Add the section of max product cutting problem. (#642)

codes/cpp/chapter_greedy/max_product_cutting.cpp

@@ -0,0 +1,39 @@
+/**
+ * File: max_product_cutting.cpp
+ * Created Time: 2023-07-21
+ * Author: Krahets (krahets@163.com)
+ */
+
+#include "../utils/common.hpp"
+
+/* 最大切分乘积：贪心 */
+int maxProductCutting(int n) {
+    // 当 n <= 3 时，必须切分出一个 1
+    if (n <= 3) {
+        return 1 * (n - 1);
+    }
+    // 贪心地切分出 3 ，a 为 3 的个数，b 为余数
+    int a = n / 3;
+    int b = n % 3;
+    if (b == 1) {
+        // 当余数为 1 时，将一对 1 * 3 转化为 2 * 2
+        return (int)pow(3, a - 1) * 2 * 2;
+    }
+    if (b == 2) {
+        // 当余数为 2 时，不做处理
+        return (int)pow(3, a) * 2;
+    }
+    // 当余数为 0 时，不做处理
+    return (int)pow(3, a);
+}
+
+/* Driver Code */
+int main() {
+    int n = 58;
+
+    // 贪心算法
+    int res = maxProductCutting(n);
+    cout << "最大切分乘积为" << res << endl;
+
+    return 0;
+}

codes/java/chapter_greedy/max_product_cutting.java

@@ -0,0 +1,40 @@
+/**
+ * File: max_product_cutting.java
+ * Created Time: 2023-07-21
+ * Author: Krahets (krahets@163.com)
+ */
+
+package chapter_greedy;
+
+import java.lang.Math;
+
+public class max_product_cutting {
+    /* 最大切分乘积：贪心 */
+    public static int maxProductCutting(int n) {
+        // 当 n <= 3 时，必须切分出一个 1
+        if (n <= 3) {
+            return 1 * (n - 1);
+        }
+        // 贪心地切分出 3 ，a 为 3 的个数，b 为余数
+        int a = n / 3;
+        int b = n % 3;
+        if (b == 1) {
+            // 当余数为 1 时，将一对 1 * 3 转化为 2 * 2
+            return (int) Math.pow(3, a - 1) * 2 * 2;
+        }
+        if (b == 2) {
+            // 当余数为 2 时，不做处理
+            return (int) Math.pow(3, a) * 2;
+        }
+        // 当余数为 0 时，不做处理
+        return (int) Math.pow(3, a);
+    }
+
+    public static void main(String[] args) {
+        int n = 58;
+
+        // 贪心算法
+        int res = maxProductCutting(n);
+        System.out.println("最大切分乘积为" + res);
+    }
+}

codes/python/chapter_greedy/max_product_cutting.py

@@ -0,0 +1,33 @@
+"""
+File: max_product_cutting.py
+Created Time: 2023-07-21
+Author: Krahets (krahets@163.com)
+"""
+
+import math
+
+
+def max_product_cutting(n: int) -> int:
+    """最大切分乘积：贪心"""
+    # 当 n <= 3 时，必须切分出一个 1
+    if n <= 3:
+        return 1 * (n - 1)
+    # 贪心地切分出 3 ，a 为 3 的个数，b 为余数
+    a, b = n // 3, n % 3
+    if b == 1:
+        # 当余数为 1 时，将一对 1 * 3 转化为 2 * 2
+        return int(math.pow(3, a - 1)) * 2 * 2
+    if b == 2:
+        # 当余数为 2 时，不做处理
+        return int(math.pow(3, a)) * 2
+    # 当余数为 0 时，不做处理
+    return int(math.pow(3, a))
+
+
+"""Driver Code"""
+if __name__ == "__main__":
+    n = 58
+
+    # 贪心算法
+    res = max_product_cutting(n)
+    print(f"最大切分乘积为 {res}")

docs/chapter_greedy/max_product_cutting_problem.md

@@ -0,0 +1,149 @@
+# 最大切分乘积问题
+
+!!! question
+
+    给定一个正整数 $n$ ，将其切分为至少两个正整数的和，求切分后所有整数的乘积最大是多少。
+
+### 第一步：问题分析
+
+![最大切分乘积的问题定义](max_product_cutting_problem.assets/max_product_cutting_definition.png)
+
+假设我们将 $n$ 切分为 $m$ 个整数因子，其中第 $i$ 个因子记为 $n_i$ ，即
+
+$$
+n = \sum_{i=1}^{m}n_i
+$$
+
+本题目标是求得所有整数因子的最大乘积，即
+
+$$
+\max(\prod_{i=1}^{m}n_i)
+$$
+
+我们需要思考的是：切分数量 $m$ 应该多大，每个 $n_i$ 应该是多少？
+
+### 第二步：贪心策略确定
+
+根据经验，两个整数的和往往比它们的积更小。假设从 $n$ 中分出一个因子 $2$ ，则它们的乘积为 $2(n-2)$ 。我们将该乘积与 $n$ 作比较：
+
+$$
+\begin{aligned}
+2(n-2) & \geq n \newline
+2n - n - 4 & \geq 0 \newline
+n & \geq 4
+\end{aligned}
+$$
+
+当 $n \geq 4$ 时，切分出一个 $2$ 后乘积会变大，这说明大于等于 $4$ 的整数都应该被切分。
+
+**贪心策略一**：如果切分方案中包含 $\geq 4$ 的因子，那么它就应该被继续切分。最终的切分方案只应出现 $1$ , $2$ , $3$ 这三种因子。
+
+![切分导致乘积变大](max_product_cutting_problem.assets/max_product_cutting_greedy_infer1.png)
+
+接下来思考哪个因子是最优的。在 $1$ , $2$ , $3$ 这三个因子中，显然 $1$ 是最差的，因为 $1 \times (n-1) < n$ 恒成立，切分出 $1$ 会导致乘积减小。
+
+我们发现，当 $n = 6$ 时，有 $3 \times 3 > 2 \times 2 \times 2$ 。**这意味着切分出 $3$ 比切分出 $2$ 更优**。
+
+**贪心策略二**：在切分方案中，最多只应存在两个 $2$ 。因为三个 $2$ 可以被替换为两个 $3$ ，从而获得更大的乘积。
+
+![最优切分因子](max_product_cutting_problem.assets/max_product_cutting_greedy_infer3.png)
+
+总结以上，可推出贪心策略：
+
+1. 输入整数 $n$ ，从其不断地切分出因子 $3$ ，直至余数为 $0$ , $1$ , $2$ 。
+2. 当余数为 $0$ 时，代表 $n$ 是 $3$ 的倍数，因此不做任何处理。
+3. 当余数为 $2$ 时，不继续划分，保留之。
+4. 当余数为 $1$ 时，由于 $2 \times 2 > 1 \times 3$ ，因此应将最后一个 $3$ 替换为 $2$ 。
+
+### 代码实现
+
+在代码中，我们无需开启循环来切分，可以直接利用向下整除得到 $3$ 的个数 $a$ ，用取模运算得到余数 $b$ ，即：
+
+$$
+n = 3 a + b
+$$
+
+需要单独处理边界情况：当 $n \leq 3$ 时，必须拆分出一个 $1$ ，乘积为 $1 \times (n - 1)$ 。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="max_product_cutting.java"
+    [class]{max_product_cutting}-[func]{maxProductCutting}
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="max_product_cutting.cpp"
+    [class]{}-[func]{maxProductCutting}
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="max_product_cutting.py"
+    [class]{}-[func]{max_product_cutting}
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="max_product_cutting.go"
+    [class]{}-[func]{maxProductCutting}
+    ```
+
+=== "JavaScript"
+
+    ```javascript title="max_product_cutting.js"
+    [class]{}-[func]{maxProductCutting}
+    ```
+
+=== "TypeScript"
+
+    ```typescript title="max_product_cutting.ts"
+    [class]{}-[func]{maxProductCutting}
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="max_product_cutting.c"
+    [class]{}-[func]{maxProductCutting}
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="max_product_cutting.cs"
+    [class]{max_product_cutting}-[func]{maxProductCutting}
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="max_product_cutting.swift"
+    [class]{}-[func]{maxProductCutting}
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="max_product_cutting.zig"
+    [class]{}-[func]{maxProductCutting}
+    ```
+
+=== "Dart"
+
+    ```dart title="max_product_cutting.dart"
+    [class]{}-[func]{maxProductCutting}
+    ```
+
+![最大切分乘积的计算方法](max_product_cutting_problem.assets/max_product_cutting_greedy_calculation.png)
+
+**时间复杂度取决于编程语言的幂运算的实现方法**。以 Python 为例，常用的幂计算函数有三种：
+
+- 运算符 `**` 和函数 `pow()` 的时间复杂度均为 $O(\log⁡ a)$ ；
+- 函数 `math.pow()` 内部调用 C 语言库的 `pow()` 函数，其执行浮点取幂，时间复杂度为 $O(1)$ 。
+
+变量 $a$ , $b$ 使用常数大小的额外空间，**因此空间复杂度为 $O(1)$** 。
+
+### 第三步：正确性证明
+
+使用反证法，只分析 $n \geq 3$ 的情况。
+
+1. **所有因子 $\leq 3$** :假设最优切分方案中存在 $\geq 4$ 的因子 $x$ ，那么一定可以将其继续划分为 $2(x-2)$ ，从而获得更大的乘积。这与假设矛盾。
+2. **切分方案不包含 $1$** :假设最优切分方案中存在一个因子 $1$ ，那么它一定可以合并入另外一个因子中，以获取更大乘积。这与假设矛盾。
+3. **切分方案最多包含两个 $2$** ：假设最优切分方案中包含三个 $2$ ，那么一定可以替换为两个 $3$ ，乘积更大。这与假设矛盾。

mkdocs.yml

@@ -271,6 +271,8 @@ nav:
     - 15.2.   分数背包问题: chapter_greedy/fractional_knapsack_problem.md
     # [status: new]
     - 15.3.   最大容量问题: chapter_greedy/max_capacity_problem.md
+    # [status: new]
+    - 15.4.   最大切分乘积问题: chapter_greedy/max_product_cutting_problem.md
   - 16.   附录:
     # [icon: material/help-circle-outline]
     - chapter_appendix/index.md