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Yudong Jin f6976978dd
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# n 皇后问题
!!! question
根据国际象棋的规则,皇后可以攻击与同处一行、一列或一条斜线上的棋子。给定 $n$ 个皇后和一个 $n \times n$ 大小的棋盘,寻找使得所有皇后之间无法相互攻击的摆放方案。
如下图所示,当 $n = 4$ 时,共可以找到两个解。从回溯算法的角度看,$n \times n$ 大小的棋盘共有 $n^2$ 个格子,给出了所有的选择 `choices` 。在逐个放置皇后的过程中,棋盘状态在不断地变化,每个时刻的棋盘就是状态 `state`
![4 皇后问题的解](n_queens_problem.assets/solution_4_queens.png)
下图展示了本题的三个约束条件:**多个皇后不能在同一行、同一列、同一条对角线上**。值得注意的是,对角线分为主对角线 `\` 和次对角线 `/` 两种。
![n 皇后问题的约束条件](n_queens_problem.assets/n_queens_constraints.png)
### 逐行放置策略
皇后的数量和棋盘的行数都为 $n$ ,因此我们容易得到一个推论:**棋盘每行都允许且只允许放置一个皇后**。
也就是说,我们可以采取逐行放置策略:从第一行开始,在每行放置一个皇后,直至最后一行结束。
下图所示为 $4$ 皇后问题的逐行放置过程。受画幅限制,下图仅展开了第一行的其中一个搜索分支,并且将不满足列约束和对角线约束的方案都进行了剪枝。
![逐行放置策略](n_queens_problem.assets/n_queens_placing.png)
从本质上看,**逐行放置策略起到了剪枝的作用**,它避免了同一行出现多个皇后的所有搜索分支。
### 列与对角线剪枝
为了满足列约束,我们可以利用一个长度为 $n$ 的布尔型数组 `cols` 记录每一列是否有皇后。在每次决定放置前,我们通过 `cols` 将已有皇后的列进行剪枝,并在回溯中动态更新 `cols` 的状态。
那么,如何处理对角线约束呢?设棋盘中某个格子的行列索引为 $(row, col)$ ,选定矩阵中的某条主对角线,我们发现该对角线上所有格子的行索引减列索引都相等,**即对角线上所有格子的 $row - col$ 为恒定值**。
也就是说,如果两个格子满足 $row_1 - col_1 = row_2 - col_2$ ,则它们一定处在同一条主对角线上。利用该规律,我们可以借助下图所示的数组 `diags1` 记录每条主对角线上是否有皇后。
同理,**次对角线上的所有格子的 $row + col$ 是恒定值**。我们同样也可以借助数组 `diags2` 来处理次对角线约束。
![处理列约束和对角线约束](n_queens_problem.assets/n_queens_cols_diagonals.png)
### 代码实现
请注意,$n$ 维方阵中 $row - col$ 的范围是 $[-n + 1, n - 1]$ $row + col$ 的范围是 $[0, 2n - 2]$ ,所以主对角线和次对角线的数量都为 $2n - 1$ ,即数组 `diags1``diags2` 的长度都为 $2n - 1$ 。
```src
[file]{n_queens}-[class]{}-[func]{n_queens}
```
逐行放置 $n$ 次,考虑列约束,则从第一行到最后一行分别有 $n$、$n-1$、$\dots$、$2$、$1$ 个选择,**因此时间复杂度为 $O(n!)$** 。实际上,根据对角线约束的剪枝也能够大幅缩小搜索空间,因而搜索效率往往优于以上时间复杂度。
数组 `state` 使用 $O(n^2)$ 空间,数组 `cols`、`diags1` 和 `diags2` 皆使用 $O(n)$ 空间。最大递归深度为 $n$ ,使用 $O(n)$ 栈帧空间。因此,**空间复杂度为 $O(n^2)$** 。