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krahets 2023-07-21 22:21:33 +08:00
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commit e114ea2b65
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@ -86,7 +86,7 @@
=== "Go"
```go title="build_tree.go"
[class]{}-[func]{dfs}
[class]{}-[func]{dfsBuildTree}
[class]{}-[func]{buildTree}
```

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@ -117,7 +117,7 @@
```go title="hanota.go"
[class]{}-[func]{move}
[class]{}-[func]{dfs}
[class]{}-[func]{dfsHanota}
[class]{}-[func]{hanota}
```

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@ -8,8 +8,6 @@
![分数背包问题的示例数据](fractional_knapsack_problem.assets/fractional_knapsack_example.png)
### 第一步:问题分析
本题和 0-1 背包整体上非常相似,状态包含当前物品 $i$ 和容量 $c$ ,目标是求不超过背包容量下的最大价值。
不同点在于,本题允许只选择物品的一部分,我们可以对物品任意地进行切分,并按照重量比例来计算物品价值,因此有:
@ -19,7 +17,7 @@
![物品在单位重量下的价值](fractional_knapsack_problem.assets/fractional_knapsack_unit_value.png)
### 第二步:贪心策略确定
### 贪心策略确定
最大化背包内物品总价值,**本质上是要最大化单位重量下的物品价值**。由此便可推出本题的贪心策略:
@ -123,7 +121,7 @@
最差情况下,需要遍历整个物品列表,**因此时间复杂度为 $O(n)$** ,其中 $n$ 为物品数量。由于初始化了一个 `Item` 对象列表,**因此空间复杂度为 $O(n)$** 。
### 第三步:正确性证明
### 正确性证明
采用反证法。假设物品 $x$ 是单位价值最高的物品,使用某算法求得最大价值为 $res$ ,但该解中不包含物品 $x$ 。

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@ -8,8 +8,6 @@
![最大容量问题的示例数据](max_capacity_problem.assets/max_capacity_example.png)
### 第一步:问题分析
容器由任意两个隔板围成,**因此本题的状态为两个隔板的索引,记为 $[i, j]$** 。
根据定义,容量等于高度乘以宽度,其中高度由短板决定,宽度是两隔板的索引之差。设容量为 $cap[i, j]$ ,可得计算公式:
@ -20,7 +18,7 @@ $$
设数组长度为 $n$ ,两个隔板的组合数量(即状态总数)为 $C_n^2 = \frac{n(n - 1)}{2}$ 个。最直接地,**我们可以穷举所有状态**,从而求得最大容量,时间复杂度为 $O(n^2)$ 。
### 第二步:贪心策略确定
### 贪心策略确定
当然,这道题还有更高效率的解法。如下图所示,现选取一个状态 $[i, j]$ ,其满足索引 $i < j$ 且高度 $ht[i] < ht[j]$ $i$ 为短板 $j$ 为长板
@ -141,7 +139,7 @@ $$
[class]{}-[func]{maxCapacity}
```
### 第三步:正确性证明
### 正确性证明
之所以贪心比穷举更快,是因为每轮的贪心选择都会“跳过”一些状态。

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@ -4,8 +4,6 @@
给定一个正整数 $n$ ,将其切分为至少两个正整数的和,求切分后所有整数的乘积最大是多少。
### 第一步:问题分析
![最大切分乘积的问题定义](max_product_cutting_problem.assets/max_product_cutting_definition.png)
假设我们将 $n$ 切分为 $m$ 个整数因子,其中第 $i$ 个因子记为 $n_i$ ,即
@ -22,7 +20,7 @@ $$
我们需要思考的是:切分数量 $m$ 应该多大,每个 $n_i$ 应该是多少?
### 第二步:贪心策略确定
### 贪心策略确定
根据经验,两个整数的和往往比它们的积更小。假设从 $n$ 中分出一个因子 $2$ ,则它们的乘积为 $2(n-2)$ 。我们将该乘积与 $n$ 作比较:
@ -140,7 +138,7 @@ $$
变量 $a$ , $b$ 使用常数大小的额外空间,**因此空间复杂度为 $O(1)$** 。
### 第三步:正确性证明
### 正确性证明
使用反证法,只分析 $n \geq 3$ 的情况。