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9701430089
commit
0105644232
83 changed files with 516 additions and 509 deletions
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@ -22,7 +22,7 @@ comments: true
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2. 修改 Markdown 源文件内容，检查内容的正确性，并尽量保持排版格式的统一。
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3. 在页面底部填写修改说明，然后点击“Propose file change”按钮。页面跳转后，点击“Create pull request”按钮即可发起拉取请求。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 16-1 页面编辑按键 </p>
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@ -7,7 +7,7 @@ icon: material/help-circle-outline
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<div class="center-table" markdown>
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{ width="600" }
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{ class="cover-image" }
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</div>
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@ -6,7 +6,7 @@ comments: true
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「数组 array」是一种线性数据结构，其将相同类型元素存储在连续的内存空间中。我们将元素在数组中的位置称为该元素的「索引 index」。图 4-1 展示了数组的主要术语和概念。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 4-1 数组定义与存储方式 </p>
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@ -123,7 +123,7 @@ comments: true
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数组元素被存储在连续的内存空间中，这意味着计算数组元素的内存地址非常容易。给定数组内存地址（即首元素内存地址）和某个元素的索引，我们可以使用图 4-2 所示的公式计算得到该元素的内存地址，从而直接访问此元素。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 4-2 数组元素的内存地址计算 </p>
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@ -291,7 +291,7 @@ comments: true
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数组元素在内存中是“紧挨着的”，它们之间没有空间再存放任何数据。如图 4-3 所示，如果想要在数组中间插入一个元素，则需要将该元素之后的所有元素都向后移动一位，之后再把元素赋值给该索引。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 4-3 数组插入元素示例 </p>
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@ -468,7 +468,7 @@ comments: true
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同理，如图 4-4 所示，若想要删除索引 $i$ 处的元素，则需要把索引 $i$ 之后的元素都向前移动一位。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 4-4 数组删除元素示例 </p>
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@ -5,11 +5,7 @@ icon: material/view-list-outline
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# 第 4 章 数组与链表
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<div class="center-table" markdown>
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{ width="600" }
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</div>
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{ class="cover-image" }
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!!! abstract
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@ -10,7 +10,7 @@ comments: true
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链表的设计使得各个节点可以被分散存储在内存各处，它们的内存地址是无须连续的。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 4-5 链表定义与存储方式 </p>
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@ -405,7 +405,7 @@ comments: true
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相比之下，在数组中插入元素的时间复杂度为 $O(n)$ ，在大数据量下的效率较低。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 4-6 链表插入节点示例 </p>
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@ -547,7 +547,7 @@ comments: true
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请注意，尽管在删除操作完成后节点 `P` 仍然指向 `n1` ，但实际上遍历此链表已经无法访问到 `P` ，这意味着 `P` 已经不再属于该链表了。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 4-7 链表删除节点 </p>
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@ -1316,7 +1316,7 @@ comments: true
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}
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```
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 4-8 常见链表种类 </p>
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@ -206,7 +206,7 @@ comments: true
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[class]{}-[func]{preOrder}
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```
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 13-1 在前序遍历中搜索节点 </p>
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@ -477,37 +477,37 @@ comments: true
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观察图 13-2 所示的过程，**我们可以将尝试和回退理解为“前进”与“撤销”**，两个操作是互为逆向的。
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=== "<1>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<2>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<3>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<4>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<5>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<6>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<7>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<8>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<9>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<10>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<11>"
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 13-2 尝试与回退 </p>
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@ -781,7 +781,7 @@ comments: true
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剪枝是一个非常形象的名词。如图 13-3 所示，在搜索过程中，**我们“剪掉”了不满足约束条件的搜索分支**，避免许多无意义的尝试，从而提高了搜索效率。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 13-3 根据约束条件剪枝 </p>
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@ -1657,7 +1657,7 @@ comments: true
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根据题意，我们在找到值为 $7$ 的节点后应该继续搜索，**因此需要将记录解之后的 `return` 语句删除**。图 13-4 对比了保留或删除 `return` 语句的搜索过程。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 13-4 保留与删除 return 的搜索过程对比 </p>
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@ -7,7 +7,7 @@ icon: material/map-marker-path
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<div class="center-table" markdown>
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{ width="600" }
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{ class="cover-image" }
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</div>
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@ -10,13 +10,13 @@ comments: true
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如图 13-15 所示，当 $n = 4$ 时，共可以找到两个解。从回溯算法的角度看，$n \times n$ 大小的棋盘共有 $n^2$ 个格子，给出了所有的选择 `choices` 。在逐个放置皇后的过程中，棋盘状态在不断地变化，每个时刻的棋盘就是状态 `state` 。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 13-15 4 皇后问题的解 </p>
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图 13-16 展示了本题的三个约束条件：**多个皇后不能在同一行、同一列、同一对角线**。值得注意的是，对角线分为主对角线 `\` 和次对角线 `/` 两种。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 13-16 n 皇后问题的约束条件 </p>
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@ -28,7 +28,7 @@ comments: true
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如图 13-17 所示，为 $4$ 皇后问题的逐行放置过程。受画幅限制，图 13-17 仅展开了第一行的其中一个搜索分支，并且将不满足列约束和对角线约束的方案都进行了剪枝。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 13-17 逐行放置策略 </p>
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@ -44,7 +44,7 @@ comments: true
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同理，**次对角线上的所有格子的 $row + col$ 是恒定值**。我们同样也可以借助数组 `diags2` 来处理次对角线约束。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 13-18 处理列约束和对角线约束 </p>
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@ -32,7 +32,7 @@ comments: true
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如图 13-5 所示，我们可以将搜索过程展开成一个递归树，树中的每个节点代表当前状态 `state` 。从根节点开始，经过三轮选择后到达叶节点，每个叶节点都对应一个排列。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 13-5 全排列的递归树 </p>
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@ -45,7 +45,7 @@ comments: true
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如图 13-6 所示，假设我们第一轮选择 1 ，第二轮选择 3 ，第三轮选择 2 ，则需要在第二轮剪掉元素 1 的分支，在第三轮剪掉元素 1 和元素 3 的分支。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 13-6 全排列剪枝示例 </p>
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@ -481,7 +481,7 @@ comments: true
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如图 13-7 所示，上述方法生成的排列有一半都是重复的。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 13-7 重复排列 </p>
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@ -495,7 +495,7 @@ comments: true
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本质上看，**我们的目标是在某一轮选择中，保证多个相等的元素仅被选择一次**。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 13-8 重复排列剪枝 </p>
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@ -955,6 +955,6 @@ comments: true
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图 13-9 展示了两个剪枝条件的生效范围。注意，树中的每个节点代表一个选择，从根节点到叶节点的路径上的各个节点构成一个排列。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 13-9 两种剪枝条件的作用范围 </p>
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@ -432,7 +432,7 @@ comments: true
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这是因为搜索过程是区分选择顺序的，然而子集不区分选择顺序。如图 13-10 所示，先选 $4$ 后选 $5$ 与先选 $5$ 后选 $4$ 是两个不同的分支，但两者对应同一个子集。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 13-10 子集搜索与越界剪枝 </p>
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@ -454,7 +454,7 @@ comments: true
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2. 前两轮选择 $4$ 和 $5$ ，生成子集 $[4, 5, \dots]$ 。
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3. 若第一轮选择 $5$ ，**则第二轮应该跳过 $3$ 和 $4$** ，因为子集 $[5, 3, \dots]$ 和 $[5, 4, \dots]$ 与第 `1.` 和 `2.` 步中描述的子集完全重复。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 13-11 不同选择顺序导致的重复子集 </p>
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@ -908,7 +908,7 @@ comments: true
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如图 13-12 所示，为将数组 $[3, 4, 5]$ 和目标元素 $9$ 输入到以上代码后的整体回溯过程。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 13-12 子集和 I 回溯过程 </p>
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@ -922,7 +922,7 @@ comments: true
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**造成这种重复的原因是相等元素在某轮中被多次选择**。在图 13-13 中，第一轮共有三个选择，其中两个都为 $4$ ，会产生两个重复的搜索分支，从而输出重复子集；同理，第二轮的两个 $4$ 也会产生重复子集。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 13-13 相等元素导致的重复子集 </p>
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@ -1427,6 +1427,6 @@ comments: true
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图 13-14 展示了数组 $[4, 4, 5]$ 和目标元素 $9$ 的回溯过程，共包含四种剪枝操作。请你将图示与代码注释相结合，理解整个搜索过程，以及每种剪枝操作是如何工作的。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 13-14 子集和 II 回溯过程 </p>
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@ -7,7 +7,7 @@ icon: material/timer-sand
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<div class="center-table" markdown>
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{ width="600" }
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{ class="cover-image" }
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</div>
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@ -184,7 +184,7 @@ comments: true
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图 2-1 展示了该求和函数的流程框图。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 2-1 求和函数的流程框图 </p>
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@ -823,7 +823,7 @@ comments: true
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图 2-2 给出了该嵌套循环的流程框图。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 2-2 嵌套循环的流程框图 </p>
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@ -1028,7 +1028,7 @@ comments: true
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图 2-3 展示了该函数的递归过程。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 2-3 求和函数的递归过程 </p>
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@ -1051,7 +1051,7 @@ comments: true
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如图 2-4 所示，在触发终止条件前，同时存在 $n$ 个未返回的递归函数，**递归深度为 $n$** 。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 2-4 递归调用深度 </p>
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@ -1227,7 +1227,7 @@ comments: true
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- **普通递归**：求和操作是在“归”的过程中执行的，每层返回后都要再执行一次求和操作。
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- **尾递归**：求和操作是在“递”的过程中执行的，“归”的过程只需层层返回。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 2-5 尾递归过程 </p>
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@ -1432,7 +1432,7 @@ comments: true
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观察以上代码，我们在函数内递归调用了两个函数，**这意味着从一个调用产生了两个调用分支**。如图 2-6 所示，这样不断递归调用下去，最终将产生一个层数为 $n$ 的「递归树 recursion tree」。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 2-6 斐波那契数列的递归树 </p>
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@ -24,7 +24,7 @@ comments: true
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在分析一段程序的空间复杂度时，**我们通常统计暂存数据、栈帧空间和输出数据三部分**。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 2-15 算法使用的相关空间 </p>
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@ -717,7 +717,7 @@ O(1) < O(\log n) < O(n) < O(n^2) < O(2^n) \newline
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\end{aligned}
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$$
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 2-16 常见的空间复杂度类型 </p>
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@ -1463,7 +1463,7 @@ $$
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}
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```
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{ class="animation-figure" }
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||||
<p align="center"> 图 2-17 递归函数产生的线性阶空间复杂度 </p>
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@ -1842,7 +1842,7 @@ $$
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}
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```
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{ class="animation-figure" }
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||||
<p align="center"> 图 2-18 递归函数产生的平方阶空间复杂度 </p>
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@ -2015,7 +2015,7 @@ $$
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}
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```
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 2-19 满二叉树产生的指数阶空间复杂度 </p>
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@ -462,7 +462,7 @@ $$
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- 算法 `B` 中的打印操作需要循环 $n$ 次，算法运行时间随着 $n$ 增大呈线性增长。此算法的时间复杂度被称为“线性阶”。
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- 算法 `C` 中的打印操作需要循环 $1000000$ 次，虽然运行时间很长，但它与输入数据大小 $n$ 无关。因此 `C` 的时间复杂度和 `A` 相同，仍为“常数阶”。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 2-7 算法 A、B 和 C 的时间增长趋势 </p>
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@ -661,7 +661,7 @@ $T(n)$ 是一次函数，说明其运行时间的增长趋势是线性的，因
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如图 2-8 所示，计算渐近上界就是寻找一个函数 $f(n)$ ，使得当 $n$ 趋向于无穷大时，$T(n)$ 和 $f(n)$ 处于相同的增长级别，仅相差一个常数项 $c$ 的倍数。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 2-8 函数的渐近上界 </p>
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@ -950,7 +950,7 @@ O(1) < O(\log n) < O(n) < O(n \log n) < O(n^2) < O(2^n) < O(n!) \newline
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\end{aligned}
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$$
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{ class="animation-figure" }
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||||
<p align="center"> 图 2-9 常见的时间复杂度类型 </p>
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@ -1642,7 +1642,7 @@ $$
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图 2-10 对比了常数阶、线性阶和平方阶三种时间复杂度。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 2-10 常数阶、线性阶和平方阶的时间复杂度 </p>
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@ -2148,7 +2148,7 @@ $$
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}
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```
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 2-11 指数阶的时间复杂度 </p>
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@ -2460,7 +2460,7 @@ $$
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}
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```
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 2-12 对数阶的时间复杂度 </p>
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@ -2790,7 +2790,7 @@ $$
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图 2-13 展示了线性对数阶的生成方式。二叉树的每一层的操作总数都为 $n$ ，树共有 $\log_2 n + 1$ 层，因此时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 2-13 线性对数阶的时间复杂度 </p>
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@ -2994,7 +2994,7 @@ $$
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}
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```
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 2-14 阶乘阶的时间复杂度 </p>
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@ -10,7 +10,7 @@ comments: true
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「ASCII 码」是最早出现的字符集，全称为“美国标准信息交换代码”。它使用 7 位二进制数（即一个字节的低 7 位）表示一个字符，最多能够表示 128 个不同的字符。如图 3-6 所示，ASCII 码包括英文字母的大小写、数字 0 ~ 9、一些标点符号，以及一些控制字符（如换行符和制表符）。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 3-6 ASCII 码 </p>
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@ -38,7 +38,7 @@ Unicode 是一种字符集标准，本质上是给每个字符分配一个编号
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对于以上问题，**一种直接的解决方案是将所有字符存储为等长的编码**。如图 3-7 所示，“Hello”中的每个字符占用 1 字节，“算法”中的每个字符占用 2 字节。我们可以通过高位填 0 ，将“Hello 算法”中的所有字符都编码为 2 字节长度。这样系统就可以每隔 2 字节解析一个字符，恢复出这个短语的内容了。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 3-7 Unicode 编码示例 </p>
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@ -59,7 +59,7 @@ UTF-8 的编码规则并不复杂，分为以下两种情况。
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之所以将 $10$ 当作校验符，是因为在 UTF-8 编码规则下，不可能有字符的最高两位是 $10$ 。这个结论可以用反证法来证明：假设一个字符的最高两位是 $10$ ，说明该字符的长度为 $1$ ，对应 ASCII 码。而 ASCII 码的最高位应该是 $0$ ，与假设矛盾。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 3-8 UTF-8 编码示例 </p>
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@ -15,7 +15,7 @@ comments: true
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- **线性数据结构**：数组、链表、栈、队列、哈希表。
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- **非线性数据结构**：树、堆、图、哈希表。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 3-1 线性与非线性数据结构 </p>
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@ -33,7 +33,7 @@ comments: true
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||||
**系统通过内存地址来访问目标位置的数据**。如图 3-2 所示，计算机根据特定规则为表格中的每个单元格分配编号，确保每个内存空间都有唯一的内存地址。有了这些地址，程序便可以访问内存中的数据。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 3-2 内存条、内存空间、内存地址 </p>
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@ -41,7 +41,7 @@ comments: true
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如图 3-3 所示，**物理结构反映了数据在计算机内存中的存储方式**，可分为连续空间存储（数组）和分散空间存储（链表）。物理结构从底层决定了数据的访问、更新、增删等操作方法，同时在时间效率和空间效率方面呈现出互补的特点。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 3-3 连续空间存储与分散空间存储 </p>
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@ -7,7 +7,7 @@ icon: material/shape-outline
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<div class="center-table" markdown>
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{ width="600" }
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{ class="cover-image" }
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</div>
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@ -20,7 +20,7 @@ comments: true
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图 3-4 展示了原码、反码和补码之间的转换方法。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 3-4 原码、反码与补码之间的相互转换 </p>
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@ -129,7 +129,7 @@ $$
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\end{aligned}
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$$
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 3-5 IEEE 754 标准下的 float 的计算示例 </p>
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@ -40,7 +40,7 @@ comments: true
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图 12-4 展示了在数组中二分查找元素 $6$ 的分治过程。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 12-4 二分查找的分治过程 </p>
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@ -8,7 +8,7 @@ comments: true
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给定一个二叉树的前序遍历 `preorder` 和中序遍历 `inorder` ，请从中构建二叉树，返回二叉树的根节点。假设二叉树中没有值重复的节点。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 12-5 构建二叉树的示例数据 </p>
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@ -35,7 +35,7 @@ comments: true
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2. 查找根节点 3 在 `inorder` 中的索引，利用该索引可将 `inorder` 划分为 `[ 9 | 3 ｜ 1 2 7 ]` 。
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3. 根据 `inorder` 划分结果，易得左子树和右子树的节点数量分别为 1 和 3 ，从而可将 `preorder` 划分为 `[ 3 | 9 | 2 1 7 ]` 。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 12-6 在前序和中序遍历中划分子树 </p>
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@ -63,7 +63,7 @@ comments: true
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请注意，右子树根节点索引中的 $(m-l)$ 的含义是“左子树的节点数量”，建议配合图 12-7 理解。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 12-7 根节点和左右子树的索引区间表示 </p>
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@ -448,37 +448,37 @@ comments: true
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图 12-8 展示了构建二叉树的递归过程，各个节点是在向下“递”的过程中建立的，而各条边（即引用）是在向上“归”的过程中建立的。
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=== "<1>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<2>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<3>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<4>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<5>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<6>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<7>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<8>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<9>"
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 12-8 构建二叉树的递归过程 </p>
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每个递归函数内的前序遍历 `preorder` 和中序遍历 `inorder` 的划分结果如图 12-9 所示。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 12-9 每个递归函数中的划分结果 </p>
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@ -14,7 +14,7 @@ comments: true
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1. **分**：递归地将原数组（原问题）划分为两个子数组（子问题），直到子数组只剩一个元素（最小子问题）。
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2. **治**：从底至顶地将有序的子数组（子问题的解）进行合并，从而得到有序的原数组（原问题的解）。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 12-1 归并排序的分治策略 </p>
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@ -46,7 +46,7 @@ $$
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O(n + (\frac{n}{2})^2 \times 2 + n) = O(\frac{n^2}{2} + 2n)
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$$
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 12-2 划分数组前后的冒泡排序 </p>
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@ -74,7 +74,7 @@ $$
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比如在图 12-3 所示的“桶排序”中，我们将海量的数据平均分配到各个桶中，则可所有桶的排序任务分散到各个计算单元，完成后再进行结果合并。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 12-3 桶排序的并行计算 </p>
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@ -14,7 +14,7 @@ comments: true
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2. 每次只能移动一个圆盘。
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3. 小圆盘必须时刻位于大圆盘之上。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 12-10 汉诺塔问题示例 </p>
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@ -25,10 +25,10 @@ comments: true
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如图 12-11 所示，对于问题 $f(1)$ ，即当只有一个圆盘时，我们将它直接从 `A` 移动至 `C` 即可。
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=== "<1>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<2>"
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{ class="animation-figure" }
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||||
<p align="center"> 图 12-11 规模为 1 问题的解 </p>
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@ -39,16 +39,16 @@ comments: true
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3. 最后将小圆盘从 `B` 移至 `C` 。
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=== "<1>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<2>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<3>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<4>"
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 12-12 规模为 2 问题的解 </p>
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@ -65,16 +65,16 @@ comments: true
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3. 令 `C` 为目标柱、`A` 为缓冲柱，将两个圆盘从 `B` 移动至 `C` 。
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=== "<1>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<2>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<3>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<4>"
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 12-13 规模为 3 问题的解 </p>
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@ -88,7 +88,7 @@ comments: true
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对于这两个子问题 $f(n-1)$ ，**可以通过相同的方式进行递归划分**，直至达到最小子问题 $f(1)$ 。而 $f(1)$ 的解是已知的，只需一次移动操作即可。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 12-14 汉诺塔问题的分治策略 </p>
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@ -485,7 +485,7 @@ comments: true
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如图 12-15 所示，汉诺塔问题形成一个高度为 $n$ 的递归树，每个节点代表一个子问题、对应一个开启的 `dfs()` 函数，**因此时间复杂度为 $O(2^n)$ ，空间复杂度为 $O(n)$** 。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 12-15 汉诺塔问题的递归树 </p>
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@ -7,7 +7,7 @@ icon: material/set-split
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<div class="center-table" markdown>
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{ width="600" }
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{ class="cover-image" }
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</div>
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@ -22,7 +22,7 @@ comments: true
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如图 14-6 所示，若第 $1$、$2$、$3$ 阶的代价分别为 $1$、$10$、$1$ ，则从地面爬到第 $3$ 阶的最小代价为 $2$ 。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 14-6 爬到第 3 阶的最小代价 </p>
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@ -300,7 +300,7 @@ $$
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图 14-7 展示了以上代码的动态规划过程。
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{ class="animation-figure" }
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||||
<p align="center"> 图 14-7 爬楼梯最小代价的动态规划过程 </p>
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@ -545,7 +545,7 @@ $$
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例如图 14-8 ，爬上第 $3$ 阶仅剩 $2$ 种可行方案，其中连续三次跳 $1$ 阶的方案不满足约束条件，因此被舍弃。
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{ class="animation-figure" }
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||||
<p align="center"> 图 14-8 带约束爬到第 3 阶的方案数量 </p>
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@ -567,7 +567,7 @@ dp[i, 2] = dp[i-2, 1] + dp[i-2, 2]
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\end{cases}
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$$
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{ class="animation-figure" }
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||||
<p align="center"> 图 14-9 考虑约束下的递推关系 </p>
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@ -41,7 +41,7 @@ comments: true
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||||
图 14-10 展示了一个例子，给定网格的最小路径和为 $13$ 。
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{ class="animation-figure" }
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||||
<p align="center"> 图 14-10 最小路径和示例数据 </p>
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@ -53,7 +53,7 @@ comments: true
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|||
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||||
至此，我们就得到了图 14-11 所示的二维 $dp$ 矩阵，其尺寸与输入网格 $grid$ 相同。
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{ class="animation-figure" }
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||||
<p align="center"> 图 14-11 状态定义与 dp 表 </p>
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@ -73,7 +73,7 @@ $$
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|||
dp[i, j] = \min(dp[i-1, j], dp[i, j-1]) + grid[i, j]
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$$
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||||
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||||
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||||
{ class="animation-figure" }
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||||
<p align="center"> 图 14-12 最优子结构与状态转移方程 </p>
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@ -89,7 +89,7 @@ $$
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||||
如图 14-13 所示，由于每个格子是由其左方格子和上方格子转移而来，因此我们使用采用循环来遍历矩阵，外循环遍历各行、内循环遍历各列。
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||||
{ class="animation-figure" }
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||||
<p align="center"> 图 14-13 边界条件与状态转移顺序 </p>
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@ -368,7 +368,7 @@ $$
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||||
本质上看，造成重叠子问题的原因为：**存在多条路径可以从左上角到达某一单元格**。
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{ class="animation-figure" }
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||||
<p align="center"> 图 14-14 暴力搜索递归树 </p>
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@ -697,7 +697,7 @@ $$
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||||
如图 14-15 所示，在引入记忆化后，所有子问题的解只需计算一次，因此时间复杂度取决于状态总数，即网格尺寸 $O(nm)$ 。
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{ class="animation-figure" }
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||||
<p align="center"> 图 14-15 记忆化搜索递归树 </p>
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||||
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@ -1039,40 +1039,40 @@ $$
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|||
数组 `dp` 大小为 $n \times m$ ，**因此空间复杂度为 $O(nm)$** 。
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=== "<1>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<2>"
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{ class="animation-figure" }
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||||
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||||
=== "<3>"
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||||
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||||
{ class="animation-figure" }
|
||||
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||||
=== "<4>"
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||||
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||||
{ class="animation-figure" }
|
||||
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||||
=== "<5>"
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||||
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||||
{ class="animation-figure" }
|
||||
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||||
=== "<6>"
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||||
|
||||
{ class="animation-figure" }
|
||||
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||||
=== "<7>"
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||||
|
||||
{ class="animation-figure" }
|
||||
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||||
=== "<8>"
|
||||
|
||||
{ class="animation-figure" }
|
||||
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||||
=== "<9>"
|
||||
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||||
{ class="animation-figure" }
|
||||
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||||
=== "<10>"
|
||||
|
||||
{ class="animation-figure" }
|
||||
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||||
=== "<11>"
|
||||
|
||||
{ class="animation-figure" }
|
||||
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||||
=== "<12>"
|
||||
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||||
{ class="animation-figure" }
|
||||
|
||||
<p align="center"> 图 14-16 最小路径和的动态规划过程 </p>
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@ -14,7 +14,7 @@ comments: true
|
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如图 14-27 所示，将 `kitten` 转换为 `sitting` 需要编辑 3 步，包括 2 次替换操作与 1 次添加操作；将 `hello` 转换为 `algo` 需要 3 步，包括 2 次替换操作和 1 次删除操作。
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||||
{ class="animation-figure" }
|
||||
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||||
<p align="center"> 图 14-27 编辑距离的示例数据 </p>
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@ -24,7 +24,7 @@ comments: true
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从决策树的角度看，本题的目标是求解节点 `hello` 和节点 `algo` 之间的最短路径。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 14-28 基于决策树模型表示编辑距离问题 </p>
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@ -53,7 +53,7 @@ comments: true
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2. 删除 $s[i-1]$ ，则剩余子问题 $dp[i-1, j]$ 。
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3. 将 $s[i-1]$ 替换为 $t[j-1]$ ，则剩余子问题 $dp[i-1, j-1]$ 。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 14-29 编辑距离的状态转移 </p>
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@ -446,49 +446,49 @@ $$
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如图 14-30 所示，编辑距离问题的状态转移过程与背包问题非常类似，都可以看作是填写一个二维网格的过程。
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=== "<1>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<2>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<3>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<4>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<5>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<6>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<7>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<8>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<9>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<10>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<11>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<12>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<13>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<14>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<15>"
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 14-30 编辑距离的动态规划过程 </p>
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@ -7,7 +7,7 @@ icon: material/table-pivot
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<div class="center-table" markdown>
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{ width="600" }
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{ class="cover-image" }
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</div>
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@ -14,7 +14,7 @@ comments: true
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如图 14-1 所示，对于一个 $3$ 阶楼梯，共有 $3$ 种方案可以爬到楼顶。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 14-1 爬到第 3 阶的方案数量 </p>
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@ -405,7 +405,7 @@ $$
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这意味着在爬楼梯问题中，各个子问题之间存在递推关系，**原问题的解可以由子问题的解构建得来**。图 14-2 展示了该递推关系。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 14-2 方案数量递推关系 </p>
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@ -640,7 +640,7 @@ $$
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||||
图 14-3 展示了暴力搜索形成的递归树。对于问题 $dp[n]$ ，其递归树的深度为 $n$ ，时间复杂度为 $O(2^n)$ 。指数阶属于爆炸式增长，如果我们输入一个比较大的 $n$ ，则会陷入漫长的等待之中。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 14-3 爬楼梯对应递归树 </p>
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@ -975,7 +975,7 @@ $$
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观察图 14-4 ，**经过记忆化处理后，所有重叠子问题都只需被计算一次，时间复杂度被优化至 $O(n)$** ，这是一个巨大的飞跃。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 14-4 记忆化搜索对应递归树 </p>
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@ -1229,7 +1229,7 @@ $$
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图 14-5 模拟了以上代码的执行过程。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 14-5 爬楼梯的动态规划过程 </p>
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@ -14,7 +14,7 @@ comments: true
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观察图 14-17 ，由于物品编号 $i$ 从 $1$ 开始计数，数组索引从 $0$ 开始计数，因此物品 $i$ 对应重量 $wgt[i-1]$ 和价值 $val[i-1]$ 。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 14-17 0-1 背包的示例数据 </p>
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@ -320,7 +320,7 @@ $$
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||||
观察递归树，容易发现其中存在重叠子问题，例如 $dp[1, 10]$ 等。而当物品较多、背包容量较大，尤其是相同重量的物品较多时，重叠子问题的数量将会大幅增多。
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{ class="animation-figure" }
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||||
<p align="center"> 图 14-18 0-1 背包的暴力搜索递归树 </p>
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@ -656,7 +656,7 @@ $$
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图 14-19 展示了在记忆化递归中被剪掉的搜索分支。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 14-19 0-1 背包的记忆化搜索递归树 </p>
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@ -969,46 +969,46 @@ $$
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|||
如图 14-20 所示，时间复杂度和空间复杂度都由数组 `dp` 大小决定，即 $O(n \times cap)$ 。
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=== "<1>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<2>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<3>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<4>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<5>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<6>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<7>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<8>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<9>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<10>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<11>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<12>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<13>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<14>"
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 14-20 0-1 背包的动态规划过程 </p>
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@ -1024,22 +1024,22 @@ $$
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图 14-21 展示了在单个数组下从第 $i = 1$ 行转换至第 $i = 2$ 行的过程。请思考正序遍历和倒序遍历的区别。
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=== "<1>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<2>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<3>"
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||||
{ class="animation-figure" }
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=== "<4>"
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||||
{ class="animation-figure" }
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=== "<5>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<6>"
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 14-21 0-1 背包的空间优化后的动态规划过程 </p>
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@ -12,7 +12,7 @@ comments: true
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给定 $n$ 个物品，第 $i$ 个物品的重量为 $wgt[i-1]$、价值为 $val[i-1]$ ，和一个容量为 $cap$ 的背包。**每个物品可以重复选取**，问在不超过背包容量下能放入物品的最大价值。
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{ class="animation-figure" }
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||||
<p align="center"> 图 14-22 完全背包问题的示例数据 </p>
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@ -347,22 +347,22 @@ $$
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这个遍历顺序与 0-1 背包正好相反。请借助图 14-23 来理解两者的区别。
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=== "<1>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<2>"
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||||
{ class="animation-figure" }
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=== "<3>"
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||||
{ class="animation-figure" }
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=== "<4>"
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||||
{ class="animation-figure" }
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||||
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=== "<5>"
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||||
{ class="animation-figure" }
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=== "<6>"
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 14-23 完全背包的空间优化后的动态规划过程 </p>
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@ -666,7 +666,7 @@ $$
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||||
给定 $n$ 种硬币，第 $i$ 种硬币的面值为 $coins[i - 1]$ ，目标金额为 $amt$ ，**每种硬币可以重复选取**，问能够凑出目标金额的最少硬币个数。如果无法凑出目标金额则返回 $-1$ 。
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{ class="animation-figure" }
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||||
<p align="center"> 图 14-24 零钱兑换问题的示例数据 </p>
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@ -1070,49 +1070,49 @@ $$
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图 14-25 展示了零钱兑换的动态规划过程，和完全背包非常相似。
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=== "<1>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<2>"
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||||
{ class="animation-figure" }
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=== "<3>"
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||||
{ class="animation-figure" }
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||||
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||||
=== "<4>"
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||||
{ class="animation-figure" }
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||||
=== "<5>"
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||||
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||||
{ class="animation-figure" }
|
||||
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||||
=== "<6>"
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||||
{ class="animation-figure" }
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||||
=== "<7>"
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||||
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||||
{ class="animation-figure" }
|
||||
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||||
=== "<8>"
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||||
|
||||
{ class="animation-figure" }
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||||
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||||
=== "<9>"
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||||
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||||
{ class="animation-figure" }
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||||
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=== "<10>"
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||||
{ class="animation-figure" }
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||||
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||||
=== "<11>"
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||||
{ class="animation-figure" }
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=== "<12>"
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||||
{ class="animation-figure" }
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||||
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=== "<13>"
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||||
{ class="animation-figure" }
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=== "<14>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<15>"
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 14-25 零钱兑换问题的动态规划过程 </p>
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@ -1450,7 +1450,7 @@ $$
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||||
给定 $n$ 种硬币，第 $i$ 种硬币的面值为 $coins[i - 1]$ ，目标金额为 $amt$ ，每种硬币可以重复选取，**问在凑出目标金额的硬币组合数量**。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 14-26 零钱兑换问题 II 的示例数据 </p>
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@ -16,7 +16,7 @@ $$
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如果将顶点看作节点，将边看作连接各个节点的引用（指针），我们就可以将图看作是一种从链表拓展而来的数据结构。如图 9-1 所示，**相较于线性关系（链表）和分治关系（树），网络关系（图）的自由度更高**，从而更为复杂。
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{ class="animation-figure" }
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||||
<p align="center"> 图 9-1 链表、树、图之间的关系 </p>
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@ -27,7 +27,7 @@ $$
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|||
- 在无向图中，边表示两顶点之间的“双向”连接关系，例如微信或 QQ 中的“好友关系”。
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||||
- 在有向图中，边具有方向性，即 $A \rightarrow B$ 和 $A \leftarrow B$ 两个方向的边是相互独立的，例如微博或抖音上的“关注”与“被关注”关系。
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{ class="animation-figure" }
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||||
<p align="center"> 图 9-2 有向图与无向图 </p>
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@ -36,13 +36,13 @@ $$
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- 对于连通图，从某个顶点出发，可以到达其余任意顶点。
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||||
- 对于非连通图，从某个顶点出发，至少有一个顶点无法到达。
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||||
{ class="animation-figure" }
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||||
<p align="center"> 图 9-3 连通图与非连通图 </p>
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||||
我们还可以为边添加“权重”变量，从而得到图 9-4 所示的「有权图 weighted graph」。例如在王者荣耀等手游中，系统会根据共同游戏时间来计算玩家之间的“亲密度”，这种亲密度网络就可以用有权图来表示。
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{ class="animation-figure" }
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||||
<p align="center"> 图 9-4 有权图与无权图 </p>
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@ -62,7 +62,7 @@ $$
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||||
如图 9-5 所示，设邻接矩阵为 $M$、顶点列表为 $V$ ，那么矩阵元素 $M[i, j] = 1$ 表示顶点 $V[i]$ 到顶点 $V[j]$ 之间存在边，反之 $M[i, j] = 0$ 表示两顶点之间无边。
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||||
{ class="animation-figure" }
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||||
<p align="center"> 图 9-5 图的邻接矩阵表示 </p>
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@ -78,7 +78,7 @@ $$
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||||
「邻接表 adjacency list」使用 $n$ 个链表来表示图，链表节点表示顶点。第 $i$ 条链表对应顶点 $i$ ，其中存储了该顶点的所有邻接顶点（即与该顶点相连的顶点）。图 9-6 展示了一个使用邻接表存储的图的示例。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 9-6 图的邻接表表示 </p>
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@ -16,19 +16,19 @@ comments: true
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|||
- **初始化**：传入 $n$ 个顶点，初始化长度为 $n$ 的顶点列表 `vertices` ，使用 $O(n)$ 时间；初始化 $n \times n$ 大小的邻接矩阵 `adjMat` ，使用 $O(n^2)$ 时间。
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=== "初始化邻接矩阵"
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||||
{ class="animation-figure" }
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||||
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||||
=== "添加边"
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||||
{ class="animation-figure" }
|
||||
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||||
=== "删除边"
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|
||||
{ class="animation-figure" }
|
||||
|
||||
=== "添加顶点"
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||||
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||||
{ class="animation-figure" }
|
||||
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||||
=== "删除顶点"
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||||
{ class="animation-figure" }
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||||
<p align="center"> 图 9-7 邻接矩阵的初始化、增删边、增删顶点 </p>
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@ -1056,19 +1056,19 @@ comments: true
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|||
- **初始化**：在邻接表中创建 $n$ 个顶点和 $2m$ 条边，使用 $O(n + m)$ 时间。
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=== "初始化邻接表"
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{ class="animation-figure" }
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||||
=== "添加边"
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||||
{ class="animation-figure" }
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||||
|
||||
=== "删除边"
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||||
{ class="animation-figure" }
|
||||
|
||||
=== "添加顶点"
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||||
{ class="animation-figure" }
|
||||
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||||
=== "删除顶点"
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||||
{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 9-8 邻接表的初始化、增删边、增删顶点 </p>
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@ -12,7 +12,7 @@ comments: true
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||||
**广度优先遍历是一种由近及远的遍历方式，从某个节点出发，始终优先访问距离最近的顶点，并一层层向外扩张**。如图 9-9 所示，从左上角顶点出发，先遍历该顶点的所有邻接顶点，然后遍历下一个顶点的所有邻接顶点，以此类推，直至所有顶点访问完毕。
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{ class="animation-figure" }
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||||
<p align="center"> 图 9-9 图的广度优先遍历 </p>
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@ -421,37 +421,37 @@ BFS 通常借助队列来实现。队列具有“先入先出”的性质，这
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代码相对抽象，建议对照图 9-10 来加深理解。
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=== "<1>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<2>"
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||||
{ class="animation-figure" }
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=== "<3>"
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|
||||
{ class="animation-figure" }
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=== "<4>"
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||||
{ class="animation-figure" }
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=== "<5>"
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||||
{ class="animation-figure" }
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||||
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=== "<6>"
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||||
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||||
{ class="animation-figure" }
|
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=== "<7>"
|
||||
|
||||
{ class="animation-figure" }
|
||||
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||||
=== "<8>"
|
||||
|
||||
{ class="animation-figure" }
|
||||
|
||||
=== "<9>"
|
||||
|
||||
{ class="animation-figure" }
|
||||
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=== "<10>"
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||||
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||||
{ class="animation-figure" }
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||||
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=== "<11>"
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||||
{ class="animation-figure" }
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||||
<p align="center"> 图 9-10 图的广度优先遍历步骤 </p>
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@ -469,7 +469,7 @@ BFS 通常借助队列来实现。队列具有“先入先出”的性质，这
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**深度优先遍历是一种优先走到底、无路可走再回头的遍历方式**。如图 9-11 所示，从左上角顶点出发，访问当前顶点的某个邻接顶点，直到走到尽头时返回，再继续走到尽头并返回，以此类推，直至所有顶点遍历完成。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 9-11 图的深度优先遍历 </p>
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@ -829,37 +829,37 @@ BFS 通常借助队列来实现。队列具有“先入先出”的性质，这
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为了加深理解，建议将图示与代码结合起来，在脑中（或者用笔画下来）模拟整个 DFS 过程，包括每个递归方法何时开启、何时返回。
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=== "<1>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<2>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<3>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<4>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<5>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<6>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<7>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<8>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<9>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<10>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<11>"
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 9-12 图的深度优先遍历步骤 </p>
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@ -7,7 +7,7 @@ icon: material/graphql
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<div class="center-table" markdown>
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{ width="600" }
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{ class="cover-image" }
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</div>
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@ -8,7 +8,7 @@ comments: true
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给定 $n$ 个物品，第 $i$ 个物品的重量为 $wgt[i-1]$、价值为 $val[i-1]$ ，和一个容量为 $cap$ 的背包。每个物品只能选择一次，**但可以选择物品的一部分，价值根据选择的重量比例计算**，问在不超过背包容量下背包中物品的最大价值。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 15-3 分数背包问题的示例数据 </p>
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@ -19,7 +19,7 @@ comments: true
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1. 对于物品 $i$ ，它在单位重量下的价值为 $val[i-1] / wgt[i-1]$ ，简称为单位价值。
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2. 假设放入一部分物品 $i$ ，重量为 $w$ ，则背包增加的价值为 $w \times val[i-1] / wgt[i-1]$ 。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 15-4 物品在单位重量下的价值 </p>
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@ -31,7 +31,7 @@ comments: true
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2. 遍历所有物品，**每轮贪心地选择单位价值最高的物品**。
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3. 若剩余背包容量不足，则使用当前物品的一部分填满背包即可。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 15-5 分数背包的贪心策略 </p>
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@ -483,6 +483,6 @@ comments: true
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如图 15-6 所示，如果将物品重量和物品单位价值分别看作一个 2D 图表的横轴和纵轴，则分数背包问题可被转化为“求在有限横轴区间下的最大围成面积”。这个类比可以帮助我们从几何角度理解贪心策略的有效性。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 15-6 分数背包问题的几何表示 </p>
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@ -19,7 +19,7 @@ comments: true
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本题的贪心策略如图 15-1 所示。给定目标金额，**我们贪心地选择不大于且最接近它的硬币**，不断循环该步骤，直至凑出目标金额为止。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 15-1 零钱兑换的贪心策略 </p>
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@ -299,7 +299,7 @@ comments: true
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- **反例 $coins = [1, 20, 50]$**：假设 $amt = 60$ ，贪心算法只能找到 $50 + 1 \times 10$ 的兑换组合，共计 $11$ 枚硬币，但动态规划可以找到最优解 $20 + 20 + 20$ ，仅需 $3$ 枚硬币。
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||||
- **反例 $coins = [1, 49, 50]$**：假设 $amt = 98$ ，贪心算法只能找到 $50 + 1 \times 48$ 的兑换组合，共计 $49$ 枚硬币，但动态规划可以找到最优解 $49 + 49$ ，仅需 $2$ 枚硬币。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 15-2 贪心无法找出最优解的示例 </p>
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@ -7,7 +7,7 @@ icon: material/head-heart-outline
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<div class="center-table" markdown>
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{ width="600" }
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{ class="cover-image" }
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</div>
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@ -12,7 +12,7 @@ comments: true
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请在数组中选择两个隔板，使得组成的容器的容量最大，返回最大容量。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 15-7 最大容量问题的示例数据 </p>
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@ -30,7 +30,7 @@ $$
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||||
这道题还有更高效率的解法。如图 15-8 所示，现选取一个状态 $[i, j]$ ，其满足索引 $i < j$ 且高度 $ht[i] < ht[j]$ ，即 $i$ 为短板、$j$ 为长板。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 15-8 初始状态 </p>
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@ -38,13 +38,13 @@ $$
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这是因为在移动长板 $j$ 后，宽度 $j-i$ 肯定变小；而高度由短板决定，因此高度只可能不变（ $i$ 仍为短板）或变小（移动后的 $j$ 成为短板）。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 15-9 向内移动长板后的状态 </p>
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反向思考，**我们只有向内收缩短板 $i$ ，才有可能使容量变大**。因为虽然宽度一定变小，**但高度可能会变大**（移动后的短板 $i$ 可能会变长）。例如在图 15-10 中，移动短板后面积变大。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 15-10 向内移动短板后的状态 </p>
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@ -58,31 +58,31 @@ $$
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4. 循环执行第 `2.` 和 `3.` 步，直至 $i$ 和 $j$ 相遇时结束。
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=== "<1>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<2>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<3>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<4>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<5>"
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||||
{ class="animation-figure" }
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=== "<6>"
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||||
{ class="animation-figure" }
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=== "<7>"
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||||
{ class="animation-figure" }
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||||
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=== "<8>"
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||||
{ class="animation-figure" }
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||||
=== "<9>"
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||||
{ class="animation-figure" }
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||||
<p align="center"> 图 15-11 最大容量问题的贪心过程 </p>
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@ -384,7 +384,7 @@ $$
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cap[i, i+1], cap[i, i+2], \dots, cap[i, j-2], cap[i, j-1]
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$$
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 15-12 移动短板导致被跳过的状态 </p>
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@ -8,7 +8,7 @@ comments: true
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给定一个正整数 $n$ ，将其切分为至少两个正整数的和，求切分后所有整数的乘积最大是多少。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 15-13 最大切分乘积的问题定义 </p>
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@ -42,7 +42,7 @@ $$
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**贪心策略一**：如果切分方案中包含 $\geq 4$ 的因子，那么它就应该被继续切分。最终的切分方案只应出现 $1$、$2$、$3$ 这三种因子。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 15-14 切分导致乘积变大 </p>
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@ -52,7 +52,7 @@ $$
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**贪心策略二**：在切分方案中，最多只应存在两个 $2$ 。因为三个 $2$ 总是可以被替换为两个 $3$ ，从而获得更大乘积。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 15-15 最优切分因子 </p>
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@ -349,7 +349,7 @@ $$
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[class]{}-[func]{maxProductCutting}
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```
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 15-16 最大切分乘积的计算方法 </p>
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@ -8,7 +8,7 @@ comments: true
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如果哈希冲突过于频繁，哈希表的性能则会急剧劣化。如图 6-8 所示，对于链地址哈希表，理想情况下键值对平均分布在各个桶中，达到最佳查询效率；最差情况下所有键值对都被存储到同一个桶中，时间复杂度退化至 $O(n)$ 。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 6-8 哈希冲突的最佳与最差情况 </p>
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@ -17,7 +17,7 @@ comments: true
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在原始哈希表中，每个桶仅能存储一个键值对。「链式地址 separate chaining」将单个元素转换为链表，将键值对作为链表节点，将所有发生冲突的键值对都存储在同一链表中。图 6-5 展示了一个链式地址哈希表的例子。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 6-5 链式地址哈希表 </p>
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@ -1333,7 +1333,7 @@ comments: true
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图 6-6 展示了开放寻址（线性探测）哈希表的键值对分布。根据此哈希函数，最后两位相同的 `key` 都会被映射到相同的桶。而通过线性探测，它们被依次存储在该桶以及之下的桶中。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 6-6 开放寻址和线性探测 </p>
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@ -1341,7 +1341,7 @@ comments: true
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值得注意的是，**我们不能在开放寻址哈希表中直接删除元素**。这是因为删除元素会在数组内产生一个空桶 $\text{None}$ ，而当查询元素时，线性探测到该空桶就会返回，因此在该空桶之下的元素都无法再被访问到，程序可能误判这些元素不存在。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 6-7 在开放寻址中删除元素导致的查询问题 </p>
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@ -8,7 +8,7 @@ comments: true
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如图 6-1 所示，给定 $n$ 个学生，每个学生都有“姓名”和“学号”两项数据。假如我们希望实现“输入一个学号，返回对应的姓名”的查询功能，则可以采用图 6-1 所示的哈希表来实现。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 6-1 哈希表的抽象表示 </p>
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@ -493,7 +493,7 @@ index = hash(key) % capacity
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设数组长度 `capacity = 100`、哈希算法 `hash(key) = key` ，易得哈希函数为 `key % 100` 。图 6-2 以 `key` 学号和 `value` 姓名为例，展示了哈希函数的工作原理。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 6-2 哈希函数工作原理 </p>
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@ -1650,7 +1650,7 @@ index = hash(key) % capacity
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如图 6-3 所示，两个学号指向了同一个姓名，这显然是不对的。我们将这种多个输入对应同一输出的情况称为「哈希冲突 hash collision」。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 6-3 哈希冲突示例 </p>
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@ -1658,7 +1658,7 @@ index = hash(key) % capacity
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如图 6-4 所示，扩容前键值对 `(136, A)` 和 `(236, D)` 发生冲突，扩容后冲突消失。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 6-4 哈希表扩容 </p>
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@ -7,7 +7,7 @@ icon: material/table-search
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<div class="center-table" markdown>
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{ width="600" }
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{ class="cover-image" }
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</div>
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@ -213,7 +213,7 @@ comments: true
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接下来我们来进行更为准确的计算。为了减小计算难度，假设给定一个节点数量为 $n$ ，高度为 $h$ 的“完美二叉树”，该假设不会影响计算结果的正确性。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 8-5 完美二叉树的各层节点数量 </p>
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@ -9,7 +9,7 @@ comments: true
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- 「大顶堆 max heap」：任意节点的值 $\geq$ 其子节点的值。
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- 「小顶堆 min heap」：任意节点的值 $\leq$ 其子节点的值。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 8-1 小顶堆与大顶堆 </p>
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@ -367,7 +367,7 @@ comments: true
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如图 8-2 所示，给定索引 $i$ ，其左子节点索引为 $2i + 1$ ，右子节点索引为 $2i + 2$ ，父节点索引为 $(i - 1) / 2$（向下取整）。当索引越界时，表示空节点或节点不存在。
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{ class="animation-figure" }
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||||
<p align="center"> 图 8-2 堆的表示与存储 </p>
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@ -718,31 +718,31 @@ comments: true
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|||
考虑从入堆节点开始，**从底至顶执行堆化**。如图 8-3 所示，我们比较插入节点与其父节点的值，如果插入节点更大，则将它们交换。然后继续执行此操作，从底至顶修复堆中的各个节点，直至越过根节点或遇到无须交换的节点时结束。
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=== "<1>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<2>"
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||||
{ class="animation-figure" }
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=== "<3>"
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||||
{ class="animation-figure" }
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=== "<4>"
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||||
{ class="animation-figure" }
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=== "<5>"
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||||
{ class="animation-figure" }
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=== "<6>"
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||||
{ class="animation-figure" }
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=== "<7>"
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||||
{ class="animation-figure" }
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=== "<8>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<9>"
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{ class="animation-figure" }
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||||
<p align="center"> 图 8-3 元素入堆步骤 </p>
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@ -1095,34 +1095,34 @@ comments: true
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|||
如图 8-4 所示，**“从顶至底堆化”的操作方向与“从底至顶堆化”相反**，我们将根节点的值与其两个子节点的值进行比较，将最大的子节点与根节点交换。然后循环执行此操作，直到越过叶节点或遇到无须交换的节点时结束。
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=== "<1>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<2>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<3>"
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||||
{ class="animation-figure" }
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||||
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=== "<4>"
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||||
{ class="animation-figure" }
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=== "<5>"
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{ class="animation-figure" }
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||||
=== "<6>"
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||||
{ class="animation-figure" }
|
||||
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=== "<7>"
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||||
{ class="animation-figure" }
|
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=== "<8>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<9>"
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||||
{ class="animation-figure" }
|
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=== "<10>"
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{ class="animation-figure" }
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||||
<p align="center"> 图 8-4 堆顶元素出堆步骤 </p>
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@ -7,7 +7,7 @@ icon: material/family-tree
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||||
<div class="center-table" markdown>
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||||
{ width="600" }
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||||
{ class="cover-image" }
|
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||||
</div>
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@ -16,7 +16,7 @@ comments: true
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此方法只适用于 $k \ll n$ 的情况，因为当 $k$ 与 $n$ 比较接近时，其时间复杂度趋向于 $O(n^2)$ ，非常耗时。
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{ class="animation-figure" }
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||||
<p align="center"> 图 8-6 遍历寻找最大的 k 个元素 </p>
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@ -30,7 +30,7 @@ comments: true
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显然，该方法“超额”完成任务了，因为我们只需要找出最大的 $k$ 个元素即可，而不需要排序其他元素。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 8-7 排序寻找最大的 k 个元素 </p>
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@ -44,31 +44,31 @@ comments: true
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4. 遍历完成后，堆中保存的就是最大的 $k$ 个元素。
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=== "<1>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<2>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<3>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<4>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<5>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<6>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<7>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<8>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<9>"
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 8-8 基于堆寻找最大的 k 个元素 </p>
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@ -15,19 +15,19 @@ comments: true
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3. 不断重复步骤 `1.` 和 步骤 `2.` ，直至找到拼音首字母为 $r$ 的页码为止。
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=== "<1>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<2>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<3>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<4>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<5>"
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 1-1 查字典步骤 </p>
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@ -39,7 +39,7 @@ comments: true
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2. 在无序部分抽出一张扑克牌，插入至有序部分的正确位置；完成后最左 2 张扑克已经有序。
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3. 不断循环步骤 `2.` ，每一轮将一张扑克牌从无序部分插入至有序部分，直至所有扑克牌都有序。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 1-2 扑克排序步骤 </p>
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@ -53,7 +53,7 @@ comments: true
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4. 从剩余可选项中拿出最大的 $1$ 元，剩余 $1 - 1 = 0$ 元。
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5. 完成找零，方案为 $20 + 10 + 1 = 31$ 元。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 1-3 货币找零过程 </p>
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@ -7,7 +7,7 @@ icon: material/calculator-variant-outline
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<div class="center-table" markdown>
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{ width="600" }
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{ class="cover-image" }
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</div>
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@ -33,13 +33,13 @@ comments: true
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- 算法是数据结构发挥作用的舞台。数据结构本身仅存储数据信息，结合算法才能解决特定问题。
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- 算法通常可以基于不同的数据结构进行实现，但执行效率可能相差很大，选择合适的数据结构是关键。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 1-4 数据结构与算法的关系 </p>
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数据结构与算法犹如图 1-5 所示的拼装积木。一套积木，除了包含许多零件之外，还附有详细的组装说明书。我们按照说明书一步步操作，就能组装出精美的积木模型。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 1-5 拼装积木 </p>
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@ -30,7 +30,7 @@ comments: true
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- **数据结构**：基本数据类型，数据结构的分类方法。数组、链表、栈、队列、哈希表、树、堆、图等数据结构的定义、优缺点、常用操作、常见类型、典型应用、实现方法等。
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- **算法**：搜索、排序、分治、回溯、动态规划、贪心等算法的定义、优缺点、效率、应用场景、解题步骤、示例题目等。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 0-1 Hello 算法内容结构 </p>
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@ -7,7 +7,7 @@ icon: material/book-open-outline
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<div class="center-table" markdown>
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{ width="600" }
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{ class="cover-image" }
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</div>
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@ -177,7 +177,7 @@ comments: true
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如果你在阅读本书时，发现某段内容提供了图 0-2 所示的动画或图解，**请以图为主、以文字为辅**，综合两者来理解内容。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 0-2 动画图解示例 </p>
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@ -189,7 +189,7 @@ comments: true
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与阅读代码相比，编写代码的过程往往能带来更多收获。**动手学，才是真的学**。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 0-3 运行代码示例 </p>
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@ -205,13 +205,13 @@ git clone https://github.com/krahets/hello-algo.git
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当然，你也可以在图 0-4 所示的位置，点击“Download ZIP”直接下载代码压缩包，然后在本地解压即可。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 0-4 克隆仓库与下载代码 </p>
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**第三步：运行源代码**。如图 0-5 所示，对于顶部标有文件名称的代码块，我们可以在仓库的 `codes` 文件夹内找到对应的源代码文件。源代码文件可一键运行，将帮助你节省不必要的调试时间，让你能够专注于学习内容。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 0-5 代码块与对应的源代码文件 </p>
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@ -221,7 +221,7 @@ git clone https://github.com/krahets/hello-algo.git
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如图 0-6 所示，每篇文章的底部都配有评论区。希望你能多关注评论区的内容。一方面，你可以了解大家遇到的问题，从而查漏补缺，激发更深入的思考。另一方面，期待你能慷慨地回答其他小伙伴的问题，分享您的见解，帮助他人进步。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 0-6 评论区示例 </p>
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@ -235,6 +235,6 @@ git clone https://github.com/krahets/hello-algo.git
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如图 0-7 所示，本书内容主要涵盖“第一阶段”，旨在帮助你更高效地展开第二和第三阶段的学习。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 0-7 算法学习路线 </p>
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@ -10,7 +10,7 @@ comments: true
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给定一个长度为 $n$ 的数组 `nums` ，元素按从小到大的顺序排列，数组不包含重复元素。请查找并返回元素 `target` 在该数组中的索引。若数组不包含该元素，则返回 $-1$ 。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 10-1 二分查找示例数据 </p>
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@ -27,25 +27,25 @@ comments: true
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若数组不包含目标元素，搜索区间最终会缩小为空。此时返回 $-1$ 。
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=== "<1>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<2>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<3>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<4>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<5>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<6>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<7>"
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 10-2 二分查找流程 </p>
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@ -627,7 +627,7 @@ comments: true
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由于“双闭区间”表示中的左右边界都被定义为闭区间，因此指针 $i$ 和 $j$ 缩小区间操作也是对称的。这样更不容易出错，**因此一般建议采用“双闭区间”的写法**。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 10-3 两种区间定义 </p>
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@ -211,7 +211,7 @@ comments: true
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如图 10-7 所示，查找完成后，指针 $i$ 指向最左一个 `target + 1`（如果存在），而 $j$ 指向最右一个 `target` ，**因此返回 $j$ 即可**。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 10-7 将查找右边界转化为查找左边界 </p>
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@ -428,7 +428,7 @@ comments: true
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- 查找最左一个 `target` ：可以转化为查找 `target - 0.5` ，并返回指针 $i$ 。
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- 查找最右一个 `target` ：可以转化为查找 `target + 0.5` ，并返回指针 $j$ 。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 10-8 将查找边界转化为查找元素 </p>
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@ -12,7 +12,7 @@ comments: true
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给定一个长度为 $n$ 的有序数组 `nums` 和一个元素 `target` ，数组不存在重复元素。现将 `target` 插入到数组 `nums` 中，并保持其有序性。若数组中已存在元素 `target` ，则插入到其左方。请返回插入后 `target` 在数组中的索引。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 10-4 二分查找插入点示例数据 </p>
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@ -285,7 +285,7 @@ comments: true
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1. 执行二分查找，得到任意一个 `target` 的索引，记为 $k$ 。
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2. 从索引 $k$ 开始，向左进行线性遍历，当找到最左边的 `target` 时返回。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 10-5 线性查找重复元素的插入点 </p>
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@ -299,28 +299,28 @@ comments: true
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循环完成后，$i$ 指向最左边的 `target` ，$j$ 指向首个小于 `target` 的元素，**因此索引 $i$ 就是插入点**。
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=== "<1>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<2>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<3>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<4>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<5>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<6>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<7>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<8>"
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 10-6 二分查找重复元素的插入点的步骤 </p>
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@ -7,7 +7,7 @@ icon: material/text-search
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<div class="center-table" markdown>
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{ width="600" }
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{ class="cover-image" }
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</div>
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@ -14,7 +14,7 @@ comments: true
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考虑直接遍历所有可能的组合。如图 10-9 所示，我们开启一个两层循环，在每轮中判断两个整数的和是否为 `target` ，若是则返回它们的索引。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 10-9 线性查找求解两数之和 </p>
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@ -237,13 +237,13 @@ comments: true
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2. 将键值对 `nums[i]` 和索引 `i` 添加进哈希表。
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=== "<1>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<2>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<3>"
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 10-10 辅助哈希表求解两数之和 </p>
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@ -44,7 +44,7 @@ comments: true
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给定大小为 $n$ 的一组数据，我们可以使用线性搜索、二分查找、树查找、哈希查找等多种方法在该数据中搜索目标元素。各个方法的工作原理如图 10-11 所示。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 10-11 多种搜索策略 </p>
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@ -9,25 +9,25 @@ comments: true
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如图 11-4 所示，冒泡过程可以利用元素交换操作来模拟：从数组最左端开始向右遍历，依次比较相邻元素大小，如果“左元素 > 右元素”就交换它俩。遍历完成后，最大的元素会被移动到数组的最右端。
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=== "<1>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<2>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<3>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<4>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<5>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<6>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<7>"
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 11-4 利用元素交换操作模拟冒泡 </p>
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@ -40,7 +40,7 @@ comments: true
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3. 以此类推，经过 $n - 1$ 轮“冒泡”后，**前 $n - 1$ 大的元素都被交换至正确位置**。
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4. 仅剩的一个元素必定是最小元素，无须排序，因此数组排序完成。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 11-5 冒泡排序流程 </p>
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@ -16,7 +16,7 @@ comments: true
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2. 对每个桶分别执行排序（本文采用编程语言的内置排序函数）。
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3. 按照桶的从小到大的顺序，合并结果。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 11-13 桶排序算法流程 </p>
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@ -409,7 +409,7 @@ comments: true
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如图 11-14 所示，这种方法本质上是创建一个递归树，目标是让叶节点的值尽可能平均。当然，不一定要每轮将数据划分为 3 个桶，具体划分方式可根据数据特点灵活选择。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 11-14 递归划分桶 </p>
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@ -417,6 +417,6 @@ comments: true
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如图 11-15 所示，我们假设商品价格服从正态分布，这样就可以合理地设定价格区间，从而将商品平均分配到各个桶中。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 11-15 根据概率分布划分桶 </p>
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@ -14,7 +14,7 @@ comments: true
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2. **借助 `counter` 统计 `nums` 中各数字的出现次数**，其中 `counter[num]` 对应数字 `num` 的出现次数。统计方法很简单，只需遍历 `nums`（设当前数字为 `num`），每轮将 `counter[num]` 增加 $1$ 即可。
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3. **由于 `counter` 的各个索引天然有序，因此相当于所有数字已经被排序好了**。接下来，我们遍历 `counter` ，根据各数字的出现次数，将它们按从小到大的顺序填入 `nums` 即可。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 11-16 计数排序流程 </p>
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@ -339,28 +339,28 @@ $$
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遍历完成后，数组 `res` 中就是排序好的结果，最后使用 `res` 覆盖原数组 `nums` 即可。图 11-17 展示了完整的计数排序流程。
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=== "<1>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<2>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<3>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<4>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<5>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<6>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<7>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<8>"
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 11-17 计数排序步骤 </p>
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@ -29,40 +29,40 @@ comments: true
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实际上，元素出堆操作中也包含第 `2.` 和 `3.` 步，只是多了一个弹出元素的步骤。
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=== "<1>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<2>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<3>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<4>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<5>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<6>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<7>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<8>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<9>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<10>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<11>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<12>"
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 11-12 堆排序步骤 </p>
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@ -7,7 +7,7 @@ icon: material/sort-ascending
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<div class="center-table" markdown>
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{ width="600" }
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{ class="cover-image" }
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</div>
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@ -10,7 +10,7 @@ comments: true
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图 11-6 展示了数组插入元素的操作流程。设基准元素为 `base` ，我们需要将从目标索引到 `base` 之间的所有元素向右移动一位，然后再将 `base` 赋值给目标索引。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 11-6 单次插入操作 </p>
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@ -23,7 +23,7 @@ comments: true
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3. 选取第 3 个元素作为 `base` ，将其插入到正确位置后，**数组的前 3 个元素已排序**。
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4. 以此类推，在最后一轮中，选取最后一个元素作为 `base` ，将其插入到正确位置后，**所有元素均已排序**。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 11-7 插入排序流程 </p>
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@ -9,7 +9,7 @@ comments: true
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1. **划分阶段**：通过递归不断地将数组从中点处分开，将长数组的排序问题转换为短数组的排序问题。
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2. **合并阶段**：当子数组长度为 1 时终止划分，开始合并，持续地将左右两个较短的有序数组合并为一个较长的有序数组，直至结束。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 11-10 归并排序的划分与合并阶段 </p>
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@ -23,34 +23,34 @@ comments: true
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“合并阶段”从底至顶地将左子数组和右子数组合并为一个有序数组。需要注意的是，从长度为 1 的子数组开始合并，合并阶段中的每个子数组都是有序的。
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=== "<1>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<2>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<3>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<4>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<5>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<6>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<7>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<8>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<9>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<10>"
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 11-11 归并排序步骤 </p>
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@ -13,31 +13,31 @@ comments: true
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3. 循环执行步骤 `2.` ，直到 `i` 和 `j` 相遇时停止，最后将基准数交换至两个子数组的分界线。
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=== "<1>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<2>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<3>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<4>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<5>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<6>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<7>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<8>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<9>"
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 11-8 哨兵划分步骤 </p>
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@ -366,7 +366,7 @@ comments: true
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2. 然后，对左子数组和右子数组分别递归执行“哨兵划分”。
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3. 持续递归，直至子数组长度为 1 时终止，从而完成整个数组的排序。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 11-9 快速排序流程 </p>
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@ -16,7 +16,7 @@ comments: true
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2. 对学号的第 $k$ 位执行“计数排序”。完成后，数据会根据第 $k$ 位从小到大排序。
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3. 将 $k$ 增加 $1$ ，然后返回步骤 `2.` 继续迭代，直到所有位都排序完成后结束。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 11-18 基数排序算法流程 </p>
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@ -15,37 +15,37 @@ comments: true
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5. 仅剩的一个元素必定是最大元素，无须排序，因此数组排序完成。
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=== "<1>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<2>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<3>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<4>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<5>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<6>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<7>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<8>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<9>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<10>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<11>"
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 11-2 选择排序步骤 </p>
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@ -290,6 +290,6 @@ comments: true
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- **空间复杂度 $O(1)$、原地排序**：指针 $i$ 和 $j$ 使用常数大小的额外空间。
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- **非稳定排序**：如图 11-3 所示，元素 `nums[i]` 有可能被交换至与其相等的元素的右边，导致两者相对顺序发生改变。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 11-3 选择排序非稳定示例 </p>
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@ -8,7 +8,7 @@ comments: true
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如图 11-1 所示，排序算法中的数据类型可以是整数、浮点数、字符或字符串等。排序的判断规则可根据需求设定，如数字大小、字符 ASCII 码顺序或自定义规则。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 11-1 数据类型和判断规则示例 </p>
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@ -16,7 +16,7 @@ comments: true
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- 总的来说，我们希望找到一种排序算法，具有高效率、稳定、原地以及正向自适应性等优点。然而，正如其他数据结构和算法一样，没有一种排序算法能够同时满足所有这些条件。在实际应用中，我们需要根据数据的特性来选择合适的排序算法。
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- 图 11-19 对比了主流排序算法的效率、稳定性、就地性和自适应性等。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 11-19 排序算法对比 </p>
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@ -6,7 +6,7 @@ comments: true
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在队列中，我们仅能在头部删除或在尾部添加元素。如图 5-7 所示，「双向队列 double-ended queue」提供了更高的灵活性，允许在头部和尾部执行元素的添加或删除操作。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 5-7 双向队列的操作 </p>
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@ -365,19 +365,19 @@ comments: true
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如图 5-8 所示，我们将双向链表的头节点和尾节点视为双向队列的队首和队尾，同时实现在两端添加和删除节点的功能。
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=== "LinkedListDeque"
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{ class="animation-figure" }
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=== "pushLast()"
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{ class="animation-figure" }
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=== "pushFirst()"
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{ class="animation-figure" }
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=== "popLast()"
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{ class="animation-figure" }
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=== "popFirst()"
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 5-8 基于链表实现双向队列的入队出队操作 </p>
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@ -2008,19 +2008,19 @@ comments: true
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如图 5-9 所示，与基于数组实现队列类似，我们也可以使用环形数组来实现双向队列。
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=== "ArrayDeque"
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{ class="animation-figure" }
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=== "pushLast()"
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{ class="animation-figure" }
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=== "pushFirst()"
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||||
{ class="animation-figure" }
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||||
=== "popLast()"
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||||
{ class="animation-figure" }
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=== "popFirst()"
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 5-9 基于数组实现双向队列的入队出队操作 </p>
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@ -7,7 +7,7 @@ icon: material/stack-overflow
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<div class="center-table" markdown>
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{ width="600" }
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{ class="cover-image" }
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</div>
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@ -8,7 +8,7 @@ comments: true
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如图 5-4 所示，我们将队列的头部称为“队首”，尾部称为“队尾”，将把元素加入队尾的操作称为“入队”，删除队首元素的操作称为“出队”。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 5-4 队列的先入先出规则 </p>
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@ -325,13 +325,13 @@ comments: true
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如图 5-5 所示，我们可以将链表的“头节点”和“尾节点”分别视为“队首”和“队尾”，规定队尾仅可添加节点，队首仅可删除节点。
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=== "LinkedListQueue"
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{ class="animation-figure" }
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=== "push()"
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{ class="animation-figure" }
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=== "pop()"
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 5-5 基于链表实现队列的入队出队操作 </p>
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@ -1216,13 +1216,13 @@ comments: true
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可以看到，入队和出队操作都只需进行一次操作，时间复杂度均为 $O(1)$ 。
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=== "ArrayQueue"
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{ class="animation-figure" }
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=== "push()"
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{ class="animation-figure" }
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=== "pop()"
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 5-6 基于数组实现队列的入队出队操作 </p>
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@ -10,7 +10,7 @@ comments: true
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如图 5-1 所示，我们把堆叠元素的顶部称为“栈顶”，底部称为“栈底”。将把元素添加到栈顶的操作叫做“入栈”，删除栈顶元素的操作叫做“出栈”。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 5-1 栈的先入后出规则 </p>
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@ -325,13 +325,13 @@ comments: true
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如图 5-2 所示，对于入栈操作，我们只需将元素插入链表头部，这种节点插入方法被称为“头插法”。而对于出栈操作，只需将头节点从链表中删除即可。
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=== "LinkedListStack"
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{ class="animation-figure" }
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=== "push()"
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{ class="animation-figure" }
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=== "pop()"
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 5-2 基于链表实现栈的入栈出栈操作 </p>
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@ -1089,13 +1089,13 @@ comments: true
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使用数组实现栈时，我们可以将数组的尾部作为栈顶。如图 5-3 所示，入栈与出栈操作分别对应在数组尾部添加元素与删除元素，时间复杂度都为 $O(1)$ 。
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=== "ArrayStack"
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{ class="animation-figure" }
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=== "push()"
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{ class="animation-figure" }
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=== "pop()"
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 5-3 基于数组实现栈的入栈出栈操作 </p>
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@ -14,7 +14,7 @@ comments: true
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根据层序遍历的特性，我们可以推导出父节点索引与子节点索引之间的“映射公式”：**若节点的索引为 $i$ ，则该节点的左子节点索引为 $2i + 1$ ，右子节点索引为 $2i + 2$** 。图 7-12 展示了各个节点索引之间的映射关系。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 7-12 完美二叉树的数组表示 </p>
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@ -26,7 +26,7 @@ comments: true
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如图 7-13 所示，给定一个非完美二叉树，上述的数组表示方法已经失效。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 7-13 层序遍历序列对应多种二叉树可能性 </p>
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@ -126,7 +126,7 @@ comments: true
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```
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 7-14 任意类型二叉树的数组表示 </p>
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@ -134,7 +134,7 @@ comments: true
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这意味着使用数组表示完全二叉树时，可以省略存储所有 $\text{None}$ ，非常方便。图 7-15 给出了一个例子。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 7-15 完全二叉树的数组表示 </p>
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@ -8,13 +8,13 @@ comments: true
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如图 7-24 所示，经过两次删除节点操作，这个二叉搜索树便会退化为链表。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 7-24 AVL 树在删除节点后发生退化 </p>
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再例如，在图 7-25 的完美二叉树中插入两个节点后，树将严重向左倾斜，查找操作的时间复杂度也随之恶化。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 7-25 AVL 树在插入节点后发生退化 </p>
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@ -610,22 +610,22 @@ AVL 树的特点在于“旋转”操作，它能够在不影响二叉树的中
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如图 7-26 所示，节点下方为平衡因子。从底至顶看，二叉树中首个失衡节点是“节点 3”。我们关注以该失衡节点为根节点的子树，将该节点记为 `node` ，其左子节点记为 `child` ，执行“右旋”操作。完成右旋后，子树已经恢复平衡，并且仍然保持二叉搜索树的特性。
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=== "<1>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<2>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<3>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<4>"
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 7-26 右旋操作步骤 </p>
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如图 7-27 所示，当节点 `child` 有右子节点（记为 `grandChild` ）时，需要在右旋中添加一步：将 `grandChild` 作为 `node` 的左子节点。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 7-27 有 grandChild 的右旋操作 </p>
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@ -856,13 +856,13 @@ AVL 树的特点在于“旋转”操作，它能够在不影响二叉树的中
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相应的，如果考虑上述失衡二叉树的“镜像”，则需要执行图 7-28 所示的“左旋”操作。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 7-28 左旋操作 </p>
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同理，如图 7-29 所示，当节点 `child` 有左子节点（记为 `grandChild` ）时，需要在左旋中添加一步：将 `grandChild` 作为 `node` 的右子节点。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 7-29 有 grandChild 的左旋操作 </p>
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@ -1093,7 +1093,7 @@ AVL 树的特点在于“旋转”操作，它能够在不影响二叉树的中
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对于图 7-30 中的失衡节点 3 ，仅使用左旋或右旋都无法使子树恢复平衡。此时需要先对 `child` 执行“左旋”，再对 `node` 执行“右旋”。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 7-30 先左旋后右旋 </p>
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@ -1101,7 +1101,7 @@ AVL 树的特点在于“旋转”操作，它能够在不影响二叉树的中
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如图 7-31 所示，对于上述失衡二叉树的镜像情况，需要先对 `child` 执行“右旋”，然后对 `node` 执行“左旋”。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 7-31 先右旋后左旋 </p>
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@ -1109,7 +1109,7 @@ AVL 树的特点在于“旋转”操作，它能够在不影响二叉树的中
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图 7-32 展示的四种失衡情况与上述案例逐个对应，分别需要采用右旋、左旋、先右后左、先左后右的旋转操作。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 7-32 AVL 树的四种旋转情况 </p>
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@ -9,7 +9,7 @@ comments: true
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1. 对于根节点，左子树中所有节点的值 $<$ 根节点的值 $<$ 右子树中所有节点的值。
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2. 任意节点的左、右子树也是二叉搜索树，即同样满足条件 `1.` 。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 7-16 二叉搜索树 </p>
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@ -26,16 +26,16 @@ comments: true
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- 若 `cur.val = num` ，说明找到目标节点，跳出循环并返回该节点。
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=== "<1>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<2>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<3>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<4>"
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 7-17 二叉搜索树查找节点示例 </p>
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@ -325,7 +325,7 @@ comments: true
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1. **查找插入位置**：与查找操作相似，从根节点出发，根据当前节点值和 `num` 的大小关系循环向下搜索，直到越过叶节点（遍历至 $\text{None}$ ）时跳出循环。
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2. **在该位置插入节点**：初始化节点 `num` ，将该节点置于 $\text{None}$ 的位置。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 7-18 在二叉搜索树中插入节点 </p>
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@ -753,13 +753,13 @@ comments: true
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如图 7-19 所示，当待删除节点的度为 $0$ 时，表示该节点是叶节点，可以直接删除。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 7-19 在二叉搜索树中删除节点（度为 0 ） </p>
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如图 7-20 所示，当待删除节点的度为 $1$ 时，将待删除节点替换为其子节点即可。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 7-20 在二叉搜索树中删除节点（度为 1 ） </p>
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@ -771,16 +771,16 @@ comments: true
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2. 将 `tmp` 的值覆盖待删除节点的值，并在树中递归删除节点 `tmp` 。
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=== "<1>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<2>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<3>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<4>"
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 7-21 在二叉搜索树中删除节点（度为 2 ） </p>
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@ -1464,7 +1464,7 @@ comments: true
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利用中序遍历升序的性质，我们在二叉搜索树中获取有序数据仅需 $O(n)$ 时间，无须进行额外的排序操作，非常高效。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 7-22 二叉搜索树的中序遍历序列 </p>
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@ -1488,7 +1488,7 @@ comments: true
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然而，如果我们在二叉搜索树中不断地插入和删除节点，可能导致二叉树退化为图 7-23 所示的链表，这时各种操作的时间复杂度也会退化为 $O(n)$ 。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 7-23 二叉搜索树的退化 </p>
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@ -191,7 +191,7 @@ comments: true
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**在二叉树中，除叶节点外，其他所有节点都包含子节点和非空子树**。如图 7-1 所示，如果将“节点 2”视为父节点，则其左子节点和右子节点分别是“节点 4”和“节点 5”，左子树是“节点 4 及其以下节点形成的树”，右子树是“节点 5 及其以下节点形成的树”。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 7-1 父节点、子节点、子树 </p>
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@ -208,7 +208,7 @@ comments: true
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- 节点的「深度 depth」：从根节点到该节点所经过的边的数量。
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- 节点的「高度 height」：从距离该节点最远的叶节点到该节点所经过的边的数量。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 7-2 二叉树的常用术语 </p>
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@ -416,7 +416,7 @@ comments: true
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与链表类似，在二叉树中插入与删除节点可以通过修改指针来实现。图 7-3 给出了一个示例。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 7-3 在二叉树中插入与删除节点 </p>
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@ -569,7 +569,7 @@ comments: true
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请注意，在中文社区中，完美二叉树常被称为「满二叉树」。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 7-4 完美二叉树 </p>
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@ -577,7 +577,7 @@ comments: true
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如图 7-5 所示，「完全二叉树 complete binary tree」只有最底层的节点未被填满，且最底层节点尽量靠左填充。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 7-5 完全二叉树 </p>
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@ -585,7 +585,7 @@ comments: true
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如图 7-6 所示，「完满二叉树 full binary tree」除了叶节点之外，其余所有节点都有两个子节点。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 7-6 完满二叉树 </p>
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@ -593,7 +593,7 @@ comments: true
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如图 7-7 所示，「平衡二叉树 balanced binary tree」中任意节点的左子树和右子树的高度之差的绝对值不超过 1 。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 7-7 平衡二叉树 </p>
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@ -604,7 +604,7 @@ comments: true
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- 完美二叉树是理想情况，可以充分发挥二叉树“分治”的优势。
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- 链表则是另一个极端，各项操作都变为线性操作，时间复杂度退化至 $O(n)$ 。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 7-8 二叉树的最佳与最差结构 </p>
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@ -14,7 +14,7 @@ comments: true
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层序遍历本质上属于「广度优先遍历 breadth-first traversal」，它体现了一种“一圈一圈向外扩展”的逐层遍历方式。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 7-9 二叉树的层序遍历 </p>
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@ -335,7 +335,7 @@ comments: true
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图 7-10 展示了对二叉树进行深度优先遍历的工作原理。**深度优先遍历就像是绕着整个二叉树的外围“走”一圈**，在每个节点都会遇到三个位置，分别对应前序遍历、中序遍历和后序遍历。
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 7-10 二叉搜索树的前、中、后序遍历 </p>
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@ -764,37 +764,37 @@ comments: true
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2. “归”表示函数返回，代表当前节点已经访问完毕。
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=== "<1>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<2>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<3>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<4>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<5>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<6>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<7>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<8>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<9>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<10>"
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{ class="animation-figure" }
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=== "<11>"
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{ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 7-11 前序遍历的递归过程 </p>
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@ -7,7 +7,7 @@ icon: material/graph-outline
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<div class="center-table" markdown>
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{ width="600" }
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{ class="cover-image" }
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</div>
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@ -8,8 +8,8 @@ hide:
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<h1 align="center"> </h1>
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<p align="center">
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<img src="index.assets/conceptual_rendering.png" width="250">
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<img src="index.assets/hello_algo_mindmap_tp.png" width="400">
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||||
<img src="index.assets/conceptual_rendering.png" width="200">
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||||
<img src="index.assets/hello_algo_mindmap_tp.png" width="320">
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</p>
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<h2 align="center"> 《 Hello 算法 》</h2>
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@ -25,7 +25,7 @@
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--md-default-fg-color: #adbac7;
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||||
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||||
|
||||
--md-code-bg-color: #1D2126;
|
||||
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|
||||
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|
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|
||||
--md-accent-fg-color: #aaa;
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||||
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@ -43,6 +43,23 @@
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|||
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||||
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||||
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||||
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||||
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||||
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||||
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|
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||||
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|
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|
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|
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|
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