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chapter_dynamic_programming/edit_distance_problem.md
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397
chapter_dynamic_programming/edit_distance_problem.md
Normal file
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@ -0,0 +1,397 @@
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comments: true
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# 13.6. 编辑距离问题
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编辑距离，也被称为 Levenshtein 距离，是两个字符串之间互相转换的最小修改次数，通常用于在信息检索和自然语言处理中度量两个序列的相似度。
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!!! question
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输入两个字符串 $s$ 和 $t$ ，返回将 $s$ 转换为 $t$ 所需的最少编辑步数。
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你可以在一个字符串中进行三种编辑操作：插入一个字符、删除一个字符、替换字符为任意一个字符。
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如下图所示，将 `kitten` 转换为 `sitting` 需要编辑 3 步，包括 2 次替换操作与 1 次添加操作；将 `hello` 转换为 `algo` 需要 3 步，包括 2 次替换操作和 1 次删除操作。
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<p align="center"> Fig. 编辑距离的示例数据 </p>
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**编辑距离问题可以很自然地用决策树模型来解释**。字符串对应树节点，一轮决策（一次编辑操作）对应树的一条边。
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如下图所示，在不限制操作的情况下，每个节点都可以派生出许多条边，每条边对应一种操作。实际上，从 `hello` 转换到 `algo` 有许多种可能的路径，下图展示的是最短路径。从决策树的角度看，本题目标是求解节点 `hello` 和节点 `algo` 之间的最短路径。
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<p align="center"> Fig. 基于决策树模型表示编辑距离问题 </p>
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**第一步：思考每轮的决策，定义状态，从而得到 $dp$ 表**
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每一轮的决策是对字符串 $s$ 进行一次编辑操作。
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我们希望在编辑操作的过程中，问题的规模逐渐缩小，这样才能构建子问题。设字符串 $s$ 和 $t$ 的长度分别为 $n$ 和 $m$ ，我们先考虑两字符串尾部的字符 $s[n-1]$ 和 $t[m-1]$ ：
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- 若 $s[n-1]$ 和 $t[m-1]$ 相同，我们可以直接跳过它们，接下来考虑 $s[n-2]$ 和 $t[m-2]$ ;
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- 若 $s[n-1]$ 和 $t[m-1]$ 不同，我们需要对 $s$ 进行一次编辑（插入、删除、替换），使得两字符串尾部的字符相同，从而可以跳过它们，考虑规模更小的问题；
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也就是说，我们在字符串 $s$ 中进行的每一轮决策（编辑操作），都会使得 $s$ 和 $t$ 中剩余的待匹配字符发生变化。因此，状态定义为当前在 $s$ , $t$ 中考虑的第 $i$ , $j$ 个字符，记为 $[i, j]$ 。
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状态 $[i, j]$ 对应的子问题：**将 $s$ 的前 $i$ 个字符更改为 $t$ 的前 $j$ 个字符所需的最少编辑步数**。
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至此得到一个尺寸为 $(i+1) \times (j+1)$ 的二维 $dp$ 表。
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**第二步：找出最优子结构，进而推导出状态转移方程**
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考虑子问题 $dp[i, j]$ ，其对应的两个字符串的尾部字符为 $s[i-1]$ 和 $t[j-1]$ ，可根据不同编辑操作分为三种情况：
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1. 在 $s$ 尾部添加 $t[j-1]$ ，则剩余子问题 $dp[i, j-1]$ ；
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2. 删除 $s[i-1]$ ，则剩余子问题 $dp[i-1, j]$ ；
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3. 将 $s[i-1]$ 替换为 $t[j-1]$ ，则剩余子问题 $dp[i-1, j-1]$ ；
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<p align="center"> Fig. 编辑距离的状态转移 </p>
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根据以上分析，可得最优子结构：$dp[i, j]$ 的最少编辑步数等于 $dp[i, j-1]$ , $dp[i-1, j]$ , $dp[i-1, j-1]$ 三者中的最少编辑步数，再加上本次编辑的步数 $1$ 。对应的状态转移方程为：
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$$
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dp[i, j] = \min(dp[i, j-1], dp[i-1, j], dp[i-1, j-1]) + 1
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$$
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请注意，**当 $s[i-1]$ 和 $t[j-1]$ 相同时，无需编辑当前字符**，此时状态转移方程为：
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$$
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dp[i, j] = dp[i-1, j-1]
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$$
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**第三步：确定边界条件和状态转移顺序**
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当两字符串都为空时，编辑步数为 $0$ ，即 $dp[0, 0] = 0$ 。当 $s$ 为空但 $t$ 不为空时，最少编辑步数等于 $t$ 的长度，即 $dp[0, j] = j$ 。当 $s$ 不为空但 $t$ 为空时，等于 $s$ 的长度，即 $dp[i, 0] = i$ 。
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观察状态转移方程，解 $dp[i, j]$ 依赖左方、上方、左上方的解，因此通过两层循环正序遍历整个 $dp$ 表即可。
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=== "Java"
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```java title="edit_distance.java"
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/* 编辑距离：动态规划 */
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int editDistanceDP(String s, String t) {
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int n = s.length(), m = t.length();
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int[][] dp = new int[n + 1][m + 1];
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// 状态转移：首行首列
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for (int i = 1; i <= n; i++) {
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dp[i][0] = i;
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}
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for (int j = 1; j <= m; j++) {
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dp[0][j] = j;
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}
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||||
// 状态转移：其余行列
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||||
for (int i = 1; i <= n; i++) {
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||||
for (int j = 1; j <= m; j++) {
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if (s.charAt(i - 1) == t.charAt(j - 1)) {
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// 若两字符相等，则直接跳过此两字符
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||||
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
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} else {
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// 最少编辑步数 = 插入、删除、替换这三种操作的最少编辑步数 + 1
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||||
dp[i][j] = Math.min(Math.min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;
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}
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}
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}
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||||
return dp[n][m];
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}
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```
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=== "C++"
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```cpp title="edit_distance.cpp"
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||||
/* 编辑距离：动态规划 */
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int editDistanceDP(string s, string t) {
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||||
int n = s.length(), m = t.length();
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||||
vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(m + 1, 0));
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||||
// 状态转移：首行首列
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||||
for (int i = 1; i <= n; i++) {
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||||
dp[i][0] = i;
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}
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||||
for (int j = 1; j <= m; j++) {
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||||
dp[0][j] = j;
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}
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||||
// 状态转移：其余行列
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||||
for (int i = 1; i <= n; i++) {
|
||||
for (int j = 1; j <= m; j++) {
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if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
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// 若两字符相等，则直接跳过此两字符
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||||
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
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||||
} else {
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||||
// 最少编辑步数 = 插入、删除、替换这三种操作的最少编辑步数 + 1
|
||||
dp[i][j] = min(min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;
|
||||
}
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}
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}
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||||
return dp[n][m];
|
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}
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```
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=== "Python"
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||||
```python title="edit_distance.py"
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def edit_distance_dp(s: str, t: str) -> int:
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"""编辑距离：动态规划"""
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n, m = len(s), len(t)
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dp = [[0] * (m + 1) for _ in range(n + 1)]
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# 状态转移：首行首列
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for i in range(1, n + 1):
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dp[i][0] = i
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for j in range(1, m + 1):
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dp[0][j] = j
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||||
# 状态转移：其余行列
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||||
for i in range(1, n + 1):
|
||||
for j in range(1, m + 1):
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if s[i - 1] == t[j - 1]:
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||||
# 若两字符相等，则直接跳过此两字符
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||||
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
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else:
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# 最少编辑步数 = 插入、删除、替换这三种操作的最少编辑步数 + 1
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dp[i][j] = min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1]) + 1
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return dp[n][m]
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```
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=== "Go"
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```go title="edit_distance.go"
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[class]{}-[func]{editDistanceDP}
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```
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=== "JavaScript"
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```javascript title="edit_distance.js"
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[class]{}-[func]{editDistanceDP}
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```
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=== "TypeScript"
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```typescript title="edit_distance.ts"
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[class]{}-[func]{editDistanceDP}
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```
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=== "C"
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```c title="edit_distance.c"
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[class]{}-[func]{editDistanceDP}
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```
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=== "C#"
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```csharp title="edit_distance.cs"
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[class]{edit_distance}-[func]{editDistanceDP}
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```
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=== "Swift"
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```swift title="edit_distance.swift"
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[class]{}-[func]{editDistanceDP}
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```
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=== "Zig"
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```zig title="edit_distance.zig"
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[class]{}-[func]{editDistanceDP}
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```
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=== "Dart"
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```dart title="edit_distance.dart"
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[class]{}-[func]{editDistanceDP}
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```
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如下图所示，编辑距离问题的状态转移过程与背包问题非常类似，都可以看作是填写一个二维网格的过程。
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=== "<1>"
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=== "<2>"
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=== "<3>"
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=== "<4>"
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=== "<5>"
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=== "<6>"
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=== "<7>"
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=== "<8>"
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=== "<9>"
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=== "<10>"
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=== "<11>"
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=== "<12>"
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=== "<13>"
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=== "<14>"
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=== "<15>"
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下面考虑状态压缩，将 $dp$ 表的第一维删除。由于 $dp[i,j]$ 是由上方 $dp[i-1, j]$ 、左方 $dp[i, j-1]$ 、左上方状态 $dp[i-1, j-1]$ 转移而来，而正序遍历会丢失左上方 $dp[i-1, j-1]$ ，倒序遍历无法提前构建 $dp[i, j-1]$ ，因此两种遍历顺序都不可取。
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为解决此问题，我们可以使用一个变量 `leftup` 来暂存左上方的解 $dp[i-1, j-1]$ ，这样便只用考虑左方和上方的解，与完全背包问题的情况相同，可使用正序遍历。
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=== "Java"
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```java title="edit_distance.java"
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/* 编辑距离：状态压缩后的动态规划 */
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int editDistanceDPComp(String s, String t) {
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||||
int n = s.length(), m = t.length();
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||||
int[] dp = new int[m + 1];
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||||
// 状态转移：首行
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||||
for (int j = 1; j <= m; j++) {
|
||||
dp[j] = j;
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}
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||||
// 状态转移：其余行
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||||
for (int i = 1; i <= n; i++) {
|
||||
// 状态转移：首列
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||||
int leftup = dp[0]; // 暂存 dp[i-1, j-1]
|
||||
dp[0] = i;
|
||||
// 状态转移：其余列
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||||
for (int j = 1; j <= m; j++) {
|
||||
int temp = dp[j];
|
||||
if (s.charAt(i - 1) == t.charAt(j - 1)) {
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||||
// 若两字符相等，则直接跳过此两字符
|
||||
dp[j] = leftup;
|
||||
} else {
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||||
// 最少编辑步数 = 插入、删除、替换这三种操作的最少编辑步数 + 1
|
||||
dp[j] = Math.min(Math.min(dp[j - 1], dp[j]), leftup) + 1;
|
||||
}
|
||||
leftup = temp; // 更新为下一轮的 dp[i-1, j-1]
|
||||
}
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||||
}
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||||
return dp[m];
|
||||
}
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```
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=== "C++"
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||||
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||||
```cpp title="edit_distance.cpp"
|
||||
/* 编辑距离：状态压缩后的动态规划 */
|
||||
int editDistanceDPComp(string s, string t) {
|
||||
int n = s.length(), m = t.length();
|
||||
vector<int> dp(m + 1, 0);
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||||
// 状态转移：首行
|
||||
for (int j = 1; j <= m; j++) {
|
||||
dp[j] = j;
|
||||
}
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||||
// 状态转移：其余行
|
||||
for (int i = 1; i <= n; i++) {
|
||||
// 状态转移：首列
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||||
int leftup = dp[0]; // 暂存 dp[i-1, j-1]
|
||||
dp[0] = i;
|
||||
// 状态转移：其余列
|
||||
for (int j = 1; j <= m; j++) {
|
||||
int temp = dp[j];
|
||||
if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
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||||
// 若两字符相等，则直接跳过此两字符
|
||||
dp[j] = leftup;
|
||||
} else {
|
||||
// 最少编辑步数 = 插入、删除、替换这三种操作的最少编辑步数 + 1
|
||||
dp[j] = min(min(dp[j - 1], dp[j]), leftup) + 1;
|
||||
}
|
||||
leftup = temp; // 更新为下一轮的 dp[i-1, j-1]
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
return dp[m];
|
||||
}
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||||
```
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=== "Python"
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||||
```python title="edit_distance.py"
|
||||
def edit_distance_dp_comp(s: str, t: str) -> int:
|
||||
"""编辑距离：状态压缩后的动态规划"""
|
||||
n, m = len(s), len(t)
|
||||
dp = [0] * (m + 1)
|
||||
# 状态转移：首行
|
||||
for j in range(1, m + 1):
|
||||
dp[j] = j
|
||||
# 状态转移：其余行
|
||||
for i in range(1, n + 1):
|
||||
# 状态转移：首列
|
||||
leftup = dp[0] # 暂存 dp[i-1, j-1]
|
||||
dp[0] += 1
|
||||
# 状态转移：其余列
|
||||
for j in range(1, m + 1):
|
||||
temp = dp[j]
|
||||
if s[i - 1] == t[j - 1]:
|
||||
# 若两字符相等，则直接跳过此两字符
|
||||
dp[j] = leftup
|
||||
else:
|
||||
# 最少编辑步数 = 插入、删除、替换这三种操作的最少编辑步数 + 1
|
||||
dp[j] = min(dp[j - 1], dp[j], leftup) + 1
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||||
leftup = temp # 更新为下一轮的 dp[i-1, j-1]
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||||
return dp[m]
|
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```
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||||
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||||
=== "Go"
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```go title="edit_distance.go"
|
||||
[class]{}-[func]{editDistanceDPComp}
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```
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=== "JavaScript"
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||||
|
||||
```javascript title="edit_distance.js"
|
||||
[class]{}-[func]{editDistanceDPComp}
|
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```
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||||
|
||||
=== "TypeScript"
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||||
|
||||
```typescript title="edit_distance.ts"
|
||||
[class]{}-[func]{editDistanceDPComp}
|
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```
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||||
|
||||
=== "C"
|
||||
|
||||
```c title="edit_distance.c"
|
||||
[class]{}-[func]{editDistanceDPComp}
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "C#"
|
||||
|
||||
```csharp title="edit_distance.cs"
|
||||
[class]{edit_distance}-[func]{editDistanceDPComp}
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "Swift"
|
||||
|
||||
```swift title="edit_distance.swift"
|
||||
[class]{}-[func]{editDistanceDPComp}
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "Zig"
|
||||
|
||||
```zig title="edit_distance.zig"
|
||||
[class]{}-[func]{editDistanceDPComp}
|
||||
```
|
||||
|
||||
=== "Dart"
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||||
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||||
```dart title="edit_distance.dart"
|
||||
[class]{}-[func]{editDistanceDPComp}
|
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```
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@ -31,14 +31,14 @@ comments: true
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查阅字典这个小学生必备技能，实际上就是著名的「二分查找」。从数据结构的角度，我们可以把字典视为一个已排序的「数组」；从算法的角度，我们可以将上述查字典的一系列操作看作是「二分查找」算法。
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**例二：整理扑克**。我们在打斗地主时，每局都需要整理扑克牌，使其从小到大排列，实现流程如下：
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**例二：整理扑克**。我们在打牌时，每局都需要整理扑克牌，使其从小到大排列，实现流程如下：
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1. 将扑克牌划分为“有序”和“无序”两部分，并假设初始状态下最左 1 张扑克牌已经有序。
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2. 在无序区间抽出一张扑克牌，插入至有序区间的正确位置；完成后最左 2 张扑克已经有序。
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3. 在无序区间抽出一张扑克牌，插入至有序区间的正确位置；完成后最左 3 张扑克已经有序。
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4. 不断循环以上操作，直至所有扑克牌都有序后终止。
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以上整理扑克牌的方法本质上就是「插入排序」，它在处理小型数据集时非常高效，因此插入排序常作为编程语言的排序库函数的重要组成部分。
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以上整理扑克牌的方法本质上就是「插入排序」算法，它在处理小型数据集时非常高效。许多编程语言的排序库函数中都存在插入排序的身影。
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