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分数背包问题

!!! question

给定 $n$ 个物品，第 $i$ 个物品的重量为 $wgt[i-1]$、价值为 $val[i-1]$ ，和一个容量为 $cap$ 的背包。每个物品只能选择一次，**但可以选择物品的一部分，价值根据选择的重量比例计算**，问在不超过背包容量下背包中物品的最大价值。

分数背包和 0-1 背包整体上非常相似，状态包含当前物品 i 和容量 c ，目标是求不超过背包容量下的最大价值。

不同点在于，本题允许只选择物品的一部分。如下图所示，我们可以对物品任意地进行切分，并按照重量比例来计算物品价值。

1. 对于物品 i ，它在单位重量下的价值为 val[i-1] / wgt[i-1] ，简称为单位价值。
2. 假设放入一部分物品 i ，重量为 w ，则背包增加的价值为 w \times val[i-1] / wgt[i-1] 。

贪心策略确定

最大化背包内物品总价值，本质上是要最大化单位重量下的物品价值。由此便可推出下图所示的贪心策略。

1. 将物品按照单位价值从高到低进行排序。
2. 遍历所有物品，每轮贪心地选择单位价值最高的物品。
3. 若剩余背包容量不足，则使用当前物品的一部分填满背包即可。

代码实现

我们建立了一个物品类 Item ，以便将物品按照单位价值进行排序。循环进行贪心选择，当背包已满时跳出并返回解。

=== "Python"

```python title="fractional_knapsack.py"
[class]{Item}-[func]{}

[class]{}-[func]{fractional_knapsack}
```

=== "C++"

```cpp title="fractional_knapsack.cpp"
[class]{Item}-[func]{}

[class]{}-[func]{fractionalKnapsack}
```

=== "Java"

```java title="fractional_knapsack.java"
[class]{Item}-[func]{}

[class]{fractional_knapsack}-[func]{fractionalKnapsack}
```

=== "C#"

```csharp title="fractional_knapsack.cs"
[class]{Item}-[func]{}

[class]{fractional_knapsack}-[func]{fractionalKnapsack}
```

=== "Go"

```go title="fractional_knapsack.go"
[class]{Item}-[func]{}

[class]{}-[func]{fractionalKnapsack}
```

=== "Swift"

```swift title="fractional_knapsack.swift"
[class]{Item}-[func]{}

[class]{}-[func]{fractionalKnapsack}
```

=== "JS"

```javascript title="fractional_knapsack.js"
[class]{Item}-[func]{}

[class]{}-[func]{fractionalKnapsack}
```

=== "TS"

```typescript title="fractional_knapsack.ts"
[class]{Item}-[func]{}

[class]{}-[func]{fractionalKnapsack}
```

=== "Dart"

```dart title="fractional_knapsack.dart"
[class]{Item}-[func]{}

[class]{}-[func]{fractionalKnapsack}
```

=== "Rust"

```rust title="fractional_knapsack.rs"
[class]{Item}-[func]{}

[class]{}-[func]{fractional_knapsack}
```

=== "C"

```c title="fractional_knapsack.c"
[class]{Item}-[func]{}

[class]{}-[func]{fractionalKnapsack}
```

=== "Zig"

```zig title="fractional_knapsack.zig"
[class]{Item}-[func]{}

[class]{}-[func]{fractionalKnapsack}
```

最差情况下，需要遍历整个物品列表，因此时间复杂度为 $O(n)$ ，其中 n 为物品数量。

由于初始化了一个 Item 对象列表，因此空间复杂度为 $O(n)$ 。

正确性证明

采用反证法。假设物品 x 是单位价值最高的物品，使用某算法求得最大价值为 res ，但该解中不包含物品 x 。

现在从背包中拿出单位重量的任意物品，并替换为单位重量的物品 x 。由于物品 x 的单位价值最高，因此替换后的总价值一定大于 res 。这与 res 是最优解矛盾，说明最优解中必须包含物品 $x$ 。

对于该解中的其他物品，我们也可以构建出上述矛盾。总而言之，单位价值更大的物品总是更优选择，这说明贪心策略是有效的。

如下图所示，如果将物品重量和物品单位价值分别看作一个 2D 图表的横轴和纵轴，则分数背包问题可被转化为“求在有限横轴区间下的最大围成面积”。这个类比可以帮助我们从几何角度理解贪心策略的有效性。