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2023-05-10 19:47:30 +08:00

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全排列问题

全排列问题是回溯算法的一个典型应用。它的定义是在给定一个集合(如一个数组或字符串)的情况下,找出这个集合中元素的所有可能的排列。

如下表所示,列举了几个示例数组和其对应的所有排列。

输入数组 所有排列
[1] [1]
[1, 2] [1, 2], [2, 1]
[1, 2, 3] [1, 2, 3], [1, 3, 2], [2, 1, 3], [2, 3, 1], [3, 1, 2], [3, 2, 1]

无重复的情况

!!! question "输入一个整数数组,数组中不包含重复元素,返回所有可能的排列。"

从回溯算法的角度看,我们可以把生成排列的过程想象成一系列选择的结果。假设输入数组为 [1, 2, 3] ,如果我们先选择 1 、再选择 3 、最后选择 2 ,则获得排列 [1, 3, 2] 。回退表示撤销一个选择,之后继续尝试其他选择。

从回溯算法代码的角度看,候选集合 choices 是输入数组中的所有元素,状态 state 是直至目前已被选择的元素。注意,每个元素只允许被选择一次,因此在遍历选择时,应当排除已经选择过的元素

如下图所示,我们可以将搜索过程展开成一个递归树,树中的每个节点代表当前状态 state 。从根节点开始,经过三轮选择后到达叶节点,每个叶节点都对应一个排列。

全排列的递归树

想清楚以上信息之后,我们就可以在框架代码中做“完形填空”了。为了缩短代码行数,我们不单独实现框架代码中的各个函数,而是将他们展开在 backtrack() 函数中。

=== "Java"

```java title="permutations_i.java"
[class]{permutations_i}-[func]{backtrack}

[class]{permutations_i}-[func]{permutationsI}
```

=== "C++"

```cpp title="permutations_i.cpp"
[class]{}-[func]{backtrack}

[class]{}-[func]{permutationsI}
```

=== "Python"

```python title="permutations_i.py"
[class]{}-[func]{backtrack}

[class]{}-[func]{permutations_i}
```

=== "Go"

```go title="permutations_i.go"
[class]{}-[func]{backtrack}

[class]{}-[func]{permutationsI}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="permutations_i.js"
[class]{}-[func]{backtrack}

[class]{}-[func]{permutationsI}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="permutations_i.ts"
[class]{}-[func]{backtrack}

[class]{}-[func]{permutationsI}
```

=== "C"

```c title="permutations_i.c"
[class]{}-[func]{backtrack}

[class]{}-[func]{permutationsI}
```

=== "C#"

```csharp title="permutations_i.cs"
[class]{permutations_i}-[func]{backtrack}

[class]{permutations_i}-[func]{permutationsI}
```

=== "Swift"

```swift title="permutations_i.swift"
[class]{}-[func]{backtrack}

[class]{}-[func]{permutationsI}
```

=== "Zig"

```zig title="permutations_i.zig"
[class]{}-[func]{backtrack}

[class]{}-[func]{permutationsI}
```

需要重点关注的是,我们引入了一个布尔型数组 selected ,它的长度与输入数组长度相等,其中 selected[i] 表示 choices[i] 是否已被选择。我们利用 selected 避免某个元素被重复选择,从而实现剪枝。

如下图所示,假设我们第一轮选择 1 ,第二轮选择 3 ,第三轮选择 2 ,则需要在第二轮剪掉元素 1 的分支,在第三轮剪掉元素 1, 3 的分支。从本质上理解,此剪枝操作可将搜索空间大小从 O(n^n) 降低至 $O(n!)$

全排列剪枝示例

考虑重复的情况

!!! question "输入一个整数数组,数组中可能包含重复元素,返回所有不重复的排列。"

假设输入数组为 [1, 1, 2] 。为了方便区分两个重复的元素 1 ,接下来我们将第二个元素记为 \hat{1} 。如下图所示,上述方法生成的排列有一半都是重复的。

重复排列

那么,如何去除重复的排列呢?最直接地,我们可以借助一个哈希表,直接对排列结果进行去重。然而,这样做不够优雅,因为生成重复排列的搜索分支是没有必要的,应当被提前识别并剪枝,这样可以提升算法效率。

观察发现,在第一轮中,选择 1 或选择 \hat{1} 是等价的,因为在这两个选择之下生成的所有排列都是重复的。因此,我们应该把 \hat{1} 剪枝掉。同理,在第一轮选择 2 后,第二轮选择中的 1\hat{1} 也会产生重复分支,因此也需要将第二轮的 \hat{1} 剪枝。

重复排列剪枝

本质上看,我们的目标是实现在某一轮选择中,多个相等的元素仅被选择一次。因此,在上一题的代码的基础上,我们考虑在每一轮选择中开启一个哈希表 duplicated ,用于记录该轮中已经尝试过的元素,并将重复元素剪枝。

=== "Java"

```java title="permutations_ii.java"
[class]{permutations_ii}-[func]{backtrack}

[class]{permutations_ii}-[func]{permutationsII}
```

=== "C++"

```cpp title="permutations_ii.cpp"
[class]{}-[func]{backtrack}

[class]{}-[func]{permutationsII}
```

=== "Python"

```python title="permutations_ii.py"
[class]{}-[func]{backtrack}

[class]{}-[func]{permutations_ii}
```

=== "Go"

```go title="permutations_ii.go"
[class]{}-[func]{backtrack}

[class]{}-[func]{permutationsII}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="permutations_ii.js"
[class]{}-[func]{backtrack}

[class]{}-[func]{permutationsII}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="permutations_ii.ts"
[class]{}-[func]{backtrack}

[class]{}-[func]{permutationsII}
```

=== "C"

```c title="permutations_ii.c"
[class]{}-[func]{backtrack}

[class]{}-[func]{permutationsII}
```

=== "C#"

```csharp title="permutations_ii.cs"
[class]{permutations_ii}-[func]{backtrack}

[class]{permutations_ii}-[func]{permutationsII}
```

=== "Swift"

```swift title="permutations_ii.swift"
[class]{}-[func]{backtrack}

[class]{}-[func]{permutationsII}
```

=== "Zig"

```zig title="permutations_ii.zig"
[class]{}-[func]{backtrack}

[class]{}-[func]{permutationsII}
```

注意,虽然 selectedduplicated 都起到剪枝的作用,但他们剪掉的是不同的分支:

  • 剪枝条件一:整个搜索过程中只有一个 selected 。它记录的是当前状态中包含哪些元素,作用是避免某个元素在 state 中重复出现。
  • 剪枝条件二:每轮选择(即每个开启的 backtrack 函数)都包含一个 duplicated 。它记录的是在遍历中哪些元素已被选择过,作用是保证相等元素只被选择一次,以避免产生重复的搜索分支。

下图展示了两个剪枝条件的生效范围。注意,树中的每个节点代表一个选择,从根节点到叶节点的路径上的各个节点构成一个排列。

两种剪枝条件的作用范围

复杂度分析

假设元素两两之间互不相同,则 n 个元素共有 n! 种排列(阶乘);在记录结果时,需要复制长度为 n 的列表,使用 O(n) 时间。因此,时间复杂度为 $O(n!n)$

最大递归深度为 n ,使用 O(n) 栈帧空间。selected 使用 O(n) 空间。同一时刻最多共有 nduplicated ,使用 O(n^2) 空间。因此,全排列 I 的空间复杂度为 O(n) ,全排列 II 的空间复杂度为 $O(n^2)$