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归并排序

「归并排序 Merge Sort」是算法中“分治思想”的典型体现其有「划分」和「合并」两个阶段

  1. 划分阶段:通过递归不断 将数组从中点位置划分开,将长数组的排序问题转化为短数组的排序问题;
  2. 合并阶段:划分到子数组长度为 1 时,开始向上合并,不断将 左、右两个短排序数组 合并为 一个长排序数组,直至合并至原数组时完成排序;

归并排序的划分与合并阶段

算法流程

「递归划分」 从顶至底递归地 将数组从中点切为两个子数组,直至长度为 1

  1. 计算数组中点 mid ,递归划分左子数组(区间 [left, mid] )和右子数组(区间 [mid + 1, right]
  2. 递归执行 1. 步骤,直至子数组区间长度为 1 时,终止递归划分;

「回溯合并」 从底至顶地将左子数组和右子数组合并为一个 有序数组

需要注意,由于从长度为 1 的子数组开始合并,所以 每个子数组都是有序的。因此,合并任务本质是要 将两个有序子数组合并为一个有序数组

=== "<1>" 归并排序步骤

=== "<2>" merge_sort_step2

=== "<3>" merge_sort_step3

=== "<4>" merge_sort_step4

=== "<5>" merge_sort_step5

=== "<6>" merge_sort_step6

=== "<7>" merge_sort_step7

=== "<8>" merge_sort_step8

=== "<9>" merge_sort_step9

=== "<10>" merge_sort_step10

观察发现,归并排序的递归顺序就是二叉树的「后序遍历」。

  • 后序遍历:先递归左子树、再递归右子树、最后处理根结点。
  • 归并排序:先递归左子树、再递归右子树、最后处理合并。

=== "Java"

```java title="merge_sort.java"
[class]{merge_sort}-[func]{merge}

[class]{merge_sort}-[func]{mergeSort}
```

=== "C++"

```cpp title="merge_sort.cpp"
[class]{}-[func]{merge}

[class]{}-[func]{mergeSort}
```

=== "Python"

```python title="merge_sort.py"
[class]{}-[func]{merge}

[class]{}-[func]{merge_sort}
```

=== "Go"

```go title="merge_sort.go"
[class]{}-[func]{merge}

[class]{}-[func]{mergeSort}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="merge_sort.js"
[class]{}-[func]{merge}

[class]{}-[func]{mergeSort}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="merge_sort.ts"
[class]{}-[func]{merge}

[class]{}-[func]{mergeSort}
```

=== "C"

```c title="merge_sort.c"

```

=== "C#"

```csharp title="merge_sort.cs"
[class]{merge_sort}-[func]{merge}

[class]{merge_sort}-[func]{mergeSort}
```

=== "Swift"

```swift title="merge_sort.swift"
[class]{}-[func]{merge}

[class]{}-[func]{mergeSort}
```

=== "Zig"

```zig title="merge_sort.zig"
[class]{}-[func]{merge}

[class]{}-[func]{mergeSort}
```

下面重点解释一下合并方法 merge() 的流程:

  1. 初始化一个辅助数组 tmp 暂存待合并区间 [left, right] 内的元素,后续通过覆盖原数组 nums 的元素来实现合并;
  2. 初始化指针 i , j , k 分别指向左子数组、右子数组、原数组的首元素;
  3. 循环判断 tmp[i]tmp[j] 的大小,将较小的先覆盖至 nums[k] ,指针 i , j 根据判断结果交替前进(指针 k 也前进),直至两个子数组都遍历完,即可完成合并。

合并方法 merge() 代码中的主要难点:

  • nums 的待合并区间为 [left, right] ,而因为 tmp 只复制了 nums 该区间元素,所以 tmp 对应区间为 [0, right - left] 需要特别注意代码中各个变量的含义
  • 判断 tmp[i]tmp[j] 的大小的操作中,还 需考虑当子数组遍历完成后的索引越界问题,即 i > leftEndj > rightEnd 的情况,索引越界的优先级是最高的,例如如果左子数组已经被合并完了,那么不用继续判断,直接合并右子数组元素即可。

算法特性

时间复杂度 $O(n \log n)$ :划分形成高度为 \log n 的递归树,每层合并的总操作数量为 n ,总体使用 O(n \log n) 时间。

空间复杂度 $O(n)$ :需借助辅助数组实现合并,使用 O(n) 大小的额外空间;递归深度为 \log n ,使用 O(\log n) 大小的栈帧空间,因此是“非原地排序”。

在合并时,不改变相等元素的次序,是“稳定排序”。

链表排序 *

归并排序有一个很特别的优势,用于排序链表时有很好的性能表现,空间复杂度可被优化至 $O(1)$ ,这是因为:

  • 由于链表可仅通过改变指针来实现结点增删,因此“将两个短有序链表合并为一个长有序链表”无需使用额外空间,即回溯合并阶段不用像排序数组一样建立辅助数组 tmp
  • 通过使用「迭代」代替「递归划分」,可省去递归使用的栈帧空间;

详情参考:148. 排序链表