mirror of
https://github.com/krahets/hello-algo.git
synced 2024-12-25 13:26:30 +08:00
f68bbb0d59
* Revised the book * Update the book with the second revised edition * Revise base on the manuscript of the first edition
136 lines
6 KiB
Markdown
136 lines
6 KiB
Markdown
# 图的遍历
|
|
|
|
树代表的是“一对多”的关系，而图则具有更高的自由度，可以表示任意的“多对多”关系。因此，我们可以把树看作图的一种特例。显然，**树的遍历操作也是图的遍历操作的一种特例**。
|
|
|
|
图和树都需要应用搜索算法来实现遍历操作。图的遍历方式也可分为两种：「广度优先遍历」和「深度优先遍历」。
|
|
|
|
## 广度优先遍历
|
|
|
|
**广度优先遍历是一种由近及远的遍历方式，从某个节点出发，始终优先访问距离最近的顶点，并一层层向外扩张**。如下图所示，从左上角顶点出发，首先遍历该顶点的所有邻接顶点，然后遍历下一个顶点的所有邻接顶点，以此类推，直至所有顶点访问完毕。
|
|
|
|
|
|
|
|
### 算法实现
|
|
|
|
BFS 通常借助队列来实现，代码如下所示。队列具有“先入先出”的性质，这与 BFS 的“由近及远”的思想异曲同工。
|
|
|
|
1. 将遍历起始顶点 `startVet` 加入队列，并开启循环。
|
|
2. 在循环的每轮迭代中，弹出队首顶点并记录访问，然后将该顶点的所有邻接顶点加入到队列尾部。
|
|
3. 循环步骤 `2.` ，直到所有顶点被访问完毕后结束。
|
|
|
|
为了防止重复遍历顶点，我们需要借助一个哈希表 `visited` 来记录哪些节点已被访问。
|
|
|
|
```src
|
|
[file]{graph_bfs}-[class]{}-[func]{graph_bfs}
|
|
```
|
|
|
|
代码相对抽象，建议对照下图来加深理解。
|
|
|
|
=== "<1>"
|
|
|
|
|
|
=== "<2>"
|
|
|
|
|
|
=== "<3>"
|
|
|
|
|
|
=== "<4>"
|
|
|
|
|
|
=== "<5>"
|
|
|
|
|
|
=== "<6>"
|
|
|
|
|
|
=== "<7>"
|
|
|
|
|
|
=== "<8>"
|
|
|
|
|
|
=== "<9>"
|
|
|
|
|
|
=== "<10>"
|
|
|
|
|
|
=== "<11>"
|
|
|
|
|
|
!!! question "广度优先遍历的序列是否唯一？"
|
|
|
|
不唯一。广度优先遍历只要求按“由近及远”的顺序遍历，**而多个相同距离的顶点的遍历顺序允许被任意打乱**。以上图为例，顶点 $1$、$3$ 的访问顺序可以交换，顶点 $2$、$4$、$6$ 的访问顺序也可以任意交换。
|
|
|
|
### 复杂度分析
|
|
|
|
**时间复杂度**：所有顶点都会入队并出队一次，使用 $O(|V|)$ 时间；在遍历邻接顶点的过程中，由于是无向图，因此所有边都会被访问 $2$ 次，使用 $O(2|E|)$ 时间；总体使用 $O(|V| + |E|)$ 时间。
|
|
|
|
**空间复杂度**：列表 `res` ，哈希表 `visited` ，队列 `que` 中的顶点数量最多为 $|V|$ ，使用 $O(|V|)$ 空间。
|
|
|
|
## 深度优先遍历
|
|
|
|
**深度优先遍历是一种优先走到底、无路可走再回头的遍历方式**。如下图所示，从左上角顶点出发，访问当前顶点的某个邻接顶点，直到走到尽头时返回，再继续走到尽头并返回，以此类推，直至所有顶点遍历完成。
|
|
|
|
|
|
|
|
### 算法实现
|
|
|
|
这种“走到尽头再返回”的算法范式通常基于递归来实现。与广度优先遍历类似，在深度优先遍历中，我们也需要借助一个哈希表 `visited` 来记录已被访问的顶点，以避免重复访问顶点。
|
|
|
|
```src
|
|
[file]{graph_dfs}-[class]{}-[func]{graph_dfs}
|
|
```
|
|
|
|
深度优先遍历的算法流程如下图所示。
|
|
|
|
- **直虚线代表向下递推**，表示开启了一个新的递归方法来访问新顶点。
|
|
- **曲虚线代表向上回溯**，表示此递归方法已经返回，回溯到了开启此方法的位置。
|
|
|
|
为了加深理解，建议将下图与代码结合起来，在脑中模拟（或者用笔画下来）整个 DFS 过程，包括每个递归方法何时开启、何时返回。
|
|
|
|
=== "<1>"
|
|
|
|
|
|
=== "<2>"
|
|
|
|
|
|
=== "<3>"
|
|
|
|
|
|
=== "<4>"
|
|
|
|
|
|
=== "<5>"
|
|
|
|
|
|
=== "<6>"
|
|
|
|
|
|
=== "<7>"
|
|
|
|
|
|
=== "<8>"
|
|
|
|
|
|
=== "<9>"
|
|
|
|
|
|
=== "<10>"
|
|
|
|
|
|
=== "<11>"
|
|
|
|
|
|
!!! question "深度优先遍历的序列是否唯一？"
|
|
|
|
与广度优先遍历类似，深度优先遍历序列的顺序也不是唯一的。给定某顶点，先往哪个方向探索都可以，即邻接顶点的顺序可以任意打乱，都是深度优先遍历。
|
|
|
|
以树的遍历为例，“根 $\rightarrow$ 左 $\rightarrow$ 右”“左 $\rightarrow$ 根 $\rightarrow$ 右”“左 $\rightarrow$ 右 $\rightarrow$ 根”分别对应前序、中序、后序遍历，它们展示了三种遍历优先级，然而这三者都属于深度优先遍历。
|
|
|
|
### 复杂度分析
|
|
|
|
**时间复杂度**：所有顶点都会被访问 $1$ 次，使用 $O(|V|)$ 时间；所有边都会被访问 $2$ 次，使用 $O(2|E|)$ 时间；总体使用 $O(|V| + |E|)$ 时间。
|
|
|
|
**空间复杂度**：列表 `res` ，哈希表 `visited` 顶点数量最多为 $|V|$ ，递归深度最大为 $|V|$ ，因此使用 $O(|V|)$ 空间。
|