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# 二叉搜索树
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如下图所示，「二叉搜索树 binary search tree」满足以下条件。
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1. 对于根节点，左子树中所有节点的值 $<$ 根节点的值 $<$ 右子树中所有节点的值。
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2. 任意节点的左、右子树也是二叉搜索树，即同样满足条件 `1.` 。
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## 二叉搜索树的操作
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我们将二叉搜索树封装为一个类 `BinarySearchTree` ，并声明一个成员变量 `root` ，指向树的根节点。
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### 查找节点
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给定目标节点值 `num` ，可以根据二叉搜索树的性质来查找。如下图所示，我们声明一个节点 `cur` ，从二叉树的根节点 `root` 出发，循环比较节点值 `cur.val` 和 `num` 之间的大小关系。
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- 若 `cur.val < num` ，说明目标节点在 `cur` 的右子树中，因此执行 `cur = cur.right` 。
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- 若 `cur.val > num` ，说明目标节点在 `cur` 的左子树中，因此执行 `cur = cur.left` 。
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- 若 `cur.val = num` ，说明找到目标节点，跳出循环并返回该节点。
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=== "<1>"
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=== "<2>"
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=== "<3>"
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=== "<4>"
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二叉搜索树的查找操作与二分查找算法的工作原理一致，都是每轮排除一半情况。循环次数最多为二叉树的高度，当二叉树平衡时，使用 $O(\log n)$ 时间。
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```src
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[file]{binary_search_tree}-[class]{binary_search_tree}-[func]{search}
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```
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### 插入节点
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给定一个待插入元素 `num` ，为了保持二叉搜索树“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质，插入操作流程如下图所示。
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1. **查找插入位置**：与查找操作相似，从根节点出发，根据当前节点值和 `num` 的大小关系循环向下搜索，直到越过叶节点（遍历至 $\text{None}$ ）时跳出循环。
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2. **在该位置插入节点**：初始化节点 `num` ，将该节点置于 $\text{None}$ 的位置。
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在代码实现中，需要注意以下两点。
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- 二叉搜索树不允许存在重复节点，否则将违反其定义。因此，若待插入节点在树中已存在，则不执行插入，直接返回。
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- 为了实现插入节点，我们需要借助节点 `pre` 保存上一轮循环的节点。这样在遍历至 $\text{None}$ 时，我们可以获取到其父节点，从而完成节点插入操作。
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```src
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[file]{binary_search_tree}-[class]{binary_search_tree}-[func]{insert}
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```
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与查找节点相同，插入节点使用 $O(\log n)$ 时间。
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### 删除节点
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先在二叉树中查找到目标节点，再将其从二叉树中删除。
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与插入节点类似，我们需要保证在删除操作完成后，二叉搜索树的“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质仍然满足。
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因此，我们需要根据目标节点的子节点数量，共分为 0、1 和 2 这三种情况，执行对应的删除节点操作。
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如下图所示，当待删除节点的度为 $0$ 时，表示该节点是叶节点，可以直接删除。
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如下图所示，当待删除节点的度为 $1$ 时，将待删除节点替换为其子节点即可。
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当待删除节点的度为 $2$ 时，我们无法直接删除它，而需要使用一个节点替换该节点。由于要保持二叉搜索树“左 $<$ 根 $<$ 右”的性质，**因此这个节点可以是右子树的最小节点或左子树的最大节点**。
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假设我们选择右子树的最小节点（即中序遍历的下一个节点），则删除操作流程如下图所示。
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1. 找到待删除节点在“中序遍历序列”中的下一个节点，记为 `tmp` 。
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2. 将 `tmp` 的值覆盖待删除节点的值，并在树中递归删除节点 `tmp` 。
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=== "<1>"
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=== "<2>"
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=== "<3>"
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=== "<4>"
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删除节点操作同样使用 $O(\log n)$ 时间，其中查找待删除节点需要 $O(\log n)$ 时间，获取中序遍历后继节点需要 $O(\log n)$ 时间。
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```src
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[file]{binary_search_tree}-[class]{binary_search_tree}-[func]{remove}
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```
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### 中序遍历有序
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如下图所示，二叉树的中序遍历遵循“左 $\rightarrow$ 根 $\rightarrow$ 右”的遍历顺序，而二叉搜索树满足“左子节点 $<$ 根节点 $<$ 右子节点”的大小关系。
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这意味着在二叉搜索树中进行中序遍历时，总是会优先遍历下一个最小节点，从而得出一个重要性质：**二叉搜索树的中序遍历序列是升序的**。
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利用中序遍历升序的性质，我们在二叉搜索树中获取有序数据仅需 $O(n)$ 时间，无须进行额外的排序操作，非常高效。
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## 二叉搜索树的效率
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给定一组数据，我们考虑使用数组或二叉搜索树存储。观察下表，二叉搜索树的各项操作的时间复杂度都是对数阶，具有稳定且高效的性能表现。只有在高频添加、低频查找删除的数据适用场景下，数组比二叉搜索树的效率更高。
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<p align="center"> 表 <id> 数组与搜索树的效率对比 </p>
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| | 无序数组 | 二叉搜索树 |
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| -------- | -------- | ----------- |
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| 查找元素 | $O(n)$ | $O(\log n)$ |
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| 插入元素 | $O(1)$ | $O(\log n)$ |
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| 删除元素 | $O(n)$ | $O(\log n)$ |
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在理想情况下，二叉搜索树是“平衡”的，这样就可以在 $\log n$ 轮循环内查找任意节点。
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然而，如果我们在二叉搜索树中不断地插入和删除节点，可能导致二叉树退化为下图所示的链表，这时各种操作的时间复杂度也会退化为 $O(n)$ 。
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## 二叉搜索树常见应用
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- 用作系统中的多级索引，实现高效的查找、插入、删除操作。
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- 作为某些搜索算法的底层数据结构。
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- 用于存储数据流，以保持其有序状态。
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