2023-07-21 21:56:14 +08:00
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# 最大切分乘积问题
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!!! question
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给定一个正整数 $n$ ,将其切分为至少两个正整数的和,求切分后所有整数的乘积最大是多少。
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![最大切分乘积的问题定义](max_product_cutting_problem.assets/max_product_cutting_definition.png)
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假设我们将 $n$ 切分为 $m$ 个整数因子,其中第 $i$ 个因子记为 $n_i$ ,即
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$$
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n = \sum_{i=1}^{m}n_i
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$$
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本题目标是求得所有整数因子的最大乘积,即
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$$
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\max(\prod_{i=1}^{m}n_i)
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$$
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我们需要思考的是:切分数量 $m$ 应该多大,每个 $n_i$ 应该是多少?
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2023-07-21 22:21:33 +08:00
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### 贪心策略确定
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2023-07-21 21:56:14 +08:00
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2023-07-26 03:15:49 +08:00
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根据经验,两个整数的乘积往往比它们的加和更大。假设从 $n$ 中分出一个因子 $2$ ,则它们的乘积为 $2(n-2)$ 。我们将该乘积与 $n$ 作比较:
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2023-07-21 21:56:14 +08:00
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$$
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\begin{aligned}
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2(n-2) & \geq n \newline
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2n - n - 4 & \geq 0 \newline
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n & \geq 4
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\end{aligned}
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$$
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2023-07-26 03:15:49 +08:00
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我们发现当 $n \geq 4$ 时,切分出一个 $2$ 后乘积会变大,**这说明大于等于 $4$ 的整数都应该被切分**。
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2023-07-21 21:56:14 +08:00
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**贪心策略一**:如果切分方案中包含 $\geq 4$ 的因子,那么它就应该被继续切分。最终的切分方案只应出现 $1$ , $2$ , $3$ 这三种因子。
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![切分导致乘积变大](max_product_cutting_problem.assets/max_product_cutting_greedy_infer1.png)
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2023-07-26 03:15:49 +08:00
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接下来思考哪个因子是最优的。在 $1$ , $2$ , $3$ 这三个因子中,显然 $1$ 是最差的,因为 $1 \times (n-1) < n$ 恒成立,即切分出 $1$ 反而会导致乘积减小。
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2023-07-21 21:56:14 +08:00
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我们发现,当 $n = 6$ 时,有 $3 \times 3 > 2 \times 2 \times 2$ 。**这意味着切分出 $3$ 比切分出 $2$ 更优**。
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2023-07-26 03:15:49 +08:00
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**贪心策略二**:在切分方案中,最多只应存在两个 $2$ 。因为三个 $2$ 总是可以被替换为两个 $3$ ,从而获得更大乘积。
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2023-07-21 21:56:14 +08:00
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![最优切分因子](max_product_cutting_problem.assets/max_product_cutting_greedy_infer3.png)
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总结以上,可推出贪心策略:
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1. 输入整数 $n$ ,从其不断地切分出因子 $3$ ,直至余数为 $0$ , $1$ , $2$ 。
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2. 当余数为 $0$ 时,代表 $n$ 是 $3$ 的倍数,因此不做任何处理。
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3. 当余数为 $2$ 时,不继续划分,保留之。
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4. 当余数为 $1$ 时,由于 $2 \times 2 > 1 \times 3$ ,因此应将最后一个 $3$ 替换为 $2$ 。
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### 代码实现
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2023-07-26 03:15:49 +08:00
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在代码中,我们无需通过循环来切分整数,而可以利用向下整除运算得到 $3$ 的个数 $a$ ,用取模运算得到余数 $b$ ,此时有:
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2023-07-21 21:56:14 +08:00
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$$
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n = 3 a + b
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$$
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2023-07-26 03:15:49 +08:00
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请注意,对于 $n \leq 3$ 的边界情况,必须拆分出一个 $1$ ,乘积为 $1 \times (n - 1)$ 。
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2023-07-21 21:56:14 +08:00
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=== "Java"
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```java title="max_product_cutting.java"
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[class]{max_product_cutting}-[func]{maxProductCutting}
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```
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=== "C++"
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```cpp title="max_product_cutting.cpp"
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[class]{}-[func]{maxProductCutting}
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```
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=== "Python"
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```python title="max_product_cutting.py"
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[class]{}-[func]{max_product_cutting}
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```
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=== "Go"
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```go title="max_product_cutting.go"
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[class]{}-[func]{maxProductCutting}
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```
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=== "JavaScript"
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```javascript title="max_product_cutting.js"
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[class]{}-[func]{maxProductCutting}
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```
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=== "TypeScript"
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```typescript title="max_product_cutting.ts"
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[class]{}-[func]{maxProductCutting}
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```
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=== "C"
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```c title="max_product_cutting.c"
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[class]{}-[func]{maxProductCutting}
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```
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=== "C#"
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```csharp title="max_product_cutting.cs"
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[class]{max_product_cutting}-[func]{maxProductCutting}
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```
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=== "Swift"
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```swift title="max_product_cutting.swift"
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[class]{}-[func]{maxProductCutting}
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```
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=== "Zig"
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```zig title="max_product_cutting.zig"
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[class]{}-[func]{maxProductCutting}
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```
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=== "Dart"
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```dart title="max_product_cutting.dart"
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[class]{}-[func]{maxProductCutting}
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```
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![最大切分乘积的计算方法](max_product_cutting_problem.assets/max_product_cutting_greedy_calculation.png)
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**时间复杂度取决于编程语言的幂运算的实现方法**。以 Python 为例,常用的幂计算函数有三种:
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2023-07-26 08:59:36 +08:00
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- 运算符 `**` 和函数 `pow()` 的时间复杂度均为 $O(\log a)$ 。
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2023-07-21 21:56:14 +08:00
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- 函数 `math.pow()` 内部调用 C 语言库的 `pow()` 函数,其执行浮点取幂,时间复杂度为 $O(1)$ 。
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变量 $a$ , $b$ 使用常数大小的额外空间,**因此空间复杂度为 $O(1)$** 。
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2023-07-21 22:21:33 +08:00
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### 正确性证明
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2023-07-21 21:56:14 +08:00
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使用反证法,只分析 $n \geq 3$ 的情况。
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1. **所有因子 $\leq 3$** :假设最优切分方案中存在 $\geq 4$ 的因子 $x$ ,那么一定可以将其继续划分为 $2(x-2)$ ,从而获得更大的乘积。这与假设矛盾。
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2. **切分方案不包含 $1$** :假设最优切分方案中存在一个因子 $1$ ,那么它一定可以合并入另外一个因子中,以获取更大乘积。这与假设矛盾。
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3. **切分方案最多包含两个 $2$** :假设最优切分方案中包含三个 $2$ ,那么一定可以替换为两个 $3$ ,乘积更大。这与假设矛盾。
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