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krahets
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eeb5a4fe0b
commit
14a64ebdb2
5 changed files with 338 additions and 23 deletions
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@ -153,7 +153,7 @@ $$
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由于当前状态是从左边和上边的状态转移而来，**因此状态压缩后应该对 $dp$ 表中的每一行采取正序遍历**，这个遍历顺序与 0-1 背包正好相反。请通过以下动画来理解为什么要改为正序遍历。
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=== "<1>"
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=== "<2>"
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@ -469,7 +469,7 @@ $$
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下图展示了零钱兑换的动态规划过程。
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=== "<1>"
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=== "<2>"
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@ -573,7 +573,181 @@ comments: true
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=== "C"
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||||
```c title="graph_adjacency_matrix.c"
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||||
[class]{graphAdjMat}-[func]{}
|
||||
/* 基于邻接矩阵实现的无向图类结构 */
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||||
struct graphAdjMat {
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||||
int *vertices;
|
||||
unsigned int **adjMat;
|
||||
unsigned int size;
|
||||
unsigned int capacity;
|
||||
};
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||||
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||||
typedef struct graphAdjMat graphAdjMat;
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||||
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||||
/* 添加边 */
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||||
void addEdge(graphAdjMat *t, int i, int j) {
|
||||
// 越界检查
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||||
if (i < 0 || j < 0 || i >= t->size || j >= t->size || i == j) {
|
||||
printf("Out of range in %s:%d\n", __FILE__, __LINE__);
|
||||
exit(1);
|
||||
}
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||||
t->adjMat[i][j] = 1;
|
||||
t->adjMat[j][i] = 1;
|
||||
}
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||||
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||||
/* 删除边 */
|
||||
void removeEdge(graphAdjMat *t, int i, int j) {
|
||||
// 越界检查
|
||||
if (i < 0 || j < 0 || i >= t->size || j >= t->size || i == j) {
|
||||
printf("Out of range in %s:%d\n", __FILE__, __LINE__);
|
||||
exit(1);
|
||||
}
|
||||
t->adjMat[i][j] = 0;
|
||||
t->adjMat[j][i] = 0;
|
||||
}
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||||
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||||
/* 添加顶点 */
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||||
void addVertex(graphAdjMat *t, int val) {
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||||
// 如果实际使用不大于预设空间，则直接初始化新空间
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||||
if (t->size < t->capacity) {
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||||
t->vertices[t->size] = val;
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||||
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||||
// 邻接矩新列阵置0
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||||
for (int i = 0; i < t->size; i++) {
|
||||
t->adjMat[i][t->size] = 0;
|
||||
}
|
||||
memset(t->adjMat[t->size], 0, sizeof(unsigned int) * (t->size + 1));
|
||||
t->size++;
|
||||
return;
|
||||
}
|
||||
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||||
// 扩容，申请新的顶点数组
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||||
int *temp = (int *)malloc(sizeof(int) * (t->size * 2));
|
||||
memcpy(temp, t->vertices, sizeof(int) * t->size);
|
||||
temp[t->size] = val;
|
||||
|
||||
// 释放原数组
|
||||
free(t->vertices);
|
||||
t->vertices = temp;
|
||||
|
||||
// 扩容，申请新的二维数组
|
||||
unsigned int **tempMat = (unsigned int **)malloc(sizeof(unsigned int *) * t->size * 2);
|
||||
unsigned int *tempMatLine = (unsigned int *)malloc(sizeof(unsigned int) * (t->size * 2) * (t->size * 2));
|
||||
memset(tempMatLine, 0, sizeof(unsigned int) * (t->size * 2) * (t->size * 2));
|
||||
for (int k = 0; k < t->size * 2; k++) {
|
||||
tempMat[k] = tempMatLine + k * (t->size * 2);
|
||||
}
|
||||
|
||||
// 原数据复制到新数组
|
||||
for (int i = 0; i < t->size; i++) {
|
||||
memcpy(tempMat[i], t->adjMat[i], sizeof(unsigned int) * t->size);
|
||||
}
|
||||
|
||||
// 新列置0
|
||||
for (int i = 0; i < t->size; i++) {
|
||||
tempMat[i][t->size] = 0;
|
||||
}
|
||||
memset(tempMat[t->size], 0, sizeof(unsigned int) * (t->size + 1));
|
||||
|
||||
// 释放原数组
|
||||
free(t->adjMat[0]);
|
||||
free(t->adjMat);
|
||||
|
||||
// 扩容后，指向新地址
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||||
t->adjMat = tempMat;
|
||||
t->capacity = t->size * 2;
|
||||
t->size++;
|
||||
}
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||||
|
||||
/* 删除顶点 */
|
||||
void removeVertex(graphAdjMat *t, unsigned int index) {
|
||||
// 越界检查
|
||||
if (index < 0 || index >= t->size) {
|
||||
printf("Out of range in %s:%d\n", __FILE__, __LINE__);
|
||||
exit(1);
|
||||
}
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||||
|
||||
// 清除删除的顶点，并将其后所有顶点前移
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||||
for (int i = index; i < t->size - 1; i++) {
|
||||
t->vertices[i] = t->vertices[i + 1];
|
||||
}
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||||
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||||
// 将被前移的最后一个顶点置0
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||||
t->vertices[t->size - 1] = 0;
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||||
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||||
// 清除邻接矩阵中删除的列
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||||
for (int i = 0; i < t->size - 1; i++) {
|
||||
if (i < index) {
|
||||
// 被删除列后的所有列前移
|
||||
for (int j = index; j < t->size - 1; j++) {
|
||||
t->adjMat[i][j] = t->adjMat[i][j + 1];
|
||||
}
|
||||
} else {
|
||||
// 被删除行的下方所有行上移
|
||||
memcpy(t->adjMat[i], t->adjMat[i + 1], sizeof(unsigned int) * t->size);
|
||||
// 被删除列后的所有列前移
|
||||
for (int j = index; j < t->size; j++) {
|
||||
t->adjMat[i][j] = t->adjMat[i][j + 1];
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
t->size--;
|
||||
}
|
||||
|
||||
/* 打印顶点与邻接矩阵 */
|
||||
void printGraph(graphAdjMat *t) {
|
||||
if (t->size == 0) {
|
||||
printf("graph is empty\n");
|
||||
return;
|
||||
}
|
||||
printf("顶点列表 = [");
|
||||
for (int i = 0; i < t->size; i++) {
|
||||
if (i != t->size - 1) {
|
||||
printf("%d, ", t->vertices[i]);
|
||||
} else {
|
||||
printf("%d", t->vertices[i]);
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
printf("]\n");
|
||||
printf("邻接矩阵 =\n[\n");
|
||||
for (int i = 0; i < t->size; i++) {
|
||||
printf(" [");
|
||||
for (int j = 0; j < t->size; j++) {
|
||||
if (j != t->size - 1) {
|
||||
printf("%u, ", t->adjMat[i][j]);
|
||||
} else {
|
||||
printf("%u", t->adjMat[i][j]);
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
printf("],\n");
|
||||
}
|
||||
printf("]\n");
|
||||
}
|
||||
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||||
/* 构造函数 */
|
||||
graphAdjMat *newGraphic(unsigned int numberVertices, int *vertices, unsigned int **adjMat) {
|
||||
// 函数指针
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||||
graphAdjMat *newGraph = (graphAdjMat *)malloc(sizeof(graphAdjMat));
|
||||
|
||||
// 申请内存
|
||||
newGraph->vertices = (int *)malloc(sizeof(int) * numberVertices * 2);
|
||||
newGraph->adjMat = (unsigned int **)malloc(sizeof(unsigned int *) * numberVertices * 2);
|
||||
unsigned int *temp = (unsigned int *)malloc(sizeof(unsigned int) * numberVertices * 2 * numberVertices * 2);
|
||||
newGraph->size = numberVertices;
|
||||
newGraph->capacity = numberVertices * 2;
|
||||
|
||||
// 配置二维数组
|
||||
for (int i = 0; i < numberVertices * 2; i++) {
|
||||
newGraph->adjMat[i] = temp + i * numberVertices * 2;
|
||||
}
|
||||
|
||||
// 赋值
|
||||
memcpy(newGraph->vertices, vertices, sizeof(int) * numberVertices);
|
||||
for (int i = 0; i < numberVertices; i++) {
|
||||
memcpy(newGraph->adjMat[i], adjMat[i], sizeof(unsigned int) * numberVertices);
|
||||
}
|
||||
|
||||
return newGraph;
|
||||
}
|
||||
```
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||||
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=== "C#"
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@ -1376,7 +1550,135 @@ comments: true
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|||
=== "C"
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||||
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||||
```c title="graph_adjacency_list.c"
|
||||
[class]{graphAdjList}-[func]{}
|
||||
/* 基于邻接链表实现的无向图类结构 */
|
||||
struct graphAdjList {
|
||||
// 顶点列表
|
||||
Vertex **verticesList;
|
||||
// 顶点数量
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||||
unsigned int size;
|
||||
// 当前容量
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||||
unsigned int capacity;
|
||||
};
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||||
|
||||
typedef struct graphAdjList graphAdjList;
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||||
|
||||
/* 添加边 */
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||||
void addEdge(graphAdjList *t, int i, int j) {
|
||||
// 越界检查
|
||||
if (i < 0 || j < 0 || i == j || i >= t->size || j >= t->size) {
|
||||
printf("Out of range in %s:%d\n", __FILE__, __LINE__);
|
||||
return;
|
||||
}
|
||||
// 查找待连接的节点
|
||||
Vertex *v1 = t->verticesList[i];
|
||||
Vertex *v2 = t->verticesList[j];
|
||||
|
||||
// 连接节点
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||||
pushBack(v1->linked, v2);
|
||||
pushBack(v2->linked, v1);
|
||||
}
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||||
|
||||
/* 删除边 */
|
||||
void removeEdge(graphAdjList *t, int i, int j) {
|
||||
// 越界检查
|
||||
if (i < 0 || j < 0 || i == j || i >= t->size || j >= t->size) {
|
||||
printf("Out of range in %s:%d\n", __FILE__, __LINE__);
|
||||
return;
|
||||
}
|
||||
|
||||
// 查找待删除边的相关节点
|
||||
Vertex *v1 = t->verticesList[i];
|
||||
Vertex *v2 = t->verticesList[j];
|
||||
|
||||
// 移除待删除边
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||||
removeLink(v1->linked, v2);
|
||||
removeLink(v2->linked, v1);
|
||||
}
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||||
|
||||
/* 添加顶点 */
|
||||
void addVertex(graphAdjList *t, int val) {
|
||||
// 若大小超过容量，则扩容
|
||||
if (t->size >= t->capacity) {
|
||||
Vertex **tempList = (Vertex **)malloc(sizeof(Vertex *) * 2 * t->capacity);
|
||||
memcpy(tempList, t->verticesList, sizeof(Vertex *) * t->size);
|
||||
free(t->verticesList);
|
||||
// 指向新顶点表
|
||||
t->verticesList = tempList;
|
||||
t->capacity = t->capacity * 2;
|
||||
}
|
||||
// 申请新顶点内存并将新顶点地址存入顶点列表
|
||||
Vertex *newV = newVertex(val);
|
||||
newV->pos = t->size;
|
||||
newV->linked = newLinklist(newV);
|
||||
t->verticesList[t->size] = newV;
|
||||
t->size++;
|
||||
}
|
||||
|
||||
/* 删除顶点 */
|
||||
void removeVertex(graphAdjList *t, unsigned int index) {
|
||||
// 越界检查
|
||||
if (index < 0 || index >= t->size) {
|
||||
printf("Out of range in %s:%d\n", __FILE__, __LINE__);
|
||||
exit(1);
|
||||
}
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||||
|
||||
// 查找待删节点
|
||||
Vertex *v = t->verticesList[index];
|
||||
// 若不存在该节点，则返回
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||||
if (v == 0) {
|
||||
printf("index is:%d\n", index);
|
||||
printf("Out of range in %s:%d\n", __FILE__, __LINE__);
|
||||
return;
|
||||
}
|
||||
|
||||
// 遍历待删除节点链表，将所有与待删除结点有关的边删除
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||||
Node *temp = v->linked->head->next;
|
||||
while (temp != 0) {
|
||||
removeLink(temp->val->linked, v);
|
||||
temp = temp->next;
|
||||
}
|
||||
|
||||
// 定点列表前移
|
||||
for (int i = index; i < t->size - 1; i++) {
|
||||
t->verticesList[i] = t->verticesList[i + 1];
|
||||
}
|
||||
t->verticesList[t->size - 1] = 0;
|
||||
t->size--;
|
||||
|
||||
//释放被删除顶点的内存
|
||||
freeVertex(v);
|
||||
}
|
||||
|
||||
/* 打印顶点与邻接矩阵 */
|
||||
void printGraph(graphAdjList *t) {
|
||||
printf("邻接表 =\n");
|
||||
for (int i = 0; i < t->size; i++) {
|
||||
Node *n = t->verticesList[i]->linked->head->next;
|
||||
printf("%d: [", t->verticesList[i]->val);
|
||||
while (n != 0) {
|
||||
if (n->next != 0) {
|
||||
printf("%d, ", n->val->val);
|
||||
} else {
|
||||
printf("%d", n->val->val);
|
||||
}
|
||||
n = n->next;
|
||||
}
|
||||
printf("]\n");
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
|
||||
/* 构造函数 */
|
||||
graphAdjList *newGraphic(unsigned int verticesNumber) {
|
||||
// 申请内存
|
||||
graphAdjList *newGraph = (graphAdjList *)malloc(sizeof(graphAdjList));
|
||||
// 建立顶点表并分配内存
|
||||
newGraph->verticesList = (Vertex **)malloc(sizeof(Vertex *) * verticesNumber);
|
||||
memset(newGraph->verticesList, 0, sizeof(Vertex *) * verticesNumber);
|
||||
// 初始化大小和容量
|
||||
newGraph->size = 0;
|
||||
newGraph->capacity = verticesNumber;
|
||||
return newGraph;
|
||||
}
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```
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=== "C#"
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@ -8,18 +8,10 @@ comments: true
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在正式探讨算法之前，有一个有趣的事实值得分享：**你已经在不知不觉中学会了许多算法，并习惯将它们应用到日常生活中了**。下面，我将举几个具体例子来证实这一点。
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**例一：拼装积木**。一套积木，除了包含许多零件之外，还附有详细的组装说明书。我们按照说明书一步步操作，就能组装出精美的积木模型。
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||||
**例一：查阅字典**。在字典里，每个汉字都对应一个拼音，而字典是按照拼音的英文字母顺序排列的。假设我们需要查找一个拼音首字母为 $r$ 的字，通常会这样操作：
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||||
从数据结构与算法的角度来看，积木的各种形状和连接方式代表数据结构，而组装说明书上的一系列步骤则是算法。
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<p align="center"> Fig. 拼装积木 </p>
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**例二：查阅字典**。在字典里，每个汉字都对应一个拼音，而字典是按照拼音的英文字母顺序排列的。假设我们需要查找一个拼音首字母为 $r$ 的字，通常会这样操作：
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1. 翻开字典约一半的页数，查看该页首字母是什么（假设为 $m$ ）；
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||||
2. 由于在英文字母表中 $r$ 位于 $m$ 之后，所以排除字典前半部分，查找范围缩小到后半部分；
|
||||
1. 翻开字典约一半的页数，查看该页首字母是什么，假设首字母为 $m$ 。
|
||||
2. 由于在英文字母表中 $r$ 位于 $m$ 之后，所以排除字典前半部分，查找范围缩小到后半部分。
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3. 不断重复步骤 1-2 ，直至找到拼音首字母为 $r$ 的页码为止。
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=== "<1>"
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@ -39,6 +31,19 @@ comments: true
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查阅字典这个小学生必备技能，实际上就是著名的「二分查找」。从数据结构的角度，我们可以把字典视为一个已排序的「数组」；从算法的角度，我们可以将上述查字典的一系列操作看作是「二分查找」算法。
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**例二：整理扑克**。我们在打斗地主时，每局都需要整理扑克牌，使其从小到大排列，实现流程如下：
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1. 将扑克牌划分为“有序”和“无序”两部分，并假设初始状态下最左 1 张扑克牌已经有序。
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2. 在无序区间抽出一张扑克牌，插入至有序区间的正确位置；完成后最左 2 张扑克已经有序。
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3. 在无序区间抽出一张扑克牌，插入至有序区间的正确位置；完成后最左 3 张扑克已经有序。
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4. 不断循环以上操作，直至所有扑克牌都有序后终止。
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以上整理扑克牌的方法本质上就是「插入排序」，它在处理小型数据集时非常高效，因此插入排序常作为编程语言的排序库函数的重要组成部分。
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<p align="center"> Fig. 扑克排序步骤 </p>
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**例三：货币找零**。假设我们在超市购买了 $69$ 元的商品，给收银员付了 $100$ 元，则收银员需要给我们找 $31$ 元。他会很自然地完成以下思考：
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1. 可选项是比 $31$ 元面值更小的货币，包括 $1$ , $5$ , $10$ , $20$ 元。
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@ -49,9 +54,9 @@ comments: true
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在以上步骤中，我们每一步都采取当前看来最好的选择（尽可能用大面额的货币），最终得到了可行的找零方案。从数据结构与算法的角度看，这种方法本质上是「贪心算法」。
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<p align="center"> Fig. 货币找零 </p>
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<p align="center"> Fig. 货币找零过程 </p>
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小到烹饪一道菜，大到星际航行，几乎所有问题的解决都离不开算法。计算机的出现使我们能够通过编程将数据结构存储在内存中，同时编写代码调用 CPU 和 GPU 执行算法。这样一来，我们就能把生活中的问题转移到计算机上，以更高效的方式解决各种复杂问题。
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@ -6,6 +6,8 @@ comments: true
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- 算法在日常生活中无处不在，并不是遥不可及的高深知识。实际上，我们已经在不知不觉中学会了许多算法，用以解决生活中的大小问题。
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- 查阅字典的原理与二分查找算法相一致。二分查找体现了分而治之的重要算法思想。
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- 整理扑克的过程与插入排序算法非常类似。插入排序适合排序小型数据集。
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- 货币找零的步骤本质上是贪心算法，每一步都采取当前看来的最好选择。
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- 算法是在有限时间内解决特定问题的一组指令或操作步骤，而数据结构是计算机中组织和存储数据的方式。
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- 数据结构与算法紧密相连。数据结构是算法的基石，而算法则是发挥数据结构作用的舞台。
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- 乐高积木对应于数据，积木形状和连接方式代表数据结构，拼装积木的步骤则对应算法。
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@ -34,16 +34,22 @@ comments: true
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<p align="center"> Fig. 数据结构与算法的关系 </p>
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类比「LEGO 乐高」和「数据结构与算法」，则对应关系如下表所示。
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我们可以把数据结构与算法类比为拼装积木。一套积木，除了包含许多零件之外，还附有详细的组装说明书。我们按照说明书一步步操作，就能组装出精美的积木模型。
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<p align="center"> Fig. 拼装积木 </p>
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两者的详细对应关系如下表所示。
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<div class="center-table" markdown>
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| 数据结构与算法 | LEGO 乐高 |
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| -------------- | ------------------------------- |
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||||
| 输入数据 | 未拼装的积木 |
|
||||
| 数据结构与算法 | LEGO 乐高 |
|
||||
| -------------- | ---------------------------------------- |
|
||||
| 输入数据 | 未拼装的积木 |
|
||||
| 数据结构 | 积木组织形式，包括形状、大小、连接方式等 |
|
||||
| 算法 | 把积木拼成目标形态的一系列操作步骤 |
|
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| 输出数据 | 积木模型 |
|
||||
| 算法 | 把积木拼成目标形态的一系列操作步骤 |
|
||||
| 输出数据 | 积木模型 |
|
||||
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||||
</div>
|
||||
|
||||
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