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# 二叉搜索树

「二叉搜索树 Binary Search Tree」满足以下条件：

1. 对于根节点，左子树中所有节点的值 $<$ 根节点的值 $<$ 右子树中所有节点的值；
2. 任意节点的左、右子树也是二叉搜索树，即同样满足条件 `1.` ；

![二叉搜索树](binary_search_tree.assets/binary_search_tree.png)

## 二叉搜索树的操作

### 查找节点

给定目标节点值 `num` ，可以根据二叉搜索树的性质来查找。我们声明一个节点 `cur` ，从二叉树的根节点 `root` 出发，循环比较节点值 `cur.val` 和 `num` 之间的大小关系

- 若 `cur.val < num` ，说明目标节点在 `cur` 的右子树中，因此执行 `cur = cur.right` ；
- 若 `cur.val > num` ，说明目标节点在 `cur` 的左子树中，因此执行 `cur = cur.left` ；
- 若 `cur.val = num` ，说明找到目标节点，跳出循环并返回该节点；

=== "<1>"
    ![bst_search_step1](binary_search_tree.assets/bst_search_step1.png)

=== "<2>"
    ![bst_search_step2](binary_search_tree.assets/bst_search_step2.png)

=== "<3>"
    ![bst_search_step3](binary_search_tree.assets/bst_search_step3.png)

=== "<4>"
    ![bst_search_step4](binary_search_tree.assets/bst_search_step4.png)

二叉搜索树的查找操作与二分查找算法的工作原理一致，都是每轮排除一半情况。循环次数最多为二叉树的高度，当二叉树平衡时，使用 $O(\log n)$ 时间。

=== "Java"

    ```java title="binary_search_tree.java"
    [class]{BinarySearchTree}-[func]{search}
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="binary_search_tree.cpp"
    [class]{BinarySearchTree}-[func]{search}
    ```

=== "Python"

    ```python title="binary_search_tree.py"
    [class]{BinarySearchTree}-[func]{search}
    ```

=== "Go"

    ```go title="binary_search_tree.go"
    [class]{binarySearchTree}-[func]{search}
    ```

=== "JavaScript"

    ```javascript title="binary_search_tree.js"
    [class]{}-[func]{search}
    ```

=== "TypeScript"

    ```typescript title="binary_search_tree.ts"
    [class]{}-[func]{search}
    ```

=== "C"

    ```c title="binary_search_tree.c"
    [class]{binarySearchTree}-[func]{search}
    ```

=== "C#"

    ```csharp title="binary_search_tree.cs"
    [class]{BinarySearchTree}-[func]{search}
    ```

=== "Swift"

    ```swift title="binary_search_tree.swift"
    [class]{BinarySearchTree}-[func]{search}
    ```

=== "Zig"

    ```zig title="binary_search_tree.zig"
    [class]{BinarySearchTree}-[func]{search}
    ```

### 插入节点

给定一个待插入元素 `num` ，为了保持二叉搜索树“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质，插入操作分为两步：

1. **查找插入位置**：与查找操作相似，从根节点出发，根据当前节点值和 `num` 的大小关系循环向下搜索，直到越过叶节点（遍历至 $\text{null}$ ）时跳出循环；
2. **在该位置插入节点**：初始化节点 `num` ，将该节点置于 $\text{null}$ 的位置；

二叉搜索树不允许存在重复节点，否则将违反其定义。因此，若待插入节点在树中已存在，则不执行插入，直接返回。

![在二叉搜索树中插入节点](binary_search_tree.assets/bst_insert.png)

=== "Java"

    ```java title="binary_search_tree.java"
    [class]{BinarySearchTree}-[func]{insert}
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="binary_search_tree.cpp"
    [class]{BinarySearchTree}-[func]{insert}
    ```

=== "Python"

    ```python title="binary_search_tree.py"
    [class]{BinarySearchTree}-[func]{insert}
    ```

=== "Go"

    ```go title="binary_search_tree.go"
    [class]{binarySearchTree}-[func]{insert}
    ```

=== "JavaScript"

    ```javascript title="binary_search_tree.js"
    [class]{}-[func]{insert}
    ```

=== "TypeScript"

    ```typescript title="binary_search_tree.ts"
    [class]{}-[func]{insert}
    ```

=== "C"

    ```c title="binary_search_tree.c"
    [class]{binarySearchTree}-[func]{insert}
    ```

=== "C#"

    ```csharp title="binary_search_tree.cs"
    [class]{BinarySearchTree}-[func]{insert}
    ```

=== "Swift"

    ```swift title="binary_search_tree.swift"
    [class]{BinarySearchTree}-[func]{insert}
    ```

=== "Zig"

    ```zig title="binary_search_tree.zig"
    [class]{BinarySearchTree}-[func]{insert}
    ```

为了插入节点，我们需要利用辅助节点 `pre` 保存上一轮循环的节点，这样在遍历至 $\text{null}$ 时，我们可以获取到其父节点，从而完成节点插入操作。

与查找节点相同，插入节点使用 $O(\log n)$ 时间。

### 删除节点

与插入节点类似，我们需要在删除操作后维持二叉搜索树的“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质。首先，我们需要在二叉树中执行查找操作，获取待删除节点。接下来，根据待删除节点的子节点数量，删除操作需分为三种情况：

当待删除节点的子节点数量 $= 0$ 时，表示待删除节点是叶节点，可以直接删除。

![在二叉搜索树中删除节点（度为 0）](binary_search_tree.assets/bst_remove_case1.png)

当待删除节点的子节点数量 $= 1$ 时，将待删除节点替换为其子节点即可。

![在二叉搜索树中删除节点（度为 1）](binary_search_tree.assets/bst_remove_case2.png)

当待删除节点的子节点数量 $= 2$ 时，删除操作分为三步：

1. 找到待删除节点在“中序遍历序列”中的下一个节点，记为 nex；
2. 在树中递归删除节点 `nex` ；
3. 使用 `nex` 替换待删除节点；

=== "<1>"
    ![bst_remove_case3_step1](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_step1.png)

=== "<2>"
    ![bst_remove_case3_step2](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_step2.png)

=== "<3>"
    ![bst_remove_case3_step3](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_step3.png)

=== "<4>"
    ![bst_remove_case3_step4](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_step4.png)

删除节点操作同样使用 $O(\log n)$ 时间，其中查找待删除节点需要 $O(\log n)$ 时间，获取中序遍历后继节点需要 $O(\log n)$ 时间。

=== "Java"

    ```java title="binary_search_tree.java"
    [class]{BinarySearchTree}-[func]{remove}

    [class]{BinarySearchTree}-[func]{getInOrderNext}
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="binary_search_tree.cpp"
    [class]{BinarySearchTree}-[func]{remove}

    [class]{BinarySearchTree}-[func]{getInOrderNext}
    ```

=== "Python"

    ```python title="binary_search_tree.py"
    [class]{BinarySearchTree}-[func]{remove}

    [class]{BinarySearchTree}-[func]{get_inorder_next}
    ```

=== "Go"

    ```go title="binary_search_tree.go"
    [class]{binarySearchTree}-[func]{remove}

    [class]{binarySearchTree}-[func]{getInOrderNext}
    ```

=== "JavaScript"

    ```javascript title="binary_search_tree.js"
    [class]{}-[func]{remove}

    [class]{}-[func]{getInOrderNext}
    ```

=== "TypeScript"

    ```typescript title="binary_search_tree.ts"
    [class]{}-[func]{remove}

    [class]{}-[func]{getInOrderNext}
    ```

=== "C"

    ```c title="binary_search_tree.c"
    [class]{binarySearchTree}-[func]{remove}

    [class]{binarySearchTree}-[func]{getInOrderNext}
    ```

=== "C#"

    ```csharp title="binary_search_tree.cs"
    [class]{BinarySearchTree}-[func]{remove}

    [class]{BinarySearchTree}-[func]{getInOrderNext}
    ```

=== "Swift"

    ```swift title="binary_search_tree.swift"
    [class]{BinarySearchTree}-[func]{remove}

    [class]{BinarySearchTree}-[func]{getInOrderNext}
    ```

=== "Zig"

    ```zig title="binary_search_tree.zig"
    [class]{BinarySearchTree}-[func]{remove}

    [class]{BinarySearchTree}-[func]{getInOrderNext}
    ```

### 排序

我们知道，二叉树的中序遍历遵循“左 $\rightarrow$ 根 $\rightarrow$ 右”的遍历顺序，而二叉搜索树满足“左子节点 $<$ 根节点 $<$ 右子节点”的大小关系。因此，在二叉搜索树中进行中序遍历时，总是会优先遍历下一个最小节点，从而得出一个重要性质：**二叉搜索树的中序遍历序列是升序的**。

利用中序遍历升序的性质，我们在二叉搜索树中获取有序数据仅需 $O(n)$ 时间，无需额外排序，非常高效。

![二叉搜索树的中序遍历序列](binary_search_tree.assets/bst_inorder_traversal.png)

## 二叉搜索树的效率

假设给定 $n$ 个数字，最常见的存储方式是「数组」。对于这串乱序的数字，常见操作的效率如下：

- **查找元素**：由于数组是无序的，因此需要遍历数组来确定，使用 $O(n)$ 时间；
- **插入元素**：只需将元素添加至数组尾部即可，使用 $O(1)$ 时间；
- **删除元素**：先查找元素，使用 $O(n)$ 时间，再在数组中删除该元素，使用 $O(n)$ 时间；
- **获取最小 / 最大元素**：需要遍历数组来确定，使用 $O(n)$ 时间；

为了获得先验信息，我们可以预先将数组元素进行排序，得到一个「排序数组」。此时操作效率如下：

- **查找元素**：由于数组已排序，可以使用二分查找，平均使用 $O(\log n)$ 时间；
- **插入元素**：先查找插入位置，使用 $O(\log n)$ 时间，再插入到指定位置，使用 $O(n)$ 时间；
- **删除元素**：先查找元素，使用 $O(\log n)$ 时间，再在数组中删除该元素，使用 $O(n)$ 时间；
- **获取最小 / 最大元素**：数组头部和尾部元素即是最小和最大元素，使用 $O(1)$ 时间；

观察可知，无序数组和有序数组中的各项操作的时间复杂度呈现“偏科”的特点，即有的快有的慢。**然而，二叉搜索树的各项操作的时间复杂度都是对数阶，在数据量 $n$ 较大时具有显著优势**。

<div class="center-table" markdown>

|                     | 无序数组 | 有序数组    | 二叉搜索树  |
| ------------------- | -------- | ----------- | ----------- |
| 查找指定元素        | $O(n)$   | $O(\log n)$ | $O(\log n)$ |
| 插入元素            | $O(1)$   | $O(n)$      | $O(\log n)$ |
| 删除元素            | $O(n)$   | $O(n)$      | $O(\log n)$ |
| 获取最小 / 最大元素 | $O(n)$   | $O(1)$      | $O(\log n)$ |

</div>

## 二叉搜索树的退化

在理想情况下，我们希望二叉搜索树是“平衡”的，这样就可以在 $\log n$ 轮循环内查找任意节点。

然而，如果我们在二叉搜索树中不断地插入和删除节点，可能导致二叉树退化为链表，这时各种操作的时间复杂度也会退化为 $O(n)$ 。

![二叉搜索树的平衡与退化](binary_search_tree.assets/bst_degradation.png)

## 二叉搜索树常见应用

- 用作系统中的多级索引，实现高效的查找、插入、删除操作。
- 作为某些搜索算法的底层数据结构。
- 用于存储数据流，以保持其有序状态。