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时间复杂度

统计算法运行时间

运行时间可以直观且准确地反映算法的效率。然而，如果我们想要准确预估一段代码的运行时间，应该如何操作呢？

1. 确定运行平台，包括硬件配置、编程语言、系统环境等，这些因素都会影响代码的运行效率。
2. 评估各种计算操作所需的运行时间，例如加法操作 + 需要 1 ns，乘法操作 * 需要 10 ns，打印操作需要 5 ns 等。
3. 统计代码中所有的计算操作，并将所有操作的执行时间求和，从而得到运行时间。

例如以下代码，输入数据大小为 n ，根据以上方法，可以得到算法运行时间为 6n + 12 ns 。

$$ 1 + 1 + 10 + (1 + 5) \times n = 6n + 12

=== "Java"

```java title=""
// 在某运行平台下
void algorithm(int n) {
    int a = 2;  // 1 ns
    a = a + 1;  // 1 ns
    a = a * 2;  // 10 ns
    // 循环 n 次
    for (int i = 0; i < n; i++) {  // 1 ns ，每轮都要执行 i++
        System.out.println(0);     // 5 ns
    }
}
```

=== "C++"

```cpp title=""
// 在某运行平台下
void algorithm(int n) {
    int a = 2;  // 1 ns
    a = a + 1;  // 1 ns
    a = a * 2;  // 10 ns
    // 循环 n 次
    for (int i = 0; i < n; i++) {  // 1 ns ，每轮都要执行 i++
        cout << 0 << endl;         // 5 ns
    }
}
```

=== "Python"

```python title=""
# 在某运行平台下
def algorithm(n: int) -> None:
    a = 2      # 1 ns
    a = a + 1  # 1 ns
    a = a * 2  # 10 ns
    # 循环 n 次
    for _ in range(n):  # 1 ns
        print(0)        # 5 ns
```

=== "Go"

```go title=""
// 在某运行平台下
func algorithm(n int) {
    a := 2      // 1 ns
    a = a + 1   // 1 ns
    a = a * 2   // 10 ns
    // 循环 n 次
    for i := 0; i < n; i++ {    // 1 ns
        fmt.Println(a)          // 5 ns
    }
}
```

=== "JavaScript"

```javascript title=""
// 在某运行平台下
function algorithm(n) {
    var a = 2; // 1 ns
    a = a + 1; // 1 ns
    a = a * 2; // 10 ns
    // 循环 n 次
    for(let i = 0; i < n; i++) { // 1 ns ，每轮都要执行 i++
        console.log(0); // 5 ns
    }
}
```

=== "TypeScript"

```typescript title=""
// 在某运行平台下
function algorithm(n: number): void {
    var a: number = 2; // 1 ns
    a = a + 1; // 1 ns
    a = a * 2; // 10 ns
    // 循环 n 次
    for(let i = 0; i < n; i++) { // 1 ns ，每轮都要执行 i++
        console.log(0); // 5 ns
    }
}
```

=== "C"

```c title=""
// 在某运行平台下
void algorithm(int n) {
    int a = 2;  // 1 ns
    a = a + 1;  // 1 ns
    a = a * 2;  // 10 ns
    // 循环 n 次
    for (int i = 0; i < n; i++) {   // 1 ns ，每轮都要执行 i++
        printf("%d", 0);            // 5 ns
    }
}
```

=== "C#"

```csharp title=""
// 在某运行平台下
void algorithm(int n)
{
    int a = 2;  // 1 ns
    a = a + 1;  // 1 ns
    a = a * 2;  // 10 ns
    // 循环 n 次
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {  // 1 ns ，每轮都要执行 i++
        Console.WriteLine(0);     // 5 ns
    }
}
```

=== "Swift"

```swift title=""
// 在某运行平台下
func algorithm(n: Int) {
    var a = 2 // 1 ns
    a = a + 1 // 1 ns
    a = a * 2 // 10 ns
    // 循环 n 次
    for _ in 0 ..< n { // 1 ns
        print(0) // 5 ns
    }
}
```

=== "Zig"

```zig title=""

```

然而实际上，统计算法的运行时间既不合理也不现实。首先，我们不希望预估时间和运行平台绑定，因为算法需要在各种不同的平台上运行。其次，我们很难获知每种操作的运行时间，这给预估过程带来了极大的难度。

统计时间增长趋势

「时间复杂度分析」采取了一种不同的方法，其统计的不是算法运行时间，而是算法运行时间随着数据量变大时的增长趋势。

“时间增长趋势”这个概念较为抽象，我们通过一个例子来加以理解。假设输入数据大小为 n ，给定三个算法 A , B , C 。

• 算法 A 只有 1 个打印操作，算法运行时间不随着 n 增大而增长。我们称此算法的时间复杂度为「常数阶」。
• 算法 B 中的打印操作需要循环 n 次，算法运行时间随着 n 增大呈线性增长。此算法的时间复杂度被称为「线性阶」。
• 算法 C 中的打印操作需要循环 1000000 次，但运行时间仍与输入数据大小 n 无关。因此 C 的时间复杂度和 A 相同，仍为「常数阶」。

=== "Java"

```java title=""
// 算法 A 时间复杂度：常数阶
void algorithm_A(int n) {
    System.out.println(0);
}
// 算法 B 时间复杂度：线性阶
void algorithm_B(int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        System.out.println(0);
    }
}
// 算法 C 时间复杂度：常数阶
void algorithm_C(int n) {
    for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
        System.out.println(0);
    }
}
```

=== "C++"

```cpp title=""
// 算法 A 时间复杂度：常数阶
void algorithm_A(int n) {
    cout << 0 << endl;
}
// 算法 B 时间复杂度：线性阶
void algorithm_B(int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cout << 0 << endl;
    }
}
// 算法 C 时间复杂度：常数阶
void algorithm_C(int n) {
    for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
        cout << 0 << endl;
    }
}
```

=== "Python"

```python title=""
# 算法 A 时间复杂度：常数阶
def algorithm_A(n: int) -> None:
    print(0)
# 算法 B 时间复杂度：线性阶
def algorithm_B(n: int) -> None:
    for _ in range(n):
        print(0)
# 算法 C 时间复杂度：常数阶
def algorithm_C(n: int) -> None:
    for _ in range(1000000):
        print(0)
```

=== "Go"

```go title=""
// 算法 A 时间复杂度：常数阶
func algorithm_A(n int) {
    fmt.Println(0)
}
// 算法 B 时间复杂度：线性阶
func algorithm_B(n int) {
    for i := 0; i < n; i++ {
        fmt.Println(0)
    }
}
// 算法 C 时间复杂度：常数阶
func algorithm_C(n int) {
    for i := 0; i < 1000000; i++ {
        fmt.Println(0)
    }
}
```

=== "JavaScript"

```javascript title=""
// 算法 A 时间复杂度：常数阶
function algorithm_A(n) {
    console.log(0);
}
// 算法 B 时间复杂度：线性阶
function algorithm_B(n) {
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        console.log(0);
    }
}
// 算法 C 时间复杂度：常数阶
function algorithm_C(n) {
    for (let i = 0; i < 1000000; i++) {
        console.log(0);
    }
}

```

=== "TypeScript"

```typescript title=""
// 算法 A 时间复杂度：常数阶
function algorithm_A(n: number): void {
    console.log(0);
}
// 算法 B 时间复杂度：线性阶
function algorithm_B(n: number): void {
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        console.log(0);
    }
}
// 算法 C 时间复杂度：常数阶
function algorithm_C(n: number): void {
    for (let i = 0; i < 1000000; i++) {
        console.log(0);
    }
}
```

=== "C"

```c title=""
// 算法 A 时间复杂度：常数阶
void algorithm_A(int n) {
    printf("%d", 0);
}
// 算法 B 时间复杂度：线性阶
void algorithm_B(int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        printf("%d", 0);
    }
}
// 算法 C 时间复杂度：常数阶
void algorithm_C(int n) {
    for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
        printf("%d", 0);
    }
}
```

=== "C#"

```csharp title=""
// 算法 A 时间复杂度：常数阶
void algorithm_A(int n)
{
    Console.WriteLine(0);
}
// 算法 B 时间复杂度：线性阶
void algorithm_B(int n)
{
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        Console.WriteLine(0);
    }
}
// 算法 C 时间复杂度：常数阶
void algorithm_C(int n)
{
    for (int i = 0; i < 1000000; i++)
    {
        Console.WriteLine(0);
    }
}
```

=== "Swift"

```swift title=""
// 算法 A 时间复杂度：常数阶
func algorithmA(n: Int) {
    print(0)
}

// 算法 B 时间复杂度：线性阶
func algorithmB(n: Int) {
    for _ in 0 ..< n {
        print(0)
    }
}

// 算法 C 时间复杂度：常数阶
func algorithmC(n: Int) {
    for _ in 0 ..< 1000000 {
        print(0)
    }
}
```

=== "Zig"

```zig title=""

```

相较于直接统计算法运行时间，时间复杂度分析有哪些优势和局限性呢？

时间复杂度能够有效评估算法效率。例如，算法 B 的运行时间呈线性增长，在 n > 1 时比算法 A 慢，在 n > 1000000 时比算法 C 慢。事实上，只要输入数据大小 n 足够大，复杂度为「常数阶」的算法一定优于「线性阶」的算法，这正是时间增长趋势所表达的含义。

时间复杂度的推算方法更简便。显然，运行平台和计算操作类型都与算法运行时间的增长趋势无关。因此在时间复杂度分析中，我们可以简单地将所有计算操作的执行时间视为相同的“单位时间”，从而将“计算操作的运行时间的统计”简化为“计算操作的数量的统计”，这样的简化方法大大降低了估算难度。

时间复杂度也存在一定的局限性。例如，尽管算法 A 和 C 的时间复杂度相同，但实际运行时间差别很大。同样，尽管算法 B 的时间复杂度比 C 高，但在输入数据大小 n 较小时，算法 B 明显优于算法 C 。在这些情况下，我们很难仅凭时间复杂度判断算法效率高低。当然，尽管存在上述问题，复杂度分析仍然是评判算法效率最有效且常用的方法。

函数渐近上界

设算法的计算操作数量是一个关于输入数据大小 n 的函数，记为 T(n) ，则以下算法的操作数量为

$$ T(n) = 3 + 2n

=== "Java"

```java title=""
void algorithm(int n) {
    int a = 1;  // +1
    a = a + 1;  // +1
    a = a * 2;  // +1
    // 循环 n 次
    for (int i = 0; i < n; i++) { // +1（每轮都执行 i ++）
        System.out.println(0);    // +1
    }
}
```

=== "C++"

```cpp title=""
void algorithm(int n) {
    int a = 1;  // +1
    a = a + 1;  // +1
    a = a * 2;  // +1
    // 循环 n 次
    for (int i = 0; i < n; i++) { // +1（每轮都执行 i ++）
        cout << 0 << endl;    // +1
    }
}
```

=== "Python"

```python title=""
def algorithm(n: int) -> None:
    a = 1      # +1
    a = a + 1  # +1
    a = a * 2  # +1
    # 循环 n 次
    for i in range(n):  # +1
        print(0)        # +1
```

=== "Go"

```go title=""
func algorithm(n int) {
    a := 1      // +1
    a = a + 1   // +1
    a = a * 2   // +1
    // 循环 n 次
    for i := 0; i < n; i++ {   // +1
        fmt.Println(a)         // +1
    }
}
```

=== "JavaScript"

```javascript title=""
function algorithm(n) {
    var a = 1; // +1
    a += 1; // +1
    a *= 2; // +1
    // 循环 n 次
    for(let i = 0; i < n; i++){ // +1（每轮都执行 i ++）
        console.log(0); // +1
    }
}
```

=== "TypeScript"

```typescript title=""
function algorithm(n: number): void{
    var a: number = 1; // +1
    a += 1; // +1
    a *= 2; // +1
    // 循环 n 次
    for(let i = 0; i < n; i++){ // +1（每轮都执行 i ++）
        console.log(0); // +1
    }
}
```

=== "C"

```c title=""
void algorithm(int n) {
    int a = 1;  // +1
    a = a + 1;  // +1
    a = a * 2;  // +1
    // 循环 n 次
    for (int i = 0; i < n; i++) {   // +1（每轮都执行 i ++）
        printf("%d", 0);            // +1
    }
}  
```

=== "C#"

```csharp title=""
void algorithm(int n)
{
    int a = 1;  // +1
    a = a + 1;  // +1
    a = a * 2;  // +1
    // 循环 n 次
    for (int i = 0; i < n; i++) // +1（每轮都执行 i ++）
    {
        Console.WriteLine(0);   // +1
    }
}
```

=== "Swift"

```swift title=""
func algorithm(n: Int) {
    var a = 1 // +1
    a = a + 1 // +1
    a = a * 2 // +1
    // 循环 n 次
    for _ in 0 ..< n { // +1
        print(0) // +1
    }
}
```

=== "Zig"

```zig title=""

```

T(n) 是一次函数，说明时间增长趋势是线性的，因此可以得出时间复杂度是线性阶。

我们将线性阶的时间复杂度记为 O(n) ，这个数学符号称为「大 O 记号 Big-O Notation」，表示函数 T(n) 的「渐近上界 Asymptotic Upper Bound」。

推算时间复杂度本质上是计算“操作数量函数 $T(n)$”的渐近上界。接下来，我们来看函数渐近上界的数学定义。

!!! abstract "函数渐近上界"

若存在正实数 $c$ 和实数 $n_0$ ，使得对于所有的 $n > n_0$ ，均有
$$
T(n) \leq c \cdot f(n)
$$
则可认为 $f(n)$ 给出了 $T(n)$ 的一个渐近上界，记为
$$
T(n) = O(f(n))
$$

从本质上讲，计算渐近上界就是寻找一个函数 f(n) ，使得当 n 趋向于无穷大时，T(n) 和 f(n) 处于相同的增长级别，仅相差一个常数项 c 的倍数。

推算方法

渐近上界的数学味儿有点重，如果你感觉没有完全理解，也无需担心。因为在实际使用中，我们只需要掌握推算方法，数学意义可以逐渐领悟。

根据定义，确定 f(n) 之后，我们便可得到时间复杂度 O(f(n)) 。那么如何确定渐近上界 f(n) 呢？总体分为两步：首先统计操作数量，然后判断渐近上界。

1) 统计操作数量

针对代码，逐行从上到下计算即可。然而，由于上述 c \cdot f(n) 中的常数项 c 可以取任意大小，因此操作数量 T(n) 中的各种系数、常数项都可以被忽略。根据此原则，可以总结出以下计数简化技巧：

1. 忽略与 n 无关的操作。因为它们都是 T(n) 中的常数项，对时间复杂度不产生影响。
2. 省略所有系数。例如，循环 2n 次、5n + 1 次等，都可以简化记为 n 次，因为 n 前面的系数对时间复杂度没有影响。
3. 循环嵌套时使用乘法。总操作数量等于外层循环和内层循环操作数量之积，每一层循环依然可以分别套用上述 1. 和 2. 技巧。

以下示例展示了使用上述技巧前、后的统计结果。

$$ \begin{aligned} T(n) & = 2n(n + 1) + (5n + 1) + 2 & \text{完整统计 (-.-|||)} \newline & = 2n^2 + 7n + 3 \newline T(n) & = n^2 + n & \text{偷懒统计 (o.O)} \end{aligned}

最终，两者都能推出相同的时间复杂度结果，即 O(n^2) 。

=== "Java"

```java title=""
void algorithm(int n) {
    int a = 1;  // +0（技巧 1）
    a = a + n;  // +0（技巧 1）
    // +n（技巧 2）
    for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
        System.out.println(0);
    }
    // +n*n（技巧 3）
    for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
        for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
            System.out.println(0);
        }
    }
}
```

=== "C++"

```cpp title=""
void algorithm(int n) {
    int a = 1;  // +0（技巧 1）
    a = a + n;  // +0（技巧 1）
    // +n（技巧 2）
    for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
        cout << 0 << endl;
    }
    // +n*n（技巧 3）
    for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
        for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
            cout << 0 << endl;
        }
    }
}
```

=== "Python"

```python title=""
def algorithm(n: int) -> None:
    a = 1      # +0（技巧 1）
    a = a + n  # +0（技巧 1）
    # +n（技巧 2）
    for i in range(5 * n + 1):
        print(0)
    # +n*n（技巧 3）
    for i in range(2 * n):
        for j in range(n + 1):
            print(0)
```

=== "Go"

```go title=""
func algorithm(n int) {
    a := 1     // +0（技巧 1）
    a = a + n  // +0（技巧 1）
    // +n（技巧 2）
    for i := 0; i < 5 * n + 1; i++ {
        fmt.Println(0)
    }
    // +n*n（技巧 3）
    for i := 0; i < 2 * n; i++ {
        for j := 0; j < n + 1; j++ {
            fmt.Println(0)
        }
    }
}
```

=== "JavaScript"

```javascript title=""
function algorithm(n) {
    let a = 1;  // +0（技巧 1）
    a = a + n;  // +0（技巧 1）
    // +n（技巧 2）
    for (let i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
        console.log(0);
    }
    // +n*n（技巧 3）
    for (let i = 0; i < 2 * n; i++) {
        for (let j = 0; j < n + 1; j++) {
            console.log(0);
        }
    }
}
```

=== "TypeScript"

```typescript title=""
function algorithm(n: number): void {
    let a = 1;  // +0（技巧 1）
    a = a + n;  // +0（技巧 1）
    // +n（技巧 2）
    for (let i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
        console.log(0);
    }
    // +n*n（技巧 3）
    for (let i = 0; i < 2 * n; i++) {
        for (let j = 0; j < n + 1; j++) {
            console.log(0);
        }
    }
}
```

=== "C"

```c title=""
void algorithm(int n) {
    int a = 1;  // +0（技巧 1）
    a = a + n;  // +0（技巧 1）
    // +n（技巧 2）
    for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
        printf("%d", 0);
    }
    // +n*n（技巧 3）
    for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
        for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
            printf("%d", 0);
        }
    }
}
```

=== "C#"

```csharp title=""
void algorithm(int n)
{
    int a = 1;  // +0（技巧 1）
    a = a + n;  // +0（技巧 1）
    // +n（技巧 2）
    for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++)
    {
        Console.WriteLine(0);
    }
    // +n*n（技巧 3）
    for (int i = 0; i < 2 * n; i++)
    {
        for (int j = 0; j < n + 1; j++)
        {
            Console.WriteLine(0);
        }
    }
}
```

=== "Swift"

```swift title=""
func algorithm(n: Int) {
    var a = 1 // +0（技巧 1）
    a = a + n // +0（技巧 1）
    // +n（技巧 2）
    for _ in 0 ..< (5 * n + 1) {
        print(0)
    }
    // +n*n（技巧 3）
    for _ in 0 ..< (2 * n) {
        for _ in 0 ..< (n + 1) {
            print(0)
        }
    }
}
```

=== "Zig"

```zig title=""

```

2) 判断渐近上界

时间复杂度由多项式 T(n) 中最高阶的项来决定。这是因为在 n 趋于无穷大时，最高阶的项将发挥主导作用，其他项的影响都可以被忽略。

以下表格展示了一些例子，其中一些夸张的值是为了强调“系数无法撼动阶数”这一结论。当 n 趋于无穷大时，这些常数变得无足轻重。

操作数量 T(n)	时间复杂度 O(f(n))
100000	O(1)
3n + 2	O(n)
2n^2 + 3n + 2	O(n^2)
n^3 + 10000n^2	O(n^3)
2^n + 10000n^{10000}	O(2^n)

常见类型

设输入数据大小为 n ，常见的时间复杂度类型包括（按照从低到高的顺序排列）：

$$ \begin{aligned} O(1) < O(\log n) < O(n) < O(n \log n) < O(n^2) < O(2^n) < O(n!) \newline \text{常数阶} < \text{对数阶} < \text{线性阶} < \text{线性对数阶} < \text{平方阶} < \text{指数阶} < \text{阶乘阶} \end{aligned}

!!! tip

部分示例代码需要一些预备知识，包括数组、递归算法等。如果遇到不理解的部分，请不要担心，可以在学习完后面章节后再回顾。现阶段，请先专注于理解时间复杂度的含义和推算方法。

常数阶 O(1)

常数阶的操作数量与输入数据大小 n 无关，即不随着 n 的变化而变化。

对于以下算法，尽管操作数量 size 可能很大，但由于其与数据大小 n 无关，因此时间复杂度仍为 O(1) 。

=== "Java"

```java title="time_complexity.java"
[class]{time_complexity}-[func]{constant}
```

=== "C++"

```cpp title="time_complexity.cpp"
[class]{}-[func]{constant}
```

=== "Python"

```python title="time_complexity.py"
[class]{}-[func]{constant}
```

=== "Go"

```go title="time_complexity.go"
[class]{}-[func]{constant}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="time_complexity.js"
[class]{}-[func]{constant}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="time_complexity.ts"
[class]{}-[func]{constant}
```

=== "C"

```c title="time_complexity.c"
[class]{}-[func]{constant}
```

=== "C#"

```csharp title="time_complexity.cs"
[class]{time_complexity}-[func]{constant}
```

=== "Swift"

```swift title="time_complexity.swift"
[class]{}-[func]{constant}
```

=== "Zig"

```zig title="time_complexity.zig"
[class]{}-[func]{constant}
```

线性阶 O(n)

线性阶的操作数量相对于输入数据大小以线性级别增长。线性阶通常出现在单层循环中。

=== "Java"

```java title="time_complexity.java"
[class]{time_complexity}-[func]{linear}
```

=== "C++"

```cpp title="time_complexity.cpp"
[class]{}-[func]{linear}
```

=== "Python"

```python title="time_complexity.py"
[class]{}-[func]{linear}
```

=== "Go"

```go title="time_complexity.go"
[class]{}-[func]{linear}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="time_complexity.js"
[class]{}-[func]{linear}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="time_complexity.ts"
[class]{}-[func]{linear}
```

=== "C"

```c title="time_complexity.c"
[class]{}-[func]{linear}
```

=== "C#"

```csharp title="time_complexity.cs"
[class]{time_complexity}-[func]{linear}
```

=== "Swift"

```swift title="time_complexity.swift"
[class]{}-[func]{linear}
```

=== "Zig"

```zig title="time_complexity.zig"
[class]{}-[func]{linear}
```

遍历数组和遍历链表等操作的时间复杂度均为 O(n) ，其中 n 为数组或链表的长度。

!!! question "如何确定输入数据大小 n ？"

**数据大小 $n$ 需根据输入数据的类型来具体确定**。例如，在上述示例中，我们直接将 $n$ 视为输入数据大小；在下面遍历数组的示例中，数据大小 $n$ 为数组的长度。

=== "Java"

```java title="time_complexity.java"
[class]{time_complexity}-[func]{arrayTraversal}
```

=== "C++"

```cpp title="time_complexity.cpp"
[class]{}-[func]{arrayTraversal}
```

=== "Python"

```python title="time_complexity.py"
[class]{}-[func]{array_traversal}
```

=== "Go"

```go title="time_complexity.go"
[class]{}-[func]{arrayTraversal}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="time_complexity.js"
[class]{}-[func]{arrayTraversal}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="time_complexity.ts"
[class]{}-[func]{arrayTraversal}
```

=== "C"

```c title="time_complexity.c"
[class]{}-[func]{arrayTraversal}
```

=== "C#"

```csharp title="time_complexity.cs"
[class]{time_complexity}-[func]{arrayTraversal}
```

=== "Swift"

```swift title="time_complexity.swift"
[class]{}-[func]{arrayTraversal}
```

=== "Zig"

```zig title="time_complexity.zig"
[class]{}-[func]{arrayTraversal}
```

平方阶 O(n^2)

平方阶的操作数量相对于输入数据大小以平方级别增长。平方阶通常出现在嵌套循环中，外层循环和内层循环都为 O(n) ，因此总体为 O(n^2) 。

=== "Java"

```java title="time_complexity.java"
[class]{time_complexity}-[func]{quadratic}
```

=== "C++"

```cpp title="time_complexity.cpp"
[class]{}-[func]{quadratic}
```

=== "Python"

```python title="time_complexity.py"
[class]{}-[func]{quadratic}
```

=== "Go"

```go title="time_complexity.go"
[class]{}-[func]{quadratic}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="time_complexity.js"
[class]{}-[func]{quadratic}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="time_complexity.ts"
[class]{}-[func]{quadratic}
```

=== "C"

```c title="time_complexity.c"
[class]{}-[func]{quadratic}
```

=== "C#"

```csharp title="time_complexity.cs"
[class]{time_complexity}-[func]{quadratic}
```

=== "Swift"

```swift title="time_complexity.swift"
[class]{}-[func]{quadratic}
```

=== "Zig"

```zig title="time_complexity.zig"
[class]{}-[func]{quadratic}
```

以「冒泡排序」为例，外层循环执行 n - 1 次，内层循环执行 n-1, n-2, \cdots, 2, 1 次，平均为 \frac{n}{2} 次，因此时间复杂度为 O(n^2) 。

$$ O((n - 1) \frac{n}{2}) = O(n^2)

=== "Java"

```java title="time_complexity.java"
[class]{time_complexity}-[func]{bubbleSort}
```

=== "C++"

```cpp title="time_complexity.cpp"
[class]{}-[func]{bubbleSort}
```

=== "Python"

```python title="time_complexity.py"
[class]{}-[func]{bubble_sort}
```

=== "Go"

```go title="time_complexity.go"
[class]{}-[func]{bubbleSort}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="time_complexity.js"
[class]{}-[func]{bubbleSort}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="time_complexity.ts"
[class]{}-[func]{bubbleSort}
```

=== "C"

```c title="time_complexity.c"
[class]{}-[func]{bubbleSort}
```

=== "C#"

```csharp title="time_complexity.cs"
[class]{time_complexity}-[func]{bubbleSort}
```

=== "Swift"

```swift title="time_complexity.swift"
[class]{}-[func]{bubbleSort}
```

=== "Zig"

```zig title="time_complexity.zig"
[class]{}-[func]{bubbleSort}
```

指数阶 O(2^n)

!!! note

生物学的“细胞分裂”是指数阶增长的典型例子：初始状态为 $1$ 个细胞，分裂一轮后变为 $2$ 个，分裂两轮后变为 $4$ 个，以此类推，分裂 $n$ 轮后有 $2^n$ 个细胞。

指数阶增长非常迅速，在实际应用中通常是不可接受的。若一个问题使用「暴力枚举」求解的时间复杂度为 O(2^n) ，那么通常需要使用「动态规划」或「贪心算法」等方法来解决。

=== "Java"

```java title="time_complexity.java"
[class]{time_complexity}-[func]{exponential}
```

=== "C++"

```cpp title="time_complexity.cpp"
[class]{}-[func]{exponential}
```

=== "Python"

```python title="time_complexity.py"
[class]{}-[func]{exponential}
```

=== "Go"

```go title="time_complexity.go"
[class]{}-[func]{exponential}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="time_complexity.js"
[class]{}-[func]{exponential}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="time_complexity.ts"
[class]{}-[func]{exponential}
```

=== "C"

```c title="time_complexity.c"
[class]{}-[func]{exponential}
```

=== "C#"

```csharp title="time_complexity.cs"
[class]{time_complexity}-[func]{exponential}
```

=== "Swift"

```swift title="time_complexity.swift"
[class]{}-[func]{exponential}
```

=== "Zig"

```zig title="time_complexity.zig"
[class]{}-[func]{exponential}
```

在实际算法中，指数阶常出现于递归函数。例如以下代码，不断地一分为二，经过 n 次分裂后停止。

=== "Java"

```java title="time_complexity.java"
[class]{time_complexity}-[func]{expRecur}
```

=== "C++"

```cpp title="time_complexity.cpp"
[class]{}-[func]{expRecur}
```

=== "Python"

```python title="time_complexity.py"
[class]{}-[func]{exp_recur}
```

=== "Go"

```go title="time_complexity.go"
[class]{}-[func]{expRecur}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="time_complexity.js"
[class]{}-[func]{expRecur}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="time_complexity.ts"
[class]{}-[func]{expRecur}
```

=== "C"

```c title="time_complexity.c"
[class]{}-[func]{expRecur}
```

=== "C#"

```csharp title="time_complexity.cs"
[class]{time_complexity}-[func]{expRecur}
```

=== "Swift"

```swift title="time_complexity.swift"
[class]{}-[func]{expRecur}
```

=== "Zig"

```zig title="time_complexity.zig"
[class]{}-[func]{expRecur}
```

对数阶 O(\log n)

与指数阶相反，对数阶反映了“每轮缩减到一半的情况”。对数阶仅次于常数阶，时间增长缓慢，是理想的时间复杂度。

对数阶常出现于「二分查找」和「分治算法」中，体现了“一分为多”和“化繁为简”的算法思想。

设输入数据大小为 n ，由于每轮缩减到一半，因此循环次数是 \log_2 n ，即 2^n 的反函数。

=== "Java"

```java title="time_complexity.java"
[class]{time_complexity}-[func]{logarithmic}
```

=== "C++"

```cpp title="time_complexity.cpp"
[class]{}-[func]{logarithmic}
```

=== "Python"

```python title="time_complexity.py"
[class]{}-[func]{logarithmic}
```

=== "Go"

```go title="time_complexity.go"
[class]{}-[func]{logarithmic}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="time_complexity.js"
[class]{}-[func]{logarithmic}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="time_complexity.ts"
[class]{}-[func]{logarithmic}
```

=== "C"

```c title="time_complexity.c"
[class]{}-[func]{logarithmic}
```

=== "C#"

```csharp title="time_complexity.cs"
[class]{time_complexity}-[func]{logarithmic}
```

=== "Swift"

```swift title="time_complexity.swift"
[class]{}-[func]{logarithmic}
```

=== "Zig"

```zig title="time_complexity.zig"
[class]{}-[func]{logarithmic}
```

与指数阶类似，对数阶也常出现于递归函数。以下代码形成了一个高度为 \log_2 n 的递归树。

=== "Java"

```java title="time_complexity.java"
[class]{time_complexity}-[func]{logRecur}
```

=== "C++"

```cpp title="time_complexity.cpp"
[class]{}-[func]{logRecur}
```

=== "Python"

```python title="time_complexity.py"
[class]{}-[func]{log_recur}
```

=== "Go"

```go title="time_complexity.go"
[class]{}-[func]{logRecur}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="time_complexity.js"
[class]{}-[func]{logRecur}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="time_complexity.ts"
[class]{}-[func]{logRecur}
```

=== "C"

```c title="time_complexity.c"
[class]{}-[func]{logRecur}
```

=== "C#"

```csharp title="time_complexity.cs"
[class]{time_complexity}-[func]{logRecur}
```

=== "Swift"

```swift title="time_complexity.swift"
[class]{}-[func]{logRecur}
```

=== "Zig"

```zig title="time_complexity.zig"
[class]{}-[func]{logRecur}
```

线性对数阶 O(n \log n)

线性对数阶常出现于嵌套循环中，两层循环的时间复杂度分别为 O(\log n) 和 O(n) 。

主流排序算法的时间复杂度通常为 O(n \log n) ，例如快速排序、归并排序、堆排序等。

=== "Java"

```java title="time_complexity.java"
[class]{time_complexity}-[func]{linearLogRecur}
```

=== "C++"

```cpp title="time_complexity.cpp"
[class]{}-[func]{linearLogRecur}
```

=== "Python"

```python title="time_complexity.py"
[class]{}-[func]{linear_log_recur}
```

=== "Go"

```go title="time_complexity.go"
[class]{}-[func]{linearLogRecur}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="time_complexity.js"
[class]{}-[func]{linearLogRecur}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="time_complexity.ts"
[class]{}-[func]{linearLogRecur}
```

=== "C"

```c title="time_complexity.c"
[class]{}-[func]{linearLogRecur}
```

=== "C#"

```csharp title="time_complexity.cs"
[class]{time_complexity}-[func]{linearLogRecur}
```

=== "Swift"

```swift title="time_complexity.swift"
[class]{}-[func]{linearLogRecur}
```

=== "Zig"

```zig title="time_complexity.zig"
[class]{}-[func]{linearLogRecur}
```

阶乘阶 O(n!)

阶乘阶对应数学上的「全排列」问题。给定 n 个互不重复的元素，求其所有可能的排列方案，方案数量为：

$$ n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \cdots \times 2 \times 1

阶乘通常使用递归实现。例如以下代码，第一层分裂出 n 个，第二层分裂出 n - 1 个，以此类推，直至第 n 层时终止分裂。

=== "Java"

```java title="time_complexity.java"
[class]{time_complexity}-[func]{factorialRecur}
```

=== "C++"

```cpp title="time_complexity.cpp"
[class]{}-[func]{factorialRecur}
```

=== "Python"

```python title="time_complexity.py"
[class]{}-[func]{factorial_recur}
```

=== "Go"

```go title="time_complexity.go"
[class]{}-[func]{factorialRecur}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="time_complexity.js"
[class]{}-[func]{factorialRecur}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="time_complexity.ts"
[class]{}-[func]{factorialRecur}
```

=== "C"

```c title="time_complexity.c"
[class]{}-[func]{factorialRecur}
```

=== "C#"

```csharp title="time_complexity.cs"
[class]{time_complexity}-[func]{factorialRecur}
```

=== "Swift"

```swift title="time_complexity.swift"
[class]{}-[func]{factorialRecur}
```

=== "Zig"

```zig title="time_complexity.zig"
[class]{}-[func]{factorialRecur}
```

最差、最佳、平均时间复杂度

某些算法的时间复杂度不是固定的，而是与输入数据的分布有关。例如，假设输入一个长度为 n 的数组 nums ，其中 nums 由从 1 至 n 的数字组成，但元素顺序是随机打乱的；算法的任务是返回元素 1 的索引。我们可以得出以下结论：

• 当 nums = [?, ?, ..., 1] ，即当末尾元素是 1 时，需要完整遍历数组，此时达到 最差时间复杂度 $O(n)$；
• 当 nums = [1, ?, ?, ...] ，即当首个数字为 1 时，无论数组多长都不需要继续遍历，此时达到 最佳时间复杂度 $\Omega(1)$；

“函数渐近上界”使用大 O 记号表示，代表「最差时间复杂度」。相应地，“函数渐近下界”用 \Omega 记号来表示，代表「最佳时间复杂度」。

=== "Java"

```java title="worst_best_time_complexity.java"
[class]{worst_best_time_complexity}-[func]{randomNumbers}

[class]{worst_best_time_complexity}-[func]{findOne}
```

=== "C++"

```cpp title="worst_best_time_complexity.cpp"
[class]{}-[func]{randomNumbers}

[class]{}-[func]{findOne}
```

=== "Python"

```python title="worst_best_time_complexity.py"
[class]{}-[func]{random_numbers}

[class]{}-[func]{find_one}
```

=== "Go"

```go title="worst_best_time_complexity.go"
[class]{}-[func]{randomNumbers}

[class]{}-[func]{findOne}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="worst_best_time_complexity.js"
[class]{}-[func]{randomNumbers}

[class]{}-[func]{findOne}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="worst_best_time_complexity.ts"
[class]{}-[func]{randomNumbers}

[class]{}-[func]{findOne}
```

=== "C"

```c title="worst_best_time_complexity.c"
[class]{}-[func]{randomNumbers}

[class]{}-[func]{findOne}
```

=== "C#"

```csharp title="worst_best_time_complexity.cs"
[class]{worst_best_time_complexity}-[func]{randomNumbers}

[class]{worst_best_time_complexity}-[func]{findOne}
```

=== "Swift"

```swift title="worst_best_time_complexity.swift"
[class]{}-[func]{randomNumbers}

[class]{}-[func]{findOne}
```

=== "Zig"

```zig title="worst_best_time_complexity.zig"
// 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱
pub fn randomNumbers(comptime n: usize) [n]i32 {
    var nums: [n]i32 = undefined;
    // 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
    for (nums) |*num, i| {
        num.* = @intCast(i32, i) + 1;
    }
    // 随机打乱数组元素
    const rand = std.crypto.random;
    rand.shuffle(i32, &nums);
    return nums;
}

// 查找数组 nums 中数字 1 所在索引
pub fn findOne(nums: []i32) i32 {
    for (nums) |num, i| {
        // 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
        // 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
        if (num == 1) return @intCast(i32, i);
    }
    return -1;
}
```

!!! tip

实际应用中我们很少使用「最佳时间复杂度」，因为通常只有在很小概率下才能达到，可能会带来一定的误导性。相反，「最差时间复杂度」更为实用，因为它给出了一个“效率安全值”，让我们可以放心地使用算法。

从上述示例可以看出，最差或最佳时间复杂度只出现在“特殊分布的数据”中，这些情况的出现概率可能很小，因此并不能最真实地反映算法运行效率。相较之下，「平均时间复杂度」可以体现算法在随机输入数据下的运行效率，用 \Theta 记号来表示。

对于部分算法，我们可以简单地推算出随机数据分布下的平均情况。比如上述示例，由于输入数组是被打乱的，因此元素 1 出现在任意索引的概率都是相等的，那么算法的平均循环次数则是数组长度的一半 \frac{n}{2} ，平均时间复杂度为 \Theta(\frac{n}{2}) = \Theta(n) 。

但在实际应用中，尤其是较为复杂的算法，计算平均时间复杂度比较困难，因为很难简便地分析出在数据分布下的整体数学期望。在这种情况下，我们通常使用最差时间复杂度作为算法效率的评判标准。

!!! question "为什么很少看到 \Theta 符号？"

可能由于 $O$ 符号过于朗朗上口，我们常常使用它来表示「平均复杂度」，但从严格意义上看，这种做法并不规范。在本书和其他资料中，若遇到类似“平均时间复杂度 $O(n)$”的表述，请将其直接理解为 $\Theta(n)$ 。