而建队操作为 $O(n)$ ，这些操作都非常高效。

23
chapter_heap/top_k.md
View file

@ -213,3 +213,26 @@ comments: true
```dart title="top_k.dart"
[class]{}-[func]{top_k_heap}
```
=== "Rust"
```rust title="top_k.rs"
/* 基于堆查找数组中最大的 k 个元素 */
fn top_k_heap(nums: Vec<i32>, k: usize) -> BinaryHeap<Reverse<i32>> {
// Rust 的 BinaryHeap 是大顶堆，使用 Reverse 将元素大小反转
let mut heap = BinaryHeap::<Reverse<i32>>::new();
// 将数组的前 k 个元素入堆
for &num in nums.iter().take(k) {
heap.push(Reverse(num));
}
// 从第 k+1 个元素开始，保持堆的长度为 k
for &num in nums.iter().skip(k) {
// 若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆、当前元素入堆
if num > heap.peek().unwrap().0 {
heap.pop();
heap.push(Reverse(num));
}
}
heap
}
```

6
chapter_preface/suggestions.md
View file

@ -158,6 +158,12 @@ comments: true
*/
```
=== "Rust"
```rust title=""
```
## 0.2.2. &nbsp; 在动画图解中高效学习
相较于文字，视频和图片具有更高的信息密度和结构化程度，因此更易于理解。在本书中，**重点和难点知识将主要通过动画和图解形式展示**，而文字则作为动画和图片的解释与补充。

48
chapter_searching/binary_search.md
View file

@ -305,6 +305,30 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title="binary_search.rs"
/* 二分查找（双闭区间） */
fn binary_search(nums: &[i32], target: i32) -> i32 {
// 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
let mut i = 0;
let mut j = nums.len() - 1;
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
while i <= j {
let m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if nums[m] < target { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
i = m + 1;
} else if nums[m] > target { // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
j = m - 1;
} else { // 找到目标元素，返回其索引
return m as i32;
}
}
// 未找到目标元素，返回 -1
return -1;
}
```
时间复杂度为 $O(\log n)$ 。每轮缩小一半区间，因此二分循环次数为 $\log_2 n$ 。
空间复杂度为 $O(1)$ 。指针 `i` , `j` 使用常数大小空间。
@ -572,6 +596,30 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title="binary_search.rs"
/* 二分查找（左闭右开） */
fn binary_search_lcro(nums: &[i32], target: i32) -> i32 {
// 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
let mut i = 0;
let mut j = nums.len();
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
while i < j {
let m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if nums[m] < target { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
i = m + 1;
} else if nums[m] > target { // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
j = m - 1;
} else { // 找到目标元素，返回其索引
return m as i32;
}
}
// 未找到目标元素，返回 -1
return -1;
}
```
如下图所示，在两种区间表示下，二分查找算法的初始化、循环条件和缩小区间操作皆有所不同。
在“双闭区间”表示法中，由于左右边界都被定义为闭区间，因此指针 $i$ 和 $j$ 缩小区间操作也是对称的。这样更不容易出错。因此，**我们通常采用“双闭区间”的写法**。

48
chapter_searching/binary_search_edge.md
View file

@ -288,6 +288,30 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title="binary_search_edge.rs"
/* 二分查找最左一个元素 */
fn binary_search_left_edge(nums: &[i32], target: i32) -> i32 {
let mut i = 0;
let mut j = nums.len() as i32 - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
while i <= j {
let m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if nums[m as usize] < target {
i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
} else if nums[m as usize] > target {
j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
} else {
j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
}
}
if i == nums.len() as i32 || nums[i as usize] != target {
return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
}
i
}
```
## 10.2.3. &nbsp; 查找右边界
类似地，我们也可以二分查找最右边的 `target` 。当 `nums[m] == target` 时，说明大于 `target` 的元素在区间 $[m + 1, j]$ 中，因此执行 `i = m + 1` ，**使得指针 $i$ 向大于 `target` 的元素靠近**。
@ -524,6 +548,30 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title="binary_search_edge.rs"
/* 二分查找最右一个元素 */
fn binary_search_right_edge(nums: &[i32], target: i32) -> i32 {
let mut i = 0;
let mut j = nums.len() as i32 - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
while i <= j {
let m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if nums[m as usize] < target {
i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
} else if nums[m as usize] > target {
j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
} else {
i = m + 1; // 首个大于 target 的元素在区间 [m+1, j] 中
}
}
if j < 0 || nums[j as usize] != target {
return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
}
j
}
```
观察下图，搜索最右边元素时指针 $j$ 的作用与搜索最左边元素时指针 $i$ 的作用一致，反之亦然。也就是说，**搜索最左边元素和最右边元素的实现是镜像对称的**。
![查找最左边和最右边元素的对称性](binary_search_edge.assets/binary_search_left_right_edge.png)

36
chapter_searching/replace_linear_by_hashing.md
View file

@ -208,6 +208,24 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title="two_sum.rs"
/* 方法一：暴力枚举 */
pub fn two_sum_brute_force(nums: &Vec<i32>, target: i32) -> Option<Vec<i32>> {
let size = nums.len();
// 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
for i in 0..size - 1 {
for j in i + 1..size {
if nums[i] + nums[j] == target {
return Some(vec![i as i32, j as i32]);
}
}
}
None
}
```
此方法的时间复杂度为 $O(n^2)$ ，空间复杂度为 $O(1)$ ，在大数据量下非常耗时。
## 10.3.2. &nbsp; 哈希查找：以空间换时间
@ -462,6 +480,24 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title="two_sum.rs"
/* 方法二：辅助哈希表 */
pub fn two_sum_hash_table(nums: &Vec<i32>, target: i32) -> Option<Vec<i32>> {
// 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
let mut dic = HashMap::new();
// 单层循环，时间复杂度 O(n)
for (i, num) in nums.iter().enumerate() {
match dic.get(&(target - num)) {
Some(v) => return Some(vec![*v as i32, i as i32]),
None => dic.insert(num, i as i32)
};
}
None
}
```
此方法通过哈希查找将时间复杂度从 $O(n^2)$ 降低至 $O(n)$ ，大幅提升运行效率。
由于需要维护一个额外的哈希表，因此空间复杂度为 $O(n)$ 。**尽管如此，该方法的整体时空效率更为均衡，因此它是本题的最优解法**。

43
chapter_sorting/bubble_sort.md
View file

@ -255,6 +255,26 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title="bubble_sort.rs"
/* 冒泡排序 */
fn bubble_sort(nums: &mut [i32]) {
// 外循环：未排序区间为 [0, i]
for i in (1..nums.len()).rev() {
// 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
for j in 0..i {
if nums[j] > nums[j + 1] {
// 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
let tmp = nums[j];
nums[j] = nums[j + 1];
nums[j + 1] = tmp;
}
}
}
}
```
## 11.3.2. &nbsp; 效率优化
我们发现，如果某轮“冒泡”中没有执行任何交换操作，说明数组已经完成排序，可直接返回结果。因此，可以增加一个标志位 `flag` 来监测这种情况，一旦出现就立即返回。
@ -514,6 +534,29 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title="bubble_sort.rs"
/* 冒泡排序（标志优化） */
fn bubble_sort_with_flag(nums: &mut [i32]) {
// 外循环：未排序区间为 [0, i]
for i in (1..nums.len()).rev() {
let mut flag = false; // 初始化标志位
// 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
for j in 0..i {
if nums[j] > nums[j + 1] {
// 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
let tmp = nums[j];
nums[j] = nums[j + 1];
nums[j + 1] = tmp;
flag = true; // 记录交换元素
}
}
if !flag {break}; // 此轮冒泡未交换任何元素，直接跳出
}
}
```
## 11.3.3. &nbsp; 算法特性
- **时间复杂度为 $O(n^2)$ 、自适应排序** ：各轮“冒泡”遍历的数组长度依次为 $n - 1$ , $n - 2$ , $\cdots$ , $2$ , $1$ ，总和为 $\frac{(n - 1) n}{2}$ 。在引入 `flag` 优化后，最佳时间复杂度可达到 $O(n)$ 。

31
chapter_sorting/bucket_sort.md
View file

@ -361,6 +361,37 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title="bucket_sort.rs"
/* 桶排序 */
fn bucket_sort(nums: &mut [f64]) {
// 初始化 k = n/2 个桶，预期向每个桶分配 2 个元素
let k = nums.len() / 2;
let mut buckets = vec![vec![]; k];
// 1. 将数组元素分配到各个桶中
for &mut num in &mut *nums {
// 输入数据范围 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1]
let i = (num * k as f64) as usize;
// 将 num 添加进桶 i
buckets[i].push(num);
}
// 2. 对各个桶执行排序
for bucket in &mut buckets {
// 使用内置排序函数，也可以替换成其他排序算法
bucket.sort_by(|a, b| a.partial_cmp(b).unwrap());
}
// 3. 遍历桶合并结果
let mut i = 0;
for bucket in &mut buckets {
for &mut num in bucket {
nums[i] = num;
i += 1;
}
}
}
```
!!! question "桶排序的适用场景是什么？"
桶排序适用于处理体量很大的数据。例如，输入数据包含 100 万个元素，由于空间限制，系统内存无法一次性加载所有数据。此时，可以将数据分成 1000 个桶，然后分别对每个桶进行排序，最后将结果合并。

60
chapter_sorting/counting_sort.md
View file

@ -292,6 +292,31 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title="counting_sort.rs"
/* 计数排序 */
// 简单实现，无法用于排序对象
fn counting_sort_naive(nums: &mut [i32]) {
// 1. 统计数组最大元素 m
let m = *nums.into_iter().max().unwrap();
// 2. 统计各数字的出现次数
// counter[num] 代表 num 的出现次数
let mut counter = vec![0; m as usize + 1];
for &num in &*nums {
counter[num as usize] += 1;
}
// 3. 遍历 counter ，将各元素填入原数组 nums
let mut i = 0;
for num in 0..m + 1 {
for _ in 0..counter[num as usize] {
nums[i] = num;
i += 1;
}
}
}
```
!!! note "计数排序与桶排序的联系"
从桶排序的角度看，我们可以将计数排序中的计数数组 `counter` 的每个索引视为一个桶，将统计数量的过程看作是将各个元素分配到对应的桶中。本质上，计数排序是桶排序在整型数据下的一个特例。
@ -710,6 +735,41 @@ $$
}
```
=== "Rust"
```rust title="counting_sort.rs"
/* 计数排序 */
// 完整实现，可排序对象，并且是稳定排序
fn counting_sort(nums: &mut [i32]) {
// 1. 统计数组最大元素 m
let m = *nums.into_iter().max().unwrap();
// 2. 统计各数字的出现次数
// counter[num] 代表 num 的出现次数
let mut counter = vec![0; m as usize + 1];
for &num in &*nums {
counter[num as usize] += 1;
}
// 3. 求 counter 的前缀和，将“出现次数”转换为“尾索引”
// 即 counter[num]-1 是 num 在 res 中最后一次出现的索引
for i in 0..m as usize {
counter[i + 1] += counter[i];
}
// 4. 倒序遍历 nums ，将各元素填入结果数组 res
// 初始化数组 res 用于记录结果
let n = nums.len();
let mut res = vec![0; n];
for i in (0..n).rev() {
let num = nums[i];
res[counter[num as usize] - 1] = num; // 将 num 放置到对应索引处
counter[num as usize] -= 1; // 令前缀和自减 1 ，得到下次放置 num 的索引
}
// 使用结果数组 res 覆盖原数组 nums
for i in 0..n {
nums[i] = res[i];
}
}
```
## 11.9.3. &nbsp; 算法特性
- **时间复杂度 $O(n + m)$** ：涉及遍历 `nums` 和遍历 `counter` ，都使用线性时间。一般情况下 $n \gg m$ ，时间复杂度趋于 $O(n)$ 。

47
chapter_sorting/heap_sort.md
View file

@ -491,6 +491,53 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title="heap_sort.rs"
/* 堆的长度为 n ，从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
fn sift_down(nums: &mut [i32], n: usize, mut i: usize) {
loop {
// 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
let l = 2 * i + 1;
let r = 2 * i + 2;
let mut ma = i;
if l < n && nums[l] > nums[ma] {
ma = l;
}
if r < n && nums[r] > nums[ma] {
ma = r;
}
// 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
if ma == i {
break;
}
// 交换两节点
let temp = nums[i];
nums[i] = nums[ma];
nums[ma] = temp;
// 循环向下堆化
i = ma;
}
}
/* 堆排序 */
fn heap_sort(nums: &mut [i32]) {
// 建堆操作：堆化除叶节点以外的其他所有节点
for i in (0..=nums.len() / 2 - 1).rev() {
sift_down(nums, nums.len(), i);
}
// 从堆中提取最大元素，循环 n-1 轮
for i in (1..=nums.len() - 1).rev() {
// 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
let tmp = nums[0];
nums[0] = nums[i];
nums[i] = tmp;
// 以根节点为起点，从顶至底进行堆化
sift_down(nums, i, 0);
}
}
```
## 11.7.2. &nbsp; 算法特性
- **时间复杂度 $O(n \log n)$ 、非自适应排序** ：建堆操作使用 $O(n)$ 时间。从堆中提取最大元素的时间复杂度为 $O(\log n)$ ，共循环 $n - 1$ 轮。

18
chapter_sorting/insertion_sort.md
View file

@ -230,6 +230,24 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title="insertion_sort.rs"
/* 插入排序 */
fn insertion_sort(nums: &mut [i32]) {
// 外循环：已排序元素数量为 1, 2, ..., n
for i in 1..nums.len() {
let (base, mut j) = (nums[i], (i - 1) as i32);
// 内循环：将 base 插入到已排序部分的正确位置
while j >= 0 && nums[j as usize] > base {
nums[(j + 1) as usize] = nums[j as usize]; // 将 nums[j] 向右移动一位
j -= 1;
}
nums[(j + 1) as usize] = base; // 将 base 赋值到正确位置
}
}
```
## 11.4.2. &nbsp; 算法特性
- **时间复杂度 $O(n^2)$ 、自适应排序** ：最差情况下，每次插入操作分别需要循环 $n - 1$ , $n-2$ , $\cdots$ , $2$ , $1$ 次，求和得到 $\frac{(n - 1) n}{2}$ ，因此时间复杂度为 $O(n^2)$ 。在遇到有序数据时，插入操作会提前终止。当输入数组完全有序时，插入排序达到最佳时间复杂度 $O(n)$ 。

48
chapter_sorting/merge_sort.md
View file

@ -570,6 +570,54 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title="merge_sort.rs"
/* 合并左子数组和右子数组 */
// 左子数组区间 [left, mid]
// 右子数组区间 [mid + 1, right]
fn merge(nums: &mut [i32], left: usize, mid: usize, right: usize) {
// 初始化辅助数组
let tmp: Vec<i32> = nums[left..right + 1].to_vec();
// 左子数组的起始索引和结束索引
let (left_start, left_end) = (left - left, mid - left);
// 右子数组的起始索引和结束索引
let (right_start, right_end) = (mid + 1 - left, right-left);
// i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
let (mut l_corrent, mut r_corrent) = (left_start, right_start);
// 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
for k in left..right + 1 {
// 若“左子数组已全部合并完”，则选取右子数组元素，并且 j++
if l_corrent > left_end {
nums[k] = tmp[r_corrent];
r_corrent += 1;
}
// 否则，若“右子数组已全部合并完”或“左子数组元素 <= 右子数组元素”，则选取左子数组元素，并且 i++
else if r_corrent > right_end || tmp[l_corrent] <= tmp[r_corrent] {
nums[k] = tmp[l_corrent];
l_corrent += 1;
}
// 否则，若“左右子数组都未全部合并完”且“左子数组元素 > 右子数组元素”，则选取右子数组元素，并且 j++
else {
nums[k] = tmp[r_corrent];
r_corrent += 1;
}
}
}
/* 归并排序 */
fn merge_sort(left: usize, right: usize, nums: &mut [i32]) {
// 终止条件
if left >= right { return; } // 当子数组长度为 1 时终止递归
// 划分阶段
let mid = (left + right) / 2; // 计算中点
merge_sort(left, mid, nums); // 递归左子数组
merge_sort(mid + 1, right, nums); // 递归右子数组
// 合并阶段
merge(nums, left, mid, right);
}
```
合并方法 `merge()` 代码中的难点包括：
- **在阅读代码时，需要特别注意各个变量的含义**。`nums` 的待合并区间为 `[left, right]` ，但由于 `tmp` 仅复制了 `nums` 该区间的元素，因此 `tmp` 对应区间为 `[0, right - left]` 。

96
chapter_sorting/quick_sort.md
View file

@ -337,6 +337,27 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title="quick_sort.rs"
/* 哨兵划分 */
fn partition(nums: &mut [i32], left: usize, right: usize) -> usize {
// 以 nums[left] 作为基准数
let (mut i, mut j) = (left, right);
while i < j {
while i < j && nums[j] >= nums[left] {
j -= 1; // 从右向左找首个小于基准数的元素
}
while i < j && nums[i] <= nums[left] {
i += 1; // 从左向右找首个大于基准数的元素
}
nums.swap(i, j); // 交换这两个元素
}
nums.swap(i, left); // 将基准数交换至两子数组的分界线
i // 返回基准数的索引
}
```
## 11.5.1. &nbsp; 算法流程
1. 首先，对原数组执行一次「哨兵划分」，得到未排序的左子数组和右子数组。
@ -546,6 +567,23 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title="quick_sort.rs"
/* 快速排序 */
pub fn quick_sort(left: i32, right: i32, nums: &mut [i32]) {
// 子数组长度为 1 时终止递归
if left >= right {
return;
}
// 哨兵划分
let pivot = Self::partition(nums, left as usize, right as usize) as i32;
// 递归左子数组、右子数组
Self::quick_sort(left, pivot - 1, nums);
Self::quick_sort(pivot + 1, right, nums);
}
```
## 11.5.2. &nbsp; 算法特性
- **时间复杂度 $O(n \log n)$ 、自适应排序** ：在平均情况下，哨兵划分的递归层数为 $\log n$ ，每层中的总循环数为 $n$ ，总体使用 $O(n \log n)$ 时间。在最差情况下，每轮哨兵划分操作都将长度为 $n$ 的数组划分为长度为 $0$ 和 $n - 1$ 的两个子数组，此时递归层数达到 $n$ 层，每层中的循环数为 $n$ ，总体使用 $O(n^2)$ 时间。
@ -976,6 +1014,43 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title="quick_sort.rs"
/* 选取三个元素的中位数 */
fn median_three(nums: &mut [i32], left: usize, mid: usize, right: usize) -> usize {
// 此处使用异或运算来简化代码
// 异或规则为 0 ^ 0 = 1 ^ 1 = 0, 0 ^ 1 = 1 ^ 0 = 1
if (nums[left] < nums[mid]) ^ (nums[left] < nums[right]) {
return left;
} else if (nums[mid] < nums[left]) ^ (nums[mid] < nums[right]) {
return mid;
}
right
}
/* 哨兵划分（三数取中值） */
fn partition(nums: &mut [i32], left: usize, right: usize) -> usize {
// 选取三个候选元素的中位数
let med = Self::median_three(nums, left, (left + right) / 2, right);
// 将中位数交换至数组最左端
nums.swap(left, med);
// 以 nums[left] 作为基准数
let (mut i, mut j) = (left, right);
while i < j {
while i < j && nums[j] >= nums[left] {
j -= 1; // 从右向左找首个小于基准数的元素
}
while i < j && nums[i] <= nums[left] {
i += 1; // 从左向右找首个大于基准数的元素
}
nums.swap(i, j); // 交换这两个元素
}
nums.swap(i, left); // 将基准数交换至两子数组的分界线
i // 返回基准数的索引
}
```
## 11.5.5. &nbsp; 尾递归优化
**在某些输入下，快速排序可能占用空间较多**。以完全倒序的输入数组为例，由于每轮哨兵划分后右子数组长度为 $0$ ，递归树的高度会达到 $n - 1$ ，此时需要占用 $O(n)$ 大小的栈帧空间。
@ -1214,3 +1289,24 @@ comments: true
}
}
```
=== "Rust"
```rust title="quick_sort.rs"
/* 快速排序（尾递归优化） */
pub fn quick_sort(mut left: i32, mut right: i32, nums: &mut [i32]) {
// 子数组长度为 1 时终止
while left < right {
// 哨兵划分操作
let pivot = Self::partition(nums, left as usize, right as usize) as i32;
// 对两个子数组中较短的那个执行快排
if pivot - left < right - pivot {
Self::quick_sort(left, pivot - 1, nums); // 递归排序左子数组
left = pivot + 1; // 剩余未排序区间为 [pivot + 1, right]
} else {
Self::quick_sort(pivot + 1, right, nums); // 递归排序右子数组
right = pivot - 1; // 剩余未排序区间为 [left, pivot - 1]
}
}
}
```

50
chapter_sorting/radix_sort.md
View file

@ -634,6 +634,56 @@ $$
}
```
=== "Rust"
```rust title="radix_sort.rs"
/* 获取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) */
fn digit(num: i32, exp: i32) -> usize {
// 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算
return ((num / exp) % 10) as usize;
}
/* 计数排序（根据 nums 第 k 位排序） */
fn counting_sort_digit(nums: &mut [i32], exp: i32) {
// 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶
let mut counter = [0; 10];
let n = nums.len();
// 统计 0~9 各数字的出现次数
for i in 0..n {
let d = digit(nums[i], exp); // 获取 nums[i] 第 k 位，记为 d
counter[d] += 1; // 统计数字 d 的出现次数
}
// 求前缀和，将“出现个数”转换为“数组索引”
for i in 1..10 {
counter[i] += counter[i - 1];
}
// 倒序遍历，根据桶内统计结果，将各元素填入 res
let mut res = vec![0; n];
for i in (0..n).rev() {
let d = digit(nums[i], exp);
let j = counter[d] - 1; // 获取 d 在数组中的索引 j
res[j] = nums[i]; // 将当前元素填入索引 j
counter[d] -= 1; // 将 d 的数量减 1
}
// 使用结果覆盖原数组 nums
for i in 0..n {
nums[i] = res[i];
}
}
/* 基数排序 */
fn radix_sort(nums: &mut [i32]) {
// 获取数组的最大元素，用于判断最大位数
let m = *nums.into_iter().max().unwrap();
// 按照从低位到高位的顺序遍历
let mut exp = 1;
while exp <= m {
counting_sort_digit(nums, exp);
exp *= 10;
}
}
```
!!! question "为什么从最低位开始排序？"
在连续的排序轮次中，后一轮排序会覆盖前一轮排序的结果。举例来说，如果第一轮排序结果 $a < b$ ，而第二轮排序结果 $a > b$ ，那么第二轮的结果将取代第一轮的结果。由于数字的高位优先级高于低位，我们应该先排序低位再排序高位。

21
chapter_sorting/selection_sort.md
View file

@ -261,6 +261,27 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title="selection_sort.rs"
/* 选择排序 */
fn selection_sort(nums: &mut [i32]) {
let n = nums.len();
// 外循环：未排序区间为 [i, n-1]
for i in 0..n-1 {
// 内循环：找到未排序区间内的最小元素
let mut k = i;
for j in i+1..n {
if nums[j] < nums[k] {
k = j; // 记录最小元素的索引
}
}
// 将该最小元素与未排序区间的首个元素交换
nums.swap(i, k);
}
}
```
## 11.2.1. &nbsp; 算法特性
- **时间复杂度为 $O(n^2)$ 、非自适应排序**：外循环共 $n - 1$ 轮，第一轮的未排序区间长度为 $n$ ，最后一轮的未排序区间长度为 $2$ ，即各轮外循环分别包含 $n$ , $n - 1$ , $\cdots$ , $2$ 轮内循环，求和为 $\frac{(n - 1)(n + 2)}{2}$ 。

288
chapter_stack_and_queue/deque.md
View file

@ -318,6 +318,12 @@ comments: true
bool isEmpty = deque.isEmpty;W
```
=== "Rust"
```rust title="deque.rs"
```
## 5.3.2. &nbsp; 双向队列实现 *
双向队列的实现与队列类似，可以选择链表或数组作为底层数据结构。
@ -1795,6 +1801,174 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title="linkedlist_deque.rs"
/* 双向链表节点 */
pub struct ListNode<T> {
pub val: T, // 节点值
pub next: Option<Rc<RefCell<ListNode<T>>>>, // 后继节点引用（指针）
pub prev: Option<Rc<RefCell<ListNode<T>>>>, // 前驱节点引用（指针）
}
impl<T> ListNode<T> {
pub fn new(val: T) -> Rc<RefCell<ListNode<T>>> {
Rc::new(RefCell::new(ListNode {
val,
next: None,
prev: None,
}))
}
}
/* 基于双向链表实现的双向队列 */
#[allow(dead_code)]
pub struct LinkedListDeque<T> {
front: Option<Rc<RefCell<ListNode<T>>>>, // 头节点 front
rear: Option<Rc<RefCell<ListNode<T>>>>, // 尾节点 rear
que_size: usize, // 双向队列的长度
}
impl<T: Copy> LinkedListDeque<T> {
pub fn new() -> Self {
Self {
front: None,
rear: None,
que_size: 0,
}
}
/* 获取双向队列的长度 */
pub fn size(&self) -> usize {
return self.que_size;
}
/* 判断双向队列是否为空 */
pub fn is_empty(&self) -> bool {
return self.size() == 0;
}
/* 入队操作 */
pub fn push(&mut self, num: T, is_front: bool) {
let node = ListNode::new(num);
// 队首入队操作
if is_front {
match self.front.take() {
// 若链表为空，则令 front, rear 都指向 node
None => {
self.rear = Some(node.clone());
self.front = Some(node);
}
// 将 node 添加至链表头部
Some(old_front) => {
old_front.borrow_mut().prev = Some(node.clone());
node.borrow_mut().next = Some(old_front);
self.front = Some(node); // 更新头节点
}
}
}
// 队尾入队操作
else {
match self.rear.take() {
// 若链表为空，则令 front, rear 都指向 node
None => {
self.front = Some(node.clone());
self.rear = Some(node);
}
// 将 node 添加至链表尾部
Some(old_rear) => {
old_rear.borrow_mut().next = Some(node.clone());
node.borrow_mut().prev = Some(old_rear);
self.rear = Some(node); // 更新尾节点
}
}
}
self.que_size += 1; // 更新队列长度
}
/* 队首入队 */
pub fn push_first(&mut self, num: T) {
self.push(num, true);
}
/* 队尾入队 */
pub fn push_last(&mut self, num: T) {
self.push(num, false);
}
/* 出队操作 */
pub fn pop(&mut self, is_front: bool) -> Option<T> {
// 若队列为空，直接返回 None
if self.is_empty() {
return None
};
// 队首出队操作
if is_front {
self.front.take().map(|old_front| {
match old_front.borrow_mut().next.take() {
Some(new_front) => {
new_front.borrow_mut().prev.take();
self.front = Some(new_front); // 更新头节点
}
None => {
self.rear.take();
}
}
self.que_size -= 1; // 更新队列长度
Rc::try_unwrap(old_front).ok().unwrap().into_inner().val
})
}
// 队尾出队操作
else {
self.rear.take().map(|old_rear| {
match old_rear.borrow_mut().prev.take() {
Some(new_rear) => {
new_rear.borrow_mut().next.take();
self.rear = Some(new_rear); // 更新尾节点
}
None => {
self.front.take();
}
}
self.que_size -= 1; // 更新队列长度
Rc::try_unwrap(old_rear).ok().unwrap().into_inner().val
})
}
}
/* 队首出队 */
pub fn pop_first(&mut self) -> Option<T> {
return self.pop(true);
}
/* 队尾出队 */
pub fn pop_last(&mut self) -> Option<T> {
return self.pop(false);
}
/* 访问队首元素 */
pub fn peek_first(&self) -> Option<&Rc<RefCell<ListNode<T>>>> {
self.front.as_ref()
}
/* 访问队尾元素 */
pub fn peek_last(&self) -> Option<&Rc<RefCell<ListNode<T>>>> {
self.rear.as_ref()
}
/* 返回数组用于打印 */
pub fn to_array(&self, head: Option<&Rc<RefCell<ListNode<T>>>>) -> Vec<T> {
if let Some(node) = head {
let mut nums = self.to_array(node.borrow().next.as_ref());
nums.insert(0, node.borrow().val);
return nums;
}
return Vec::new();
}
}
```
### 基于数组的实现
与基于数组实现队列类似，我们也可以使用环形数组来实现双向队列。在队列的实现基础上，仅需增加“队首入队”和“队尾出队”的方法。
@ -2914,6 +3088,120 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title="array_deque.rs"
/* 基于环形数组实现的双向队列 */
struct ArrayDeque {
nums: Vec<i32>, // 用于存储双向队列元素的数组
front: usize, // 队首指针，指向队首元素
que_size: usize, // 双向队列长度
}
impl ArrayDeque {
/* 构造方法 */
pub fn new(capacity: usize) -> Self {
Self {
nums: vec![0; capacity],
front: 0,
que_size: 0,
}
}
/* 获取双向队列的容量 */
pub fn capacity(&self) -> usize {
self.nums.len()
}
/* 获取双向队列的长度 */
pub fn size(&self) -> usize {
self.que_size
}
/* 判断双向队列是否为空 */
pub fn is_empty(&self) -> bool {
self.que_size == 0
}
/* 计算环形数组索引 */
fn index(&self, i: i32) -> usize {
// 通过取余操作实现数组首尾相连
// 当 i 越过数组尾部后，回到头部
// 当 i 越过数组头部后，回到尾部
return ((i + self.capacity() as i32) % self.capacity() as i32) as usize;
}
/* 队首入队 */
pub fn push_first(&mut self, num: i32) {
if self.que_size == self.capacity() {
println!("双向队列已满");
return
}
// 队首指针向左移动一位
// 通过取余操作，实现 front 越过数组头部后回到尾部
self.front = self.index(self.front as i32 - 1);
// 将 num 添加至队首
self.nums[self.front] = num;
self.que_size += 1;
}
/* 队尾入队 */
pub fn push_last(&mut self, num: i32) {
if self.que_size == self.capacity() {
println!("双向队列已满");
return
}
// 计算尾指针，指向队尾索引 + 1
let rear = self.index(self.front as i32 + self.que_size as i32);
// 将 num 添加至队尾
self.nums[rear] = num;
self.que_size += 1;
}
/* 队首出队 */
fn pop_first(&mut self) -> i32 {
let num = self.peek_first();
// 队首指针向后移动一位
self.front = self.index(self.front as i32 + 1);
self.que_size -= 1;
num
}
/* 队尾出队 */
fn pop_last(&mut self) -> i32 {
let num = self.peek_last();
self.que_size -= 1;
num
}
/* 访问队首元素 */
fn peek_first(&self) -> i32 {
if self.is_empty() { panic!("双向队列为空") };
self.nums[self.front]
}
/* 访问队尾元素 */
fn peek_last(&self) -> i32 {
if self.is_empty() { panic!("双向队列为空") };
// 计算尾元素索引
let last = self.index(self.front as i32 + self.que_size as i32 - 1);
self.nums[last]
}
/* 返回数组用于打印 */
fn to_array(&self) -> Vec<i32> {
// 仅转换有效长度范围内的列表元素
let mut res = vec![0; self.que_size];
let mut j = self.front;
for i in 0..self.que_size {
res[i] = self.nums[self.index(j as i32)];
j += 1;
}
res
}
}
```
## 5.3.3. &nbsp; 双向队列应用
双向队列兼具栈与队列的逻辑，**因此它可以实现这两者的所有应用场景，同时提供更高的自由度**。

170
chapter_stack_and_queue/queue.md
View file

@ -285,6 +285,12 @@ comments: true
bool isEmpty = queue.isEmpty;
```
=== "Rust"
```rust title="queue.rs"
```
## 5.2.2. &nbsp; 队列实现
为了实现队列，我们需要一种数据结构，可以在一端添加元素，并在另一端删除元素。因此，链表和数组都可以用来实现队列。
@ -1090,6 +1096,88 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title="linkedlist_queue.rs"
/* 基于链表实现的队列 */
#[allow(dead_code)]
pub struct LinkedListQueue<T> {
front: Option<Rc<RefCell<ListNode<T>>>>, // 头节点 front
rear: Option<Rc<RefCell<ListNode<T>>>>, // 尾节点 rear
que_size: usize, // 队列的长度
}
impl<T: Copy> LinkedListQueue<T> {
pub fn new() -> Self {
Self {
front: None,
rear: None,
que_size: 0,
}
}
/* 获取队列的长度 */
pub fn size(&self) -> usize {
return self.que_size;
}
/* 判断队列是否为空 */
pub fn is_empty(&self) -> bool {
return self.size() == 0;
}
/* 入队 */
pub fn push(&mut self, num: T) {
// 尾节点后添加 num
let new_rear = ListNode::new(num);
match self.rear.take() {
// 如果队列不为空，则将该节点添加到尾节点后
Some(old_rear) => {
old_rear.borrow_mut().next = Some(new_rear.clone());
self.rear = Some(new_rear);
}
// 如果队列为空，则令头、尾节点都指向该节点
None => {
self.front = Some(new_rear.clone());
self.rear = Some(new_rear);
}
}
self.que_size += 1;
}
/* 出队 */
pub fn pop(&mut self) -> Option<T> {
self.front.take().map(|old_front| {
match old_front.borrow_mut().next.take() {
Some(new_front) => {
self.front = Some(new_front);
}
None => {
self.rear.take();
}
}
self.que_size -= 1;
Rc::try_unwrap(old_front).ok().unwrap().into_inner().val
})
}
/* 访问队首元素 */
pub fn peek(&self) -> Option<&Rc<RefCell<ListNode<T>>>> {
self.front.as_ref()
}
/* 将链表转化为 Array 并返回 */
pub fn to_array(&self, head: Option<&Rc<RefCell<ListNode<T>>>>) -> Vec<T> {
if let Some(node) = head {
let mut nums = self.to_array(node.borrow().next.as_ref());
nums.insert(0, node.borrow().val);
return nums;
}
return Vec::new();
}
}
```
### 基于数组的实现
由于数组删除首元素的时间复杂度为 $O(n)$ ，这会导致出队操作效率较低。然而，我们可以采用以下巧妙方法来避免这个问题。
@ -1927,6 +2015,88 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title="array_queue.rs"
/* 基于环形数组实现的队列 */
struct ArrayQueue {
nums: Vec<i32>, // 用于存储队列元素的数组
front: i32, // 队首指针，指向队首元素
que_size: i32, // 队列长度
que_capacity: i32, // 队列容量
}
impl ArrayQueue {
/* 构造方法 */
fn new(capacity: i32) -> ArrayQueue {
ArrayQueue {
nums: vec![0; capacity as usize],
front: 0,
que_size: 0,
que_capacity: capacity,
}
}
/* 获取队列的容量 */
fn capacity(&self) -> i32 {
self.que_capacity
}
/* 获取队列的长度 */
fn size(&self) -> i32 {
self.que_size
}
/* 判断队列是否为空 */
fn is_empty(&self) -> bool {
self.que_size == 0
}
/* 入队 */
fn push(&mut self, num: i32) {
if self.que_size == self.capacity() {
println!("队列已满");
return;
}
// 计算尾指针，指向队尾索引 + 1
// 通过取余操作，实现 rear 越过数组尾部后回到头部
let rear = (self.front + self.que_size) % self.que_capacity;
// 将 num 添加至队尾
self.nums[rear as usize] = num;
self.que_size += 1;
}
/* 出队 */
fn pop(&mut self) -> i32 {
let num = self.peek();
// 队首指针向后移动一位，若越过尾部则返回到数组头部
self.front = (self.front + 1) % self.que_capacity;
self.que_size -= 1;
num
}
/* 访问队首元素 */
fn peek(&self) -> i32 {
if self.is_empty() {
panic!("index out of bounds");
}
self.nums[self.front as usize]
}
/* 返回数组 */
fn to_vector(&self) -> Vec<i32> {
let cap = self.que_capacity;
let mut j = self.front;
let mut arr = vec![0; self.que_size as usize];
for i in 0..self.que_size {
arr[i as usize] = self.nums[(j % cap) as usize];
j += 1;
}
arr
}
}
```
以上实现的队列仍然具有局限性，即其长度不可变。然而，这个问题不难解决，我们可以将数组替换为动态数组，从而引入扩容机制。有兴趣的同学可以尝试自行实现。
两种实现的对比结论与栈一致，在此不再赘述。

125
chapter_stack_and_queue/stack.md
View file

@ -283,6 +283,12 @@ comments: true
bool isEmpty = stack.isEmpty;
```
=== "Rust"
```rust title="stack.rs"
```
## 5.1.2. &nbsp; 栈的实现
为了深入了解栈的运行机制，我们来尝试自己实现一个栈类。
@ -989,6 +995,75 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title="linkedlist_stack.rs"
/* 基于链表实现的栈 */
#[allow(dead_code)]
pub struct LinkedListStack<T> {
stack_peek: Option<Rc<RefCell<ListNode<T>>>>, // 将头节点作为栈顶
stk_size: usize, // 栈的长度
}
impl<T: Copy> LinkedListStack<T> {
pub fn new() -> Self {
Self {
stack_peek: None,
stk_size: 0,
}
}
/* 获取栈的长度 */
pub fn size(&self) -> usize {
return self.stk_size;
}
/* 判断栈是否为空 */
pub fn is_empty(&self) -> bool {
return self.size() == 0;
}
/* 入栈 */
pub fn push(&mut self, num: T) {
let node = ListNode::new(num);
node.borrow_mut().next = self.stack_peek.take();
self.stack_peek = Some(node);
self.stk_size += 1;
}
/* 出栈 */
pub fn pop(&mut self) -> Option<T> {
self.stack_peek.take().map(|old_head| {
match old_head.borrow_mut().next.take() {
Some(new_head) => {
self.stack_peek = Some(new_head);
}
None => {
self.stack_peek = None;
}
}
self.stk_size -= 1;
Rc::try_unwrap(old_head).ok().unwrap().into_inner().val
})
}
/* 访问栈顶元素 */
pub fn peek(&self) -> Option<&Rc<RefCell<ListNode<T>>>> {
self.stack_peek.as_ref()
}
/* 将 List 转化为 Array 并返回 */
pub fn to_array(&self, head: Option<&Rc<RefCell<ListNode<T>>>>) -> Vec<T> {
if let Some(node) = head {
let mut nums = self.to_array(node.borrow().next.as_ref());
nums.push(node.borrow().val);
return nums;
}
return Vec::new();
}
}
```
### 基于数组的实现
在基于「数组」实现栈时，我们可以将数组的尾部作为栈顶。在这样的设计下，入栈与出栈操作就分别对应在数组尾部添加元素与删除元素，时间复杂度都为 $O(1)$ 。
@ -1542,6 +1617,56 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title="array_stack.rs"
/* 基于数组实现的栈 */
struct ArrayStack<T> {
stack: Vec<T>,
}
impl<T> ArrayStack<T> {
/* 初始化栈 */
fn new() -> ArrayStack<T> {
ArrayStack::<T> { stack: Vec::<T>::new() }
}
/* 获取栈的长度 */
fn size(&self) -> usize {
self.stack.len()
}
/* 判断栈是否为空 */
fn is_empty(&self) -> bool {
self.size() == 0
}
/* 入栈 */
fn push(&mut self, num: T) {
self.stack.push(num);
}
/* 出栈 */
fn pop(&mut self) -> Option<T> {
match self.stack.pop() {
Some(num) => Some(num),
None => None,
}
}
/* 访问栈顶元素 */
fn peek(&self) -> Option<&T> {
if self.is_empty() { panic!("栈为空") };
self.stack.last()
}
/* 返回 &Vec */
fn to_array(&self) -> &Vec<T> {
&self.stack
}
}
```
## 5.1.3. &nbsp; 两种实现对比
### 支持操作

107
chapter_tree/array_representation_of_tree.md
View file

@ -116,6 +116,12 @@ comments: true
List<int?> tree = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15];
```
=== "Rust"
```rust title=""
```
![任意类型二叉树的数组表示](array_representation_of_tree.assets/array_representation_with_empty.png)
<p align="center"> Fig. 任意类型二叉树的数组表示 </p>
@ -620,6 +626,107 @@ comments: true
[class]{ArrayBinaryTree}-[func]{}
```
=== "Rust"
```rust title="array_binary_tree.rs"
/* 数组表示下的二叉树类 */
struct ArrayBinaryTree {
tree: Vec<Option<i32>>,
}
impl ArrayBinaryTree {
/* 构造方法 */
fn new(arr: Vec<Option<i32>>) -> Self {
Self { tree: arr }
}
/* 节点数量 */
fn size(&self) -> i32 {
self.tree.len() as i32
}
/* 获取索引为 i 节点的值 */
fn val(&self, i: i32) -> Option<i32> {
// 若索引越界，则返回 None ，代表空位
if i < 0 || i >= self.size() {
None
} else {
self.tree[i as usize]
}
}
/* 获取索引为 i 节点的左子节点的索引 */
fn left(&self, i: i32) -> i32 {
2 * i + 1
}
/* 获取索引为 i 节点的右子节点的索引 */
fn right(&self, i: i32) -> i32 {
2 * i + 2
}
/* 获取索引为 i 节点的父节点的索引 */
fn parent(&self, i: i32) -> i32 {
(i - 1) / 2
}
/* 层序遍历 */
fn level_order(&self) -> Vec<i32> {
let mut res = vec![];
// 直接遍历数组
for i in 0..self.size() {
if let Some(val) = self.val(i) {
res.push(val)
}
}
res
}
/* 深度优先遍历 */
fn dfs(&self, i: i32, order: &str, res: &mut Vec<i32>) {
if self.val(i).is_none() {
return;
}
let val = self.val(i).unwrap();
// 前序遍历
if order == "pre" {
res.push(val);
}
self.dfs(self.left(i), order, res);
// 中序遍历
if order == "in" {
res.push(val);
}
self.dfs(self.right(i), order, res);
// 后序遍历
if order == "post" {
res.push(val);
}
}
/* 前序遍历 */
fn pre_order(&self) -> Vec<i32> {
let mut res = vec![];
self.dfs(0, "pre", &mut res);
res
}
/* 中序遍历 */
fn in_order(&self) -> Vec<i32> {
let mut res = vec![];
self.dfs(0, "in", &mut res);
res
}
/* 后序遍历 */
fn post_order(&self) -> Vec<i32> {
let mut res = vec![];
self.dfs(0, "post", &mut res);
res
}
}
```
## 7.3.3. &nbsp; 优势与局限性
二叉树的数组表示的优点包括：

230
chapter_tree/avl_tree.md
View file

@ -190,6 +190,12 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
}
```
=== "Rust"
```rust title=""
```
「节点高度」是指从该节点到最远叶节点的距离，即所经过的“边”的数量。需要特别注意的是，叶节点的高度为 0 ，而空节点的高度为 -1 。我们将创建两个工具函数，分别用于获取和更新节点的高度。
=== "Java"
@ -388,6 +394,29 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
}
```
=== "Rust"
```rust title="avl_tree.rs"
/* 获取节点高度 */
fn height(node: OptionTreeNodeRc) -> i32 {
// 空节点高度为 -1 ，叶节点高度为 0
match node {
Some(node) => node.borrow().height,
None => -1,
}
}
/* 更新节点高度 */
fn update_height(node: OptionTreeNodeRc) {
if let Some(node) = node {
let left = node.borrow().left.clone();
let right = node.borrow().right.clone();
// 节点高度等于最高子树高度 + 1
node.borrow_mut().height = std::cmp::max(Self::height(left), Self::height(right)) + 1;
}
}
```
### 节点平衡因子
节点的「平衡因子 Balance Factor」定义为节点左子树的高度减去右子树的高度，同时规定空节点的平衡因子为 0 。我们同样将获取节点平衡因子的功能封装成函数，方便后续使用。
@ -530,6 +559,22 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
}
```
=== "Rust"
```rust title="avl_tree.rs"
/* 获取平衡因子 */
fn balance_factor(node: OptionTreeNodeRc) -> i32 {
match node {
// 空节点平衡因子为 0
None => 0,
// 节点平衡因子 = 左子树高度 - 右子树高度
Some(node) => {
Self::height(node.borrow().left.clone()) - Self::height(node.borrow().right.clone())
}
}
}
```
!!! note
设平衡因子为 $f$ ，则一棵 AVL 树的任意节点的平衡因子皆满足 $-1 \le f \le 1$ 。
@ -762,6 +807,29 @@ AVL 树的特点在于「旋转 Rotation」操作，它能够在不影响二叉
}
```
=== "Rust"
```rust title="avl_tree.rs"
/* 右旋操作 */
fn right_rotate(node: OptionTreeNodeRc) -> OptionTreeNodeRc {
match node {
Some(node) => {
let child = node.borrow().left.clone().unwrap();
let grand_child = child.borrow().right.clone();
// 以 child 为原点，将 node 向右旋转
child.borrow_mut().right = Some(node.clone());
node.borrow_mut().left = grand_child;
// 更新节点高度
Self::update_height(Some(node));
Self::update_height(Some(child.clone()));
// 返回旋转后子树的根节点
Some(child)
}
None => None,
}
}
```
### 左旋
相应的，如果考虑上述失衡二叉树的“镜像”，则需要执行「左旋」操作。
@ -976,6 +1044,29 @@ AVL 树的特点在于「旋转 Rotation」操作，它能够在不影响二叉
}
```
=== "Rust"
```rust title="avl_tree.rs"
/* 左旋操作 */
fn left_rotate(node: OptionTreeNodeRc) -> OptionTreeNodeRc {
match node {
Some(node) => {
let child = node.borrow().right.clone().unwrap();
let grand_child = child.borrow().left.clone();
// 以 child 为原点，将 node 向左旋转
child.borrow_mut().left = Some(node.clone());
node.borrow_mut().right = grand_child;
// 更新节点高度
Self::update_height(Some(node));
Self::update_height(Some(child.clone()));
// 返回旋转后子树的根节点
Some(child)
}
None => None,
}
}
```
### 先左旋后右旋
对于下图中的失衡节点 3，仅使用左旋或右旋都无法使子树恢复平衡。此时需要先左旋后右旋，即先对 `child` 执行「左旋」，再对 `node` 执行「右旋」。
@ -1385,6 +1476,45 @@ AVL 树的特点在于「旋转 Rotation」操作，它能够在不影响二叉
}
```
=== "Rust"
```rust title="avl_tree.rs"
/* 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
fn rotate(node: OptionTreeNodeRc) -> OptionTreeNodeRc {
// 获取节点 node 的平衡因子
let balance_factor = Self::balance_factor(node.clone());
// 左偏树
if balance_factor > 1 {
let node = node.unwrap();
if Self::balance_factor(node.borrow().left.clone()) >= 0 {
// 右旋
Self::right_rotate(Some(node))
} else {
// 先左旋后右旋
let left = node.borrow().left.clone();
node.borrow_mut().left = Self::left_rotate(left);
Self::right_rotate(Some(node))
}
}
// 右偏树
else if balance_factor < -1 {
let node = node.unwrap();
if Self::balance_factor(node.borrow().right.clone()) <= 0 {
// 左旋
Self::left_rotate(Some(node))
} else {
// 先右旋后左旋
let right = node.borrow().right.clone();
node.borrow_mut().right = Self::right_rotate(right);
Self::left_rotate(Some(node))
}
} else {
// 平衡树，无需旋转，直接返回
node
}
}
```
## 7.5.3. &nbsp; AVL 树常用操作
### 插入节点
@ -1697,6 +1827,48 @@ AVL 树的特点在于「旋转 Rotation」操作，它能够在不影响二叉
}
```
=== "Rust"
```rust title="avl_tree.rs"
/* 插入节点 */
fn insert(&mut self, val: i32) {
self.root = Self::insert_helper(self.root.clone(), val);
}
/* 递归插入节点（辅助方法） */
fn insert_helper(node: OptionTreeNodeRc, val: i32) -> OptionTreeNodeRc {
match node {
Some(mut node) => {
/* 1. 查找插入位置，并插入节点 */
match {
let node_val = node.borrow().val;
node_val
}
.cmp(&val)
{
Ordering::Greater => {
let left = node.borrow().left.clone();
node.borrow_mut().left = Self::insert_helper(left, val);
}
Ordering::Less => {
let right = node.borrow().right.clone();
node.borrow_mut().right = Self::insert_helper(right, val);
}
Ordering::Equal => {
return Some(node); // 重复节点不插入，直接返回
}
}
Self::update_height(Some(node.clone())); // 更新节点高度
/* 2. 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
node = Self::rotate(Some(node)).unwrap();
// 返回子树的根节点
Some(node)
}
None => Some(TreeNode::new(val)),
}
}
```
### 删除节点
类似地，在二叉搜索树的删除节点方法的基础上，需要从底至顶地执行旋转操作，使所有失衡节点恢复平衡。
@ -2198,6 +2370,64 @@ AVL 树的特点在于「旋转 Rotation」操作，它能够在不影响二叉
}
```
=== "Rust"
```rust title="avl_tree.rs"
/* 删除节点 */
fn remove(&self, val: i32) {
Self::remove_helper(self.root.clone(), val);
}
/* 递归删除节点（辅助方法） */
fn remove_helper(node: OptionTreeNodeRc, val: i32) -> OptionTreeNodeRc {
match node {
Some(mut node) => {
/* 1. 查找节点，并删除之 */
if val < node.borrow().val {
let left = node.borrow().left.clone();
node.borrow_mut().left = Self::remove_helper(left, val);
} else if val > node.borrow().val {
let right = node.borrow().right.clone();
node.borrow_mut().right = Self::remove_helper(right, val);
} else if node.borrow().left.is_none() || node.borrow().right.is_none() {
let child = if node.borrow().left.is_some() {
node.borrow().left.clone()
} else {
node.borrow().right.clone()
};
match child {
// 子节点数量 = 0 ，直接删除 node 并返回
None => {
return None;
}
// 子节点数量 = 1 ，直接删除 node
Some(child) => node = child,
}
} else {
// 子节点数量 = 2 ，则将中序遍历的下个节点删除，并用该节点替换当前节点
let mut temp = node.borrow().right.clone().unwrap();
loop {
let temp_left = temp.borrow().left.clone();
if temp_left.is_none() {
break;
}
temp = temp_left.unwrap();
}
let right = node.borrow().right.clone();
node.borrow_mut().right = Self::remove_helper(right, temp.borrow().val);
node.borrow_mut().val = temp.borrow().val;
}
Self::update_height(Some(node.clone())); // 更新节点高度
/* 2. 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
node = Self::rotate(Some(node)).unwrap();
// 返回子树的根节点
Some(node)
}
None => None,
}
}
```
### 查找节点
AVL 树的节点查找操作与二叉搜索树一致，在此不再赘述。

135
chapter_tree/binary_search_tree.md
View file

@ -271,6 +271,33 @@ comments: true
[class]{BinarySearchTree}-[func]{search}
```
=== "Rust"
```rust title="binary_search_tree.rs"
/* 查找节点 */
pub fn search(&self, num: i32) -> Option<TreeNodeRc> {
let mut cur = self.root.clone();
// 循环查找，越过叶节点后跳出
while let Some(node) = cur.clone() {
// 目标节点在 cur 的右子树中
if node.borrow().val < num {
cur = node.borrow().right.clone();
}
// 目标节点在 cur 的左子树中
else if node.borrow().val > num {
cur = node.borrow().left.clone();
}
// 找到目标节点，跳出循环
else {
break;
}
}
// 返回目标节点
cur
}
```
### 插入节点
给定一个待插入元素 `num` ，为了保持二叉搜索树“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质，插入操作分为两步：
@ -614,6 +641,44 @@ comments: true
[class]{BinarySearchTree}-[func]{insert}
```
=== "Rust"
```rust title="binary_search_tree.rs"
/* 插入节点 */
pub fn insert(&mut self, num: i32) {
// 若树为空，直接提前返回
if self.root.is_none() {
return;
}
let mut cur = self.root.clone();
let mut pre = None;
// 循环查找，越过叶节点后跳出
while let Some(node) = cur.clone() {
// 找到重复节点，直接返回
if node.borrow().val == num {
return;
}
// 插入位置在 cur 的右子树中
pre = cur.clone();
if node.borrow().val < num {
cur = node.borrow().right.clone();
}
// 插入位置在 cur 的左子树中
else {
cur = node.borrow().left.clone();
}
}
// 插入节点
let node = TreeNode::new(num);
let pre = pre.unwrap();
if pre.borrow().val < num {
pre.borrow_mut().right = Some(Rc::clone(&node));
} else {
pre.borrow_mut().left = Some(Rc::clone(&node));
}
}
```
为了插入节点，我们需要利用辅助节点 `pre` 保存上一轮循环的节点，这样在遍历至 $\text{None}$ 时，我们可以获取到其父节点，从而完成节点插入操作。
与查找节点相同，插入节点使用 $O(\log n)$ 时间。
@ -1217,6 +1282,76 @@ comments: true
[class]{BinarySearchTree}-[func]{remove}
```
=== "Rust"
```rust title="binary_search_tree.rs"
/* 删除节点 */
pub fn remove(&mut self, num: i32) {
// 若树为空，直接提前返回
if self.root.is_none() {
return;
}
let mut cur = self.root.clone();
let mut pre = None;
// 循环查找，越过叶节点后跳出
while let Some(node) = cur.clone() {
// 找到待删除节点，跳出循环
if node.borrow().val == num {
break;
}
// 待删除节点在 cur 的右子树中
pre = cur.clone();
if node.borrow().val < num {
cur = node.borrow().right.clone();
}
// 待删除节点在 cur 的左子树中
else {
cur = node.borrow().left.clone();
}
}
// 若无待删除节点，则直接返回
if cur.is_none() {
return;
}
let cur = cur.unwrap();
// 子节点数量 = 0 or 1
if cur.borrow().left.is_none() || cur.borrow().right.is_none() {
// 当子节点数量 = 0 / 1 时， child = nullptr / 该子节点
let child = cur.borrow().left.clone().or_else(|| cur.borrow().right.clone());
let pre = pre.unwrap();
let left = pre.borrow().left.clone().unwrap();
// 删除节点 cur
if !Rc::ptr_eq(&cur, self.root.as_ref().unwrap()) {
if Rc::ptr_eq(&left, &cur) {
pre.borrow_mut().left = child;
} else {
pre.borrow_mut().right = child;
}
} else {
// 若删除节点为根节点，则重新指定根节点
self.root = child;
}
}
// 子节点数量 = 2
else {
// 获取中序遍历中 cur 的下一个节点
let mut tmp = cur.borrow().right.clone();
while let Some(node) = tmp.clone() {
if node.borrow().left.is_some() {
tmp = node.borrow().left.clone();
} else {
break;
}
}
let tmpval = tmp.unwrap().borrow().val;
// 递归删除节点 tmp
self.remove(tmpval);
// 用 tmp 覆盖 cur
cur.borrow_mut().val = tmpval;
}
}
```
### 排序
我们知道，二叉树的中序遍历遵循“左 $\rightarrow$ 根 $\rightarrow$ 右”的遍历顺序，而二叉搜索树满足“左子节点 $<$ 根节点 $<$ 右子节点”的大小关系。因此，在二叉搜索树中进行中序遍历时，总是会优先遍历下一个最小节点，从而得出一个重要性质：**二叉搜索树的中序遍历序列是升序的**。

18
chapter_tree/binary_tree.md
View file

@ -159,6 +159,12 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title=""
```
节点的两个指针分别指向「左子节点」和「右子节点」，同时该节点被称为这两个子节点的「父节点」。当给定一个二叉树的节点时，我们将该节点的左子节点及其以下节点形成的树称为该节点的「左子树」，同理可得「右子树」。
**在二叉树中，除叶节点外，其他所有节点都包含子节点和非空子树**。例如，在以下示例中，若将“节点 2”视为父节点，则其左子节点和右子节点分别是“节点 4”和“节点 5”，左子树是“节点 4 及其以下节点形成的树”，右子树是“节点 5 及其以下节点形成的树”。
@ -366,6 +372,12 @@ comments: true
n2.right = n5;
```
=== "Rust"
```rust title="binary_tree.rs"
```
**插入与删除节点**。与链表类似，通过修改指针来实现插入与删除节点。
![在二叉树中插入与删除节点](binary_tree.assets/binary_tree_add_remove.png)
@ -496,6 +508,12 @@ comments: true
n1.left = n2;
```
=== "Rust"
```rust title="binary_tree.rs"
```
!!! note
需要注意的是，插入节点可能会改变二叉树的原有逻辑结构，而删除节点通常意味着删除该节点及其所有子树。因此，在二叉树中，插入与删除操作通常是由一套操作配合完成的，以实现有实际意义的操作。

67
chapter_tree/binary_tree_traversal.md
View file

@ -298,6 +298,30 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title="binary_tree_bfs.rs"
/* 层序遍历 */
fn level_order(root: &Rc<RefCell<TreeNode>>) -> Vec<i32> {
// 初始化队列，加入根结点
let mut que = VecDeque::new();
que.push_back(Rc::clone(&root));
// 初始化一个列表，用于保存遍历序列
let mut vec = Vec::new();
while let Some(node) = que.pop_front() { // 队列出队
vec.push(node.borrow().val); // 保存结点值
if let Some(left) = node.borrow().left.as_ref() {
que.push_back(Rc::clone(left)); // 左子结点入队
}
if let Some(right) = node.borrow().right.as_ref() {
que.push_back(Rc::clone(right)); // 右子结点入队
};
}
vec
}
```
**时间复杂度**：所有节点被访问一次，使用 $O(n)$ 时间，其中 $n$ 为节点数量。
**空间复杂度**：在最差情况下，即满二叉树时，遍历到最底层之前，队列中最多同时存在 $\frac{n + 1}{2}$ 个节点，占用 $O(n)$ 空间。
@ -682,6 +706,49 @@ comments: true
}
```
=== "Rust"
```rust title="binary_tree_dfs.rs"
/* 前序遍历 */
fn pre_order(root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>) -> Vec<i32> {
let mut result = vec![];
if let Some(node) = root {
// 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
result.push(node.borrow().val);
result.append(&mut pre_order(node.borrow().left.as_ref()));
result.append(&mut pre_order(node.borrow().right.as_ref()));
}
result
}
/* 中序遍历 */
fn in_order(root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>) -> Vec<i32> {
let mut result = vec![];
if let Some(node) = root {
// 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
result.append(&mut in_order(node.borrow().left.as_ref()));
result.push(node.borrow().val);
result.append(&mut in_order(node.borrow().right.as_ref()));
}
result
}
/* 后序遍历 */
fn post_order(root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>) -> Vec<i32> {
let mut result = vec![];
if let Some(node) = root {
// 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
result.append(&mut post_order(node.borrow().left.as_ref()));
result.append(&mut post_order(node.borrow().right.as_ref()));
result.push(node.borrow().val);
}
result
}
```
**时间复杂度**：所有节点被访问一次，使用 $O(n)$ 时间，其中 $n$ 为节点数量。
**空间复杂度**：在最差情况下，即树退化为链表时，递归深度达到 $n$ ，系统占用 $O(n)$ 栈帧空间。