xmengnet/hello-algo
1
0
Fork 0
mirror of https://github.com/krahets/hello-algo.git synced 2024-12-27 15:36:31 +08:00
Code Issues Projects Releases Packages Wiki Activity Actions
hello-algo/zh-Hant/docs/chapter_tree/binary_search_tree.md
krahets 8d37c215c8 build
2024-04-06 03:02:20 +08:00

1628 lines
78 KiB
Markdown
Executable file
Raw Blame History

This file contains ambiguous Unicode characters

This file contains Unicode characters that might be confused with other characters. If you think that this is intentional, you can safely ignore this warning. Use the Escape button to reveal them.

---
comments: true
---
# 7.4   二元搜尋樹
如圖 7-16 所示，<u>二元搜尋樹（binary search tree）</u>滿足以下條件。
1. 對於根節點，左子樹中所有節點的值 $<$ 根節點的值 $<$ 右子樹中所有節點的值。
2. 任意節點的左、右子樹也是二元搜尋樹，即同樣滿足條件 `1.` 。
![二元搜尋樹](binary_search_tree.assets/binary_search_tree.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 圖 7-16 &nbsp; 二元搜尋樹 </p>
## 7.4.1 &nbsp; 二元搜尋樹的操作
我們將二元搜尋樹封裝為一個類別 `BinarySearchTree` ，並宣告一個成員變數 `root` ，指向樹的根節點。
### 1. &nbsp; 查詢節點
給定目標節點值 `num` ，可以根據二元搜尋樹的性質來查詢。如圖 7-17 所示，我們宣告一個節點 `cur` ，從二元樹的根節點 `root` 出發，迴圈比較節點值 `cur.val` 和 `num` 之間的大小關係。
- 若 `cur.val < num` ，說明目標節點在 `cur` 的右子樹中，因此執行 `cur = cur.right` 。
- 若 `cur.val > num` ，說明目標節點在 `cur` 的左子樹中，因此執行 `cur = cur.left` 。
- 若 `cur.val = num` ，說明找到目標節點，跳出迴圈並返回該節點。
=== "<1>"
![二元搜尋樹查詢節點示例](binary_search_tree.assets/bst_search_step1.png){ class="animation-figure" }
=== "<2>"
![bst_search_step2](binary_search_tree.assets/bst_search_step2.png){ class="animation-figure" }
=== "<3>"
![bst_search_step3](binary_search_tree.assets/bst_search_step3.png){ class="animation-figure" }
=== "<4>"
![bst_search_step4](binary_search_tree.assets/bst_search_step4.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 圖 7-17 &nbsp; 二元搜尋樹查詢節點示例 </p>
二元搜尋樹的查詢操作與二分搜尋演算法的工作原理一致，都是每輪排除一半情況。迴圈次數最多為二元樹的高度，當二元樹平衡時，使用 $O(\log n)$ 時間。示例程式碼如下：
=== "Python"
```python title="binary_search_tree.py"
def search(self, num: int) -> TreeNode | None:
"""查詢節點"""
cur = self._root
# 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while cur is not None:
# 目標節點在 cur 的右子樹中
if cur.val < num:
cur = cur.right
# 目標節點在 cur 的左子樹中
elif cur.val > num:
cur = cur.left
# 找到目標節點，跳出迴圈
else:
break
return cur
```
=== "C++"
```cpp title="binary_search_tree.cpp"
/* 查詢節點 */
TreeNode *search(int num) {
TreeNode *cur = root;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur != nullptr) {
// 目標節點在 cur 的右子樹中
if (cur->val < num)
cur = cur->right;
// 目標節點在 cur 的左子樹中
else if (cur->val > num)
cur = cur->left;
// 找到目標節點，跳出迴圈
else
break;
}
// 返回目標節點
return cur;
}
```
=== "Java"
```java title="binary_search_tree.java"
/* 查詢節點 */
TreeNode search(int num) {
TreeNode cur = root;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur != null) {
// 目標節點在 cur 的右子樹中
if (cur.val < num)
cur = cur.right;
// 目標節點在 cur 的左子樹中
else if (cur.val > num)
cur = cur.left;
// 找到目標節點，跳出迴圈
else
break;
}
// 返回目標節點
return cur;
}
```
=== "C#"
```csharp title="binary_search_tree.cs"
/* 查詢節點 */
TreeNode? Search(int num) {
TreeNode? cur = root;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur != null) {
// 目標節點在 cur 的右子樹中
if (cur.val < num) cur =
cur.right;
// 目標節點在 cur 的左子樹中
else if (cur.val > num)
cur = cur.left;
// 找到目標節點，跳出迴圈
else
break;
}
// 返回目標節點
return cur;
}
```
=== "Go"
```go title="binary_search_tree.go"
/* 查詢節點 */
func (bst *binarySearchTree) search(num int) *TreeNode {
node := bst.root
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
for node != nil {
if node.Val.(int) < num {
// 目標節點在 cur 的右子樹中
node = node.Right
} else if node.Val.(int) > num {
// 目標節點在 cur 的左子樹中
node = node.Left
} else {
// 找到目標節點，跳出迴圈
break
}
}
// 返回目標節點
return node
}
```
=== "Swift"
```swift title="binary_search_tree.swift"
/* 查詢節點 */
func search(num: Int) -> TreeNode? {
var cur = root
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while cur != nil {
// 目標節點在 cur 的右子樹中
if cur!.val < num {
cur = cur?.right
}
// 目標節點在 cur 的左子樹中
else if cur!.val > num {
cur = cur?.left
}
// 找到目標節點，跳出迴圈
else {
break
}
}
// 返回目標節點
return cur
}
```
=== "JS"
```javascript title="binary_search_tree.js"
/* 查詢節點 */
search(num) {
let cur = this.root;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur !== null) {
// 目標節點在 cur 的右子樹中
if (cur.val < num) cur = cur.right;
// 目標節點在 cur 的左子樹中
else if (cur.val > num) cur = cur.left;
// 找到目標節點，跳出迴圈
else break;
}
// 返回目標節點
return cur;
}
```
=== "TS"
```typescript title="binary_search_tree.ts"
/* 查詢節點 */
search(num: number): TreeNode | null {
let cur = this.root;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur !== null) {
// 目標節點在 cur 的右子樹中
if (cur.val < num) cur = cur.right;
// 目標節點在 cur 的左子樹中
else if (cur.val > num) cur = cur.left;
// 找到目標節點，跳出迴圈
else break;
}
// 返回目標節點
return cur;
}
```
=== "Dart"
```dart title="binary_search_tree.dart"
/* 查詢節點 */
TreeNode? search(int _num) {
TreeNode? cur = _root;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur != null) {
// 目標節點在 cur 的右子樹中
if (cur.val < _num)
cur = cur.right;
// 目標節點在 cur 的左子樹中
else if (cur.val > _num)
cur = cur.left;
// 找到目標節點，跳出迴圈
else
break;
}
// 返回目標節點
return cur;
}
```
=== "Rust"
```rust title="binary_search_tree.rs"
/* 查詢節點 */
pub fn search(&self, num: i32) -> OptionTreeNodeRc {
let mut cur = self.root.clone();
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while let Some(node) = cur.clone() {
match num.cmp(&node.borrow().val) {
// 目標節點在 cur 的右子樹中
Ordering::Greater => cur = node.borrow().right.clone(),
// 目標節點在 cur 的左子樹中
Ordering::Less => cur = node.borrow().left.clone(),
// 找到目標節點，跳出迴圈
Ordering::Equal => break,
}
}
// 返回目標節點
cur
}
```
=== "C"
```c title="binary_search_tree.c"
/* 查詢節點 */
TreeNode *search(BinarySearchTree *bst, int num) {
TreeNode *cur = bst->root;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur != NULL) {
if (cur->val < num) {
// 目標節點在 cur 的右子樹中
cur = cur->right;
} else if (cur->val > num) {
// 目標節點在 cur 的左子樹中
cur = cur->left;
} else {
// 找到目標節點，跳出迴圈
break;
}
}
// 返回目標節點
return cur;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="binary_search_tree.kt"
/* 查詢節點 */
fun search(num: Int): TreeNode? {
var cur = root
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur != null) {
// 目標節點在 cur 的右子樹中
cur = if (cur.value < num) cur.right
// 目標節點在 cur 的左子樹中
else if (cur.value > num) cur.left
// 找到目標節點，跳出迴圈
else break
}
// 返回目標節點
return cur
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="binary_search_tree.rb"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{search}
```
=== "Zig"
```zig title="binary_search_tree.zig"
// 查詢節點
fn search(self: *Self, num: T) ?*inc.TreeNode(T) {
var cur = self.root;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur != null) {
// 目標節點在 cur 的右子樹中
if (cur.?.val < num) {
cur = cur.?.right;
// 目標節點在 cur 的左子樹中
} else if (cur.?.val > num) {
cur = cur.?.left;
// 找到目標節點，跳出迴圈
} else {
break;
}
}
// 返回目標節點
return cur;
}
```
??? pythontutor "視覺化執行"
<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=class%20TreeNode%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91%E8%8A%82%E7%82%B9%E7%B1%BB%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self,%20val%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%20%3D%20val%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.left%20%3D%20None%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.right%20%3D%20None%0A%0A%0Aclass%20BinarySearchTree%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%90%9C%E7%B4%A2%E6%A0%91%22%22%22%0A%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%9E%84%E9%80%A0%E6%96%B9%E6%B3%95%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E7%A9%BA%E6%A0%91%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self._root%20%3D%20None%0A%0A%20%20%20%20def%20search%28self,%20num%3A%20int%29%20-%3E%20TreeNode%20%7C%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%9F%A5%E6%89%BE%E8%8A%82%E7%82%B9%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cur%20%3D%20self._root%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E6%9F%A5%E6%89%BE%EF%BC%8C%E8%B6%8A%E8%BF%87%E5%8F%B6%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%90%8E%E8%B7%B3%E5%87%BA%0A%20%20%20%20%20%20%20%20while%20cur%20is%20not%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E7%9B%AE%E6%A0%87%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%9C%A8%20cur%20%E7%9A%84%E5%8F%B3%E5%AD%90%E6%A0%91%E4%B8%AD%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20cur.val%20%3C%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cur%20%3D%20cur.right%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E7%9B%AE%E6%A0%87%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%9C%A8%20cur%20%E7%9A%84%E5%B7%A6%E5%AD%90%E6%A0%91%E4%B8%AD%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20elif%20cur.val%20%3E%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cur%20%3D%20cur.left%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%89%BE%E5%88%B0%E7%9B%AE%E6%A0%87%E8%8A%82%E7%82%B9%EF%BC%8C%E8%B7%B3%E5%87%BA%E5%BE%AA%E7%8E%AF%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20cur%0A%0A%20%20%20%20def%20insert%28self,%20num%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%8F%92%E5%85%A5%E8%8A%82%E7%82%B9%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E6%A0%91%E4%B8%BA%E7%A9%BA%EF%BC%8C%E5%88%99%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E6%A0%B9%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20self._root%20is%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self._root%20%3D%20TreeNode%28num%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E6%9F%A5%E6%89%BE%EF%BC%8C%E8%B6%8A%E8%BF%87%E5%8F%B6%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%90%8E%E8%B7%B3%E5%87%BA%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cur,%20pre%20%3D%20self._root,%20None%0A%20%20%20%20%20%20%20%20while%20cur%20is%20not%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%89%BE%E5%88%B0%E9%87%8D%E5%A4%8D%E8%8A%82%E7%82%B9%EF%BC%8C%E7%9B%B4%E6%8E%A5%E8%BF%94%E5%9B%9E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20cur.val%20%3D%3D%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pre%20%3D%20cur%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%8F%92%E5%85%A5%E4%BD%8D%E7%BD%AE%E5%9C%A8%20cur%20%E7%9A%84%E5%8F%B3%E5%AD%90%E6%A0%91%E4%B8%AD%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20cur.val%20%3C%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cur%20%3D%20cur.right%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%8F%92%E5%85%A5%E4%BD%8D%E7%BD%AE%E5%9C%A8%20cur%20%E7%9A%84%E5%B7%A6%E5%AD%90%E6%A0%91%E4%B8%AD%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cur%20%3D%20cur.left%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%8F%92%E5%85%A5%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20node%20%3D%20TreeNode%28num%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20pre.val%20%3C%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pre.right%20%3D%20node%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pre.left%20%3D%20node%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%90%9C%E7%B4%A2%E6%A0%91%0A%20%20%20%20bst%20%3D%20BinarySearchTree%28%29%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5B4,%202,%206,%201,%203,%205,%207%5D%0A%20%20%20%20for%20num%20in%20nums%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bst.insert%28num%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E6%9F%A5%E6%89%BE%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20node%20%3D%20bst.search%287%29%0A%20%20%20%20print%28%22%5Cn%E6%9F%A5%E6%89%BE%E5%88%B0%E7%9A%84%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%AF%B9%E8%B1%A1%E4%B8%BA%3A%20%7B%7D%EF%BC%8C%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%80%BC%20%3D%20%7B%7D%22.format%28node,%20node.val%29%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=162&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=class%20TreeNode%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91%E8%8A%82%E7%82%B9%E7%B1%BB%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self,%20val%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%20%3D%20val%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.left%20%3D%20None%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.right%20%3D%20None%0A%0A%0Aclass%20BinarySearchTree%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%90%9C%E7%B4%A2%E6%A0%91%22%22%22%0A%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%9E%84%E9%80%A0%E6%96%B9%E6%B3%95%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E7%A9%BA%E6%A0%91%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self._root%20%3D%20None%0A%0A%20%20%20%20def%20search%28self,%20num%3A%20int%29%20-%3E%20TreeNode%20%7C%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%9F%A5%E6%89%BE%E8%8A%82%E7%82%B9%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cur%20%3D%20self._root%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E6%9F%A5%E6%89%BE%EF%BC%8C%E8%B6%8A%E8%BF%87%E5%8F%B6%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%90%8E%E8%B7%B3%E5%87%BA%0A%20%20%20%20%20%20%20%20while%20cur%20is%20not%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E7%9B%AE%E6%A0%87%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%9C%A8%20cur%20%E7%9A%84%E5%8F%B3%E5%AD%90%E6%A0%91%E4%B8%AD%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20cur.val%20%3C%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cur%20%3D%20cur.right%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E7%9B%AE%E6%A0%87%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%9C%A8%20cur%20%E7%9A%84%E5%B7%A6%E5%AD%90%E6%A0%91%E4%B8%AD%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20elif%20cur.val%20%3E%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cur%20%3D%20cur.left%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%89%BE%E5%88%B0%E7%9B%AE%E6%A0%87%E8%8A%82%E7%82%B9%EF%BC%8C%E8%B7%B3%E5%87%BA%E5%BE%AA%E7%8E%AF%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20cur%0A%0A%20%20%20%20def%20insert%28self,%20num%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%8F%92%E5%85%A5%E8%8A%82%E7%82%B9%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E6%A0%91%E4%B8%BA%E7%A9%BA%EF%BC%8C%E5%88%99%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E6%A0%B9%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20self._root%20is%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self._root%20%3D%20TreeNode%28num%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E6%9F%A5%E6%89%BE%EF%BC%8C%E8%B6%8A%E8%BF%87%E5%8F%B6%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%90%8E%E8%B7%B3%E5%87%BA%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cur,%20pre%20%3D%20self._root,%20None%0A%20%20%20%20%20%20%20%20while%20cur%20is%20not%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%89%BE%E5%88%B0%E9%87%8D%E5%A4%8D%E8%8A%82%E7%82%B9%EF%BC%8C%E7%9B%B4%E6%8E%A5%E8%BF%94%E5%9B%9E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20cur.val%20%3D%3D%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pre%20%3D%20cur%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%8F%92%E5%85%A5%E4%BD%8D%E7%BD%AE%E5%9C%A8%20cur%20%E7%9A%84%E5%8F%B3%E5%AD%90%E6%A0%91%E4%B8%AD%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20cur.val%20%3C%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cur%20%3D%20cur.right%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%8F%92%E5%85%A5%E4%BD%8D%E7%BD%AE%E5%9C%A8%20cur%20%E7%9A%84%E5%B7%A6%E5%AD%90%E6%A0%91%E4%B8%AD%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cur%20%3D%20cur.left%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%8F%92%E5%85%A5%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20node%20%3D%20TreeNode%28num%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20pre.val%20%3C%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pre.right%20%3D%20node%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pre.left%20%3D%20node%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%90%9C%E7%B4%A2%E6%A0%91%0A%20%20%20%20bst%20%3D%20BinarySearchTree%28%29%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5B4,%202,%206,%201,%203,%205,%207%5D%0A%20%20%20%20for%20num%20in%20nums%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bst.insert%28num%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E6%9F%A5%E6%89%BE%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20node%20%3D%20bst.search%287%29%0A%20%20%20%20print%28%22%5Cn%E6%9F%A5%E6%89%BE%E5%88%B0%E7%9A%84%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%AF%B9%E8%B1%A1%E4%B8%BA%3A%20%7B%7D%EF%BC%8C%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%80%BC%20%3D%20%7B%7D%22.format%28node,%20node.val%29%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=162&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 ></a></div>
### 2. &nbsp; 插入節點
給定一個待插入元素 `num` ，為了保持二元搜尋樹“左子樹 < 根節點 < 右子樹”的性質，插入操作流程如圖 7-18 所示。
1. **查詢插入位置**：與查詢操作相似，從根節點出發，根據當前節點值和 `num` 的大小關係迴圈向下搜尋，直到越過葉節點（走訪至 `None` ）時跳出迴圈。
2. **在該位置插入節點**：初始化節點 `num` ，將該節點置於 `None` 的位置。
![在二元搜尋樹中插入節點](binary_search_tree.assets/bst_insert.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 圖 7-18 &nbsp; 在二元搜尋樹中插入節點 </p>
在程式碼實現中，需要注意以下兩點。
- 二元搜尋樹不允許存在重複節點，否則將違反其定義。因此，若待插入節點在樹中已存在，則不執行插入，直接返回。
- 為了實現插入節點，我們需要藉助節點 `pre` 儲存上一輪迴圈的節點。這樣在走訪至 `None` 時，我們可以獲取到其父節點，從而完成節點插入操作。
=== "Python"
```python title="binary_search_tree.py"
def insert(self, num: int):
"""插入節點"""
# 若樹為空，則初始化根節點
if self._root is None:
self._root = TreeNode(num)
return
# 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
cur, pre = self._root, None
while cur is not None:
# 找到重複節點，直接返回
if cur.val == num:
return
pre = cur
# 插入位置在 cur 的右子樹中
if cur.val < num:
cur = cur.right
# 插入位置在 cur 的左子樹中
else:
cur = cur.left
# 插入節點
node = TreeNode(num)
if pre.val < num:
pre.right = node
else:
pre.left = node
```
=== "C++"
```cpp title="binary_search_tree.cpp"
/* 插入節點 */
void insert(int num) {
// 若樹為空，則初始化根節點
if (root == nullptr) {
root = new TreeNode(num);
return;
}
TreeNode *cur = root, *pre = nullptr;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur != nullptr) {
// 找到重複節點，直接返回
if (cur->val == num)
return;
pre = cur;
// 插入位置在 cur 的右子樹中
if (cur->val < num)
cur = cur->right;
// 插入位置在 cur 的左子樹中
else
cur = cur->left;
}
// 插入節點
TreeNode *node = new TreeNode(num);
if (pre->val < num)
pre->right = node;
else
pre->left = node;
}
```
=== "Java"
```java title="binary_search_tree.java"
/* 插入節點 */
void insert(int num) {
// 若樹為空，則初始化根節點
if (root == null) {
root = new TreeNode(num);
return;
}
TreeNode cur = root, pre = null;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur != null) {
// 找到重複節點，直接返回
if (cur.val == num)
return;
pre = cur;
// 插入位置在 cur 的右子樹中
if (cur.val < num)
cur = cur.right;
// 插入位置在 cur 的左子樹中
else
cur = cur.left;
}
// 插入節點
TreeNode node = new TreeNode(num);
if (pre.val < num)
pre.right = node;
else
pre.left = node;
}
```
=== "C#"
```csharp title="binary_search_tree.cs"
/* 插入節點 */
void Insert(int num) {
// 若樹為空，則初始化根節點
if (root == null) {
root = new TreeNode(num);
return;
}
TreeNode? cur = root, pre = null;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur != null) {
// 找到重複節點，直接返回
if (cur.val == num)
return;
pre = cur;
// 插入位置在 cur 的右子樹中
if (cur.val < num)
cur = cur.right;
// 插入位置在 cur 的左子樹中
else
cur = cur.left;
}
// 插入節點
TreeNode node = new(num);
if (pre != null) {
if (pre.val < num)
pre.right = node;
else
pre.left = node;
}
}
```
=== "Go"
```go title="binary_search_tree.go"
/* 插入節點 */
func (bst *binarySearchTree) insert(num int) {
cur := bst.root
// 若樹為空，則初始化根節點
if cur == nil {
bst.root = NewTreeNode(num)
return
}
// 待插入節點之前的節點位置
var pre *TreeNode = nil
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
for cur != nil {
if cur.Val == num {
return
}
pre = cur
if cur.Val.(int) < num {
cur = cur.Right
} else {
cur = cur.Left
}
}
// 插入節點
node := NewTreeNode(num)
if pre.Val.(int) < num {
pre.Right = node
} else {
pre.Left = node
}
}
```
=== "Swift"
```swift title="binary_search_tree.swift"
/* 插入節點 */
func insert(num: Int) {
// 若樹為空，則初始化根節點
if root == nil {
root = TreeNode(x: num)
return
}
var cur = root
var pre: TreeNode?
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while cur != nil {
// 找到重複節點，直接返回
if cur!.val == num {
return
}
pre = cur
// 插入位置在 cur 的右子樹中
if cur!.val < num {
cur = cur?.right
}
// 插入位置在 cur 的左子樹中
else {
cur = cur?.left
}
}
// 插入節點
let node = TreeNode(x: num)
if pre!.val < num {
pre?.right = node
} else {
pre?.left = node
}
}
```
=== "JS"
```javascript title="binary_search_tree.js"
/* 插入節點 */
insert(num) {
// 若樹為空，則初始化根節點
if (this.root === null) {
this.root = new TreeNode(num);
return;
}
let cur = this.root,
pre = null;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur !== null) {
// 找到重複節點，直接返回
if (cur.val === num) return;
pre = cur;
// 插入位置在 cur 的右子樹中
if (cur.val < num) cur = cur.right;
// 插入位置在 cur 的左子樹中
else cur = cur.left;
}
// 插入節點
const node = new TreeNode(num);
if (pre.val < num) pre.right = node;
else pre.left = node;
}
```
=== "TS"
```typescript title="binary_search_tree.ts"
/* 插入節點 */
insert(num: number): void {
// 若樹為空，則初始化根節點
if (this.root === null) {
this.root = new TreeNode(num);
return;
}
let cur: TreeNode | null = this.root,
pre: TreeNode | null = null;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur !== null) {
// 找到重複節點，直接返回
if (cur.val === num) return;
pre = cur;
// 插入位置在 cur 的右子樹中
if (cur.val < num) cur = cur.right;
// 插入位置在 cur 的左子樹中
else cur = cur.left;
}
// 插入節點
const node = new TreeNode(num);
if (pre!.val < num) pre!.right = node;
else pre!.left = node;
}
```
=== "Dart"
```dart title="binary_search_tree.dart"
/* 插入節點 */
void insert(int _num) {
// 若樹為空，則初始化根節點
if (_root == null) {
_root = TreeNode(_num);
return;
}
TreeNode? cur = _root;
TreeNode? pre = null;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur != null) {
// 找到重複節點，直接返回
if (cur.val == _num) return;
pre = cur;
// 插入位置在 cur 的右子樹中
if (cur.val < _num)
cur = cur.right;
// 插入位置在 cur 的左子樹中
else
cur = cur.left;
}
// 插入節點
TreeNode? node = TreeNode(_num);
if (pre!.val < _num)
pre.right = node;
else
pre.left = node;
}
```
=== "Rust"
```rust title="binary_search_tree.rs"
/* 插入節點 */
pub fn insert(&mut self, num: i32) {
// 若樹為空，則初始化根節點
if self.root.is_none() {
self.root = Some(TreeNode::new(num));
return;
}
let mut cur = self.root.clone();
let mut pre = None;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while let Some(node) = cur.clone() {
match num.cmp(&node.borrow().val) {
// 找到重複節點，直接返回
Ordering::Equal => return,
// 插入位置在 cur 的右子樹中
Ordering::Greater => {
pre = cur.clone();
cur = node.borrow().right.clone();
}
// 插入位置在 cur 的左子樹中
Ordering::Less => {
pre = cur.clone();
cur = node.borrow().left.clone();
}
}
}
// 插入節點
let pre = pre.unwrap();
let node = Some(TreeNode::new(num));
if num > pre.borrow().val {
pre.borrow_mut().right = node;
} else {
pre.borrow_mut().left = node;
}
}
```
=== "C"
```c title="binary_search_tree.c"
/* 插入節點 */
void insert(BinarySearchTree *bst, int num) {
// 若樹為空，則初始化根節點
if (bst->root == NULL) {
bst->root = newTreeNode(num);
return;
}
TreeNode *cur = bst->root, *pre = NULL;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur != NULL) {
// 找到重複節點，直接返回
if (cur->val == num) {
return;
}
pre = cur;
if (cur->val < num) {
// 插入位置在 cur 的右子樹中
cur = cur->right;
} else {
// 插入位置在 cur 的左子樹中
cur = cur->left;
}
}
// 插入節點
TreeNode *node = newTreeNode(num);
if (pre->val < num) {
pre->right = node;
} else {
pre->left = node;
}
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="binary_search_tree.kt"
/* 插入節點 */
fun insert(num: Int) {
// 若樹為空，則初始化根節點
if (root == null) {
root = TreeNode(num)
return
}
var cur = root
var pre: TreeNode? = null
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur != null) {
// 找到重複節點，直接返回
if (cur.value == num) return
pre = cur
// 插入位置在 cur 的右子樹中
cur = if (cur.value < num) cur.right
// 插入位置在 cur 的左子樹中
else cur.left
}
// 插入節點
val node = TreeNode(num)
if (pre?.value!! < num) pre.right = node
else pre.left = node
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="binary_search_tree.rb"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{insert}
```
=== "Zig"
```zig title="binary_search_tree.zig"
// 插入節點
fn insert(self: *Self, num: T) !void {
// 若樹為空，則初始化根節點
if (self.root == null) {
self.root = try self.mem_allocator.create(inc.TreeNode(T));
return;
}
var cur = self.root;
var pre: ?*inc.TreeNode(T) = null;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur != null) {
// 找到重複節點，直接返回
if (cur.?.val == num) return;
pre = cur;
// 插入位置在 cur 的右子樹中
if (cur.?.val < num) {
cur = cur.?.right;
// 插入位置在 cur 的左子樹中
} else {
cur = cur.?.left;
}
}
// 插入節點
var node = try self.mem_allocator.create(inc.TreeNode(T));
node.init(num);
if (pre.?.val < num) {
pre.?.right = node;
} else {
pre.?.left = node;
}
}
```
??? pythontutor "視覺化執行"
<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=class%20TreeNode%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91%E8%8A%82%E7%82%B9%E7%B1%BB%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self,%20val%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%20%3D%20val%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.left%20%3D%20None%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.right%20%3D%20None%0A%0A%0Aclass%20BinarySearchTree%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%90%9C%E7%B4%A2%E6%A0%91%22%22%22%0A%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%9E%84%E9%80%A0%E6%96%B9%E6%B3%95%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E7%A9%BA%E6%A0%91%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self._root%20%3D%20None%0A%0A%20%20%20%20def%20insert%28self,%20num%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%8F%92%E5%85%A5%E8%8A%82%E7%82%B9%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E6%A0%91%E4%B8%BA%E7%A9%BA%EF%BC%8C%E5%88%99%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E6%A0%B9%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20self._root%20is%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self._root%20%3D%20TreeNode%28num%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E6%9F%A5%E6%89%BE%EF%BC%8C%E8%B6%8A%E8%BF%87%E5%8F%B6%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%90%8E%E8%B7%B3%E5%87%BA%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cur,%20pre%20%3D%20self._root,%20None%0A%20%20%20%20%20%20%20%20while%20cur%20is%20not%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%89%BE%E5%88%B0%E9%87%8D%E5%A4%8D%E8%8A%82%E7%82%B9%EF%BC%8C%E7%9B%B4%E6%8E%A5%E8%BF%94%E5%9B%9E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20cur.val%20%3D%3D%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pre%20%3D%20cur%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%8F%92%E5%85%A5%E4%BD%8D%E7%BD%AE%E5%9C%A8%20cur%20%E7%9A%84%E5%8F%B3%E5%AD%90%E6%A0%91%E4%B8%AD%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20cur.val%20%3C%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cur%20%3D%20cur.right%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%8F%92%E5%85%A5%E4%BD%8D%E7%BD%AE%E5%9C%A8%20cur%20%E7%9A%84%E5%B7%A6%E5%AD%90%E6%A0%91%E4%B8%AD%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cur%20%3D%20cur.left%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%8F%92%E5%85%A5%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20node%20%3D%20TreeNode%28num%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20pre.val%20%3C%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pre.right%20%3D%20node%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pre.left%20%3D%20node%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%90%9C%E7%B4%A2%E6%A0%91%0A%20%20%20%20bst%20%3D%20BinarySearchTree%28%29%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5B4,%202,%206,%201,%203,%205,%207%5D%0A%20%20%20%20for%20num%20in%20nums%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bst.insert%28num%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E6%8F%92%E5%85%A5%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20bst.insert%2816%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=162&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=class%20TreeNode%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91%E8%8A%82%E7%82%B9%E7%B1%BB%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self,%20val%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%20%3D%20val%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.left%20%3D%20None%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.right%20%3D%20None%0A%0A%0Aclass%20BinarySearchTree%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%90%9C%E7%B4%A2%E6%A0%91%22%22%22%0A%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%9E%84%E9%80%A0%E6%96%B9%E6%B3%95%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E7%A9%BA%E6%A0%91%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self._root%20%3D%20None%0A%0A%20%20%20%20def%20insert%28self,%20num%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%8F%92%E5%85%A5%E8%8A%82%E7%82%B9%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E6%A0%91%E4%B8%BA%E7%A9%BA%EF%BC%8C%E5%88%99%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E6%A0%B9%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20self._root%20is%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self._root%20%3D%20TreeNode%28num%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E6%9F%A5%E6%89%BE%EF%BC%8C%E8%B6%8A%E8%BF%87%E5%8F%B6%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%90%8E%E8%B7%B3%E5%87%BA%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cur,%20pre%20%3D%20self._root,%20None%0A%20%20%20%20%20%20%20%20while%20cur%20is%20not%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%89%BE%E5%88%B0%E9%87%8D%E5%A4%8D%E8%8A%82%E7%82%B9%EF%BC%8C%E7%9B%B4%E6%8E%A5%E8%BF%94%E5%9B%9E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20cur.val%20%3D%3D%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pre%20%3D%20cur%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%8F%92%E5%85%A5%E4%BD%8D%E7%BD%AE%E5%9C%A8%20cur%20%E7%9A%84%E5%8F%B3%E5%AD%90%E6%A0%91%E4%B8%AD%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20cur.val%20%3C%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cur%20%3D%20cur.right%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%8F%92%E5%85%A5%E4%BD%8D%E7%BD%AE%E5%9C%A8%20cur%20%E7%9A%84%E5%B7%A6%E5%AD%90%E6%A0%91%E4%B8%AD%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cur%20%3D%20cur.left%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%8F%92%E5%85%A5%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20node%20%3D%20TreeNode%28num%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20pre.val%20%3C%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pre.right%20%3D%20node%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pre.left%20%3D%20node%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%90%9C%E7%B4%A2%E6%A0%91%0A%20%20%20%20bst%20%3D%20BinarySearchTree%28%29%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5B4,%202,%206,%201,%203,%205,%207%5D%0A%20%20%20%20for%20num%20in%20nums%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bst.insert%28num%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E6%8F%92%E5%85%A5%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20bst.insert%2816%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=162&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 ></a></div>
與查詢節點相同，插入節點使用 $O(\log n)$ 時間。
### 3. &nbsp; 刪除節點
先在二元樹中查詢到目標節點，再將其刪除。與插入節點類似，我們需要保證在刪除操作完成後，二元搜尋樹的“左子樹 < 根節點 < 右子樹”的性質仍然滿足。因此，我們根據目標節點的子節點數量，分 0、1 和 2 三種情況，執行對應的刪除節點操作。
如圖 7-19 所示，當待刪除節點的度為 $0$ 時，表示該節點是葉節點，可以直接刪除。
![在二元搜尋樹中刪除節點（度為 0 ）](binary_search_tree.assets/bst_remove_case1.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 圖 7-19 &nbsp; 在二元搜尋樹中刪除節點（度為 0 ） </p>
如圖 7-20 所示，當待刪除節點的度為 $1$ 時，將待刪除節點替換為其子節點即可。
![在二元搜尋樹中刪除節點（度為 1 ）](binary_search_tree.assets/bst_remove_case2.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 圖 7-20 &nbsp; 在二元搜尋樹中刪除節點（度為 1 ） </p>
當待刪除節點的度為 $2$ 時，我們無法直接刪除它，而需要使用一個節點替換該節點。由於要保持二元搜尋樹“左子樹 $<$ 根節點 $<$ 右子樹”的性質，**因此這個節點可以是右子樹的最小節點或左子樹的最大節點**。
假設我們選擇右子樹的最小節點（中序走訪的下一個節點），則刪除操作流程如圖 7-21 所示。
1. 找到待刪除節點在“中序走訪序列”中的下一個節點，記為 `tmp` 。
2. 用 `tmp` 的值覆蓋待刪除節點的值，並在樹中遞迴刪除節點 `tmp` 。
=== "<1>"
![在二元搜尋樹中刪除節點（度為 2 ）](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_step1.png){ class="animation-figure" }
=== "<2>"
![bst_remove_case3_step2](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_step2.png){ class="animation-figure" }
=== "<3>"
![bst_remove_case3_step3](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_step3.png){ class="animation-figure" }
=== "<4>"
![bst_remove_case3_step4](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_step4.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 圖 7-21 &nbsp; 在二元搜尋樹中刪除節點（度為 2 ） </p>
刪除節點操作同樣使用 $O(\log n)$ 時間，其中查詢待刪除節點需要 $O(\log n)$ 時間，獲取中序走訪後繼節點需要 $O(\log n)$ 時間。示例程式碼如下：
=== "Python"
```python title="binary_search_tree.py"
def remove(self, num: int):
"""刪除節點"""
# 若樹為空，直接提前返回
if self._root is None:
return
# 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
cur, pre = self._root, None
while cur is not None:
# 找到待刪除節點，跳出迴圈
if cur.val == num:
break
pre = cur
# 待刪除節點在 cur 的右子樹中
if cur.val < num:
cur = cur.right
# 待刪除節點在 cur 的左子樹中
else:
cur = cur.left
# 若無待刪除節點，則直接返回
if cur is None:
return
# 子節點數量 = 0 or 1
if cur.left is None or cur.right is None:
# 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = null / 該子節點
child = cur.left or cur.right
# 刪除節點 cur
if cur != self._root:
if pre.left == cur:
pre.left = child
else:
pre.right = child
else:
# 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點
self._root = child
# 子節點數量 = 2
else:
# 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點
tmp: TreeNode = cur.right
while tmp.left is not None:
tmp = tmp.left
# 遞迴刪除節點 tmp
self.remove(tmp.val)
# 用 tmp 覆蓋 cur
cur.val = tmp.val
```
=== "C++"
```cpp title="binary_search_tree.cpp"
/* 刪除節點 */
void remove(int num) {
// 若樹為空，直接提前返回
if (root == nullptr)
return;
TreeNode *cur = root, *pre = nullptr;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur != nullptr) {
// 找到待刪除節點，跳出迴圈
if (cur->val == num)
break;
pre = cur;
// 待刪除節點在 cur 的右子樹中
if (cur->val < num)
cur = cur->right;
// 待刪除節點在 cur 的左子樹中
else
cur = cur->left;
}
// 若無待刪除節點，則直接返回
if (cur == nullptr)
return;
// 子節點數量 = 0 or 1
if (cur->left == nullptr || cur->right == nullptr) {
// 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = nullptr / 該子節點
TreeNode *child = cur->left != nullptr ? cur->left : cur->right;
// 刪除節點 cur
if (cur != root) {
if (pre->left == cur)
pre->left = child;
else
pre->right = child;
} else {
// 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點
root = child;
}
// 釋放記憶體
delete cur;
}
// 子節點數量 = 2
else {
// 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點
TreeNode *tmp = cur->right;
while (tmp->left != nullptr) {
tmp = tmp->left;
}
int tmpVal = tmp->val;
// 遞迴刪除節點 tmp
remove(tmp->val);
// 用 tmp 覆蓋 cur
cur->val = tmpVal;
}
}
```
=== "Java"
```java title="binary_search_tree.java"
/* 刪除節點 */
void remove(int num) {
// 若樹為空，直接提前返回
if (root == null)
return;
TreeNode cur = root, pre = null;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur != null) {
// 找到待刪除節點，跳出迴圈
if (cur.val == num)
break;
pre = cur;
// 待刪除節點在 cur 的右子樹中
if (cur.val < num)
cur = cur.right;
// 待刪除節點在 cur 的左子樹中
else
cur = cur.left;
}
// 若無待刪除節點，則直接返回
if (cur == null)
return;
// 子節點數量 = 0 or 1
if (cur.left == null || cur.right == null) {
// 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = null / 該子節點
TreeNode child = cur.left != null ? cur.left : cur.right;
// 刪除節點 cur
if (cur != root) {
if (pre.left == cur)
pre.left = child;
else
pre.right = child;
} else {
// 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點
root = child;
}
}
// 子節點數量 = 2
else {
// 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點
TreeNode tmp = cur.right;
while (tmp.left != null) {
tmp = tmp.left;
}
// 遞迴刪除節點 tmp
remove(tmp.val);
// 用 tmp 覆蓋 cur
cur.val = tmp.val;
}
}
```
=== "C#"
```csharp title="binary_search_tree.cs"
/* 刪除節點 */
void Remove(int num) {
// 若樹為空，直接提前返回
if (root == null)
return;
TreeNode? cur = root, pre = null;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur != null) {
// 找到待刪除節點，跳出迴圈
if (cur.val == num)
break;
pre = cur;
// 待刪除節點在 cur 的右子樹中
if (cur.val < num)
cur = cur.right;
// 待刪除節點在 cur 的左子樹中
else
cur = cur.left;
}
// 若無待刪除節點，則直接返回
if (cur == null)
return;
// 子節點數量 = 0 or 1
if (cur.left == null || cur.right == null) {
// 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = null / 該子節點
TreeNode? child = cur.left ?? cur.right;
// 刪除節點 cur
if (cur != root) {
if (pre!.left == cur)
pre.left = child;
else
pre.right = child;
} else {
// 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點
root = child;
}
}
// 子節點數量 = 2
else {
// 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點
TreeNode? tmp = cur.right;
while (tmp.left != null) {
tmp = tmp.left;
}
// 遞迴刪除節點 tmp
Remove(tmp.val!.Value);
// 用 tmp 覆蓋 cur
cur.val = tmp.val;
}
}
```
=== "Go"
```go title="binary_search_tree.go"
/* 刪除節點 */
func (bst *binarySearchTree) remove(num int) {
cur := bst.root
// 若樹為空，直接提前返回
if cur == nil {
return
}
// 待刪除節點之前的節點位置
var pre *TreeNode = nil
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
for cur != nil {
if cur.Val == num {
break
}
pre = cur
if cur.Val.(int) < num {
// 待刪除節點在右子樹中
cur = cur.Right
} else {
// 待刪除節點在左子樹中
cur = cur.Left
}
}
// 若無待刪除節點，則直接返回
if cur == nil {
return
}
// 子節點數為 0 或 1
if cur.Left == nil || cur.Right == nil {
var child *TreeNode = nil
// 取出待刪除節點的子節點
if cur.Left != nil {
child = cur.Left
} else {
child = cur.Right
}
// 刪除節點 cur
if cur != bst.root {
if pre.Left == cur {
pre.Left = child
} else {
pre.Right = child
}
} else {
// 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點
bst.root = child
}
// 子節點數為 2
} else {
// 獲取中序走訪中待刪除節點 cur 的下一個節點
tmp := cur.Right
for tmp.Left != nil {
tmp = tmp.Left
}
// 遞迴刪除節點 tmp
bst.remove(tmp.Val.(int))
// 用 tmp 覆蓋 cur
cur.Val = tmp.Val
}
}
```
=== "Swift"
```swift title="binary_search_tree.swift"
/* 刪除節點 */
func remove(num: Int) {
// 若樹為空，直接提前返回
if root == nil {
return
}
var cur = root
var pre: TreeNode?
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while cur != nil {
// 找到待刪除節點，跳出迴圈
if cur!.val == num {
break
}
pre = cur
// 待刪除節點在 cur 的右子樹中
if cur!.val < num {
cur = cur?.right
}
// 待刪除節點在 cur 的左子樹中
else {
cur = cur?.left
}
}
// 若無待刪除節點，則直接返回
if cur == nil {
return
}
// 子節點數量 = 0 or 1
if cur?.left == nil || cur?.right == nil {
// 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = null / 該子節點
let child = cur?.left ?? cur?.right
// 刪除節點 cur
if cur !== root {
if pre?.left === cur {
pre?.left = child
} else {
pre?.right = child
}
} else {
// 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點
root = child
}
}
// 子節點數量 = 2
else {
// 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點
var tmp = cur?.right
while tmp?.left != nil {
tmp = tmp?.left
}
// 遞迴刪除節點 tmp
remove(num: tmp!.val)
// 用 tmp 覆蓋 cur
cur?.val = tmp!.val
}
}
```
=== "JS"
```javascript title="binary_search_tree.js"
/* 刪除節點 */
remove(num) {
// 若樹為空，直接提前返回
if (this.root === null) return;
let cur = this.root,
pre = null;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur !== null) {
// 找到待刪除節點，跳出迴圈
if (cur.val === num) break;
pre = cur;
// 待刪除節點在 cur 的右子樹中
if (cur.val < num) cur = cur.right;
// 待刪除節點在 cur 的左子樹中
else cur = cur.left;
}
// 若無待刪除節點，則直接返回
if (cur === null) return;
// 子節點數量 = 0 or 1
if (cur.left === null || cur.right === null) {
// 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = null / 該子節點
const child = cur.left !== null ? cur.left : cur.right;
// 刪除節點 cur
if (cur !== this.root) {
if (pre.left === cur) pre.left = child;
else pre.right = child;
} else {
// 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點
this.root = child;
}
}
// 子節點數量 = 2
else {
// 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點
let tmp = cur.right;
while (tmp.left !== null) {
tmp = tmp.left;
}
// 遞迴刪除節點 tmp
this.remove(tmp.val);
// 用 tmp 覆蓋 cur
cur.val = tmp.val;
}
}
```
=== "TS"
```typescript title="binary_search_tree.ts"
/* 刪除節點 */
remove(num: number): void {
// 若樹為空，直接提前返回
if (this.root === null) return;
let cur: TreeNode | null = this.root,
pre: TreeNode | null = null;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur !== null) {
// 找到待刪除節點，跳出迴圈
if (cur.val === num) break;
pre = cur;
// 待刪除節點在 cur 的右子樹中
if (cur.val < num) cur = cur.right;
// 待刪除節點在 cur 的左子樹中
else cur = cur.left;
}
// 若無待刪除節點，則直接返回
if (cur === null) return;
// 子節點數量 = 0 or 1
if (cur.left === null || cur.right === null) {
// 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = null / 該子節點
const child: TreeNode | null =
cur.left !== null ? cur.left : cur.right;
// 刪除節點 cur
if (cur !== this.root) {
if (pre!.left === cur) pre!.left = child;
else pre!.right = child;
} else {
// 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點
this.root = child;
}
}
// 子節點數量 = 2
else {
// 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點
let tmp: TreeNode | null = cur.right;
while (tmp!.left !== null) {
tmp = tmp!.left;
}
// 遞迴刪除節點 tmp
this.remove(tmp!.val);
// 用 tmp 覆蓋 cur
cur.val = tmp!.val;
}
}
```
=== "Dart"
```dart title="binary_search_tree.dart"
/* 刪除節點 */
void remove(int _num) {
// 若樹為空，直接提前返回
if (_root == null) return;
TreeNode? cur = _root;
TreeNode? pre = null;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur != null) {
// 找到待刪除節點，跳出迴圈
if (cur.val == _num) break;
pre = cur;
// 待刪除節點在 cur 的右子樹中
if (cur.val < _num)
cur = cur.right;
// 待刪除節點在 cur 的左子樹中
else
cur = cur.left;
}
// 若無待刪除節點，直接返回
if (cur == null) return;
// 子節點數量 = 0 or 1
if (cur.left == null || cur.right == null) {
// 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = null / 該子節點
TreeNode? child = cur.left ?? cur.right;
// 刪除節點 cur
if (cur != _root) {
if (pre!.left == cur)
pre.left = child;
else
pre.right = child;
} else {
// 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點
_root = child;
}
} else {
// 子節點數量 = 2
// 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點
TreeNode? tmp = cur.right;
while (tmp!.left != null) {
tmp = tmp.left;
}
// 遞迴刪除節點 tmp
remove(tmp.val);
// 用 tmp 覆蓋 cur
cur.val = tmp.val;
}
}
```
=== "Rust"
```rust title="binary_search_tree.rs"
/* 刪除節點 */
pub fn remove(&mut self, num: i32) {
// 若樹為空，直接提前返回
if self.root.is_none() {
return;
}
let mut cur = self.root.clone();
let mut pre = None;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while let Some(node) = cur.clone() {
match num.cmp(&node.borrow().val) {
// 找到待刪除節點，跳出迴圈
Ordering::Equal => break,
// 待刪除節點在 cur 的右子樹中
Ordering::Greater => {
pre = cur.clone();
cur = node.borrow().right.clone();
}
// 待刪除節點在 cur 的左子樹中
Ordering::Less => {
pre = cur.clone();
cur = node.borrow().left.clone();
}
}
}
// 若無待刪除節點，則直接返回
if cur.is_none() {
return;
}
let cur = cur.unwrap();
let (left_child, right_child) = (cur.borrow().left.clone(), cur.borrow().right.clone());
match (left_child.clone(), right_child.clone()) {
// 子節點數量 = 0 or 1
(None, None) | (Some(_), None) | (None, Some(_)) => {
// 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = nullptr / 該子節點
let child = left_child.or(right_child);
let pre = pre.unwrap();
// 刪除節點 cur
if !Rc::ptr_eq(&cur, self.root.as_ref().unwrap()) {
let left = pre.borrow().left.clone();
if left.is_some() && Rc::ptr_eq(&left.as_ref().unwrap(), &cur) {
pre.borrow_mut().left = child;
} else {
pre.borrow_mut().right = child;
}
} else {
// 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點
self.root = child;
}
}
// 子節點數量 = 2
(Some(_), Some(_)) => {
// 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點
let mut tmp = cur.borrow().right.clone();
while let Some(node) = tmp.clone() {
if node.borrow().left.is_some() {
tmp = node.borrow().left.clone();
} else {
break;
}
}
let tmpval = tmp.unwrap().borrow().val;
// 遞迴刪除節點 tmp
self.remove(tmpval);
// 用 tmp 覆蓋 cur
cur.borrow_mut().val = tmpval;
}
}
}
```
=== "C"
```c title="binary_search_tree.c"
/* 刪除節點 */
// 由於引入了 stdio.h ，此處無法使用 remove 關鍵詞
void removeItem(BinarySearchTree *bst, int num) {
// 若樹為空，直接提前返回
if (bst->root == NULL)
return;
TreeNode *cur = bst->root, *pre = NULL;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur != NULL) {
// 找到待刪除節點，跳出迴圈
if (cur->val == num)
break;
pre = cur;
if (cur->val < num) {
// 待刪除節點在 root 的右子樹中
cur = cur->right;
} else {
// 待刪除節點在 root 的左子樹中
cur = cur->left;
}
}
// 若無待刪除節點，則直接返回
if (cur == NULL)
return;
// 判斷待刪除節點是否存在子節點
if (cur->left == NULL || cur->right == NULL) {
/* 子節點數量 = 0 or 1 */
// 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = nullptr / 該子節點
TreeNode *child = cur->left != NULL ? cur->left : cur->right;
// 刪除節點 cur
if (pre->left == cur) {
pre->left = child;
} else {
pre->right = child;
}
// 釋放記憶體
free(cur);
} else {
/* 子節點數量 = 2 */
// 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點
TreeNode *tmp = cur->right;
while (tmp->left != NULL) {
tmp = tmp->left;
}
int tmpVal = tmp->val;
// 遞迴刪除節點 tmp
removeItem(bst, tmp->val);
// 用 tmp 覆蓋 cur
cur->val = tmpVal;
}
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="binary_search_tree.kt"
/* 刪除節點 */
fun remove(num: Int) {
// 若樹為空，直接提前返回
if (root == null) return
var cur = root
var pre: TreeNode? = null
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur != null) {
// 找到待刪除節點，跳出迴圈
if (cur.value == num) break
pre = cur
// 待刪除節點在 cur 的右子樹中
cur = if (cur.value < num) cur.right
// 待刪除節點在 cur 的左子樹中
else cur.left
}
// 若無待刪除節點，則直接返回
if (cur == null) return
// 子節點數量 = 0 or 1
if (cur.left == null || cur.right == null) {
// 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = null / 該子節點
val child = if (cur.left != null) cur.left else cur.right
// 刪除節點 cur
if (cur != root) {
if (pre!!.left == cur) pre.left = child
else pre.right = child
} else {
// 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點
root = child
}
// 子節點數量 = 2
} else {
// 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點
var tmp = cur.right
while (tmp!!.left != null) {
tmp = tmp.left
}
// 遞迴刪除節點 tmp
remove(tmp.value)
// 用 tmp 覆蓋 cur
cur.value = tmp.value
}
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="binary_search_tree.rb"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{remove}
```
=== "Zig"
```zig title="binary_search_tree.zig"
// 刪除節點
fn remove(self: *Self, num: T) void {
// 若樹為空，直接提前返回
if (self.root == null) return;
var cur = self.root;
var pre: ?*inc.TreeNode(T) = null;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur != null) {
// 找到待刪除節點，跳出迴圈
if (cur.?.val == num) break;
pre = cur;
// 待刪除節點在 cur 的右子樹中
if (cur.?.val < num) {
cur = cur.?.right;
// 待刪除節點在 cur 的左子樹中
} else {
cur = cur.?.left;
}
}
// 若無待刪除節點，則直接返回
if (cur == null) return;
// 子節點數量 = 0 or 1
if (cur.?.left == null or cur.?.right == null) {
// 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = null / 該子節點
var child = if (cur.?.left != null) cur.?.left else cur.?.right;
// 刪除節點 cur
if (pre.?.left == cur) {
pre.?.left = child;
} else {
pre.?.right = child;
}
// 子節點數量 = 2
} else {
// 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點
var tmp = cur.?.right;
while (tmp.?.left != null) {
tmp = tmp.?.left;
}
var tmp_val = tmp.?.val;
// 遞迴刪除節點 tmp
self.remove(tmp.?.val);
// 用 tmp 覆蓋 cur
cur.?.val = tmp_val;
}
}
```
??? pythontutor "視覺化執行"
<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=class%20TreeNode%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91%E8%8A%82%E7%82%B9%E7%B1%BB%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self,%20val%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%20%3D%20val%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.left%20%3D%20None%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.right%20%3D%20None%0A%0Aclass%20BinarySearchTree%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%90%9C%E7%B4%A2%E6%A0%91%22%22%22%0A%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%9E%84%E9%80%A0%E6%96%B9%E6%B3%95%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self._root%20%3D%20None%0A%0A%20%20%20%20def%20insert%28self,%20num%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%8F%92%E5%85%A5%E8%8A%82%E7%82%B9%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20self._root%20is%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self._root%20%3D%20TreeNode%28num%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cur,%20pre%20%3D%20self._root,%20None%0A%20%20%20%20%20%20%20%20while%20cur%20is%20not%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20cur.val%20%3D%3D%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pre%20%3D%20cur%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20cur.val%20%3C%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cur%20%3D%20cur.right%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cur%20%3D%20cur.left%0A%20%20%20%20%20%20%20%20node%20%3D%20TreeNode%28num%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20pre.val%20%3C%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pre.right%20%3D%20node%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pre.left%20%3D%20node%0A%0A%20%20%20%20def%20remove%28self,%20num%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E5%88%A0%E9%99%A4%E8%8A%82%E7%82%B9%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20self._root%20is%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%9F%A5%E6%89%BE%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cur,%20pre%20%3D%20self._root,%20None%0A%20%20%20%20%20%20%20%20while%20cur%20is%20not%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20cur.val%20%3D%3D%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pre%20%3D%20cur%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20cur.val%20%3C%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cur%20%3D%20cur.right%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cur%20%3D%20cur.left%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20cur%20is%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%200%20or%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20cur.left%20is%20None%20or%20cur.right%20is%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%BD%93%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%200%20/%201%20%E6%97%B6%EF%BC%8C%20child%20%3D%20null%20/%20%E8%AF%A5%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20child%20%3D%20cur.left%20or%20cur.right%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%88%A0%E9%99%A4%E8%8A%82%E7%82%B9%20cur%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20cur%20!%3D%20self._root%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20pre.left%20%3D%3D%20cur%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pre.left%20%3D%20child%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pre.right%20%3D%20child%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self._root%20%3D%20child%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8E%B7%E5%8F%96%E4%B8%AD%E5%BA%8F%E9%81%8D%E5%8E%86%E4%B8%AD%20cur%20%E7%9A%84%E4%B8%8B%E4%B8%80%E4%B8%AA%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20tmp%3A%20TreeNode%20%3D%20cur.right%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20while%20tmp.left%20is%20not%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20tmp%20%3D%20tmp.left%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E9%80%92%E5%BD%92%E5%88%A0%E9%99%A4%E8%8A%82%E7%82%B9%20tmp%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.remove%28tmp.val%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E7%94%A8%20tmp%20%E8%A6%86%E7%9B%96%20cur%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cur.val%20%3D%20tmp.val%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%90%9C%E7%B4%A2%E6%A0%91%0A%20%20%20%20bst%20%3D%20BinarySearchTree%28%29%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5B4,%202,%206,%201,%203,%205,%207%5D%0A%20%20%20%20for%20num%20in%20nums%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bst.insert%28num%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%A0%E9%99%A4%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20bst.remove%281%29%20%23%20%E5%BA%A6%E4%B8%BA%200%0A%20%20%20%20bst.remove%282%29%20%23%20%E5%BA%A6%E4%B8%BA%201%0A%20%20%20%20bst.remove%284%29%20%23%20%E5%BA%A6%E4%B8%BA%202&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=162&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=class%20TreeNode%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91%E8%8A%82%E7%82%B9%E7%B1%BB%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self,%20val%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%20%3D%20val%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.left%20%3D%20None%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.right%20%3D%20None%0A%0Aclass%20BinarySearchTree%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%90%9C%E7%B4%A2%E6%A0%91%22%22%22%0A%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%9E%84%E9%80%A0%E6%96%B9%E6%B3%95%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self._root%20%3D%20None%0A%0A%20%20%20%20def%20insert%28self,%20num%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%8F%92%E5%85%A5%E8%8A%82%E7%82%B9%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20self._root%20is%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self._root%20%3D%20TreeNode%28num%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cur,%20pre%20%3D%20self._root,%20None%0A%20%20%20%20%20%20%20%20while%20cur%20is%20not%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20cur.val%20%3D%3D%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pre%20%3D%20cur%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20cur.val%20%3C%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cur%20%3D%20cur.right%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cur%20%3D%20cur.left%0A%20%20%20%20%20%20%20%20node%20%3D%20TreeNode%28num%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20pre.val%20%3C%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pre.right%20%3D%20node%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pre.left%20%3D%20node%0A%0A%20%20%20%20def%20remove%28self,%20num%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E5%88%A0%E9%99%A4%E8%8A%82%E7%82%B9%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20self._root%20is%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%9F%A5%E6%89%BE%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cur,%20pre%20%3D%20self._root,%20None%0A%20%20%20%20%20%20%20%20while%20cur%20is%20not%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20cur.val%20%3D%3D%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pre%20%3D%20cur%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20cur.val%20%3C%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cur%20%3D%20cur.right%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cur%20%3D%20cur.left%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20cur%20is%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%200%20or%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20cur.left%20is%20None%20or%20cur.right%20is%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%BD%93%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%200%20/%201%20%E6%97%B6%EF%BC%8C%20child%20%3D%20null%20/%20%E8%AF%A5%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20child%20%3D%20cur.left%20or%20cur.right%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%88%A0%E9%99%A4%E8%8A%82%E7%82%B9%20cur%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20cur%20!%3D%20self._root%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20pre.left%20%3D%3D%20cur%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pre.left%20%3D%20child%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pre.right%20%3D%20child%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self._root%20%3D%20child%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8E%B7%E5%8F%96%E4%B8%AD%E5%BA%8F%E9%81%8D%E5%8E%86%E4%B8%AD%20cur%20%E7%9A%84%E4%B8%8B%E4%B8%80%E4%B8%AA%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20tmp%3A%20TreeNode%20%3D%20cur.right%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20while%20tmp.left%20is%20not%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20tmp%20%3D%20tmp.left%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E9%80%92%E5%BD%92%E5%88%A0%E9%99%A4%E8%8A%82%E7%82%B9%20tmp%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.remove%28tmp.val%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E7%94%A8%20tmp%20%E8%A6%86%E7%9B%96%20cur%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cur.val%20%3D%20tmp.val%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%90%9C%E7%B4%A2%E6%A0%91%0A%20%20%20%20bst%20%3D%20BinarySearchTree%28%29%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5B4,%202,%206,%201,%203,%205,%207%5D%0A%20%20%20%20for%20num%20in%20nums%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bst.insert%28num%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%A0%E9%99%A4%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20bst.remove%281%29%20%23%20%E5%BA%A6%E4%B8%BA%200%0A%20%20%20%20bst.remove%282%29%20%23%20%E5%BA%A6%E4%B8%BA%201%0A%20%20%20%20bst.remove%284%29%20%23%20%E5%BA%A6%E4%B8%BA%202&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=162&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 ></a></div>
### 4. &nbsp; 中序走訪有序
如圖 7-22 所示，二元樹的中序走訪遵循“左 $\rightarrow$ 根 $\rightarrow$ 右”的走訪順序，而二元搜尋樹滿足“左子節點 $<$ 根節點 $<$ 右子節點”的大小關係。
這意味著在二元搜尋樹中進行中序走訪時，總是會優先走訪下一個最小節點，從而得出一個重要性質：**二元搜尋樹的中序走訪序列是升序的**。
利用中序走訪升序的性質，我們在二元搜尋樹中獲取有序資料僅需 $O(n)$ 時間，無須進行額外的排序操作，非常高效。
![二元搜尋樹的中序走訪序列](binary_search_tree.assets/bst_inorder_traversal.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 圖 7-22 &nbsp; 二元搜尋樹的中序走訪序列 </p>
## 7.4.2 &nbsp; 二元搜尋樹的效率
給定一組資料，我們考慮使用陣列或二元搜尋樹儲存。觀察表 7-2 ，二元搜尋樹的各項操作的時間複雜度都是對數階，具有穩定且高效的效能。只有在高頻新增、低頻查詢刪除資料的場景下，陣列比二元搜尋樹的效率更高。
<p align="center"> 表 7-2 &nbsp; 陣列與搜尋樹的效率對比 </p>
<div class="center-table" markdown>
| | 無序陣列 | 二元搜尋樹 |
| -------- | -------- | ----------- |
| 查詢元素 | $O(n)$ | $O(\log n)$ |
| 插入元素 | $O(1)$ | $O(\log n)$ |
| 刪除元素 | $O(n)$ | $O(\log n)$ |
</div>
在理想情況下，二元搜尋樹是“平衡”的，這樣就可以在 $\log n$ 輪迴圈內查詢任意節點。
然而，如果我們在二元搜尋樹中不斷地插入和刪除節點，可能導致二元樹退化為圖 7-23 所示的鏈結串列，這時各種操作的時間複雜度也會退化為 $O(n)$ 。
![二元搜尋樹退化](binary_search_tree.assets/bst_degradation.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 圖 7-23 &nbsp; 二元搜尋樹退化 </p>
## 7.4.3 &nbsp; 二元搜尋樹常見應用
- 用作系統中的多級索引，實現高效的查詢、插入、刪除操作。
- 作為某些搜尋演算法的底層資料結構。
- 用於儲存資料流，以保持其有序狀態。
Reference in a new issue View git blame Copy permalink