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2.3. 空间复杂度

「空间复杂度 Space Complexity」统计 算法使用内存空间随着数据量变大时的增长趋势。这个概念与时间复杂度很类似。

2.3.1. 算法相关空间

算法运行中，使用的内存空间主要有以下几种：

• 「输入空间」用于存储算法的输入数据；
• 「暂存空间」用于存储算法运行中的变量、对象、函数上下文等数据；
• 「输出空间」用于存储算法的输出数据；

!!! tip

通常情况下，空间复杂度统计范围是「暂存空间」+「输出空间」。

暂存空间可分为三个部分：

• 「暂存数据」用于保存算法运行中的各种 常量、变量、对象 等。
• 「栈帧空间」用于保存调用函数的上下文数据。系统每次调用函数都会在栈的顶部创建一个栈帧，函数返回时，栈帧空间会被释放。
• 「指令空间」用于保存编译后的程序指令，在实际统计中一般忽略不计。

Fig. 算法使用的相关空间

=== "Java"

```java title=""
/* 类 */
class Node {
    int val;
    Node next;
    Node(int x) { val = x; }
}

/* 函数 */
int function() {
    // do something...
    return 0;
}

int algorithm(int n) {        // 输入数据
    final int a = 0;          // 暂存数据（常量）
    int b = 0;                // 暂存数据（变量）
    Node node = new Node(0);  // 暂存数据（对象）
    int c = function();       // 栈帧空间（调用函数）
    return a + b + c;         // 输出数据
}
```

=== "C++"

```cpp title=""
/* 结构体 */
struct Node {
    int val;
    Node *next;
    Node(int x) : val(x), next(nullptr) {}
};

/* 函数 */
int func() {
    // do something...
    return 0;
}

int algorithm(int n) {        // 输入数据
    const int a = 0;          // 暂存数据（常量）
    int b = 0;                // 暂存数据（变量）
    Node* node = new Node(0);  // 暂存数据（对象）
    int c = func();       // 栈帧空间（调用函数）
    return a + b + c;         // 输出数据
}
```

=== "Python"

```python title=""
""" 类 """
class Node:
    def __init__(self, x):
        self.val = x      # 结点值
        self.next = None  # 指向下一结点的指针（引用）

""" 函数 """
def function():
    # do something...
    return 0

def algorithm(n):     # 输入数据
    b = 0             # 暂存数据（变量）
    node = Node(0)    # 暂存数据（对象）
    c = function()    # 栈帧空间（调用函数）
    return a + b + c  # 输出数据
```

=== "Go"

```go title=""
/* 结构体 */
type node struct {
    val  int
    next *node
}

/* 创建 node 结构体  */
func newNode(val int) *node {
    return &node{val: val}
}

/* 函数 */
func function() int {
    // do something...
    return 0
}

func algorithm(n int) int { // 输入数据
    const a = 0             // 暂存数据（常量）
    b := 0                  // 暂存数据（变量）
    newNode(0)              // 暂存数据（对象）
    c := function()         // 栈帧空间（调用函数）
    return a + b + c        // 输出数据
}
```

=== "JavaScript"

```javascript title=""
/* 类 */
class Node {
    val;
    next;
    constructor(val) {
        this.val = val === undefined ? 0 : val; // 结点值
        this.next = null;                       // 指向下一结点的引用
    }
}

/* 函数 */
function constFunc() {
    // do something
    return 0;
}

function algorithm(n) {       // 输入数据
    const a = 0;              // 暂存数据（常量）
    const b = 0;              // 暂存数据（变量）
    const node = new Node(0); // 暂存数据（对象）
    const c = constFunc();    // 栈帧空间（调用函数）
    return a + b + c;         // 输出数据
}
```

=== "TypeScript"

```typescript title=""
/* 类 */
class Node {
    val: number;
    next: Node | null;
    constructor(val?: number) {
        this.val = val === undefined ? 0 : val; // 结点值
        this.next = null;                       // 指向下一结点的引用
    }
}

/* 函数 */
function constFunc(): number {
    // do something
    return 0;
}

function algorithm(n: number): number { // 输入数据
    const a = 0;                        // 暂存数据（常量）
    const b = 0;                        // 暂存数据（变量）
    const node = new Node(0);           // 暂存数据（对象）
    const c = constFunc();              // 栈帧空间（调用函数）
    return a + b + c;                   // 输出数据
}
```

=== "C"

```c title=""

```

=== "C#"

```csharp title=""
/* 类 */
class Node
{
    int val;
    Node next;
    Node(int x) { val = x; }
}

/* 函数 */
int function()
{
    // do something...
    return 0;
}

int algorithm(int n)          // 输入数据
{
    int a = 0;                // 暂存数据（常量）
    int b = 0;                // 暂存数据（变量）
    Node node = new Node(0);  // 暂存数据（对象）
    int c = function();       // 栈帧空间（调用函数）
    return a + b + c;         // 输出数据
}
```

=== "Swift"

```swift title=""
/* 类 */
class Node {
    var val: Int
    var next: Node?

    init(x: Int) {
        val = x
    }
}

/* 函数 */
func function() -> Int {
    // do something...
    return 0
}

func algorithm(n: Int) -> Int { // 输入数据
    let a = 0 // 暂存数据（常量）
    var b = 0 // 暂存数据（变量）
    let node = Node(x: 0) // 暂存数据（对象）
    let c = function() // 栈帧空间（调用函数）
    return a + b + c // 输出数据
}
```

=== "Zig"

```zig title=""

```

2.3.2. 推算方法

空间复杂度的推算方法和时间复杂度总体类似，只是从统计“计算操作数量”变为统计“使用空间大小”。与时间复杂度不同的是，我们一般只关注「最差空间复杂度」。这是因为内存空间是一个硬性要求，我们必须保证在所有输入数据下都有足够的内存空间预留。

最差空间复杂度中的“最差”有两层含义，分别为输入数据的最差分布、算法运行中的最差时间点。

• 以最差输入数据为准。当 n < 10 时，空间复杂度为 O(1) ；但是当 n > 10 时，初始化的数组 nums 使用 O(n) 空间；因此最差空间复杂度为 O(n) ；
• 以算法运行过程中的峰值内存为准。程序在执行最后一行之前，使用 O(1) 空间；当初始化数组 nums 时，程序使用 O(n) 空间；因此最差空间复杂度为 O(n) ；

=== "Java"

```java title=""
void algorithm(int n) {
    int a = 0;                   // O(1)
    int[] b = new int[10000];    // O(1)
    if (n > 10)
        int[] nums = new int[n]; // O(n)
}
```

=== "C++"

```cpp title=""
void algorithm(int n) {
    int a = 0;               // O(1)
    vector<int> b(10000);    // O(1)
    if (n > 10)
        vector<int> nums(n); // O(n)
}
```

=== "Python"

```python title=""
def algorithm(n):
    a = 0               # O(1)
    b = [0] * 10000     # O(1)
    if n > 10:
        nums = [0] * n  # O(n)
```

=== "Go"

```go title=""
func algorithm(n int) {
    a := 0                      // O(1)
    b := make([]int, 10000)     // O(1)
    var nums []int
    if n > 10 {
        nums := make([]int, n)  // O(n)
    }
    fmt.Println(a, b, nums)
}
```

=== "JavaScript"

```javascript title=""
function algorithm(n) {
    const a = 0;                   // O(1)
    const b = new Array(10000);    // O(1)
    if (n > 10) {
        const nums = new Array(n); // O(n)
    }
}
```

=== "TypeScript"

```typescript title=""
function algorithm(n: number): void {
    const a = 0;                   // O(1)
    const b = new Array(10000);    // O(1)
    if (n > 10) {
        const nums = new Array(n); // O(n)
    }
}
```

=== "C"

```c title=""

```

=== "C#"

```csharp title=""
void algorithm(int n)
{
    int a = 0;                   // O(1)
    int[] b = new int[10000];    // O(1)
    if (n > 10)
    {
        int[] nums = new int[n]; // O(n)
    }
}
```

=== "Swift"

```swift title=""
func algorithm(n: Int) {
    let a = 0 // O(1)
    let b = Array(repeating: 0, count: 10000) // O(1)
    if n > 10 {
        let nums = Array(repeating: 0, count: n) // O(n)
    }
}
```

=== "Zig"

```zig title=""

```

在递归函数中，需要注意统计栈帧空间。例如函数 loop()，在循环中调用了 n 次 function() ，每轮中的 function() 都返回并释放了栈帧空间，因此空间复杂度仍为 O(1) 。而递归函数 recur() 在运行中会同时存在 n 个未返回的 recur() ，从而使用 O(n) 的栈帧空间。

=== "Java"

```java title=""
int function() {
    // do something
    return 0;
}
/* 循环 O(1) */
void loop(int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        function();
    }
}
/* 递归 O(n) */
void recur(int n) {
    if (n == 1) return;
    return recur(n - 1);
}
```

=== "C++"

```cpp title=""
int func() {
    // do something
    return 0;
}
/* 循环 O(1) */
void loop(int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        func();
    }
}
/* 递归 O(n) */
void recur(int n) {
    if (n == 1) return;
    return recur(n - 1);
}
```

=== "Python"

```python title=""
def function():
    # do something
    return 0

""" 循环 O(1) """
def loop(n):
    for _ in range(n):
        function()

""" 递归 O(n) """
def recur(n):
    if n == 1: return
    return recur(n - 1)
```

=== "Go"

```go title=""
func function() int {
    // do something
    return 0
}

/* 循环 O(1) */
func loop(n int) {
    for i := 0; i < n; i++ {
        function()
    }
}

/* 递归 O(n) */
func recur(n int) {
    if n == 1 {
        return
    }
    recur(n - 1)
}
```

=== "JavaScript"

```javascript title=""
function constFunc() {
    // do something
    return 0;
}
/* 循环 O(1) */
function loop(n) {
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        constFunc();
    }
}
/* 递归 O(n) */
function recur(n) {
    if (n === 1) return;
    return recur(n - 1);
}
```

=== "TypeScript"

```typescript title=""
function constFunc(): number {
    // do something
    return 0;
}
/* 循环 O(1) */
function loop(n: number): void {
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        constFunc();
    }
}
/* 递归 O(n) */
function recur(n: number): void {
    if (n === 1) return;
    return recur(n - 1);
}
```

=== "C"

```c title=""

```

=== "C#"

```csharp title=""
int function()
{
    // do something
    return 0;
}
/* 循环 O(1) */
void loop(int n)
{
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        function();
    }
}
/* 递归 O(n) */
int recur(int n)
{
    if (n == 1) return 1;
    return recur(n - 1);
}
```

=== "Swift"

```swift title=""
@discardableResult
func function() -> Int {
    // do something
    return 0
}

/* 循环 O(1) */
func loop(n: Int) {
    for _ in 0 ..< n {
        function()
    }
}

/* 递归 O(n) */
func recur(n: Int) {
    if n == 1 {
        return
    }
    recur(n: n - 1)
}
```

=== "Zig"

```zig title=""

```

2.3.3. 常见类型

设输入数据大小为 n ，常见的空间复杂度类型有（从低到高排列）

$$ \begin{aligned} O(1) < O(\log n) < O(n) < O(n^2) < O(2^n) \newline \text{常数阶} < \text{对数阶} < \text{线性阶} < \text{平方阶} < \text{指数阶} \end{aligned}

Fig. 空间复杂度的常见类型

!!! tip

部分示例代码需要一些前置知识，包括数组、链表、二叉树、递归算法等。如果遇到看不懂的地方无需担心，可以在学习完后面章节后再来复习，现阶段先聚焦在理解空间复杂度含义和推算方法上。

常数阶 O(1)

常数阶常见于数量与输入数据大小 n 无关的常量、变量、对象。

需要注意的是，在循环中初始化变量或调用函数而占用的内存，在进入下一循环后就会被释放，即不会累积占用空间，空间复杂度仍为 O(1) 。

=== "Java"

```java title="space_complexity.java"
[class]{space_complexity}-[func]{constant}
```

=== "C++"

```cpp title="space_complexity.cpp"
[class]{}-[func]{constant}
```

=== "Python"

```python title="space_complexity.py"
[class]{}-[func]{constant}
```

=== "Go"

```go title="space_complexity.go"
[class]{}-[func]{spaceConstant}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="space_complexity.js"
[class]{}-[func]{constant}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="space_complexity.ts"
[class]{}-[func]{constant}
```

=== "C"

```c title="space_complexity.c"

```

=== "C#"

```csharp title="space_complexity.cs"
[class]{space_complexity}-[func]{constant}
```

=== "Swift"

```swift title="space_complexity.swift"
[class]{}-[func]{constant}
```

=== "Zig"

```zig title="space_complexity.zig"
// 常数阶
fn constant(n: i32) void {
    // 常量、变量、对象占用 O(1) 空间
    const a: i32 = 0;
    var b: i32 = 0;
    var nums = [_]i32{0}**10000;
    var node = inc.ListNode(i32){.val = 0};
    var i: i32 = 0;
    // 循环中的变量占用 O(1) 空间
    while (i < n) : (i += 1) {
        var c: i32 = 0;
        _ = c;
    }
    // 循环中的函数占用 O(1) 空间
    i = 0;
    while (i < n) : (i += 1) {
        _ = function();
    }
    _ = a;
    _ = b;
    _ = nums;
    _ = node;
}
```

线性阶 O(n)

线性阶常见于元素数量与 n 成正比的数组、链表、栈、队列等。

=== "Java"

```java title="space_complexity.java"
[class]{space_complexity}-[func]{linear}
```

=== "C++"

```cpp title="space_complexity.cpp"
[class]{}-[func]{linear}
```

=== "Python"

```python title="space_complexity.py"
[class]{}-[func]{linear}
```

=== "Go"

```go title="space_complexity.go"
[class]{}-[func]{spaceLinear}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="space_complexity.js"
[class]{}-[func]{linear}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="space_complexity.ts"
[class]{}-[func]{linear}
```

=== "C"

```c title="space_complexity.c"

```

=== "C#"

```csharp title="space_complexity.cs"
[class]{space_complexity}-[func]{linear}
```

=== "Swift"

```swift title="space_complexity.swift"
[class]{}-[func]{linear}
```

=== "Zig"

```zig title="space_complexity.zig"
// 线性阶
fn linear(comptime n: i32) !void {
    // 长度为 n 的数组占用 O(n) 空间
    var nums = [_]i32{0}**n;
    // 长度为 n 的列表占用 O(n) 空间
    var nodes = std.ArrayList(i32).init(std.heap.page_allocator);
    defer nodes.deinit();
    var i: i32 = 0;
    while (i < n) : (i += 1) {
        try nodes.append(i);
    }
    // 长度为 n 的哈希表占用 O(n) 空间
    var map = std.AutoArrayHashMap(i32, []const u8).init(std.heap.page_allocator);
    defer map.deinit();
    var j: i32 = 0;
    while (j < n) : (j += 1) {
        const string = try std.fmt.allocPrint(std.heap.page_allocator, "{d}", .{j});
        defer std.heap.page_allocator.free(string);
        try map.put(i, string);
    }
    _ = nums;
}
```

以下递归函数会同时存在 n 个未返回的 algorithm() 函数，使用 O(n) 大小的栈帧空间。

=== "Java"

```java title="space_complexity.java"
[class]{space_complexity}-[func]{linearRecur}
```

=== "C++"

```cpp title="space_complexity.cpp"
[class]{}-[func]{linearRecur}
```

=== "Python"

```python title="space_complexity.py"
[class]{}-[func]{linear_recur}
```

=== "Go"

```go title="space_complexity.go"
[class]{}-[func]{spaceLinearRecur}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="space_complexity.js"
[class]{}-[func]{linearRecur}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="space_complexity.ts"
[class]{}-[func]{linearRecur}
```

=== "C"

```c title="space_complexity.c"

```

=== "C#"

```csharp title="space_complexity.cs"
[class]{space_complexity}-[func]{linearRecur}
```

=== "Swift"

```swift title="space_complexity.swift"
[class]{}-[func]{linearRecur}
```

=== "Zig"

```zig title="space_complexity.zig"
// 线性阶（递归实现）
fn linearRecur(comptime n: i32) void {
    std.debug.print("递归 n = {}\n", .{n});
    if (n == 1) return;
    linearRecur(n - 1);
}
```

Fig. 递归函数产生的线性阶空间复杂度

平方阶 O(n^2)

平方阶常见于元素数量与 n 成平方关系的矩阵、图。

=== "Java"

```java title="space_complexity.java"
[class]{space_complexity}-[func]{quadratic}
```

=== "C++"

```cpp title="space_complexity.cpp"
[class]{}-[func]{quadratic}
```

=== "Python"

```python title="space_complexity.py"
[class]{}-[func]{quadratic}
```

=== "Go"

```go title="space_complexity.go"
[class]{}-[func]{spaceQuadratic}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="space_complexity.js"
[class]{}-[func]{quadratic}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="space_complexity.ts"
[class]{}-[func]{quadratic}
```

=== "C"

```c title="space_complexity.c"

```

=== "C#"

```csharp title="space_complexity.cs"
[class]{space_complexity}-[func]{quadratic}
```

=== "Swift"

```swift title="space_complexity.swift"
[class]{}-[func]{quadratic}
```

=== "Zig"

```zig title="space_complexity.zig"
// 平方阶
fn quadratic(n: i32) !void {
    // 二维列表占用 O(n^2) 空间
    var nodes = std.ArrayList(std.ArrayList(i32)).init(std.heap.page_allocator);
    defer nodes.deinit();
    var i: i32 = 0;
    while (i < n) : (i += 1) {
        var tmp = std.ArrayList(i32).init(std.heap.page_allocator);
        defer tmp.deinit();
        var j: i32 = 0;
        while (j < n) : (j += 1) {
            try tmp.append(0);
        }
        try nodes.append(tmp);
    }
}
```

在以下递归函数中，同时存在 n 个未返回的 algorithm() ，并且每个函数中都初始化了一个数组，长度分别为 n, n-1, n-2, ..., 2, 1 ，平均长度为 \frac{n}{2} ，因此总体使用 O(n^2) 空间。

=== "Java"

```java title="space_complexity.java"
[class]{space_complexity}-[func]{quadraticRecur}
```

=== "C++"

```cpp title="space_complexity.cpp"
[class]{}-[func]{quadraticRecur}
```

=== "Python"

```python title="space_complexity.py"
[class]{}-[func]{quadratic_recur}
```

=== "Go"

```go title="space_complexity.go"
[class]{}-[func]{spaceQuadraticRecur}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="space_complexity.js"
[class]{}-[func]{quadraticRecur}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="space_complexity.ts"
[class]{}-[func]{quadraticRecur}
```

=== "C"

```c title="space_complexity.c"

```

=== "C#"

```csharp title="space_complexity.cs"
[class]{space_complexity}-[func]{quadraticRecur}
```

=== "Swift"

```swift title="space_complexity.swift"
[class]{}-[func]{quadraticRecur}
```

=== "Zig"

```zig title="space_complexity.zig"
// 平方阶（递归实现）
fn quadraticRecur(comptime n: i32) i32 {
    if (n <= 0) return 0;
    var nums = [_]i32{0}**n;
    std.debug.print("递归 n = {} 中的 nums 长度 = {}\n", .{n, nums.len});
    return quadraticRecur(n - 1);
}
```

Fig. 递归函数产生的平方阶空间复杂度

指数阶 O(2^n)

指数阶常见于二叉树。高度为 n 的「满二叉树」的结点数量为 2^n - 1 ，使用 O(2^n) 空间。

=== "Java"

```java title="space_complexity.java"
[class]{space_complexity}-[func]{buildTree}
```

=== "C++"

```cpp title="space_complexity.cpp"
[class]{}-[func]{buildTree}
```

=== "Python"

```python title="space_complexity.py"
[class]{}-[func]{build_tree}
```

=== "Go"

```go title="space_complexity.go"
[class]{}-[func]{buildTree}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="space_complexity.js"
[class]{}-[func]{buildTree}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="space_complexity.ts"
[class]{}-[func]{buildTree}
```

=== "C"

```c title="space_complexity.c"

```

=== "C#"

```csharp title="space_complexity.cs"
[class]{space_complexity}-[func]{buildTree}
```

=== "Swift"

```swift title="space_complexity.swift"
[class]{}-[func]{buildTree}
```

=== "Zig"

```zig title="space_complexity.zig"
// 指数阶（建立满二叉树）
fn buildTree(mem_allocator: std.mem.Allocator, n: i32) !?*inc.TreeNode(i32) {
    if (n == 0) return null;
    const root = try mem_allocator.create(inc.TreeNode(i32));
    root.init(0);
    root.left = try buildTree(mem_allocator, n - 1);
    root.right = try buildTree(mem_allocator, n - 1);
    return root;
}
```

Fig. 满二叉树下的指数阶空间复杂度

对数阶 O(\log n)

对数阶常见于分治算法、数据类型转换等。

例如「归并排序」，长度为 n 的数组可以形成高度为 \log n 的递归树，因此空间复杂度为 O(\log n) 。

再例如「数字转化为字符串」，输入任意正整数 n ，它的位数为 \log_{10} n ，即对应字符串长度为 \log_{10} n ，因此空间复杂度为 O(\log_{10} n) = O(\log n) 。