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全排列问题
全排列问题是回溯算法的一个典型应用。它的定义是在给定一个集合（如一个数组或字符串）的情况下，找出其中元素的所有可能的排列。
下表列举了几个示例数据，包括输入数组和对应的所有排列。
表 全排列示例
| 输入数组 | 所有排列 |
|---|---|
[1] |
[1] |
[1, 2] |
[1, 2], [2, 1] |
[1, 2, 3] |
[1, 2, 3], [1, 3, 2], [2, 1, 3], [2, 3, 1], [3, 1, 2], [3, 2, 1] |
无相等元素的情况
!!! question
输入一个整数数组，其中不包含重复元素，返回所有可能的排列。
从回溯算法的角度看，我们可以把生成排列的过程想象成一系列选择的结果。假设输入数组为 [1, 2, 3] ，如果我们先选择 1 ，再选择 3 ，最后选择 2 ，则获得排列 [1, 3, 2] 。回退表示撤销一个选择，之后继续尝试其他选择。
从回溯代码的角度看，候选集合 choices 是输入数组中的所有元素，状态 state 是直至目前已被选择的元素。请注意，每个元素只允许被选择一次，因此 state 中的所有元素都应该是唯一的。
如下图所示，我们可以将搜索过程展开成一棵递归树，树中的每个节点代表当前状态 state 。从根节点开始，经过三轮选择后到达叶节点，每个叶节点都对应一个排列。
重复选择剪枝
为了实现每个元素只被选择一次，我们考虑引入一个布尔型数组 selected ，其中 selected[i] 表示 choices[i] 是否已被选择，并基于它实现以下剪枝操作。
- 在做出选择
choice[i]后，我们就将selected[i]赋值为\text{True}，代表它已被选择。 - 遍历选择列表
choices时，跳过所有已被选择的节点，即剪枝。
如下图所示，假设我们第一轮选择 1 ，第二轮选择 3 ，第三轮选择 2 ，则需要在第二轮剪掉元素 1 的分支，在第三轮剪掉元素 1 和元素 3 的分支。
观察上图发现，该剪枝操作将搜索空间大小从 O(n^n) 减小至 O(n!) 。
代码实现
想清楚以上信息之后，我们就可以在框架代码中做“完形填空”了。为了缩短整体代码，我们不单独实现框架代码中的各个函数，而是将它们展开在 backtrack() 函数中：
[file]{permutations_i}-[class]{}-[func]{permutations_i}
考虑相等元素的情况
!!! question
输入一个整数数组，**数组中可能包含重复元素**，返回所有不重复的排列。
假设输入数组为 [1, 1, 2] 。为了方便区分两个重复元素 1 ，我们将第二个 1 记为 \hat{1} 。
如下图所示，上述方法生成的排列有一半是重复的。
那么如何去除重复的排列呢？最直接地，考虑借助一个哈希表，直接对排列结果进行去重。然而这样做不够优雅，因为生成重复排列的搜索分支没有必要，应当提前识别并剪枝，这样可以进一步提升算法效率。
相等元素剪枝
观察下图，在第一轮中，选择 1 或选择 \hat{1} 是等价的，在这两个选择之下生成的所有排列都是重复的。因此应该把 \hat{1} 剪枝。
同理，在第一轮选择 2 之后，第二轮选择中的 1 和 \hat{1} 也会产生重复分支，因此也应将第二轮的 \hat{1} 剪枝。
从本质上看，我们的目标是在某一轮选择中，保证多个相等的元素仅被选择一次。
代码实现
在上一题的代码的基础上，我们考虑在每一轮选择中开启一个哈希表 duplicated ，用于记录该轮中已经尝试过的元素，并将重复元素剪枝：
[file]{permutations_ii}-[class]{}-[func]{permutations_ii}
假设元素两两之间互不相同，则 n 个元素共有 n! 种排列（阶乘）；在记录结果时，需要复制长度为 n 的列表，使用 O(n) 时间。因此时间复杂度为 $O(n!n)$ 。
最大递归深度为 n ，使用 O(n) 栈帧空间。selected 使用 O(n) 空间。同一时刻最多共有 n 个 duplicated ，使用 O(n^2) 空间。因此空间复杂度为 $O(n^2)$ 。
两种剪枝对比
请注意，虽然 selected 和 duplicated 都用于剪枝，但两者的目标不同。
- 重复选择剪枝：整个搜索过程中只有一个
selected。它记录的是当前状态中包含哪些元素，其作用是防止choices中的任一元素在state中重复出现。 - 相等元素剪枝：每轮选择（每个调用的
backtrack函数）都包含一个duplicated。它记录的是在本轮遍历（for循环）中哪些元素已被选择过，其作用是保证相等的元素只被选择一次。
下图展示了两个剪枝条件的生效范围。注意，树中的每个节点代表一个选择，从根节点到叶节点的路径上的各个节点构成一个排列。
