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8.2   建堆操作

在某些情况下，我们希望使用一个列表的所有元素来构建一个堆，这个过程被称为“建堆操作”。

8.2.1   借助入堆操作实现

我们首先创建一个空堆，然后遍历列表，依次对每个元素执行“入堆操作”，即先将元素添加至堆的尾部，再对该元素执行“从底至顶”堆化。

每当一个元素入堆，堆的长度就加一。由于节点是从顶到底依次被添加进二叉树的，因此堆是“自上而下”地构建的。

设元素数量为 n ，每个元素的入堆操作使用 O(\log{n}) 时间，因此该建堆方法的时间复杂度为 O(n \log n) 。

8.2.2   通过遍历堆化实现

实际上，我们可以实现一种更为高效的建堆方法，共分为两步。

1. 将列表所有元素原封不动添加到堆中，此时堆的性质尚未得到满足。
2. 倒序遍历堆（即层序遍历的倒序），依次对每个非叶节点执行“从顶至底堆化”。

每当堆化一个节点后，以该节点为根节点的子树就形成一个合法的子堆。而由于是倒序遍历，因此堆是“自下而上”地被构建的。

之所以选择倒序遍历，是因为这样能够保证当前节点之下的子树已经是合法的子堆，这样堆化当前节点才是有效的。

值得说明的是，叶节点没有子节点，天然就是合法的子堆，因此无需堆化。如以下代码所示，最后一个非叶节点是最后一个节点的父节点，我们从它开始倒序遍历并执行堆化。

=== "Python"

```python title="my_heap.py"
def __init__(self, nums: list[int]):
    """构造方法，根据输入列表建堆"""
    # 将列表元素原封不动添加进堆
    self.max_heap = nums
    # 堆化除叶节点以外的其他所有节点
    for i in range(self.parent(self.size() - 1), -1, -1):
        self.sift_down(i)
```

=== "C++"

```cpp title="my_heap.cpp"
/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
MaxHeap(vector<int> nums) {
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    maxHeap = nums;
    // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
    for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
        siftDown(i);
    }
}
```

=== "Java"

```java title="my_heap.java"
/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
MaxHeap(List<Integer> nums) {
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    maxHeap = new ArrayList<>(nums);
    // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
    for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
        siftDown(i);
    }
}
```

=== "C#"

```csharp title="my_heap.cs"
/* 构造函数，根据输入列表建堆 */
MaxHeap(IEnumerable<int> nums) {
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    maxHeap = new List<int>(nums);
    // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
    var size = Parent(this.Size() - 1);
    for (int i = size; i >= 0; i--) {
        SiftDown(i);
    }
}
```

=== "Go"

```go title="my_heap.go"
/* 构造函数，根据切片建堆 */
func newMaxHeap(nums []any) *maxHeap {
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    h := &maxHeap{data: nums}
    for i := h.parent(len(h.data) - 1); i >= 0; i-- {
        // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
        h.siftDown(i)
    }
    return h
}
```

=== "Swift"

```swift title="my_heap.swift"
/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
init(nums: [Int]) {
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    maxHeap = nums
    // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
    for i in stride(from: parent(i: size() - 1), through: 0, by: -1) {
        siftDown(i: i)
    }
}
```

=== "JS"

```javascript title="my_heap.js"
/* 构造方法，建立空堆或根据输入列表建堆 */
constructor(nums) {
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    this.#maxHeap = nums === undefined ? [] : [...nums];
    // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
    for (let i = this.#parent(this.size() - 1); i >= 0; i--) {
        this.#siftDown(i);
    }
}
```

=== "TS"

```typescript title="my_heap.ts"
/* 构造方法，建立空堆或根据输入列表建堆 */
constructor(nums?: number[]) {
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    this.maxHeap = nums === undefined ? [] : [...nums];
    // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
    for (let i = this.parent(this.size() - 1); i >= 0; i--) {
        this.siftDown(i);
    }
}
```

=== "Dart"

```dart title="my_heap.dart"
/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
MaxHeap(List<int> nums) {
  // 将列表元素原封不动添加进堆
  _maxHeap = nums;
  // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
  for (int i = _parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
    siftDown(i);
  }
}
```

=== "Rust"

```rust title="my_heap.rs"
/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
fn new(nums: Vec<i32>) -> Self {
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    let mut heap = MaxHeap { max_heap: nums };
    // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
    for i in (0..=Self::parent(heap.size() - 1)).rev() {
        heap.sift_down(i);
    }
    heap
}
```

=== "C"

```c title="my_heap.c"
/* 构造函数，根据切片建堆 */
MaxHeap *newMaxHeap(int nums[], int size) {
    // 所有元素入堆
    MaxHeap *maxHeap = (MaxHeap *)malloc(sizeof(MaxHeap));
    maxHeap->size = size;
    memcpy(maxHeap->data, nums, size * sizeof(int));
    for (int i = parent(maxHeap, size - 1); i >= 0; i--) {
        // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
        siftDown(maxHeap, i);
    }
    return maxHeap;
}
```

=== "Zig"

```zig title="my_heap.zig"
// 构造方法，根据输入列表建堆
fn init(self: *Self, allocator: std.mem.Allocator, nums: []const T) !void {
    if (self.max_heap != null) return;
    self.max_heap = std.ArrayList(T).init(allocator);
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    try self.max_heap.?.appendSlice(nums);
    // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
    var i: usize = parent(self.size() - 1) + 1;
    while (i > 0) : (i -= 1) {
        try self.siftDown(i - 1);
    }
}
```

8.2.3   复杂度分析

下面，我们来尝试推算第二种建堆方法的时间复杂度。

• 假设完全二叉树的节点数量为 n ，则叶节点数量为 (n + 1) / 2 ，其中 / 为向下整除。因此需要堆化的节点数量为 (n - 1) / 2 。
• 在从顶至底堆化的过程中，每个节点最多堆化到叶节点，因此最大迭代次数为二叉树高度 \log n 。

将上述两者相乘，可得到建堆过程的时间复杂度为 O(n \log n) 。但这个估算结果并不准确，因为我们没有考虑到二叉树底层节点数量远多于顶层节点的性质。

接下来我们来进行更为准确的计算。为了减小计算难度，假设给定一个节点数量为 n ，高度为 h 的“完美二叉树”，该假设不会影响计算结果的正确性。

{ class="animation-figure" }

图 8-5   完美二叉树的各层节点数量

如图 8-5 所示，节点“从顶至底堆化”的最大迭代次数等于该节点到叶节点的距离，而该距离正是“节点高度”。因此，我们可以将各层的“节点数量 \times 节点高度”求和，从而得到所有节点的堆化迭代次数的总和。

$$ T(h) = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \dots + 2^{(h-1)}\times1

化简上式需要借助中学的数列知识，先对 T(h) 乘以 2 ，得到：

$$ \begin{aligned} T(h) & = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \dots + 2^{h-1}\times1 \newline 2 T(h) & = 2^1h + 2^2(h-1) + 2^3(h-2) + \dots + 2^{h}\times1 \newline \end{aligned}

使用错位相减法，用下式 2 T(h) 减去上式 T(h) ，可得：

$$ 2T(h) - T(h) = T(h) = -2^0h + 2^1 + 2^2 + \dots + 2^{h-1} + 2^h

观察上式，发现 T(h) 是一个等比数列，可直接使用求和公式，得到时间复杂度为：

$$ \begin{aligned} T(h) & = 2 \frac{1 - 2^h}{1 - 2} - h \newline & = 2^{h+1} - h - 2 \newline & = O(2^h) \end{aligned}

进一步地，高度为 h 的完美二叉树的节点数量为 n = 2^{h+1} - 1 ，易得复杂度为 O(2^h) = O(n) 。以上推算表明，输入列表并建堆的时间复杂度为 O(n) ，非常高效。