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基数排序

上一节介绍了计数排序，它适用于数据量 n 较大但数据范围 m 较小的情况。假设我们需要对 n = 10^6 个学号进行排序，而学号是一个 8 位数字，这意味着数据范围 m = 10^8 非常大，使用计数排序需要分配大量内存空间，而基数排序可以避免这种情况。

基数排序（radix sort）的核心思想与计数排序一致，也通过统计个数来实现排序。在此基础上，基数排序利用数字各位之间的递进关系，依次对每一位进行排序，从而得到最终的排序结果。

算法流程

以学号数据为例，假设数字的最低位是第 1 位，最高位是第 8 位，基数排序的流程如下图所示。

1. 初始化位数 k = 1 。
2. 对学号的第 k 位执行“计数排序”。完成后，数据会根据第 k 位从小到大排序。
3. 将 k 增加 1 ，然后返回步骤 2. 继续迭代，直到所有位都排序完成后结束。

下面剖析代码实现。对于一个 d 进制的数字 x ，要获取其第 k 位 x_k ，可以使用以下计算公式：

$$ x_k = \lfloor\frac{x}{d^{k-1}}\rfloor \bmod d

其中 \lfloor a \rfloor 表示对浮点数 a 向下取整，而 \bmod \: d 表示对 d 取模（取余）。对于学号数据，d = 10 且 k \in [1, 8] 。

此外，我们需要小幅改动计数排序代码，使之可以根据数字的第 k 位进行排序：

[file]{radix_sort}-[class]{}-[func]{radix_sort}

!!! question "为什么从最低位开始排序？"

在连续的排序轮次中，后一轮排序会覆盖前一轮排序的结果。举例来说，如果第一轮排序结果 $a < b$ ，而第二轮排序结果 $a > b$ ，那么第二轮的结果将取代第一轮的结果。由于数字的高位优先级高于低位，因此应该先排序低位再排序高位。

算法特性

相较于计数排序，基数排序适用于数值范围较大的情况，但前提是数据必须可以表示为固定位数的格式，且位数不能过大。例如，浮点数不适合使用基数排序，因为其位数 k 过大，可能导致时间复杂度 O(nk) \gg O(n^2) 。

• 时间复杂度为 $O(nk)$：设数据量为 $n$、数据为 d 进制、最大位数为 k ，则对某一位执行计数排序使用 O(n + d) 时间，排序所有 k 位使用 O((n + d)k) 时间。通常情况下，d 和 k 都相对较小，时间复杂度趋向 O(n) 。
• 空间复杂度为 $O(n + d)$、非原地排序：与计数排序相同，基数排序需要借助长度为 n 和 d 的数组 res 和 counter 。
• 稳定排序：当计数排序稳定时，基数排序也稳定；当计数排序不稳定时，基数排序无法保证得到正确的排序结果。