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comments: true
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# 10.3 二分查找边界
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## 10.3.1 查找左边界
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!!! question
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给定一个长度为 $n$ 的有序数组 `nums` ,数组可能包含重复元素。请返回数组中最左一个元素 `target` 的索引。若数组中不包含该元素,则返回 $-1$ 。
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回忆二分查找插入点的方法,搜索完成后 $i$ 指向最左一个 `target` ,**因此查找插入点本质上是在查找最左一个 `target` 的索引**。
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考虑通过查找插入点的函数实现查找左边界。请注意,数组中可能不包含 `target` ,这种情况可能导致以下两种结果。
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- 插入点的索引 $i$ 越界。
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- 元素 `nums[i]` 与 `target` 不相等。
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当遇到以上两种情况时,直接返回 $-1$ 即可。
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=== "Python"
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```python title="binary_search_edge.py"
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def binary_search_left_edge(nums: list[int], target: int) -> int:
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"""二分查找最左一个 target"""
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# 等价于查找 target 的插入点
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i = binary_search_insertion(nums, target)
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# 未找到 target ,返回 -1
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if i == len(nums) or nums[i] != target:
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return -1
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# 找到 target ,返回索引 i
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return i
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```
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=== "C++"
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```cpp title="binary_search_edge.cpp"
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/* 二分查找最左一个 target */
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int binarySearchLeftEdge(vector<int> &nums, int target) {
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// 等价于查找 target 的插入点
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int i = binarySearchInsertion(nums, target);
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// 未找到 target ,返回 -1
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if (i == nums.size() || nums[i] != target) {
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return -1;
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}
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// 找到 target ,返回索引 i
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return i;
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}
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```
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=== "Java"
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```java title="binary_search_edge.java"
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/* 二分查找最左一个 target */
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int binarySearchLeftEdge(int[] nums, int target) {
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// 等价于查找 target 的插入点
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int i = binary_search_insertion.binarySearchInsertion(nums, target);
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// 未找到 target ,返回 -1
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if (i == nums.length || nums[i] != target) {
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return -1;
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}
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// 找到 target ,返回索引 i
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return i;
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}
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```
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=== "C#"
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```csharp title="binary_search_edge.cs"
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/* 二分查找最左一个 target */
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int BinarySearchLeftEdge(int[] nums, int target) {
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// 等价于查找 target 的插入点
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int i = binary_search_insertion.BinarySearchInsertion(nums, target);
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// 未找到 target ,返回 -1
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if (i == nums.Length || nums[i] != target) {
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return -1;
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}
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// 找到 target ,返回索引 i
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return i;
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}
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```
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=== "Go"
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```go title="binary_search_edge.go"
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/* 二分查找最左一个 target */
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func binarySearchLeftEdge(nums []int, target int) int {
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// 等价于查找 target 的插入点
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i := binarySearchInsertion(nums, target)
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// 未找到 target ,返回 -1
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if i == len(nums) || nums[i] != target {
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return -1
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}
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// 找到 target ,返回索引 i
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return i
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}
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```
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=== "Swift"
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```swift title="binary_search_edge.swift"
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/* 二分查找最左一个 target */
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func binarySearchLeftEdge(nums: [Int], target: Int) -> Int {
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||
// 等价于查找 target 的插入点
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let i = binarySearchInsertion(nums: nums, target: target)
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||
// 未找到 target ,返回 -1
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||
if i == nums.count || nums[i] != target {
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||
return -1
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}
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// 找到 target ,返回索引 i
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return i
|
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}
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```
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=== "JS"
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```javascript title="binary_search_edge.js"
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/* 二分查找最左一个 target */
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function binarySearchLeftEdge(nums, target) {
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||
// 等价于查找 target 的插入点
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const i = binarySearchInsertion(nums, target);
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||
// 未找到 target ,返回 -1
|
||
if (i === nums.length || nums[i] !== target) {
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return -1;
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}
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// 找到 target ,返回索引 i
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return i;
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}
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```
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=== "TS"
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```typescript title="binary_search_edge.ts"
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/* 二分查找最左一个 target */
|
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function binarySearchLeftEdge(nums: Array<number>, target: number): number {
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||
// 等价于查找 target 的插入点
|
||
const i = binarySearchInsertion(nums, target);
|
||
// 未找到 target ,返回 -1
|
||
if (i === nums.length || nums[i] !== target) {
|
||
return -1;
|
||
}
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// 找到 target ,返回索引 i
|
||
return i;
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||
}
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```
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=== "Dart"
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```dart title="binary_search_edge.dart"
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||
/* 二分查找最左一个 target */
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int binarySearchLeftEdge(List<int> nums, int target) {
|
||
// 等价于查找 target 的插入点
|
||
int i = binarySearchInsertion(nums, target);
|
||
// 未找到 target ,返回 -1
|
||
if (i == nums.length || nums[i] != target) {
|
||
return -1;
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}
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// 找到 target ,返回索引 i
|
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return i;
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}
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```
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=== "Rust"
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```rust title="binary_search_edge.rs"
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/* 二分查找最左一个 target */
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fn binary_search_left_edge(nums: &[i32], target: i32) -> i32 {
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||
// 等价于查找 target 的插入点
|
||
let i = binary_search_insertion(nums, target);
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||
// 未找到 target ,返回 -1
|
||
if i == nums.len() as i32 || nums[i as usize] != target {
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return -1;
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}
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// 找到 target ,返回索引 i
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i
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}
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```
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=== "C"
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```c title="binary_search_edge.c"
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/* 二分查找最左一个 target */
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int binarySearchLeftEdge(int *nums, int numSize, int target) {
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||
// 等价于查找 target 的插入点
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||
int i = binarySearchInsertion(nums, numSize, target);
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||
// 未找到 target ,返回 -1
|
||
if (i == numSize || nums[i] != target) {
|
||
return -1;
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||
}
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// 找到 target ,返回索引 i
|
||
return i;
|
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}
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```
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=== "Zig"
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```zig title="binary_search_edge.zig"
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[class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
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```
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## 10.3.2 查找右边界
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那么如何查找最右一个 `target` 呢?最直接的方式是修改代码,替换在 `nums[m] == target` 情况下的指针收缩操作。代码在此省略,有兴趣的同学可以自行实现。
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下面我们介绍两种更加取巧的方法。
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### 1. 复用查找左边界
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实际上,我们可以利用查找最左元素的函数来查找最右元素,具体方法为:**将查找最右一个 `target` 转化为查找最左一个 `target + 1`**。
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如图 10-7 所示,查找完成后,指针 $i$ 指向最左一个 `target + 1`(如果存在),而 $j$ 指向最右一个 `target` ,**因此返回 $j$ 即可**。
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![将查找右边界转化为查找左边界](binary_search_edge.assets/binary_search_right_edge_by_left_edge.png)
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<p align="center"> 图 10-7 将查找右边界转化为查找左边界 </p>
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请注意,返回的插入点是 $i$ ,因此需要将其减 $1$ ,从而获得 $j$ 。
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=== "Python"
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```python title="binary_search_edge.py"
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def binary_search_right_edge(nums: list[int], target: int) -> int:
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"""二分查找最右一个 target"""
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# 转化为查找最左一个 target + 1
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i = binary_search_insertion(nums, target + 1)
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# j 指向最右一个 target ,i 指向首个大于 target 的元素
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j = i - 1
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# 未找到 target ,返回 -1
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if j == -1 or nums[j] != target:
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return -1
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# 找到 target ,返回索引 j
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return j
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```
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=== "C++"
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```cpp title="binary_search_edge.cpp"
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/* 二分查找最右一个 target */
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int binarySearchRightEdge(vector<int> &nums, int target) {
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||
// 转化为查找最左一个 target + 1
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int i = binarySearchInsertion(nums, target + 1);
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||
// j 指向最右一个 target ,i 指向首个大于 target 的元素
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int j = i - 1;
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||
// 未找到 target ,返回 -1
|
||
if (j == -1 || nums[j] != target) {
|
||
return -1;
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||
}
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// 找到 target ,返回索引 j
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||
return j;
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}
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```
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=== "Java"
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```java title="binary_search_edge.java"
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/* 二分查找最右一个 target */
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int binarySearchRightEdge(int[] nums, int target) {
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||
// 转化为查找最左一个 target + 1
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int i = binary_search_insertion.binarySearchInsertion(nums, target + 1);
|
||
// j 指向最右一个 target ,i 指向首个大于 target 的元素
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||
int j = i - 1;
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||
// 未找到 target ,返回 -1
|
||
if (j == -1 || nums[j] != target) {
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return -1;
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||
}
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||
// 找到 target ,返回索引 j
|
||
return j;
|
||
}
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```
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=== "C#"
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```csharp title="binary_search_edge.cs"
|
||
/* 二分查找最右一个 target */
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||
int BinarySearchRightEdge(int[] nums, int target) {
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||
// 转化为查找最左一个 target + 1
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||
int i = binary_search_insertion.BinarySearchInsertion(nums, target + 1);
|
||
// j 指向最右一个 target ,i 指向首个大于 target 的元素
|
||
int j = i - 1;
|
||
// 未找到 target ,返回 -1
|
||
if (j == -1 || nums[j] != target) {
|
||
return -1;
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||
}
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||
// 找到 target ,返回索引 j
|
||
return j;
|
||
}
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```
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=== "Go"
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```go title="binary_search_edge.go"
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||
/* 二分查找最右一个 target */
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func binarySearchRightEdge(nums []int, target int) int {
|
||
// 转化为查找最左一个 target + 1
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||
i := binarySearchInsertion(nums, target+1)
|
||
// j 指向最右一个 target ,i 指向首个大于 target 的元素
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||
j := i - 1
|
||
// 未找到 target ,返回 -1
|
||
if j == -1 || nums[j] != target {
|
||
return -1
|
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}
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||
// 找到 target ,返回索引 j
|
||
return j
|
||
}
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```
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=== "Swift"
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```swift title="binary_search_edge.swift"
|
||
/* 二分查找最右一个 target */
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||
func binarySearchRightEdge(nums: [Int], target: Int) -> Int {
|
||
// 转化为查找最左一个 target + 1
|
||
let i = binarySearchInsertion(nums: nums, target: target + 1)
|
||
// j 指向最右一个 target ,i 指向首个大于 target 的元素
|
||
let j = i - 1
|
||
// 未找到 target ,返回 -1
|
||
if j == -1 || nums[j] != target {
|
||
return -1
|
||
}
|
||
// 找到 target ,返回索引 j
|
||
return j
|
||
}
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```
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||
=== "JS"
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|
||
```javascript title="binary_search_edge.js"
|
||
/* 二分查找最右一个 target */
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||
function binarySearchRightEdge(nums, target) {
|
||
// 转化为查找最左一个 target + 1
|
||
const i = binarySearchInsertion(nums, target + 1);
|
||
// j 指向最右一个 target ,i 指向首个大于 target 的元素
|
||
const j = i - 1;
|
||
// 未找到 target ,返回 -1
|
||
if (j === -1 || nums[j] !== target) {
|
||
return -1;
|
||
}
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||
// 找到 target ,返回索引 j
|
||
return j;
|
||
}
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```
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=== "TS"
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```typescript title="binary_search_edge.ts"
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||
/* 二分查找最右一个 target */
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||
function binarySearchRightEdge(nums: Array<number>, target: number): number {
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||
// 转化为查找最左一个 target + 1
|
||
const i = binarySearchInsertion(nums, target + 1);
|
||
// j 指向最右一个 target ,i 指向首个大于 target 的元素
|
||
const j = i - 1;
|
||
// 未找到 target ,返回 -1
|
||
if (j === -1 || nums[j] !== target) {
|
||
return -1;
|
||
}
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||
// 找到 target ,返回索引 j
|
||
return j;
|
||
}
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```
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=== "Dart"
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||
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||
```dart title="binary_search_edge.dart"
|
||
/* 二分查找最右一个 target */
|
||
int binarySearchRightEdge(List<int> nums, int target) {
|
||
// 转化为查找最左一个 target + 1
|
||
int i = binarySearchInsertion(nums, target + 1);
|
||
// j 指向最右一个 target ,i 指向首个大于 target 的元素
|
||
int j = i - 1;
|
||
// 未找到 target ,返回 -1
|
||
if (j == -1 || nums[j] != target) {
|
||
return -1;
|
||
}
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||
// 找到 target ,返回索引 j
|
||
return j;
|
||
}
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||
```
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=== "Rust"
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||
```rust title="binary_search_edge.rs"
|
||
/* 二分查找最右一个 target */
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||
fn binary_search_right_edge(nums: &[i32], target: i32) -> i32 {
|
||
// 转化为查找最左一个 target + 1
|
||
let i = binary_search_insertion(nums, target + 1);
|
||
// j 指向最右一个 target ,i 指向首个大于 target 的元素
|
||
let j = i - 1;
|
||
// 未找到 target ,返回 -1
|
||
if j == -1 || nums[j as usize] != target {
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||
return -1;
|
||
}
|
||
// 找到 target ,返回索引 j
|
||
j
|
||
}
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||
```
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||
|
||
=== "C"
|
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||
```c title="binary_search_edge.c"
|
||
/* 二分查找最右一个 target */
|
||
int binarySearchRightEdge(int *nums, int numSize, int target) {
|
||
// 转化为查找最左一个 target + 1
|
||
int i = binarySearchInsertion(nums, numSize, target + 1);
|
||
// j 指向最右一个 target ,i 指向首个大于 target 的元素
|
||
int j = i - 1;
|
||
// 未找到 target ,返回 -1
|
||
if (j == -1 || nums[j] != target) {
|
||
return -1;
|
||
}
|
||
// 找到 target ,返回索引 j
|
||
return j;
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Zig"
|
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|
||
```zig title="binary_search_edge.zig"
|
||
[class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
|
||
```
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### 2. 转化为查找元素
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我们知道,当数组不包含 `target` 时,最终 $i$ 和 $j$ 会分别指向首个大于、小于 `target` 的元素。
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因此,如图 10-8 所示,我们可以构造一个数组中不存在的元素,用于查找左右边界。
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- 查找最左一个 `target` :可以转化为查找 `target - 0.5` ,并返回指针 $i$ 。
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- 查找最右一个 `target` :可以转化为查找 `target + 0.5` ,并返回指针 $j$ 。
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![将查找边界转化为查找元素](binary_search_edge.assets/binary_search_edge_by_element.png)
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<p align="center"> 图 10-8 将查找边界转化为查找元素 </p>
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代码在此省略,值得注意以下两点。
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- 给定数组不包含小数,这意味着我们无须关心如何处理相等的情况。
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- 因为该方法引入了小数,所以需要将函数中的变量 `target` 改为浮点数类型。
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