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空間複雜度

空間複雜度（space complexity）用於衡量演算法佔用記憶體空間隨著資料量變大時的增長趨勢。這個概念與時間複雜度非常類似，只需將“執行時間”替換為“佔用記憶體空間”。

演算法相關空間

演算法在執行過程中使用的記憶體空間主要包括以下幾種。

• 輸入空間：用於儲存演算法的輸入資料。
• 暫存空間：用於儲存演算法在執行過程中的變數、物件、函式上下文等資料。
• 輸出空間：用於儲存演算法的輸出資料。

一般情況下，空間複雜度的統計範圍是“暫存空間”加上“輸出空間”。

暫存空間可以進一步劃分為三個部分。

• 暫存資料：用於儲存演算法執行過程中的各種常數、變數、物件等。
• 堆疊幀空間：用於儲存呼叫函式的上下文資料。系統在每次呼叫函式時都會在堆疊頂部建立一個堆疊幀，函式返回後，堆疊幀空間會被釋放。
• 指令空間：用於儲存編譯後的程式指令，在實際統計中通常忽略不計。

在分析一段程式的空間複雜度時，我們通常統計暫存資料、堆疊幀空間和輸出資料三部分，如下圖所示。

相關程式碼如下：

=== "Python"

```python title=""
class Node:
    """類別"""
    def __init__(self, x: int):
        self.val: int = x              # 節點值
        self.next: Node | None = None  # 指向下一節點的引用

def function() -> int:
    """函式"""
    # 執行某些操作...
    return 0

def algorithm(n) -> int:  # 輸入資料
    A = 0                 # 暫存資料（常數，一般用大寫字母表示）
    b = 0                 # 暫存資料（變數）
    node = Node(0)        # 暫存資料（物件）
    c = function()        # 堆疊幀空間（呼叫函式）
    return A + b + c      # 輸出資料
```

=== "C++"

```cpp title=""
/* 結構體 */
struct Node {
    int val;
    Node *next;
    Node(int x) : val(x), next(nullptr) {}
};

/* 函式 */
int func() {
    // 執行某些操作...
    return 0;
}

int algorithm(int n) {        // 輸入資料
    const int a = 0;          // 暫存資料（常數）
    int b = 0;                // 暫存資料（變數）
    Node* node = new Node(0); // 暫存資料（物件）
    int c = func();           // 堆疊幀空間（呼叫函式）
    return a + b + c;         // 輸出資料
}
```

=== "Java"

```java title=""
/* 類別 */
class Node {
    int val;
    Node next;
    Node(int x) { val = x; }
}

/* 函式 */
int function() {
    // 執行某些操作...
    return 0;
}

int algorithm(int n) {        // 輸入資料
    final int a = 0;          // 暫存資料（常數）
    int b = 0;                // 暫存資料（變數）
    Node node = new Node(0);  // 暫存資料（物件）
    int c = function();       // 堆疊幀空間（呼叫函式）
    return a + b + c;         // 輸出資料
}
```

=== "C#"

```csharp title=""
/* 類別 */
class Node(int x) {
    int val = x;
    Node next;
}

/* 函式 */
int Function() {
    // 執行某些操作...
    return 0;
}

int Algorithm(int n) {        // 輸入資料
    const int a = 0;          // 暫存資料（常數）
    int b = 0;                // 暫存資料（變數）
    Node node = new(0);       // 暫存資料（物件）
    int c = Function();       // 堆疊幀空間（呼叫函式）
    return a + b + c;         // 輸出資料
}
```

=== "Go"

```go title=""
/* 結構體 */
type node struct {
    val  int
    next *node
}

/* 建立 node 結構體  */
func newNode(val int) *node {
    return &node{val: val}
}

/* 函式 */
func function() int {
    // 執行某些操作...
    return 0
}

func algorithm(n int) int { // 輸入資料
    const a = 0             // 暫存資料（常數）
    b := 0                  // 暫存資料（變數）
    newNode(0)              // 暫存資料（物件）
    c := function()         // 堆疊幀空間（呼叫函式）
    return a + b + c        // 輸出資料
}
```

=== "Swift"

```swift title=""
/* 類別 */
class Node {
    var val: Int
    var next: Node?

    init(x: Int) {
        val = x
    }
}

/* 函式 */
func function() -> Int {
    // 執行某些操作...
    return 0
}

func algorithm(n: Int) -> Int { // 輸入資料
    let a = 0             // 暫存資料（常數）
    var b = 0             // 暫存資料（變數）
    let node = Node(x: 0) // 暫存資料（物件）
    let c = function()    // 堆疊幀空間（呼叫函式）
    return a + b + c      // 輸出資料
}
```

=== "JS"

```javascript title=""
/* 類別 */
class Node {
    val;
    next;
    constructor(val) {
        this.val = val === undefined ? 0 : val; // 節點值
        this.next = null;                       // 指向下一節點的引用
    }
}

/* 函式 */
function constFunc() {
    // 執行某些操作
    return 0;
}

function algorithm(n) {       // 輸入資料
    const a = 0;              // 暫存資料（常數）
    let b = 0;                // 暫存資料（變數）
    const node = new Node(0); // 暫存資料（物件）
    const c = constFunc();    // 堆疊幀空間（呼叫函式）
    return a + b + c;         // 輸出資料
}
```

=== "TS"

```typescript title=""
/* 類別 */
class Node {
    val: number;
    next: Node | null;
    constructor(val?: number) {
        this.val = val === undefined ? 0 : val; // 節點值
        this.next = null;                       // 指向下一節點的引用
    }
}

/* 函式 */
function constFunc(): number {
    // 執行某些操作
    return 0;
}

function algorithm(n: number): number { // 輸入資料
    const a = 0;                        // 暫存資料（常數）
    let b = 0;                          // 暫存資料（變數）
    const node = new Node(0);           // 暫存資料（物件）
    const c = constFunc();              // 堆疊幀空間（呼叫函式）
    return a + b + c;                   // 輸出資料
}
```

=== "Dart"

```dart title=""
/* 類別 */
class Node {
  int val;
  Node next;
  Node(this.val, [this.next]);
}

/* 函式 */
int function() {
  // 執行某些操作...
  return 0;
}

int algorithm(int n) {  // 輸入資料
  const int a = 0;      // 暫存資料（常數）
  int b = 0;            // 暫存資料（變數）
  Node node = Node(0);  // 暫存資料（物件）
  int c = function();   // 堆疊幀空間（呼叫函式）
  return a + b + c;     // 輸出資料
}
```

=== "Rust"

```rust title=""
use std::rc::Rc;
use std::cell::RefCell;

/* 結構體 */
struct Node {
    val: i32,
    next: Option<Rc<RefCell<Node>>>,
}

/* 建立 Node 結構體 */
impl Node {
    fn new(val: i32) -> Self {
        Self { val: val, next: None }
    }
}

/* 函式 */
fn function() -> i32 {      
    // 執行某些操作...
    return 0;
}

fn algorithm(n: i32) -> i32 {       // 輸入資料
    const a: i32 = 0;               // 暫存資料（常數）
    let mut b = 0;                  // 暫存資料（變數）
    let node = Node::new(0);        // 暫存資料（物件）
    let c = function();             // 堆疊幀空間（呼叫函式）
    return a + b + c;               // 輸出資料
}
```

=== "C"

```c title=""
/* 函式 */
int func() {
    // 執行某些操作...
    return 0;
}

int algorithm(int n) { // 輸入資料
    const int a = 0;   // 暫存資料（常數）
    int b = 0;         // 暫存資料（變數）
    int c = func();    // 堆疊幀空間（呼叫函式）
    return a + b + c;  // 輸出資料
}
```

=== "Kotlin"

```kotlin title=""
/* 類別 */
class Node(var _val: Int) {
    var next: Node? = null
}

/* 函式 */
fun function(): Int {
    // 執行某些操作...
    return 0
}

fun algorithm(n: Int): Int { // 輸入資料
    val a = 0                // 暫存資料（常數）
    var b = 0                // 暫存資料（變數）
    val node = Node(0)       // 暫存資料（物件）
    val c = function()       // 堆疊幀空間（呼叫函式）
    return a + b + c         // 輸出資料
}
```

=== "Ruby"

```ruby title=""
### 類別 ###
class Node
    attr_accessor :val      # 節點值
    attr_accessor :next     # 指向下一節點的引用

    def initialize(x)
        @val = x
    end
end

### 函式 ###
def function
    # 執行某些操作...
    0
end

### 演算法 ###
def algorithm(n)        # 輸入資料
    a = 0               # 暫存資料（常數）
    b = 0               # 暫存資料（變數）
    node = Node.new(0)  # 暫存資料（物件）
    c = function        # 堆疊幀空間（呼叫函式）
    a + b + c           # 輸出資料
end
```

=== "Zig"

```zig title=""

```

推算方法

空間複雜度的推算方法與時間複雜度大致相同，只需將統計物件從“操作數量”轉為“使用空間大小”。

而與時間複雜度不同的是，我們通常只關注最差空間複雜度。這是因為記憶體空間是一項硬性要求，我們必須確保在所有輸入資料下都有足夠的記憶體空間預留。

觀察以下程式碼，最差空間複雜度中的“最差”有兩層含義。

1. 以最差輸入資料為準：當 n < 10 時，空間複雜度為 O(1) ；但當 n > 10 時，初始化的陣列 nums 佔用 O(n) 空間，因此最差空間複雜度為 O(n) 。
2. 以演算法執行中的峰值記憶體為準：例如，程式在執行最後一行之前，佔用 O(1) 空間；當初始化陣列 nums 時，程式佔用 O(n) 空間，因此最差空間複雜度為 O(n) 。

=== "Python"

```python title=""
def algorithm(n: int):
    a = 0               # O(1)
    b = [0] * 10000     # O(1)
    if n > 10:
        nums = [0] * n  # O(n)
```

=== "C++"

```cpp title=""
void algorithm(int n) {
    int a = 0;               // O(1)
    vector<int> b(10000);    // O(1)
    if (n > 10)
        vector<int> nums(n); // O(n)
}
```

=== "Java"

```java title=""
void algorithm(int n) {
    int a = 0;                   // O(1)
    int[] b = new int[10000];    // O(1)
    if (n > 10)
        int[] nums = new int[n]; // O(n)
}
```

=== "C#"

```csharp title=""
void Algorithm(int n) {
    int a = 0;                   // O(1)
    int[] b = new int[10000];    // O(1)
    if (n > 10) {
        int[] nums = new int[n]; // O(n)
    }
}
```

=== "Go"

```go title=""
func algorithm(n int) {
    a := 0                      // O(1)
    b := make([]int, 10000)     // O(1)
    var nums []int
    if n > 10 {
        nums := make([]int, n)  // O(n)
    }
    fmt.Println(a, b, nums)
}
```

=== "Swift"

```swift title=""
func algorithm(n: Int) {
    let a = 0 // O(1)
    let b = Array(repeating: 0, count: 10000) // O(1)
    if n > 10 {
        let nums = Array(repeating: 0, count: n) // O(n)
    }
}
```

=== "JS"

```javascript title=""
function algorithm(n) {
    const a = 0;                   // O(1)
    const b = new Array(10000);    // O(1)
    if (n > 10) {
        const nums = new Array(n); // O(n)
    }
}
```

=== "TS"

```typescript title=""
function algorithm(n: number): void {
    const a = 0;                   // O(1)
    const b = new Array(10000);    // O(1)
    if (n > 10) {
        const nums = new Array(n); // O(n)
    }
}
```

=== "Dart"

```dart title=""
void algorithm(int n) {
  int a = 0;                            // O(1)
  List<int> b = List.filled(10000, 0);  // O(1)
  if (n > 10) {
    List<int> nums = List.filled(n, 0); // O(n)
  }
}
```

=== "Rust"

```rust title=""
fn algorithm(n: i32) {
    let a = 0;                              // O(1)
    let b = [0; 10000];                     // O(1)
    if n > 10 {
        let nums = vec![0; n as usize];     // O(n)
    }
}
```

=== "C"

```c title=""
void algorithm(int n) {
    int a = 0;               // O(1)
    int b[10000];            // O(1)
    if (n > 10)
        int nums[n] = {0};   // O(n)
}
```

=== "Kotlin"

```kotlin title=""
fun algorithm(n: Int) {
    val a = 0                    // O(1)
    val b = IntArray(10000)      // O(1)
    if (n > 10) {
        val nums = IntArray(n)   // O(n)
    }
}
```

=== "Ruby"

```ruby title=""
def algorithm(n)
    a = 0                           # O(1)
    b = Array.new(10000)            # O(1)
    nums = Array.new(n) if n > 10   # O(n)
end
```

=== "Zig"

```zig title=""

```

在遞迴函式中，需要注意統計堆疊幀空間。觀察以下程式碼：

=== "Python"

```python title=""
def function() -> int:
    # 執行某些操作
    return 0

def loop(n: int):
    """迴圈的空間複雜度為 O(1)"""
    for _ in range(n):
        function()

def recur(n: int):
    """遞迴的空間複雜度為 O(n)"""
    if n == 1:
        return
    return recur(n - 1)
```

=== "C++"

```cpp title=""
int func() {
    // 執行某些操作
    return 0;
}
/* 迴圈的空間複雜度為 O(1) */
void loop(int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        func();
    }
}
/* 遞迴的空間複雜度為 O(n) */
void recur(int n) {
    if (n == 1) return;
    return recur(n - 1);
}
```

=== "Java"

```java title=""
int function() {
    // 執行某些操作
    return 0;
}
/* 迴圈的空間複雜度為 O(1) */
void loop(int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        function();
    }
}
/* 遞迴的空間複雜度為 O(n) */
void recur(int n) {
    if (n == 1) return;
    return recur(n - 1);
}
```

=== "C#"

```csharp title=""
int Function() {
    // 執行某些操作
    return 0;
}
/* 迴圈的空間複雜度為 O(1) */
void Loop(int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        Function();
    }
}
/* 遞迴的空間複雜度為 O(n) */
int Recur(int n) {
    if (n == 1) return 1;
    return Recur(n - 1);
}
```

=== "Go"

```go title=""
func function() int {
    // 執行某些操作
    return 0
}

/* 迴圈的空間複雜度為 O(1) */
func loop(n int) {
    for i := 0; i < n; i++ {
        function()
    }
}

/* 遞迴的空間複雜度為 O(n) */
func recur(n int) {
    if n == 1 {
        return
    }
    recur(n - 1)
}
```

=== "Swift"

```swift title=""
@discardableResult
func function() -> Int {
    // 執行某些操作
    return 0
}

/* 迴圈的空間複雜度為 O(1) */
func loop(n: Int) {
    for _ in 0 ..< n {
        function()
    }
}

/* 遞迴的空間複雜度為 O(n) */
func recur(n: Int) {
    if n == 1 {
        return
    }
    recur(n: n - 1)
}
```

=== "JS"

```javascript title=""
function constFunc() {
    // 執行某些操作
    return 0;
}
/* 迴圈的空間複雜度為 O(1) */
function loop(n) {
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        constFunc();
    }
}
/* 遞迴的空間複雜度為 O(n) */
function recur(n) {
    if (n === 1) return;
    return recur(n - 1);
}
```

=== "TS"

```typescript title=""
function constFunc(): number {
    // 執行某些操作
    return 0;
}
/* 迴圈的空間複雜度為 O(1) */
function loop(n: number): void {
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        constFunc();
    }
}
/* 遞迴的空間複雜度為 O(n) */
function recur(n: number): void {
    if (n === 1) return;
    return recur(n - 1);
}
```

=== "Dart"

```dart title=""
int function() {
  // 執行某些操作
  return 0;
}
/* 迴圈的空間複雜度為 O(1) */
void loop(int n) {
  for (int i = 0; i < n; i++) {
    function();
  }
}
/* 遞迴的空間複雜度為 O(n) */
void recur(int n) {
  if (n == 1) return;
  return recur(n - 1);
}
```

=== "Rust"

```rust title=""
fn function() -> i32 {
    // 執行某些操作
    return 0;
}
/* 迴圈的空間複雜度為 O(1) */
fn loop(n: i32) {
    for i in 0..n {
        function();
    }
}
/* 遞迴的空間複雜度為 O(n) */
fn recur(n: i32) {
    if n == 1 {
        return;
    }
    recur(n - 1);
}
```

=== "C"

```c title=""
int func() {
    // 執行某些操作
    return 0;
}
/* 迴圈的空間複雜度為 O(1) */
void loop(int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        func();
    }
}
/* 遞迴的空間複雜度為 O(n) */
void recur(int n) {
    if (n == 1) return;
    return recur(n - 1);
}
```

=== "Kotlin"

```kotlin title=""
fun function(): Int {
    // 執行某些操作
    return 0
}
/* 迴圈的空間複雜度為 O(1) */
fun loop(n: Int) {
    for (i in 0..<n) {
        function()
    }
}
/* 遞迴的空間複雜度為 O(n) */
fun recur(n: Int) {
    if (n == 1) return
    return recur(n - 1)
}
```

=== "Ruby"

```ruby title=""
def function
    # 執行某些操作
    0
end

### 迴圈的空間複雜度為 O(1) ###
def loop(n)
    (0...n).each { function }
end

### 遞迴的空間複雜度為 O(n) ###
def recur(n)
    return if n == 1
    recur(n - 1)
end
```

=== "Zig"

```zig title=""

```

函式 loop() 和 recur() 的時間複雜度都為 O(n) ，但空間複雜度不同。

• 函式 loop() 在迴圈中呼叫了 n 次 function() ，每輪中的 function() 都返回並釋放了堆疊幀空間，因此空間複雜度仍為 O(1) 。
• 遞迴函式 recur() 在執行過程中會同時存在 n 個未返回的 recur() ，從而佔用 O(n) 的堆疊幀空間。

常見型別

設輸入資料大小為 n ，下圖展示了常見的空間複雜度型別（從低到高排列）。

$$ \begin{aligned} O(1) < O(\log n) < O(n) < O(n^2) < O(2^n) \newline \text{常數階} < \text{對數階} < \text{線性階} < \text{平方階} < \text{指數階} \end{aligned}

常數階 O(1)

常數階常見於數量與輸入資料大小 n 無關的常數、變數、物件。

需要注意的是，在迴圈中初始化變數或呼叫函式而佔用的記憶體，在進入下一迴圈後就會被釋放，因此不會累積佔用空間，空間複雜度仍為 O(1) ：

[file]{space_complexity}-[class]{}-[func]{constant}

線性階 O(n)

線性階常見於元素數量與 n 成正比的陣列、鏈結串列、堆疊、佇列等：

[file]{space_complexity}-[class]{}-[func]{linear}

如下圖所示，此函式的遞迴深度為 n ，即同時存在 n 個未返回的 linear_recur() 函式，使用 O(n) 大小的堆疊幀空間：

[file]{space_complexity}-[class]{}-[func]{linear_recur}

平方階 O(n^2)

平方階常見於矩陣和圖，元素數量與 n 成平方關係：

[file]{space_complexity}-[class]{}-[func]{quadratic}

如下圖所示，該函式的遞迴深度為 n ，在每個遞迴函式中都初始化了一個陣列，長度分別為 $n$、$n-1$、$\dots$、$2$、1 ，平均長度為 n / 2 ，因此總體佔用 O(n^2) 空間：

[file]{space_complexity}-[class]{}-[func]{quadratic_recur}

指數階 O(2^n)

指數階常見於二元樹。觀察下圖，層數為 n 的“滿二元樹”的節點數量為 2^n - 1 ，佔用 O(2^n) 空間：

[file]{space_complexity}-[class]{}-[func]{build_tree}

對數階 O(\log n)

對數階常見於分治演算法。例如合併排序，輸入長度為 n 的陣列，每輪遞迴將陣列從中點處劃分為兩半，形成高度為 \log n 的遞迴樹，使用 O(\log n) 堆疊幀空間。

再例如將數字轉化為字串，輸入一個正整數 n ，它的位數為 \lfloor \log_{10} n \rfloor + 1 ，即對應字串長度為 \lfloor \log_{10} n \rfloor + 1 ，因此空間複雜度為 O(\log_{10} n + 1) = O(\log n) 。

權衡時間與空間

理想情況下，我們希望演算法的時間複雜度和空間複雜度都能達到最優。然而在實際情況中，同時最佳化時間複雜度和空間複雜度通常非常困難。

降低時間複雜度通常需要以提升空間複雜度為代價，反之亦然。我們將犧牲記憶體空間來提升演算法執行速度的思路稱為“以空間換時間”；反之，則稱為“以時間換空間”。

選擇哪種思路取決於我們更看重哪個方面。在大多數情況下，時間比空間更寶貴，因此“以空間換時間”通常是更常用的策略。當然，在資料量很大的情況下，控制空間複雜度也非常重要。