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河內塔問題

在合併排序和構建二元樹中，我們都是將原問題分解為兩個規模為原問題一半的子問題。然而對於河內塔問題，我們採用不同的分解策略。

!!! question

給定三根柱子，記為 `A`、`B` 和 `C` 。起始狀態下，柱子 `A` 上套著 $n$ 個圓盤，它們從上到下按照從小到大的順序排列。我們的任務是要把這 $n$ 個圓盤移到柱子 `C` 上，並保持它們的原有順序不變（如下圖所示）。在移動圓盤的過程中，需要遵守以下規則。

1. 圓盤只能從一根柱子頂部拿出，從另一根柱子頂部放入。
2. 每次只能移動一個圓盤。
3. 小圓盤必須時刻位於大圓盤之上。

我們將規模為 i 的河內塔問題記作 $f(i)$ 。例如 f(3) 代表將 3 個圓盤從 A 移動至 C 的河內塔問題。

考慮基本情況

如下圖所示，對於問題 f(1) ，即當只有一個圓盤時，我們將它直接從 A 移動至 C 即可。

=== "<1>"

=== "<2>"

如下圖所示，對於問題 f(2) ，即當有兩個圓盤時，由於要時刻滿足小圓盤在大圓盤之上，因此需要藉助 B 來完成移動。

1. 先將上面的小圓盤從 A 移至 B 。
2. 再將大圓盤從 A 移至 C 。
3. 最後將小圓盤從 B 移至 C 。

=== "<1>"

=== "<2>"

=== "<3>"

=== "<4>"

解決問題 f(2) 的過程可總結為：將兩個圓盤藉助 B 從 A 移至 C 。其中，C 稱為目標柱、B 稱為緩衝柱。

子問題分解

對於問題 f(3) ，即當有三個圓盤時，情況變得稍微複雜了一些。

因為已知 f(1) 和 f(2) 的解，所以我們可從分治角度思考，將 A 頂部的兩個圓盤看作一個整體，執行下圖所示的步驟。這樣三個圓盤就被順利地從 A 移至 C 了。

1. 令 B 為目標柱、C 為緩衝柱，將兩個圓盤從 A 移至 B 。
2. 將 A 中剩餘的一個圓盤從 A 直接移動至 C 。
3. 令 C 為目標柱、A 為緩衝柱，將兩個圓盤從 B 移至 C 。

=== "<1>"

=== "<2>"

=== "<3>"

=== "<4>"

從本質上看，我們將問題 f(3) 劃分為兩個子問題 f(2) 和一個子問題 $f(1)$ 。按順序解決這三個子問題之後，原問題隨之得到解決。這說明子問題是獨立的，而且解可以合併。

至此，我們可總結出下圖所示的解決河內塔問題的分治策略：將原問題 f(n) 劃分為兩個子問題 f(n-1) 和一個子問題 f(1) ，並按照以下順序解決這三個子問題。

1. 將 n-1 個圓盤藉助 C 從 A 移至 B 。
2. 將剩餘 1 個圓盤從 A 直接移至 C 。
3. 將 n-1 個圓盤藉助 A 從 B 移至 C 。

對於這兩個子問題 f(n-1) ，可以透過相同的方式進行遞迴劃分，直至達到最小子問題 f(1) 。而 f(1) 的解是已知的，只需一次移動操作即可。

程式碼實現

在程式碼中，我們宣告一個遞迴函式 dfs(i, src, buf, tar) ，它的作用是將柱 src 頂部的 i 個圓盤藉助緩衝柱 buf 移動至目標柱 tar ：

[file]{hanota}-[class]{}-[func]{solve_hanota}

如下圖所示，河內塔問題形成一棵高度為 n 的遞迴樹，每個節點代表一個子問題，對應一個開啟的 dfs() 函式，因此時間複雜度為 O(2^n) ，空間複雜度為 $O(n)$ 。

!!! quote

河內塔問題源自一個古老的傳說。在古印度的一個寺廟裡，僧侶們有三根高大的鑽石柱子，以及 $64$ 個大小不一的金圓盤。僧侶們不斷地移動圓盤，他們相信在最後一個圓盤被正確放置的那一刻，這個世界就會結束。

然而，即使僧侶們每秒鐘移動一次，總共需要大約 $2^{64} \approx 1.84×10^{19}$ 秒，合約 $5850$ 億年，遠遠超過了現在對宇宙年齡的估計。所以，倘若這個傳說是真的，我們應該不需要擔心世界末日的到來。