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---|
true |
7.3. 二叉搜索树
「二叉搜索树 Binary Search Tree」满足以下条件:
- 对于根结点,左子树中所有结点的值
<
根结点的值<
右子树中所有结点的值; - 任意结点的左子树和右子树也是二叉搜索树,即也满足条件
1.
;
7.3.1. 二叉搜索树的操作
查找结点
给定目标结点值 num
,可以根据二叉搜索树的性质来查找。我们声明一个结点 cur
,从二叉树的根结点 root
出发,循环比较结点值 cur.val
和 num
之间的大小关系
- 若
cur.val < num
,说明目标结点在cur
的右子树中,因此执行cur = cur.right
; - 若
cur.val > num
,说明目标结点在cur
的左子树中,因此执行cur = cur.left
; - 若
cur.val = num
,说明找到目标结点,跳出循环并返回该结点即可;
二叉搜索树的查找操作和二分查找算法如出一辙,也是在每轮排除一半情况。循环次数最多为二叉树的高度,当二叉树平衡时,使用 O(\log n)
时间。
=== "Java"
```java title="binary_search_tree.java"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{search}
```
=== "C++"
```cpp title="binary_search_tree.cpp"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{search}
```
=== "Python"
```python title="binary_search_tree.py"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{search}
```
=== "Go"
```go title="binary_search_tree.go"
[class]{binarySearchTree}-[func]{search}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="binary_search_tree.js"
[class]{}-[func]{search}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="binary_search_tree.ts"
[class]{}-[func]{search}
```
=== "C"
```c title="binary_search_tree.c"
```
=== "C#"
```csharp title="binary_search_tree.cs"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{search}
```
=== "Swift"
```swift title="binary_search_tree.swift"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{search}
```
=== "Zig"
```zig title="binary_search_tree.zig"
```
插入结点
给定一个待插入元素 num
,为了保持二叉搜索树“左子树 < 根结点 < 右子树”的性质,插入操作分为两步:
- 查找插入位置:与查找操作类似,我们从根结点出发,根据当前结点值和
num
的大小关系循环向下搜索,直到越过叶结点(遍历到\text{null}
)时跳出循环; - 在该位置插入结点:初始化结点
num
,将该结点放到\text{null}
的位置 ;
二叉搜索树不允许存在重复结点,否则将会违背其定义。因此若待插入结点在树中已经存在,则不执行插入,直接返回即可。
=== "Java"
```java title="binary_search_tree.java"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{insert}
```
=== "C++"
```cpp title="binary_search_tree.cpp"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{insert}
```
=== "Python"
```python title="binary_search_tree.py"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{insert}
```
=== "Go"
```go title="binary_search_tree.go"
[class]{binarySearchTree}-[func]{insert}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="binary_search_tree.js"
[class]{}-[func]{insert}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="binary_search_tree.ts"
[class]{}-[func]{insert}
```
=== "C"
```c title="binary_search_tree.c"
```
=== "C#"
```csharp title="binary_search_tree.cs"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{insert}
```
=== "Swift"
```swift title="binary_search_tree.swift"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{insert}
```
=== "Zig"
```zig title="binary_search_tree.zig"
```
为了插入结点,需要借助 辅助结点 pre
保存上一轮循环的结点,这样在遍历到 \text{null}
时,我们也可以获取到其父结点,从而完成结点插入操作。
与查找结点相同,插入结点使用 O(\log n)
时间。
删除结点
与插入结点一样,我们需要在删除操作后维持二叉搜索树的“左子树 < 根结点 < 右子树”的性质。首先,我们需要在二叉树中执行查找操作,获取待删除结点。接下来,根据待删除结点的子结点数量,删除操作需要分为三种情况:
当待删除结点的子结点数量 = 0
时,表明待删除结点是叶结点,直接删除即可。
当待删除结点的子结点数量 = 1
时,将待删除结点替换为其子结点即可。
当待删除结点的子结点数量 = 2
时,删除操作分为三步:
- 找到待删除结点在 中序遍历序列 中的下一个结点,记为
nex
; - 在树中递归删除结点
nex
; - 使用
nex
替换待删除结点;
删除结点操作也使用 O(\log n)
时间,其中查找待删除结点 O(\log n)
,获取中序遍历后继结点 O(\log n)
。
=== "Java"
```java title="binary_search_tree.java"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{remove}
[class]{BinarySearchTree}-[func]{getInOrderNext}
```
=== "C++"
```cpp title="binary_search_tree.cpp"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{remove}
[class]{BinarySearchTree}-[func]{getInOrderNext}
```
=== "Python"
```python title="binary_search_tree.py"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{remove}
[class]{BinarySearchTree}-[func]{get_inorder_next}
```
=== "Go"
```go title="binary_search_tree.go"
[class]{binarySearchTree}-[func]{remove}
[class]{binarySearchTree}-[func]{getInOrderNext}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="binary_search_tree.js"
[class]{}-[func]{remove}
[class]{}-[func]{getInOrderNext}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="binary_search_tree.ts"
[class]{}-[func]{remove}
[class]{}-[func]{getInOrderNext}
```
=== "C"
```c title="binary_search_tree.c"
```
=== "C#"
```csharp title="binary_search_tree.cs"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{remove}
[class]{BinarySearchTree}-[func]{getInOrderNext}
```
=== "Swift"
```swift title="binary_search_tree.swift"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{remove}
[class]{BinarySearchTree}-[func]{getInOrderNext}
```
=== "Zig"
```zig title="binary_search_tree.zig"
```
排序
我们知道,「中序遍历」遵循“左 \rightarrow
根 \rightarrow
右”的遍历优先级,而二叉搜索树遵循“左子结点 <
根结点 <
右子结点”的大小关系。因此,在二叉搜索树中进行中序遍历时,总是会优先遍历下一个最小结点,从而得出一条重要性质:二叉搜索树的中序遍历序列是升序的。
借助中序遍历升序的性质,我们在二叉搜索树中获取有序数据仅需 O(n)
时间,而无需额外排序,非常高效。
7.3.2. 二叉搜索树的效率
假设给定 n
个数字,最常用的存储方式是「数组」,那么对于这串乱序的数字,常见操作的效率为:
- 查找元素:由于数组是无序的,因此需要遍历数组来确定,使用
O(n)
时间; - 插入元素:只需将元素添加至数组尾部即可,使用
O(1)
时间; - 删除元素:先查找元素,使用
O(n)
时间,再在数组中删除该元素,使用O(n)
时间; - 获取最小 / 最大元素:需要遍历数组来确定,使用
O(n)
时间;
为了得到先验信息,我们也可以预先将数组元素进行排序,得到一个「排序数组」,此时操作效率为:
- 查找元素:由于数组已排序,可以使用二分查找,平均使用
O(\log n)
时间; - 插入元素:先查找插入位置,使用
O(\log n)
时间,再插入到指定位置,使用O(n)
时间; - 删除元素:先查找元素,使用
O(\log n)
时间,再在数组中删除该元素,使用O(n)
时间; - 获取最小 / 最大元素:数组头部和尾部元素即是最小和最大元素,使用
O(1)
时间;
观察发现,无序数组和有序数组中的各项操作的时间复杂度是“偏科”的,即有的快有的慢;而二叉搜索树的各项操作的时间复杂度都是对数阶,在数据量 n
很大时有巨大优势。
无序数组 | 有序数组 | 二叉搜索树 | |
---|---|---|---|
查找指定元素 | O(n) |
O(\log n) |
O(\log n) |
插入元素 | O(1) |
O(n) |
O(\log n) |
删除元素 | O(n) |
O(n) |
O(\log n) |
获取最小 / 最大元素 | O(n) |
O(1) |
O(\log n) |
7.3.3. 二叉搜索树的退化
理想情况下,我们希望二叉搜索树的是“左右平衡”的(详见「平衡二叉树」章节),此时可以在 \log n
轮循环内查找任意结点。
如果我们动态地在二叉搜索树中插入与删除结点,则可能导致二叉树退化为链表,此时各种操作的时间复杂度也退化之 O(n)
。
!!! note
在实际应用中,如何保持二叉搜索树的平衡,也是一个需要重要考虑的问题。
7.3.4. 二叉搜索树常见应用
- 系统中的多级索引,高效查找、插入、删除操作。
- 各种搜索算法的底层数据结构。
- 存储数据流,保持其已排序。