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# 9.2. 图基础操作
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图的基础操作分为对「边」的操作和对「顶点」的操作，在「邻接矩阵」和「邻接表」这两种表示下的实现方式不同。
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## 9.2.1. 基于邻接矩阵的实现
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设图的顶点总数为 $n$ ，则有：
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- **添加或删除边**：直接在邻接矩阵中修改指定边的对应元素即可，使用 $O(1)$ 时间。而由于是无向图，因此需要同时更新两个方向的边。
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- **添加顶点**：在邻接矩阵的尾部添加一行一列，并全部填 $0$ 即可，使用 $O(n)$ 时间。
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- **删除顶点**：在邻接矩阵中删除一行一列。当删除首行首列时达到最差情况，需要将 $(n-1)^2$ 个元素“向左上移动”，从而使用 $O(n^2)$ 时间。
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- **初始化**：传入 $n$ 个顶点，初始化长度为 $n$ 的顶点列表 `vertices` ，使用 $O(n)$ 时间；初始化 $n \times n$ 大小的邻接矩阵 `adjMat` ，使用 $O(n^2)$ 时间。
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=== "初始化邻接矩阵"
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=== "添加边"
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=== "删除边"
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=== "添加顶点"
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=== "删除顶点"
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以下是基于邻接矩阵表示图的实现代码。
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=== "Java"
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```java title="graph_adjacency_matrix.java"
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[class]{GraphAdjMat}-[func]{}
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```
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=== "C++"
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```cpp title="graph_adjacency_matrix.cpp"
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[class]{GraphAdjMat}-[func]{}
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```
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=== "Python"
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```python title="graph_adjacency_matrix.py"
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[class]{GraphAdjMat}-[func]{}
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```
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=== "Go"
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```go title="graph_adjacency_matrix.go"
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[class]{graphAdjMat}-[func]{}
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```
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=== "JavaScript"
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```javascript title="graph_adjacency_matrix.js"
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[class]{GraphAdjMat}-[func]{}
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```
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=== "TypeScript"
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```typescript title="graph_adjacency_matrix.ts"
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[class]{GraphAdjMat}-[func]{}
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```
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=== "C"
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```c title="graph_adjacency_matrix.c"
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[class]{graphAdjMat}-[func]{}
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```
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=== "C#"
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```csharp title="graph_adjacency_matrix.cs"
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[class]{GraphAdjMat}-[func]{}
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```
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=== "Swift"
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```swift title="graph_adjacency_matrix.swift"
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[class]{GraphAdjMat}-[func]{}
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```
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=== "Zig"
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```zig title="graph_adjacency_matrix.zig"
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```
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## 9.2.2. 基于邻接表的实现
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设图的顶点总数为 $n$ 、边总数为 $m$ ，则有：
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- **添加边**：在顶点对应链表的尾部添加边即可，使用 $O(1)$ 时间。因为是无向图，所以需要同时添加两个方向的边。
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- **删除边**：在顶点对应链表中查询与删除指定边，使用 $O(m)$ 时间。与添加边一样，需要同时删除两个方向的边。
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- **添加顶点**：在邻接表中添加一个链表即可，并以新增顶点为链表头结点，使用 $O(1)$ 时间。
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- **删除顶点**：需要遍历整个邻接表，删除包含指定顶点的所有边，使用 $O(n + m)$ 时间。
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- **初始化**：需要在邻接表中建立 $n$ 个结点和 $2m$ 条边，使用 $O(n + m)$ 时间。
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=== "初始化邻接表"
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=== "添加边"
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=== "删除边"
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=== "添加顶点"
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=== "删除顶点"
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基于邻接表实现图的代码如下所示。
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!!! question "为什么需要使用顶点类 `Vertex` ？"
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如果我们直接通过顶点值来区分不同顶点，那么值重复的顶点将无法被区分。
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如果建立一个顶点列表，用索引来区分不同顶点，那么假设我们想要删除索引为 `i` 的顶点，则需要遍历整个邻接表，将其中 $> i$ 的索引全部执行 $-1$ ，这样的操作是比较耗时的。
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因此，通过引入顶点类 `Vertex` ，每个顶点都是唯一的对象，这样在删除操作时就无需改动其余顶点了。
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=== "Java"
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```java title="graph_adjacency_list.java"
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[class]{Vertex}-[func]{}
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[class]{GraphAdjList}-[func]{}
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```
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=== "C++"
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```cpp title="graph_adjacency_list.cpp"
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[class]{Vertex}-[func]{}
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[class]{GraphAdjList}-[func]{}
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```
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=== "Python"
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```python title="graph_adjacency_list.py"
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[class]{Vertex}-[func]{}
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[class]{GraphAdjList}-[func]{}
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```
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=== "Go"
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```go title="graph_adjacency_list.go"
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[class]{vertex}-[func]{}
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[class]{graphAdjList}-[func]{}
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```
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=== "JavaScript"
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```javascript title="graph_adjacency_list.js"
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[class]{Vertex}-[func]{}
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[class]{GraphAdjList}-[func]{}
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```
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=== "TypeScript"
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```typescript title="graph_adjacency_list.ts"
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[class]{Vertex}-[func]{}
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[class]{GraphAdjList}-[func]{}
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```
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=== "C"
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```c title="graph_adjacency_list.c"
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[class]{vertex}-[func]{}
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[class]{graphAdjList}-[func]{}
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```
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=== "C#"
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```csharp title="graph_adjacency_list.cs"
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[class]{Vertex}-[func]{}
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[class]{GraphAdjList}-[func]{}
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```
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=== "Swift"
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```swift title="graph_adjacency_list.swift"
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[class]{Vertex}-[func]{}
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[class]{GraphAdjList}-[func]{}
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```
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=== "Zig"
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```zig title="graph_adjacency_list.zig"
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[class]{Vertex}-[func]{}
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[class]{GraphAdjList}-[func]{}
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```
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## 9.2.3. 效率对比
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设图中共有 $n$ 个顶点和 $m$ 条边，下表为邻接矩阵和邻接表的时间和空间效率对比。
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<div class="center-table" markdown>
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| | 邻接矩阵 | 邻接表（链表） | 邻接表（哈希表） |
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| ------------ | -------- | -------------- | ---------------- |
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| 判断是否邻接 | $O(1)$ | $O(m)$ | $O(1)$ |
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| 添加边 | $O(1)$ | $O(1)$ | $O(1)$ |
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| 删除边 | $O(1)$ | $O(m)$ | $O(1)$ |
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| 添加顶点 | $O(n)$ | $O(1)$ | $O(1)$ |
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| 删除顶点 | $O(n^2)$ | $O(n + m)$ | $O(n)$ |
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| 内存空间占用 | $O(n^2)$ | $O(n + m)$ | $O(n + m)$ |
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</div>
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观察上表，貌似邻接表（哈希表）的时间与空间效率最优。但实际上，在邻接矩阵中操作边的效率更高，只需要一次数组访问或赋值操作即可。总结以上，**邻接矩阵体现“以空间换时间”，邻接表体现“以时间换空间”**。
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