xmengnet/hello-algo
1
0
Fork 0
mirror of https://github.com/krahets/hello-algo.git synced 2024-12-27 10:36:28 +08:00
Code Issues Projects Releases Packages Wiki Activity Actions
hello-algo/docs/chapter_dynamic_programming/knapsack_problem.md
krahets 106f02809a Mention figures and tables in normal texts. 
Fix some figures.
Finetune texts.
2023-08-21 19:33:45 +08:00

440 lines
11 KiB
Markdown
Raw Blame History

# 0-1 背包问题
背包问题是一个非常好的动态规划入门题目，是动态规划中最常见的问题形式。其具有很多变种，例如 0-1 背包问题、完全背包问题、多重背包问题等。
在本节中，我们先来求解最常见的 0-1 背包问题。
!!! question
给定 $n$ 个物品，第 $i$ 个物品的重量为 $wgt[i-1]$ 、价值为 $val[i-1]$ ，和一个容量为 $cap$ 的背包。每个物品只能选择一次，问在不超过背包容量下能放入物品的最大价值。
观察下图，由于物品编号 $i$ 从 $1$ 开始计数，数组索引从 $0$ 开始计数，因此物品 $i$ 对应重量 $wgt[i-1]$ 和价值 $val[i-1]$ 。
![0-1 背包的示例数据](knapsack_problem.assets/knapsack_example.png)
我们可以将 0-1 背包问题看作是一个由 $n$ 轮决策组成的过程，每个物体都有不放入和放入两种决策，因此该问题是满足决策树模型的。
该问题的目标是求解“在限定背包容量下的最大价值”，因此较大概率是个动态规划问题。
**第一步：思考每轮的决策，定义状态，从而得到 $dp$ 表**
对于每个物品来说，不放入背包，背包容量不变；放入背包，背包容量减小。由此可得状态定义：当前物品编号 $i$ 和剩余背包容量 $c$ ，记为 $[i, c]$ 。
状态 $[i, c]$ 对应的子问题为：**前 $i$ 个物品在剩余容量为 $c$ 的背包中的最大价值**，记为 $dp[i, c]$ 。
待求解的是 $dp[n, cap]$ ，因此需要一个尺寸为 $(n+1) \times (cap+1)$ 的二维 $dp$ 表。
**第二步：找出最优子结构，进而推导出状态转移方程**
当我们做出物品 $i$ 的决策后，剩余的是前 $i-1$ 个物品的决策。因此，状态转移分为两种情况：
- **不放入物品 $i$** ：背包容量不变，状态转移至 $[i-1, c]$ 。
- **放入物品 $i$** ：背包容量减小 $wgt[i-1]$ ，价值增加 $val[i-1]$ ，状态转移至 $[i-1, c-wgt[i-1]]$ 。
上述的状态转移向我们揭示了本题的最优子结构：**最大价值 $dp[i, c]$ 等于不放入物品 $i$ 和放入物品 $i$ 两种方案中的价值更大的那一个**。由此可推出状态转移方程：
$$
dp[i, c] = \max(dp[i-1, c], dp[i-1, c - wgt[i-1]] + val[i-1])
$$
需要注意的是，若当前物品重量 $wgt[i - 1]$ 超出剩余背包容量 $c$ ，则只能选择不放入背包。
**第三步：确定边界条件和状态转移顺序**
当无物品或无剩余背包容量时最大价值为 $0$ ，即首列 $dp[i, 0]$ 和首行 $dp[0, c]$ 都等于 $0$ 。
当前状态 $[i, c]$ 从上方的状态 $[i-1, c]$ 和左上方的状态 $[i-1, c-wgt[i-1]]$ 转移而来，因此通过两层循环正序遍历整个 $dp$ 表即可。
根据以上分析，我们接下来按顺序实现暴力搜索、记忆化搜索、动态规划解法。
### 方法一：暴力搜索
搜索代码包含以下要素：
- **递归参数**：状态 $[i, c]$ 。
- **返回值**：子问题的解 $dp[i, c]$ 。
- **终止条件**：当物品编号越界 $i = 0$ 或背包剩余容量为 $0$ 时，终止递归并返回价值 $0$ 。
- **剪枝**：若当前物品重量超出背包剩余容量，则只能不放入背包。
=== "Java"
```java title="knapsack.java"
[class]{knapsack}-[func]{knapsackDFS}
```
=== "C++"
```cpp title="knapsack.cpp"
[class]{}-[func]{knapsackDFS}
```
=== "Python"
```python title="knapsack.py"
[class]{}-[func]{knapsack_dfs}
```
=== "Go"
```go title="knapsack.go"
[class]{}-[func]{knapsackDFS}
```
=== "JS"
```javascript title="knapsack.js"
[class]{}-[func]{knapsackDFS}
```
=== "TS"
```typescript title="knapsack.ts"
[class]{}-[func]{knapsackDFS}
```
=== "C"
```c title="knapsack.c"
[class]{}-[func]{knapsackDFS}
```
=== "C#"
```csharp title="knapsack.cs"
[class]{knapsack}-[func]{knapsackDFS}
```
=== "Swift"
```swift title="knapsack.swift"
[class]{}-[func]{knapsackDFS}
```
=== "Zig"
```zig title="knapsack.zig"
[class]{}-[func]{knapsackDFS}
```
=== "Dart"
```dart title="knapsack.dart"
[class]{}-[func]{knapsackDFS}
```
=== "Rust"
```rust title="knapsack.rs"
[class]{}-[func]{knapsack_dfs}
```
如下图所示，由于每个物品都会产生不选和选两条搜索分支，因此时间复杂度为 $O(2^n)$ 。
观察递归树，容易发现其中存在重叠子问题，例如 $dp[1, 10]$ 等。而当物品较多、背包容量较大，尤其是相同重量的物品较多时，重叠子问题的数量将会大幅增多。
![0-1 背包的暴力搜索递归树](knapsack_problem.assets/knapsack_dfs.png)
### 方法二：记忆化搜索
为了保证重叠子问题只被计算一次，我们借助记忆列表 `mem` 来记录子问题的解，其中 `mem[i][c]` 对应 $dp[i, c]$ 。
引入记忆化之后，**时间复杂度取决于子问题数量**，也就是 $O(n \times cap)$ 。
=== "Java"
```java title="knapsack.java"
[class]{knapsack}-[func]{knapsackDFSMem}
```
=== "C++"
```cpp title="knapsack.cpp"
[class]{}-[func]{knapsackDFSMem}
```
=== "Python"
```python title="knapsack.py"
[class]{}-[func]{knapsack_dfs_mem}
```
=== "Go"
```go title="knapsack.go"
[class]{}-[func]{knapsackDFSMem}
```
=== "JS"
```javascript title="knapsack.js"
[class]{}-[func]{knapsackDFSMem}
```
=== "TS"
```typescript title="knapsack.ts"
[class]{}-[func]{knapsackDFSMem}
```
=== "C"
```c title="knapsack.c"
[class]{}-[func]{knapsackDFSMem}
```
=== "C#"
```csharp title="knapsack.cs"
[class]{knapsack}-[func]{knapsackDFSMem}
```
=== "Swift"
```swift title="knapsack.swift"
[class]{}-[func]{knapsackDFSMem}
```
=== "Zig"
```zig title="knapsack.zig"
[class]{}-[func]{knapsackDFSMem}
```
=== "Dart"
```dart title="knapsack.dart"
[class]{}-[func]{knapsackDFSMem}
```
=== "Rust"
```rust title="knapsack.rs"
[class]{}-[func]{knapsack_dfs_mem}
```
下图展示了在记忆化递归中被剪掉的搜索分支。
![0-1 背包的记忆化搜索递归树](knapsack_problem.assets/knapsack_dfs_mem.png)
### 方法三：动态规划
动态规划实质上就是在状态转移中填充 $dp$ 表的过程，代码如下所示。
=== "Java"
```java title="knapsack.java"
[class]{knapsack}-[func]{knapsackDP}
```
=== "C++"
```cpp title="knapsack.cpp"
[class]{}-[func]{knapsackDP}
```
=== "Python"
```python title="knapsack.py"
[class]{}-[func]{knapsack_dp}
```
=== "Go"
```go title="knapsack.go"
[class]{}-[func]{knapsackDP}
```
=== "JS"
```javascript title="knapsack.js"
[class]{}-[func]{knapsackDP}
```
=== "TS"
```typescript title="knapsack.ts"
[class]{}-[func]{knapsackDP}
```
=== "C"
```c title="knapsack.c"
[class]{}-[func]{knapsackDP}
```
=== "C#"
```csharp title="knapsack.cs"
[class]{knapsack}-[func]{knapsackDP}
```
=== "Swift"
```swift title="knapsack.swift"
[class]{}-[func]{knapsackDP}
```
=== "Zig"
```zig title="knapsack.zig"
[class]{}-[func]{knapsackDP}
```
=== "Dart"
```dart title="knapsack.dart"
[class]{}-[func]{knapsackDP}
```
=== "Rust"
```rust title="knapsack.rs"
[class]{}-[func]{knapsack_dp}
```
如下图所示，时间复杂度和空间复杂度都由数组 `dp` 大小决定，即 $O(n \times cap)$ 。
=== "<1>"
![0-1 背包的动态规划过程](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step1.png)
=== "<2>"
![knapsack_dp_step2](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step2.png)
=== "<3>"
![knapsack_dp_step3](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step3.png)
=== "<4>"
![knapsack_dp_step4](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step4.png)
=== "<5>"
![knapsack_dp_step5](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step5.png)
=== "<6>"
![knapsack_dp_step6](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step6.png)
=== "<7>"
![knapsack_dp_step7](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step7.png)
=== "<8>"
![knapsack_dp_step8](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step8.png)
=== "<9>"
![knapsack_dp_step9](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step9.png)
=== "<10>"
![knapsack_dp_step10](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step10.png)
=== "<11>"
![knapsack_dp_step11](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step11.png)
=== "<12>"
![knapsack_dp_step12](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step12.png)
=== "<13>"
![knapsack_dp_step13](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step13.png)
=== "<14>"
![knapsack_dp_step14](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step14.png)
### 状态压缩
由于每个状态都只与其上一行的状态有关，因此我们可以使用两个数组滚动前进，将空间复杂度从 $O(n^2)$ 将低至 $O(n)$ 。
进一步思考，我们是否可以仅用一个数组实现状态压缩呢？观察可知，每个状态都是由正上方或左上方的格子转移过来的。假设只有一个数组，当开始遍历第 $i$ 行时，该数组存储的仍然是第 $i-1$ 行的状态。
- 如果采取正序遍历，那么遍历到 $dp[i, j]$ 时，左上方 $dp[i-1, 1]$ ~ $dp[i-1, j-1]$ 值可能已经被覆盖，此时就无法得到正确的状态转移结果。
- 如果采取倒序遍历，则不会发生覆盖问题，状态转移可以正确进行。
下图展示了在单个数组下从第 $i = 1$ 行转换至第 $i = 2$ 行的过程。请思考正序遍历和倒序遍历的区别。
=== "<1>"
![0-1 背包的状态压缩后的动态规划过程](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_comp_step1.png)
=== "<2>"
![knapsack_dp_comp_step2](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_comp_step2.png)
=== "<3>"
![knapsack_dp_comp_step3](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_comp_step3.png)
=== "<4>"
![knapsack_dp_comp_step4](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_comp_step4.png)
=== "<5>"
![knapsack_dp_comp_step5](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_comp_step5.png)
=== "<6>"
![knapsack_dp_comp_step6](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_comp_step6.png)
在代码实现中，我们仅需将数组 `dp` 的第一维 $i$ 直接删除，并且把内循环更改为倒序遍历即可。
=== "Java"
```java title="knapsack.java"
[class]{knapsack}-[func]{knapsackDPComp}
```
=== "C++"
```cpp title="knapsack.cpp"
[class]{}-[func]{knapsackDPComp}
```
=== "Python"
```python title="knapsack.py"
[class]{}-[func]{knapsack_dp_comp}
```
=== "Go"
```go title="knapsack.go"
[class]{}-[func]{knapsackDPComp}
```
=== "JS"
```javascript title="knapsack.js"
[class]{}-[func]{knapsackDPComp}
```
=== "TS"
```typescript title="knapsack.ts"
[class]{}-[func]{knapsackDPComp}
```
=== "C"
```c title="knapsack.c"
[class]{}-[func]{knapsackDPComp}
```
=== "C#"
```csharp title="knapsack.cs"
[class]{knapsack}-[func]{knapsackDPComp}
```
=== "Swift"
```swift title="knapsack.swift"
[class]{}-[func]{knapsackDPComp}
```
=== "Zig"
```zig title="knapsack.zig"
[class]{}-[func]{knapsackDPComp}
```
=== "Dart"
```dart title="knapsack.dart"
[class]{}-[func]{knapsackDPComp}
```
=== "Rust"
```rust title="knapsack.rs"
[class]{}-[func]{knapsack_dp_comp}
```
Reference in a new issue View git blame Copy permalink