11 KiB
Executable file
| comments |
|---|
| true |
7.3. 二叉搜索树
「二叉搜索树 Binary Search Tree」满足以下条件：
- 对于根结点，左子树中所有结点的值
<根结点的值<右子树中所有结点的值； - 任意结点的左子树和右子树也是二叉搜索树，即也满足条件
1.；
7.3.1. 二叉搜索树的操作
查找结点
给定目标结点值 num ，可以根据二叉搜索树的性质来查找。我们声明一个结点 cur ，从二叉树的根结点 root 出发，循环比较结点值 cur.val 和 num 之间的大小关系
- 若
cur.val < num，说明目标结点在cur的右子树中，因此执行cur = cur.right； - 若
cur.val > num，说明目标结点在cur的左子树中，因此执行cur = cur.left； - 若
cur.val = num，说明找到目标结点，跳出循环并返回该结点即可；
=== "Step 1"
=== "Step 2"
=== "Step 3"
=== "Step 4"
二叉搜索树的查找操作和二分查找算法如出一辙，也是在每轮排除一半情况。循环次数最多为二叉树的高度，当二叉树平衡时，使用 O(\log n) 时间。
=== "Java"
```java title="binary_search_tree.java"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{search}
```
=== "C++"
```cpp title="binary_search_tree.cpp"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{search}
```
=== "Python"
```python title="binary_search_tree.py"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{search}
```
=== "Go"
```go title="binary_search_tree.go"
[class]{binarySearchTree}-[func]{search}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="binary_search_tree.js"
[class]{}-[func]{search}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="binary_search_tree.ts"
[class]{}-[func]{search}
```
=== "C"
```c title="binary_search_tree.c"
[class]{binarySearchTree}-[func]{search}
```
=== "C#"
```csharp title="binary_search_tree.cs"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{search}
```
=== "Swift"
```swift title="binary_search_tree.swift"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{search}
```
=== "Zig"
```zig title="binary_search_tree.zig"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{search}
```
插入结点
给定一个待插入元素 num ，为了保持二叉搜索树“左子树 < 根结点 < 右子树”的性质，插入操作分为两步：
- 查找插入位置：与查找操作类似，我们从根结点出发，根据当前结点值和
num的大小关系循环向下搜索，直到越过叶结点（遍历到\text{null}）时跳出循环； - 在该位置插入结点：初始化结点
num，将该结点放到\text{null}的位置 ；
二叉搜索树不允许存在重复结点，否则将会违背其定义。因此若待插入结点在树中已经存在，则不执行插入，直接返回即可。
=== "Java"
```java title="binary_search_tree.java"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{insert}
```
=== "C++"
```cpp title="binary_search_tree.cpp"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{insert}
```
=== "Python"
```python title="binary_search_tree.py"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{insert}
```
=== "Go"
```go title="binary_search_tree.go"
[class]{binarySearchTree}-[func]{insert}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="binary_search_tree.js"
[class]{}-[func]{insert}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="binary_search_tree.ts"
[class]{}-[func]{insert}
```
=== "C"
```c title="binary_search_tree.c"
[class]{binarySearchTree}-[func]{insert}
```
=== "C#"
```csharp title="binary_search_tree.cs"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{insert}
```
=== "Swift"
```swift title="binary_search_tree.swift"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{insert}
```
=== "Zig"
```zig title="binary_search_tree.zig"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{insert}
```
为了插入结点，需要借助 辅助结点 pre 保存上一轮循环的结点，这样在遍历到 \text{null} 时，我们也可以获取到其父结点，从而完成结点插入操作。
与查找结点相同，插入结点使用 O(\log n) 时间。
删除结点
与插入结点一样，我们需要在删除操作后维持二叉搜索树的“左子树 < 根结点 < 右子树”的性质。首先，我们需要在二叉树中执行查找操作，获取待删除结点。接下来，根据待删除结点的子结点数量，删除操作需要分为三种情况：
当待删除结点的子结点数量 = 0 时，表明待删除结点是叶结点，直接删除即可。
当待删除结点的子结点数量 = 1 时，将待删除结点替换为其子结点即可。
当待删除结点的子结点数量 = 2 时，删除操作分为三步：
- 找到待删除结点在 中序遍历序列 中的下一个结点，记为
nex； - 在树中递归删除结点
nex； - 使用
nex替换待删除结点；
=== "Step 1"
=== "Step 2"
=== "Step 3"
=== "Step 4"
删除结点操作也使用 O(\log n) 时间，其中查找待删除结点 O(\log n) ，获取中序遍历后继结点 O(\log n) 。
=== "Java"
```java title="binary_search_tree.java"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{remove}
[class]{BinarySearchTree}-[func]{getInOrderNext}
```
=== "C++"
```cpp title="binary_search_tree.cpp"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{remove}
[class]{BinarySearchTree}-[func]{getInOrderNext}
```
=== "Python"
```python title="binary_search_tree.py"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{remove}
[class]{BinarySearchTree}-[func]{get_inorder_next}
```
=== "Go"
```go title="binary_search_tree.go"
[class]{binarySearchTree}-[func]{remove}
[class]{binarySearchTree}-[func]{getInOrderNext}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="binary_search_tree.js"
[class]{}-[func]{remove}
[class]{}-[func]{getInOrderNext}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="binary_search_tree.ts"
[class]{}-[func]{remove}
[class]{}-[func]{getInOrderNext}
```
=== "C"
```c title="binary_search_tree.c"
[class]{binarySearchTree}-[func]{remove}
[class]{binarySearchTree}-[func]{getInOrderNext}
```
=== "C#"
```csharp title="binary_search_tree.cs"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{remove}
[class]{BinarySearchTree}-[func]{getInOrderNext}
```
=== "Swift"
```swift title="binary_search_tree.swift"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{remove}
[class]{BinarySearchTree}-[func]{getInOrderNext}
```
=== "Zig"
```zig title="binary_search_tree.zig"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{remove}
[class]{BinarySearchTree}-[func]{getInOrderNext}
```
排序
我们知道，「中序遍历」遵循“左 \rightarrow 根 \rightarrow 右”的遍历优先级，而二叉搜索树遵循“左子结点 < 根结点 < 右子结点”的大小关系。因此，在二叉搜索树中进行中序遍历时，总是会优先遍历下一个最小结点，从而得出一条重要性质：二叉搜索树的中序遍历序列是升序的。
借助中序遍历升序的性质，我们在二叉搜索树中获取有序数据仅需 O(n) 时间，而无需额外排序，非常高效。
7.3.2. 二叉搜索树的效率
假设给定 n 个数字，最常用的存储方式是「数组」，那么对于这串乱序的数字，常见操作的效率为：
- 查找元素：由于数组是无序的，因此需要遍历数组来确定，使用
O(n)时间； - 插入元素：只需将元素添加至数组尾部即可，使用
O(1)时间； - 删除元素：先查找元素，使用
O(n)时间，再在数组中删除该元素，使用O(n)时间； - 获取最小 / 最大元素：需要遍历数组来确定，使用
O(n)时间；
为了得到先验信息，我们也可以预先将数组元素进行排序，得到一个「排序数组」，此时操作效率为：
- 查找元素：由于数组已排序，可以使用二分查找，平均使用
O(\log n)时间； - 插入元素：先查找插入位置，使用
O(\log n)时间，再插入到指定位置，使用O(n)时间； - 删除元素：先查找元素，使用
O(\log n)时间，再在数组中删除该元素，使用O(n)时间； - 获取最小 / 最大元素：数组头部和尾部元素即是最小和最大元素，使用
O(1)时间；
观察发现，无序数组和有序数组中的各项操作的时间复杂度是“偏科”的，即有的快有的慢；而二叉搜索树的各项操作的时间复杂度都是对数阶，在数据量 n 很大时有巨大优势。
| 无序数组 | 有序数组 | 二叉搜索树 | |
|---|---|---|---|
| 查找指定元素 | O(n) |
O(\log n) |
O(\log n) |
| 插入元素 | O(1) |
O(n) |
O(\log n) |
| 删除元素 | O(n) |
O(n) |
O(\log n) |
| 获取最小 / 最大元素 | O(n) |
O(1) |
O(\log n) |
7.3.3. 二叉搜索树的退化
理想情况下，我们希望二叉搜索树的是“左右平衡”的（详见「平衡二叉树」章节），此时可以在 \log n 轮循环内查找任意结点。
如果我们动态地在二叉搜索树中插入与删除结点，则可能导致二叉树退化为链表，此时各种操作的时间复杂度也退化之 O(n) 。
!!! note
在实际应用中，如何保持二叉搜索树的平衡，也是一个需要重要考虑的问题。
7.3.4. 二叉搜索树常见应用
- 系统中的多级索引，高效查找、插入、删除操作。
- 各种搜索算法的底层数据结构。
- 存储数据流，保持其已排序。