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15.4   最大切分乘积问题

!!! question

给定一个正整数 $n$ ，将其切分为至少两个正整数的和，求切分后所有整数的乘积最大是多少，如图 15-13 所示。

最大切分乘积的问题定义{ class="animation-figure" }

图 15-13   最大切分乘积的问题定义

假设我们将 n 切分为 m 个整数因子，其中第 i 个因子记为 n_i ，即

$$ n = \sum_{i=1}^{m}n_i

本题的目标是求得所有整数因子的最大乘积，即

$$ \max(\prod_{i=1}^{m}n_i)

我们需要思考的是：切分数量 m 应该多大，每个 n_i 应该是多少？

1.   贪心策略确定

根据经验，两个整数的乘积往往比它们的加和更大。假设从 n 中分出一个因子 2 ，则它们的乘积为 2(n-2) 。我们将该乘积与 n 作比较：

$$ \begin{aligned} 2(n-2) & \geq n \newline 2n - n - 4 & \geq 0 \newline n & \geq 4 \end{aligned}

如图 15-14 所示，当 n \geq 4 时，切分出一个 2 后乘积会变大，这说明大于等于 4 的整数都应该被切分。

贪心策略一：如果切分方案中包含 \geq 4 的因子，那么它就应该被继续切分。最终的切分方案只应出现 $1$、$2$、3 这三种因子。

切分导致乘积变大{ class="animation-figure" }

图 15-14   切分导致乘积变大

接下来思考哪个因子是最优的。在 $1$、$2$、3 这三个因子中，显然 1 是最差的，因为 1 \times (n-1) < n 恒成立，即切分出 1 反而会导致乘积减小。

如图 15-15 所示，当 n = 6 时，有 3 \times 3 > 2 \times 2 \times 2 。这意味着切分出 3 比切分出 2 更优。

贪心策略二：在切分方案中，最多只应存在两个 2 。因为三个 2 总是可以替换为两个 3 ，从而获得更大的乘积。

最优切分因子{ class="animation-figure" }

图 15-15   最优切分因子

综上所述，可推理出以下贪心策略。

  1. 输入整数 n ，从其不断地切分出因子 3 ，直至余数为 $0$、$1$、2 。
  2. 当余数为 0 时，代表 n 是 3 的倍数，因此不做任何处理。
  3. 当余数为 2 时，不继续划分，保留。
  4. 当余数为 1 时，由于 2 \times 2 > 1 \times 3 ，因此应将最后一个 3 替换为 2 。

2.   代码实现

如图 15-16 所示，我们无须通过循环来切分整数，而可以利用向下整除运算得到 3 的个数 a ，用取模运算得到余数 b ，此时有：

$$ n = 3 a + b

请注意，对于 n \leq 3 的边界情况，必须拆分出一个 1 ，乘积为 1 \times (n - 1) 。

=== "Python"

```python title="max_product_cutting.py"
def max_product_cutting(n: int) -> int:
    """最大切分乘积：贪心"""
    # 当 n <= 3 时，必须切分出一个 1
    if n <= 3:
        return 1 * (n - 1)
    # 贪心地切分出 3 ，a 为 3 的个数，b 为余数
    a, b = n // 3, n % 3
    if b == 1:
        # 当余数为 1 时，将一对 1 * 3 转化为 2 * 2
        return int(math.pow(3, a - 1)) * 2 * 2
    if b == 2:
        # 当余数为 2 时，不做处理
        return int(math.pow(3, a)) * 2
    # 当余数为 0 时，不做处理
    return int(math.pow(3, a))
```

=== "C++"

```cpp title="max_product_cutting.cpp"
/* 最大切分乘积：贪心 */
int maxProductCutting(int n) {
    // 当 n <= 3 时，必须切分出一个 1
    if (n <= 3) {
        return 1 * (n - 1);
    }
    // 贪心地切分出 3 ，a 为 3 的个数，b 为余数
    int a = n / 3;
    int b = n % 3;
    if (b == 1) {
        // 当余数为 1 时，将一对 1 * 3 转化为 2 * 2
        return (int)pow(3, a - 1) * 2 * 2;
    }
    if (b == 2) {
        // 当余数为 2 时，不做处理
        return (int)pow(3, a) * 2;
    }
    // 当余数为 0 时，不做处理
    return (int)pow(3, a);
}
```

=== "Java"

```java title="max_product_cutting.java"
/* 最大切分乘积：贪心 */
int maxProductCutting(int n) {
    // 当 n <= 3 时，必须切分出一个 1
    if (n <= 3) {
        return 1 * (n - 1);
    }
    // 贪心地切分出 3 ，a 为 3 的个数，b 为余数
    int a = n / 3;
    int b = n % 3;
    if (b == 1) {
        // 当余数为 1 时，将一对 1 * 3 转化为 2 * 2
        return (int) Math.pow(3, a - 1) * 2 * 2;
    }
    if (b == 2) {
        // 当余数为 2 时，不做处理
        return (int) Math.pow(3, a) * 2;
    }
    // 当余数为 0 时，不做处理
    return (int) Math.pow(3, a);
}
```

=== "C#"

```csharp title="max_product_cutting.cs"
/* 最大切分乘积：贪心 */
int MaxProductCutting(int n) {
    // 当 n <= 3 时，必须切分出一个 1
    if (n <= 3) {
        return 1 * (n - 1);
    }
    // 贪心地切分出 3 ，a 为 3 的个数，b 为余数
    int a = n / 3;
    int b = n % 3;
    if (b == 1) {
        // 当余数为 1 时，将一对 1 * 3 转化为 2 * 2
        return (int)Math.Pow(3, a - 1) * 2 * 2;
    }
    if (b == 2) {
        // 当余数为 2 时，不做处理
        return (int)Math.Pow(3, a) * 2;
    }
    // 当余数为 0 时，不做处理
    return (int)Math.Pow(3, a);
}
```

=== "Go"

```go title="max_product_cutting.go"
/* 最大切分乘积：贪心 */
func maxProductCutting(n int) int {
    // 当 n <= 3 时，必须切分出一个 1
    if n <= 3 {
        return 1 * (n - 1)
    }
    // 贪心地切分出 3 ，a 为 3 的个数，b 为余数
    a := n / 3
    b := n % 3
    if b == 1 {
        // 当余数为 1 时，将一对 1 * 3 转化为 2 * 2
        return int(math.Pow(3, float64(a-1))) * 2 * 2
    }
    if b == 2 {
        // 当余数为 2 时，不做处理
        return int(math.Pow(3, float64(a))) * 2
    }
    // 当余数为 0 时，不做处理
    return int(math.Pow(3, float64(a)))
}
```

=== "Swift"

```swift title="max_product_cutting.swift"
/* 最大切分乘积：贪心 */
func maxProductCutting(n: Int) -> Int {
    // 当 n <= 3 时，必须切分出一个 1
    if n <= 3 {
        return 1 * (n - 1)
    }
    // 贪心地切分出 3 ，a 为 3 的个数，b 为余数
    let a = n / 3
    let b = n % 3
    if b == 1 {
        // 当余数为 1 时，将一对 1 * 3 转化为 2 * 2
        return pow(3, a - 1) * 2 * 2
    }
    if b == 2 {
        // 当余数为 2 时，不做处理
        return pow(3, a) * 2
    }
    // 当余数为 0 时，不做处理
    return pow(3, a)
}
```

=== "JS"

```javascript title="max_product_cutting.js"
/* 最大切分乘积：贪心 */
function maxProductCutting(n) {
    // 当 n <= 3 时，必须切分出一个 1
    if (n <= 3) {
        return 1 * (n - 1);
    }
    // 贪心地切分出 3 ，a 为 3 的个数，b 为余数
    let a = Math.floor(n / 3);
    let b = n % 3;
    if (b === 1) {
        // 当余数为 1 时，将一对 1 * 3 转化为 2 * 2
        return Math.pow(3, a - 1) * 2 * 2;
    }
    if (b === 2) {
        // 当余数为 2 时，不做处理
        return Math.pow(3, a) * 2;
    }
    // 当余数为 0 时，不做处理
    return Math.pow(3, a);
}
```

=== "TS"

```typescript title="max_product_cutting.ts"
/* 最大切分乘积：贪心 */
function maxProductCutting(n: number): number {
    // 当 n <= 3 时，必须切分出一个 1
    if (n <= 3) {
        return 1 * (n - 1);
    }
    // 贪心地切分出 3 ，a 为 3 的个数，b 为余数
    let a: number = Math.floor(n / 3);
    let b: number = n % 3;
    if (b === 1) {
        // 当余数为 1 时，将一对 1 * 3 转化为 2 * 2
        return Math.pow(3, a - 1) * 2 * 2;
    }
    if (b === 2) {
        // 当余数为 2 时，不做处理
        return Math.pow(3, a) * 2;
    }
    // 当余数为 0 时，不做处理
    return Math.pow(3, a);
}
```

=== "Dart"

```dart title="max_product_cutting.dart"
/* 最大切分乘积：贪心 */
int maxProductCutting(int n) {
  // 当 n <= 3 时，必须切分出一个 1
  if (n <= 3) {
    return 1 * (n - 1);
  }
  // 贪心地切分出 3 ，a 为 3 的个数，b 为余数
  int a = n ~/ 3;
  int b = n % 3;
  if (b == 1) {
    // 当余数为 1 时，将一对 1 * 3 转化为 2 * 2
    return (pow(3, a - 1) * 2 * 2).toInt();
  }
  if (b == 2) {
    // 当余数为 2 时，不做处理
    return (pow(3, a) * 2).toInt();
  }
  // 当余数为 0 时，不做处理
  return pow(3, a).toInt();
}
```

=== "Rust"

```rust title="max_product_cutting.rs"
/* 最大切分乘积：贪心 */
fn max_product_cutting(n: i32) -> i32 {
    // 当 n <= 3 时，必须切分出一个 1
    if n <= 3 {
        return 1 * (n - 1);
    }
    // 贪心地切分出 3 ，a 为 3 的个数，b 为余数
    let a = n / 3;
    let b = n % 3;
    if b == 1 {
        // 当余数为 1 时，将一对 1 * 3 转化为 2 * 2
        3_i32.pow(a as u32 - 1) * 2 * 2
    } else if b == 2 {
        // 当余数为 2 时，不做处理
        3_i32.pow(a as u32) * 2
    } else {
        // 当余数为 0 时，不做处理
        3_i32.pow(a as u32)
    }
}
```

=== "C"

```c title="max_product_cutting.c"
/* 最大切分乘积：贪心 */
int maxProductCutting(int n) {
    // 当 n <= 3 时，必须切分出一个 1
    if (n <= 3) {
        return 1 * (n - 1);
    }
    // 贪心地切分出 3 ，a 为 3 的个数，b 为余数
    int a = n / 3;
    int b = n % 3;
    if (b == 1) {
        // 当余数为 1 时，将一对 1 * 3 转化为 2 * 2
        return pow(3, a - 1) * 2 * 2;
    }
    if (b == 2) {
        // 当余数为 2 时，不做处理
        return pow(3, a) * 2;
    }
    // 当余数为 0 时，不做处理
    return pow(3, a);
}
```

=== "Kotlin"

```kotlin title="max_product_cutting.kt"
/* 最大切分乘积：贪心 */
fun maxProductCutting(n: Int): Int {
    // 当 n <= 3 时，必须切分出一个 1
    if (n <= 3) {
        return 1 * (n - 1)
    }
    // 贪心地切分出 3 ，a 为 3 的个数，b 为余数
    val a = n / 3
    val b = n % 3
    if (b == 1) {
        // 当余数为 1 时，将一对 1 * 3 转化为 2 * 2
        return 3.0.pow((a - 1)).toInt() * 2 * 2
    }
    if (b == 2) {
        // 当余数为 2 时，不做处理
        return 3.0.pow(a).toInt() * 2 * 2
    }
    // 当余数为 0 时，不做处理
    return 3.0.pow(a).toInt()
}
```

=== "Ruby"

```ruby title="max_product_cutting.rb"
### 最大切分乘积：贪心 ###
def max_product_cutting(n)
  # 当 n <= 3 时，必须切分出一个 1
  return 1 * (n - 1) if n <= 3
  # 贪心地切分出 3 ，a 为 3 的个数，b 为余数
  a, b = n / 3, n % 3
  # 当余数为 1 时，将一对 1 * 3 转化为 2 * 2
  return (3.pow(a - 1) * 2 * 2).to_i if b == 1
  # 当余数为 2 时，不做处理
  return (3.pow(a) * 2).to_i if b == 2
  # 当余数为 0 时，不做处理
  3.pow(a).to_i
end
```

=== "Zig"

```zig title="max_product_cutting.zig"
[class]{}-[func]{maxProductCutting}
```

??? pythontutor "可视化运行"

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最大切分乘积的计算方法{ class="animation-figure" }

图 15-16   最大切分乘积的计算方法

时间复杂度取决于编程语言的幂运算的实现方法。以 Python 为例，常用的幂计算函数有三种。

  • 运算符 ** 和函数 pow() 的时间复杂度均为 O(\log⁡ a) 。
  • 函数 math.pow() 内部调用 C 语言库的 pow() 函数，其执行浮点取幂，时间复杂度为 O(1) 。

变量 a 和 b 使用常数大小的额外空间，因此空间复杂度为 $O(1)$ 。

3.   正确性证明

使用反证法，只分析 n \geq 3 的情况。

  1. 所有因子 $\leq 3$ ：假设最优切分方案中存在 \geq 4 的因子 x ，那么一定可以将其继续划分为 2(x-2) ，从而获得更大的乘积。这与假设矛盾。
  2. 切分方案不包含 $1$ ：假设最优切分方案中存在一个因子 1 ，那么它一定可以合并入另外一个因子中，以获得更大的乘积。这与假设矛盾。
  3. 切分方案最多包含两个 $2$ ：假设最优切分方案中包含三个 2 ，那么一定可以替换为两个 3 ，乘积更大。这与假设矛盾。