42 KiB
comments |
---|
true |
时间复杂度
统计算法运行时间
运行时间能够直观且准确地体现出算法的效率水平。如果我们想要 准确预估一段代码的运行时间 ,该如何做呢?
- 首先需要 确定运行平台 ,包括硬件配置、编程语言、系统环境等,这些都会影响到代码的运行效率。
- 评估 各种计算操作的所需运行时间 ,例如加法操作
+
需要 1 ns ,乘法操作*
需要 10 ns ,打印操作需要 5 ns 等。 - 根据代码 统计所有计算操作的数量 ,并将所有操作的执行时间求和,即可得到运行时间。
例如以下代码,输入数据大小为 n
,根据以上方法,可以得到算法运行时间为 6n + 12
ns 。
$$
1 + 1 + 10 + (1 + 5) \times n = 6n + 12
=== "Java"
```java title=""
// 在某运行平台下
void algorithm(int n) {
int a = 2; // 1 ns
a = a + 1; // 1 ns
a = a * 2; // 10 ns
// 循环 n 次
for (int i = 0; i < n; i++) { // 1 ns ,每轮都要执行 i++
System.out.println(0); // 5 ns
}
}
```
=== "C++"
```cpp title=""
// 在某运行平台下
void algorithm(int n) {
int a = 2; // 1 ns
a = a + 1; // 1 ns
a = a * 2; // 10 ns
// 循环 n 次
for (int i = 0; i < n; i++) { // 1 ns ,每轮都要执行 i++
cout << 0 << endl; // 5 ns
}
}
```
=== "Python"
```python title=""
# 在某运行平台下
def algorithm(n):
a = 2 # 1 ns
a = a + 1 # 1 ns
a = a * 2 # 10 ns
# 循环 n 次
for _ in range(n): # 1 ns
print(0) # 5 ns
```
=== "Go"
```go title=""
// 在某运行平台下
func algorithm(n int) {
var a int = 2 // 1 ns
a = a + 1 // 1 ns
a = a * 2 // 10 ns
// 循环 n 次
for i := 0; i < n; i++ { // 1 ns ,每轮都要执行 i++
println(0) // 5 ns
}
}
```
=== "JavaScript"
```js title=""
```
=== "TypeScript"
```typescript title=""
```
=== "C"
```c title=""
```
=== "C#"
```csharp title=""
```
但实际上, 统计算法的运行时间既不合理也不现实。 首先,我们不希望预估时间和运行平台绑定,毕竟算法需要跑在各式各样的平台之上。其次,我们很难获知每一种操作的运行时间,这为预估过程带来了极大的难度。
统计时间增长趋势
「时间复杂度分析」采取了不同的做法,其统计的不是算法运行时间,而是 算法运行时间随着数据量变大时的增长趋势 。
“时间增长趋势” 这个概念比较抽象,我们借助一个例子来理解。设输入数据大小为 n
,给定三个算法 A
, B
, C
。
- 算法
A
只有1
个打印操作,算法运行时间不随着n
增大而增长。我们称此算法的时间复杂度为「常数阶」。 - 算法
B
中的打印操作需要循环n
次,算法运行时间随着n
增大成线性增长。此算法的时间复杂度被称为「线性阶」。 - 算法
C
中的打印操作需要循环1000000
次,但运行时间仍与输入数据大小n
无关。因此C
的时间复杂度和A
相同,仍为「常数阶」。
=== "Java"
```java title=""
// 算法 A 时间复杂度:常数阶
void algorithm_A(n int) {
System.out.println(0);
}
// 算法 B 时间复杂度:线性阶
void algorithm_B(int n) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
System.out.println(0);
}
}
// 算法 C 时间复杂度:常数阶
void algorithm_C(int n) {
for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
System.out.println(0);
}
}
```
=== "C++"
```cpp title=""
// 算法 A 时间复杂度:常数阶
void algorithm_A(int n) {
cout << 0 << endl;
}
// 算法 B 时间复杂度:线性阶
void algorithm_B(int n) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
cout << 0 << endl;
}
}
// 算法 C 时间复杂度:常数阶
void algorithm_C(int n) {
for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
cout << 0 << endl;
}
}
```
=== "Python"
```python title=""
# 算法 A 时间复杂度:常数阶
def algorithm_A(n):
print(0)
# 算法 B 时间复杂度:线性阶
def algorithm_B(n):
for _ in range(n):
print(0)
# 算法 C 时间复杂度:常数阶
def algorithm_C(n):
for _ in range(1000000):
print(0)
```
=== "Go"
```go title=""
// 算法 A 时间复杂度:常数阶
func algorithm_A(n int) {
println(0)
}
// 算法 B 时间复杂度:线性阶
func algorithm_B(n int) {
for i := 0; i < n; i++ {
println(0)
}
}
// 算法 C 时间复杂度:常数阶
func algorithm_C(n int) {
for i := 0; i < 1000000; i++ {
println(0)
}
}
```
=== "JavaScript"
```js title=""
```
=== "TypeScript"
```typescript title=""
```
=== "C"
```c title=""
```
=== "C#"
```csharp title=""
```
Fig. 算法 A, B, C 的时间增长趋势
相比直接统计算法运行时间,时间复杂度分析的做法有什么好处呢?以及有什么不足?
时间复杂度可以有效评估算法效率。 算法 B
运行时间的增长是线性的,在 n > 1
时慢于算法 A
,在 n > 1000000
时慢于算法 C
。实质上,只要输入数据大小 n
足够大,复杂度为「常数阶」的算法一定优于「线性阶」的算法,这也正是时间增长趋势的含义。
时间复杂度分析将统计「计算操作的运行时间」简化为统计「计算操作的数量」。 这是因为,无论是运行平台、还是计算操作类型,都与算法运行时间的增长趋势无关。因此,我们可以简单地将所有计算操作的执行时间统一看作是相同的 “单位时间” 。
时间复杂度也存在一定的局限性。 比如,虽然算法 A
和 C
的时间复杂度相同,但是实际的运行时间有非常大的差别。再比如,虽然算法 B
比 C
的时间复杂度要更高,但在输入数据大小 n
比较小时,算法 B
是要明显优于算法 C
的。即使存在这些问题,计算复杂度仍然是评判算法效率的最有效、最常用方法。
函数渐近上界
设算法「计算操作数量」为 T(n)
,其是一个关于输入数据大小 n
的函数。例如,以下算法的操作数量为
$$
T(n) = 3 + 2n
=== "Java"
```java title=""
void algorithm(int n) {
int a = 1; // +1
a = a + 1; // +1
a = a * 2; // +1
// 循环 n 次
for (int i = 0; i < n; i++) { // +1(每轮都执行 i ++)
System.out.println(0); // +1
}
}
```
=== "C++"
```cpp title=""
void algorithm(int n) {
int a = 1; // +1
a = a + 1; // +1
a = a * 2; // +1
// 循环 n 次
for (int i = 0; i < n; i++) { // +1(每轮都执行 i ++)
cout << 0 << endl; // +1
}
}
```
=== "Python"
```python title=""
def algorithm(n):
a = 1 # +1
a = a + 1 # +1
a = a * 2 # +1
# 循环 n 次
for i in range(n): # +1
print(0) # +1
}
```
=== "Go"
```go title=""
func algorithm(n int) {
var a int = 1 // +1
a = a + 1 // +1
a = a * 2 // +1
// 循环 n 次
for i := 0; i < n; i++ { // +1(每轮都执行 i ++)
println(0) // +1
}
}
```
=== "JavaScript"
```js title=""
```
=== "TypeScript"
```typescript title=""
```
=== "C"
```c title=""
```
=== "C#"
```csharp title=""
```
T(n)
是个一次函数,说明时间增长趋势是线性的,因此易得时间复杂度是线性阶。
我们将线性阶的时间复杂度记为 O(n)
,这个数学符号被称为「大 O
记号 Big-O
Notation」,代表函数 T(n)
的「渐近上界 asymptotic upper bound」。
我们要推算时间复杂度,本质上是在计算「操作数量函数 T(n)
」的渐近上界。下面我们先来看看函数渐近上界的数学定义。
!!! abstract "函数渐近上界"
若存在正实数 $c$ 和实数 $n_0$ ,使得对于所有的 $n > n_0$ ,均有
$$
T(n) \leq c \cdot f(n)
$$
则可认为 $f(n)$ 给出了 $T(n)$ 的一个渐近上界,记为
$$
T(n) = O(f(n))
$$
Fig. 函数的渐近上界
本质上看,计算渐近上界就是在找一个函数 f(n)
,使得在 n
趋向于无穷大时,T(n)
和 f(n)
处于相同的增长级别(仅相差一个常数项 c
的倍数)。
!!! tip
渐近上界的数学味儿有点重,如果你感觉没有完全理解,无需担心,因为在实际使用中我们只需要会推算即可,数学意义可以慢慢领悟。
推算方法
推算出 f(n)
后,我们就得到时间复杂度 O(f(n))
。那么,如何来确定渐近上界 f(n)
呢?总体分为两步,首先「统计操作数量」,然后「判断渐近上界」。
1. 统计操作数量
对着代码,从上到下一行一行地计数即可。然而,由于上述 c \cdot f(n)
中的常数项 c
可以取任意大小,因此操作数量 T(n)
中的各种系数、常数项都可以被忽略。根据此原则,可以总结出以下计数偷懒技巧:
- 跳过数量与
n
无关的操作。 因为他们都是T(n)
中的常数项,对时间复杂度不产生影响。 - 省略所有系数。 例如,循环
2n
次、5n + 1
次、……,都可以化简记为n
次,因为n
前面的系数对时间复杂度也不产生影响。 - 循环嵌套时使用乘法。 总操作数量等于外层循环和内层循环操作数量之积,每一层循环依然可以分别套用上述
1.
和2.
技巧。
根据以下示例,使用上述技巧前、后的统计结果分别为
$$
\begin{aligned}
T(n) & = 2n(n + 1) + (5n + 1) + 2 & \text{完整统计 (-.-|||)} \newline
& = 2n^2 + 7n + 3 \newline
T(n) & = n^2 + n & \text{偷懒统计 (o.O)}
\end{aligned}
最终,两者都能推出相同的时间复杂度结果,即 O(n^2)
。
=== "Java"
```java title=""
void algorithm(int n) {
int a = 1; // +0(技巧 1)
a = a + n; // +0(技巧 1)
// +n(技巧 2)
for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
System.out.println(0);
}
// +n*n(技巧 3)
for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
System.out.println(0);
}
}
}
```
=== "C++"
```cpp title=""
void algorithm(int n) {
int a = 1; // +0(技巧 1)
a = a + n; // +0(技巧 1)
// +n(技巧 2)
for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
cout << 0 << endl;
}
// +n*n(技巧 3)
for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
cout << 0 << endl;
}
}
}
```
=== "Python"
```python title=""
def algorithm(n):
a = 1 # +0(技巧 1)
a = a + n # +0(技巧 1)
# +n(技巧 2)
for i in range(5 * n + 1):
print(0)
# +n*n(技巧 3)
for i in range(2 * n):
for j in range(n + 1):
print(0)
```
=== "Go"
```go title=""
func algorithm(n int) {
var a int = 1 // +0(技巧 1)
a = a + n // +0(技巧 1)
// +n(技巧 2)
for i := 0; i < 5 * n + 1; i++ {
println(0)
}
// +n*n(技巧 3)
for i := 0; i < 2 * n; i++ {
for j := 0; j < n + 1; j++ {
println(0)
}
}
}
```
=== "JavaScript"
```js title=""
```
=== "TypeScript"
```typescript title=""
```
=== "C"
```c title=""
```
=== "C#"
```csharp title=""
```
2. 判断渐近上界
时间复杂度由多项式 T(n)
中最高阶的项来决定。这是因为在 n
趋于无穷大时,最高阶的项将处于主导作用,其它项的影响都可以被忽略。
以下表格给出了一些例子,其中有一些夸张的值,是想要向大家强调 系数无法撼动阶数 这一结论。在 n
趋于无穷大时,这些常数都是 “浮云” 。
操作数量 T(n) |
时间复杂度 O(f(n)) |
---|---|
100000 |
O(1) |
3n + 2 |
O(n) |
2n^2 + 3n + 2 |
O(n^2) |
n^3 + 10000n^2 |
O(n^3) |
2^n + 10000n^{10000} |
O(2^n) |
常见类型
设输入数据大小为 n
,常见的时间复杂度类型有(从低到高排列)
$$
\begin{aligned}
O(1) < O(\log n) < O(n) < O(n \log n) < O(n^2) < O(2^n) < O(n!) \newline
\text{常数阶} < \text{对数阶} < \text{线性阶} < \text{线性对数阶} < \text{平方阶} < \text{指数阶} < \text{阶乘阶}
\end{aligned}
Fig. 时间复杂度的常见类型
!!! tip
部分示例代码需要一些前置知识,包括数组、递归算法等。如果遇到看不懂的地方无需担心,可以在学习完后面章节后再来复习,现阶段先聚焦在理解时间复杂度含义和推算方法上。
常数阶 O(1)
常数阶的操作数量与输入数据大小 n
无关,即不随着 n
的变化而变化。
对于以下算法,无论操作数量 size
有多大,只要与数据大小 n
无关,时间复杂度就仍为 O(1)
。
=== "Java"
```java title="time_complexity_types.java"
/* 常数阶 */
int constant(int n) {
int count = 0;
int size = 100000;
for (int i = 0; i < size; i++)
count++;
return count;
}
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity_types.cpp"
/* 常数阶 */
int constant(int n) {
int count = 0;
int size = 100000;
for (int i = 0; i < size; i++)
count++;
return count;
}
```
=== "Python"
```python title="time_complexity_types.py"
""" 常数阶 """
def constant(n):
count = 0
size = 100000
for _ in range(size):
count += 1
return count
```
=== "Go"
```go title="time_complexity_types.go"
// constant 常数阶
func constant(n int) int {
count := 0
var size = 100000
for i := 0; i < size; i++ {
count++
}
return count
}
```
=== "JavaScript"
```js title="time_complexity_types.js"
```
=== "TypeScript"
```typescript title="time_complexity_types.ts"
```
=== "C"
```c title="time_complexity_types.c"
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity_types.cs"
```
线性阶 O(n)
线性阶的操作数量相对输入数据大小成线性级别增长。线性阶常出现于单层循环。
=== "Java"
```java title="time_complexity_types.java"
/* 线性阶 */
int linear(int n) {
int count = 0;
for (int i = 0; i < n; i++)
count++;
return count;
}
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity_types.cpp"
/* 线性阶 */
int linear(int n) {
int count = 0;
for (int i = 0; i < n; i++)
count++;
return count;
}
```
=== "Python"
```python title="time_complexity_types.py"
""" 线性阶 """
def linear(n):
count = 0
for _ in range(n):
count += 1
return count
```
=== "Go"
```go title="time_complexity_types.go"
// linear 线性阶
func linear(n int) int {
count := 0
for i := 0; i < n; i++ {
count++
}
return count
}
```
=== "JavaScript"
```js title="time_complexity_types.js"
```
=== "TypeScript"
```typescript title="time_complexity_types.ts"
```
=== "C"
```c title="time_complexity_types.c"
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity_types.cs"
```
「遍历数组」和「遍历链表」等操作,时间复杂度都为 O(n)
,其中 n
为数组或链表的长度。
!!! tip
**数据大小 $n$ 是根据输入数据的类型来确定的。** 比如,在上述示例中,我们直接将 $n$ 看作输入数据大小;以下遍历数组示例中,数据大小 $n$ 为数组的长度。
=== "Java"
```java title="time_complexity_types.java"
/* 线性阶(遍历数组) */
int arrayTraversal(int[] nums) {
int count = 0;
// 循环次数与数组长度成正比
for (int num : nums) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity_types.cpp"
/* 线性阶(遍历数组) */
int arrayTraversal(vector<int>& nums) {
int count = 0;
// 循环次数与数组长度成正比
for (int num : nums) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "Python"
```python title="time_complexity_types.py"
""" 线性阶(遍历数组)"""
def array_traversal(nums):
count = 0
# 循环次数与数组长度成正比
for num in nums:
count += 1
return count
```
=== "Go"
```go title="time_complexity_types.go"
// arrayTraversal 线性阶(遍历数组)
func arrayTraversal(nums []int) int {
count := 0
// 循环次数与数组长度成正比
for range nums {
count++
}
return count
}
```
=== "JavaScript"
```js title="time_complexity_types.js"
```
=== "TypeScript"
```typescript title="time_complexity_types.ts"
```
=== "C"
```c title="time_complexity_types.c"
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity_types.cs"
```
平方阶 O(n^2)
平方阶的操作数量相对输入数据大小成平方级别增长。平方阶常出现于嵌套循环,外层循环和内层循环都为 O(n)
,总体为 O(n^2)
。
=== "Java"
```java title="time_complexity_types.java"
/* 平方阶 */
int quadratic(int n) {
int count = 0;
// 循环次数与数组长度成平方关系
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
count++;
}
}
return count;
}
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity_types.cpp"
/* 平方阶 */
int quadratic(int n) {
int count = 0;
// 循环次数与数组长度成平方关系
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
count++;
}
}
return count;
}
```
=== "Python"
```python title="time_complexity_types.py"
""" 平方阶 """
def quadratic(n):
count = 0
# 循环次数与数组长度成平方关系
for i in range(n):
for j in range(n):
count += 1
return count
```
=== "Go"
```go title="time_complexity_types.go"
// quadratic 平方阶
func quadratic(n int) int {
count := 0
// 循环次数与数组长度成平方关系
for i := 0; i < n; i++ {
for j := 0; j < n; j++ {
count++
}
}
return count
}
```
=== "JavaScript"
```js title="time_complexity_types.js"
```
=== "TypeScript"
```typescript title="time_complexity_types.ts"
```
=== "C"
```c title="time_complexity_types.c"
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity_types.cs"
```
Fig. 常数阶、线性阶、平方阶的时间复杂度
以「冒泡排序」为例,外层循环 n - 1
次,内层循环 n-1, n-2, \cdots, 2, 1
次,平均为 \frac{n}{2}
次,因此时间复杂度为 O(n^2)
。
$$
O((n - 1) \frac{n}{2}) = O(n^2)
=== "Java"
```java title="time_complexity_types.java"
/* 平方阶(冒泡排序) */
int bubbleSort(int[] nums) {
int count = 0; // 计数器
// 外循环:待排序元素数量为 n-1, n-2, ..., 1
for (int i = nums.length - 1; i > 0; i--) {
// 内循环:冒泡操作
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (nums[j] > nums[j + 1]) {
// 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
int tmp = nums[j];
nums[j] = nums[j + 1];
nums[j + 1] = tmp;
count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作
}
}
}
return count;
}
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity_types.cpp"
/* 平方阶(冒泡排序) */
int bubbleSort(vector<int>& nums) {
int count = 0; // 计数器
// 外循环:待排序元素数量为 n-1, n-2, ..., 1
for (int i = nums.size() - 1; i > 0; i--) {
// 内循环:冒泡操作
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (nums[j] > nums[j + 1]) {
// 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
int tmp = nums[j];
nums[j] = nums[j + 1];
nums[j + 1] = tmp;
count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作
}
}
}
return count;
}
```
=== "Python"
```python title="time_complexity_types.py"
""" 平方阶(冒泡排序)"""
def bubble_sort(nums):
count = 0 # 计数器
# 外循环:待排序元素数量为 n-1, n-2, ..., 1
for i in range(len(nums) - 1, 0, -1):
# 内循环:冒泡操作
for j in range(i):
if nums[j] > nums[j + 1]:
# 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
tmp = nums[j]
nums[j] = nums[j + 1]
nums[j + 1] = tmp
count += 3 # 元素交换包含 3 个单元操作
return count
```
=== "Go"
```go title="time_complexity_types.go"
// bubbleSort 平方阶(冒泡排序)
func bubbleSort(nums []int) int {
count := 0 // 计数器
// 外循环:待排序元素数量为 n-1, n-2, ..., 1
for i := len(nums) - 1; i > 0; i-- {
// 内循环:冒泡操作
for j := 0; j < i; j++ {
if nums[j] > nums[j + 1] {
// 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
tmp := nums[j]
nums[j] = nums[j + 1]
nums[j + 1] = tmp
count += 3 // 元素交换包含 3 个单元操作
}
}
}
return count
}
```
=== "JavaScript"
```js title="time_complexity_types.js"
```
=== "TypeScript"
```typescript title="time_complexity_types.ts"
```
=== "C"
```c title="time_complexity_types.c"
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity_types.cs"
```
指数阶 O(2^n)
!!! note
生物学科中的 “细胞分裂” 即是指数阶增长:初始状态为 $1$ 个细胞,分裂一轮后为 $2$ 个,分裂两轮后为 $4$ 个,……,分裂 $n$ 轮后有 $2^n$ 个细胞。
指数阶增长得非常快,在实际应用中一般是不能被接受的。若一个问题使用「暴力枚举」求解的时间复杂度是 O(2^n)
,那么一般都需要使用「动态规划」或「贪心算法」等算法来求解。
=== "Java"
```java title="time_complexity_types.java"
/* 指数阶(循环实现) */
int exponential(int n) {
int count = 0, base = 1;
// cell 每轮一分为二,形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < base; j++) {
count++;
}
base *= 2;
}
// count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
return count;
}
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity_types.cpp"
/* 指数阶(循环实现) */
int exponential(int n) {
int count = 0, base = 1;
// cell 每轮一分为二,形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < base; j++) {
count++;
}
base *= 2;
}
// count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
return count;
}
```
=== "Python"
```python title="time_complexity_types.py"
""" 指数阶(循环实现)"""
def exponential(n):
count, base = 0, 1
# cell 每轮一分为二,形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
for _ in range(n):
for _ in range(base):
count += 1
base *= 2
# count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
return count
```
=== "Go"
```go title="time_complexity_types.go"
// exponential 指数阶(循环实现)
func exponential(n int) int {
count := 0
base := 1
// cell 每轮一分为二,形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
for i := 0; i < n; i++ {
for j := 0; j < base; j++ {
count++
}
base *= 2
}
// count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
return count
}
```
=== "JavaScript"
```js title="time_complexity_types.js"
```
=== "TypeScript"
```typescript title="time_complexity_types.ts"
```
=== "C"
```c title="time_complexity_types.c"
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity_types.cs"
```
Fig. 指数阶的时间复杂度
在实际算法中,指数阶常出现于递归函数。例如以下代码,不断地一分为二,分裂 n
次后停止。
=== "Java"
```java title="time_complexity_types.java"
/* 指数阶(递归实现) */
int expRecur(int n) {
if (n == 1) return 1;
return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1;
}
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity_types.cpp"
/* 指数阶(递归实现) */
int expRecur(int n) {
if (n == 1) return 1;
return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1;
}
```
=== "Python"
```python title="time_complexity_types.py"
""" 指数阶(递归实现)"""
def exp_recur(n):
if n == 1: return 1
return exp_recur(n - 1) + exp_recur(n - 1) + 1
```
=== "Go"
```go title="time_complexity_types.go"
// expRecur 指数阶(递归实现)
func expRecur(n int) int {
if n == 1 {
return 1
}
return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1
}
```
=== "JavaScript"
```js title="time_complexity_types.js"
```
=== "TypeScript"
```typescript title="time_complexity_types.ts"
```
=== "C"
```c title="time_complexity_types.c"
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity_types.cs"
```
对数阶 O(\log n)
对数阶与指数阶正好相反,后者反映 “每轮增加到两倍的情况” ,而前者反映 “每轮缩减到一半的情况” 。对数阶仅次于常数阶,时间增长的很慢,是理想的时间复杂度。
对数阶常出现于「二分查找」和「分治算法」中,体现 “一分为多” 、“化繁为简” 的算法思想。
设输入数据大小为 n
,由于每轮缩减到一半,因此循环次数是 \log_2 n
,即 2^n
的反函数。
=== "Java"
```java title="time_complexity_types.java"
/* 对数阶(循环实现) */
int logarithmic(float n) {
int count = 0;
while (n > 1) {
n = n / 2;
count++;
}
return count;
}
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity_types.cpp"
/* 对数阶(循环实现) */
int logarithmic(float n) {
int count = 0;
while (n > 1) {
n = n / 2;
count++;
}
return count;
}
```
=== "Python"
```python title="time_complexity_types.py"
""" 对数阶(循环实现)"""
def logarithmic(n):
count = 0
while n > 1:
n = n / 2
count += 1
return count
```
=== "Go"
```go title="time_complexity_types.go"
// logarithmic 对数阶(循环实现)
func logarithmic(n float32) int {
count := 0
for n > 1 {
n = n / 2
count++
}
return count
}
```
=== "JavaScript"
```js title="time_complexity_types.js"
```
=== "TypeScript"
```typescript title="time_complexity_types.ts"
```
=== "C"
```c title="time_complexity_types.c"
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity_types.cs"
```
Fig. 对数阶的时间复杂度
与指数阶类似,对数阶也常出现于递归函数。以下代码形成了一个高度为 \log_2 n
的递归树。
=== "Java"
```java title="time_complexity_types.java"
/* 对数阶(递归实现) */
int logRecur(float n) {
if (n <= 1) return 0;
return logRecur(n / 2) + 1;
}
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity_types.cpp"
/* 对数阶(递归实现) */
int logRecur(float n) {
if (n <= 1) return 0;
return logRecur(n / 2) + 1;
}
```
=== "Python"
```python title="time_complexity_types.py"
""" 对数阶(递归实现)"""
def log_recur(n):
if n <= 1: return 0
return log_recur(n / 2) + 1
```
=== "Go"
```go title="time_complexity_types.go"
// logRecur 对数阶(递归实现)
func logRecur(n float32) int {
if n <= 1 {
return 0
}
return logRecur(n / 2) + 1
}
```
=== "JavaScript"
```js title="time_complexity_types.js"
```
=== "TypeScript"
```typescript title="time_complexity_types.ts"
```
=== "C"
```c title="time_complexity_types.c"
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity_types.cs"
```
线性对数阶 O(n \log n)
线性对数阶常出现于嵌套循环中,两层循环的时间复杂度分别为 O(\log n)
和 O(n)
。
主流排序算法的时间复杂度都是 O(n \log n )
,例如快速排序、归并排序、堆排序等。
=== "Java"
```java title="time_complexity_types.java"
/* 线性对数阶 */
int linearLogRecur(float n) {
if (n <= 1) return 1;
int count = linearLogRecur(n / 2) +
linearLogRecur(n / 2);
for (int i = 0; i < n; i++) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity_types.cpp"
/* 线性对数阶 */
int linearLogRecur(float n) {
if (n <= 1) return 1;
int count = linearLogRecur(n / 2) +
linearLogRecur(n / 2);
for (int i = 0; i < n; i++) {
count++;
}
return count;
}
```
=== "Python"
```python title="time_complexity_types.py"
""" 线性对数阶 """
def linear_log_recur(n):
if n <= 1: return 1
count = linear_log_recur(n // 2) + \
linear_log_recur(n // 2)
for _ in range(n):
count += 1
return count
```
=== "Go"
```go title="time_complexity_types.go"
// 线性对数阶
func linearLogRecur(n float32) int {
if n <= 1 {
return 1
}
count := linearLogRecur(n / 2) + linearLogRecur(n / 2)
for i := 0; float32(i) < n; i++ {
count++
}
return count
}
```
=== "JavaScript"
```js title="time_complexity_types.js"
```
=== "TypeScript"
```typescript title="time_complexity_types.ts"
```
=== "C"
```c title="time_complexity_types.c"
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity_types.cs"
```
Fig. 线性对数阶的时间复杂度
阶乘阶 O(n!)
阶乘阶对应数学上的「全排列」。即给定 n
个互不重复的元素,求其所有可能的排列方案,则方案数量为
$$
n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \cdots \times 2 \times 1
阶乘常使用递归实现。例如以下代码,第一层分裂出 n
个,第二层分裂出 n - 1
个,…… ,直至到第 n
层时终止分裂。
=== "Java"
```java title="time_complexity_types.java"
/* 阶乘阶(递归实现) */
int factorialRecur(int n) {
if (n == 0) return 1;
int count = 0;
// 从 1 个分裂出 n 个
for (int i = 0; i < n; i++) {
count += factorialRecur(n - 1);
}
return count;
}
```
=== "C++"
```cpp title="time_complexity_types.cpp"
/* 阶乘阶(递归实现) */
int factorialRecur(int n) {
if (n == 0) return 1;
int count = 0;
// 从 1 个分裂出 n 个
for (int i = 0; i < n; i++) {
count += factorialRecur(n - 1);
}
return count;
}
```
=== "Python"
```python title="time_complexity_types.py"
""" 阶乘阶(递归实现)"""
def factorial_recur(n):
if n == 0: return 1
count = 0
# 从 1 个分裂出 n 个
for _ in range(n):
count += factorial_recur(n - 1)
return count
```
=== "Go"
```go title="time_complexity_types.go"
/* 阶乘阶(递归实现) */
func factorialRecur(n int) int {
if n == 0 {
return 1
}
count := 0
// 从 1 个分裂出 n 个
for i := 0; i < n; i++ {
count += factorialRecur(n - 1)
}
return count
}
```
=== "JavaScript"
```js title="time_complexity_types.js"
```
=== "TypeScript"
```typescript title="time_complexity_types.ts"
```
=== "C"
```c title="time_complexity_types.c"
```
=== "C#"
```csharp title="time_complexity_types.cs"
```
Fig. 阶乘阶的时间复杂度
最差、最佳、平均时间复杂度
某些算法的时间复杂度不是恒定的,而是与输入数据的分布有关。 举一个例子,输入一个长度为 n
数组 nums
,其中 nums
由从 1
至 n
的数字组成,但元素顺序是随机打乱的;算法的任务是返回元素 1
的索引。我们可以得出以下结论:
- 当
nums = [?, ?, ..., 1]
,即当末尾元素是1
时,则需完整遍历数组,此时达到 最差时间复杂度 $O(n)$ ; - 当
nums = [1, ?, ?, ...]
,即当首个数字为1
时,无论数组多长都不需要继续遍历,此时达到 最佳时间复杂度 $\Omega(1)$ ;
「函数渐近上界」使用大 O
记号表示,代表「最差时间复杂度」。与之对应,「函数渐近下界」用 \Omega
记号(Omega Notation)来表示,代表「最佳时间复杂度」。
=== "Java"
```java title="worst_best_time_complexity.java"
public class worst_best_time_complexity {
/* 生成一个数组,元素为 { 1, 2, ..., n },顺序被打乱 */
static int[] randomNumbers(int n) {
Integer[] nums = new Integer[n];
// 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
for (int i = 0; i < n; i++) {
nums[i] = i + 1;
}
// 随机打乱数组元素
Collections.shuffle(Arrays.asList(nums));
// Integer[] -> int[]
int[] res = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
res[i] = nums[i];
}
return res;
}
/* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
static int findOne(int[] nums) {
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
if (nums[i] == 1)
return i;
}
return -1;
}
/* Driver Code */
public static void main(String[] args) {
for (int i = 0; i < 10; i++) {
int n = 100;
int[] nums = randomNumbers(n);
int index = findOne(nums);
System.out.println("打乱后的数组为 " + Arrays.toString(nums));
System.out.println("数字 1 的索引为 " + index);
}
}
}
```
=== "C++"
```cpp title="worst_best_time_complexity.cpp"
/* 生成一个数组,元素为 { 1, 2, ..., n },顺序被打乱 */
vector<int> randomNumbers(int n) {
vector<int> nums(n);
// 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
for (int i = 0; i < n; i++) {
nums[i] = i + 1;
}
// 使用系统时间生成随机种子
unsigned seed = chrono::system_clock::now().time_since_epoch().count();
// 随机打乱数组元素
shuffle(nums.begin(), nums.end(), default_random_engine(seed));
return nums;
}
/* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
int findOne(vector<int>& nums) {
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
if (nums[i] == 1)
return i;
}
return -1;
}
/* Driver Code */
int main() {
for (int i = 0; i < 1000; i++) {
int n = 100;
vector<int> nums = randomNumbers(n);
int index = findOne(nums);
cout << "\n数组 [ 1, 2, ..., n ] 被打乱后 = ";
PrintUtil::printVector(nums);
cout << "数字 1 的索引为 " << index << endl;
}
return 0;
}
```
=== "Python"
```python title="worst_best_time_complexity.py"
""" 生成一个数组,元素为: 1, 2, ..., n ,顺序被打乱 """
def random_numbers(n):
# 生成数组 nums =: 1, 2, 3, ..., n
nums = [i for i in range(1, n + 1)]
# 随机打乱数组元素
random.shuffle(nums)
return nums
""" 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 """
def find_one(nums):
for i in range(len(nums)):
if nums[i] == 1:
return i
return -1
""" Driver Code """
if __name__ == "__main__":
for i in range(10):
n = 100
nums = random_numbers(n)
index = find_one(nums)
print("\n数组 [ 1, 2, ..., n ] 被打乱后 =", nums)
print("数字 1 的索引为", index)
```
=== "Go"
```go title="worst_best_time_complexity.go"
// randomNumbers 生成一个数组,元素为 { 1, 2, ..., n },顺序被打乱
func randomNumbers(n int) []int {
nums := make([]int, n)
// 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
for i := 0; i < n; i++ {
nums[i] = i + 1
}
// 随机打乱数组元素
rand.Shuffle(len(nums), func(i, j int) {
nums[i], nums[j] = nums[j], nums[i]
})
return nums
}
// findOne 查找数组 nums 中数字 1 所在索引
func findOne(nums []int) int {
for i := 0; i < len(nums); i++ {
if nums[i] == 1 {
return i
}
}
return -1
}
// TestWorstBestTimeComplexity Driver Code
func TestWorstBestTimeComplexity(t *testing.T) {
for i := 0; i < 10; i++ {
n := 100
nums := randomNumbers(n)
index := findOne(nums)
fmt.Println("打乱后的数组为", nums)
fmt.Println("数字 1 的索引为", index)
}
}
```
=== "JavaScript"
```js title="worst_best_time_complexity.js"
```
=== "TypeScript"
```typescript title="worst_best_time_complexity.ts"
```
=== "C"
```c title="worst_best_time_complexity.c"
```
=== "C#"
```csharp title="worst_best_time_complexity.cs"
```
!!! tip
我们在实际应用中很少使用「最佳时间复杂度」,因为往往只有很小概率下才能达到,会带来一定的误导性。反之,「最差时间复杂度」最为实用,因为它给出了一个 “效率安全值” ,让我们可以放心地使用算法。
从上述示例可以看出,最差或最佳时间复杂度只出现在 “特殊分布的数据” 中,这些情况的出现概率往往很小,因此并不能最真实地反映算法运行效率。相对地,「平均时间复杂度」可以体现算法在随机输入数据下的运行效率,用 \Theta
记号(Theta Notation)来表示。
对于部分算法,我们可以简单地推算出随机数据分布下的平均情况。比如上述示例,由于输入数组是被打乱的,因此元素 1
出现在任意索引的概率都是相等的,那么算法的平均循环次数则是数组长度的一半 \frac{n}{2}
,平均时间复杂度为 \Theta(\frac{n}{2}) = \Theta(n)
。
但在实际应用中,尤其是较为复杂的算法,计算平均时间复杂度比较困难,因为很难简便地分析出在数据分布下的整体数学期望。这种情况下,我们一般使用最差时间复杂度来作为算法效率的评判标准。
!!! question "为什么很少看到 \Theta
符号?"
实际中我们经常使用「大 $O$ 符号」来表示「平均复杂度」,这样严格意义上来说是不规范的。这可能是因为 $O$ 符号实在是太朗朗上口了。</br>如果在本书和其他资料中看到类似 **平均时间复杂度 $O(n)$** 的表述,请你直接理解为 $\Theta(n)$ 即可。