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數字編碼 *

!!! tip

在本書中，標題帶有 * 符號的是選讀章節。如果你時間有限或感到理解困難，可以先跳過，等學完必讀章節後再單獨攻克。

原碼、一補數和二補數

在上一節的表格中我們發現，所有整數型別能夠表示的負數都比正數多一個，例如 byte 的取值範圍是 [-128, 127] 。這個現象比較反直覺，它的內在原因涉及原碼、一補數、二補數的相關知識。

首先需要指出，數字是以“二補數”的形式儲存在計算機中的。在分析這樣做的原因之前，首先給出三者的定義。

• 原碼：我們將數字的二進位制表示的最高位視為符號位，其中 0 表示正數，1 表示負數，其餘位表示數字的值。
• 一補數：正數的一補數與其原碼相同，負數的一補數是對其原碼除符號位外的所有位取反。
• 二補數：正數的二補數與其原碼相同，負數的二補數是在其一補數的基礎上加 1 。

下圖展示了原碼、一補數和二補數之間的轉換方法。

原碼（sign-magnitude）雖然最直觀，但存在一些侷限性。一方面，負數的原碼不能直接用於運算。例如在原碼下計算 1 + (-2) ，得到的結果是 -3 ，這顯然是不對的。

$$ \begin{aligned} & 1 + (-2) \newline & \rightarrow 0000 ; 0001 + 1000 ; 0010 \newline & = 1000 ; 0011 \newline & \rightarrow -3 \end{aligned}

為了解決此問題，計算機引入了一補數（1's complement）。如果我們先將原碼轉換為一補數，並在一補數下計算 1 + (-2) ，最後將結果從一補數轉換回原碼，則可得到正確結果 -1 。

$$ \begin{aligned} & 1 + (-2) \newline & \rightarrow 0000 ; 0001 ; \text{(原碼)} + 1000 ; 0010 ; \text{(原碼)} \newline & = 0000 ; 0001 ; \text{(一補數)} + 1111 ; 1101 ; \text{(一補數)} \newline & = 1111 ; 1110 ; \text{(一補數)} \newline & = 1000 ; 0001 ; \text{(原碼)} \newline & \rightarrow -1 \end{aligned}

另一方面，數字零的原碼有 +0 和 -0 兩種表示方式。這意味著數字零對應兩個不同的二進位制編碼，這可能會帶來歧義。比如在條件判斷中，如果沒有區分正零和負零，則可能會導致判斷結果出錯。而如果我們想處理正零和負零歧義，則需要引入額外的判斷操作，這可能會降低計算機的運算效率。

$$ \begin{aligned} +0 & \rightarrow 0000 ; 0000 \newline -0 & \rightarrow 1000 ; 0000 \end{aligned}

與原碼一樣，一補數也存在正負零歧義問題，因此計算機進一步引入了二補數（2's complement）。我們先來觀察一下負零的原碼、一補數、二補數的轉換過程：

$$ \begin{aligned} -0 \rightarrow ; & 1000 ; 0000 ; \text{(原碼)} \newline = ; & 1111 ; 1111 ; \text{(一補數)} \newline = 1 ; & 0000 ; 0000 ; \text{(二補數)} \newline \end{aligned}

在負零的一補數基礎上加 1 會產生進位，但 byte 型別的長度只有 8 位，因此溢位到第 9 位的 1 會被捨棄。也就是說，負零的二補數為 0000 \; 0000 ，與正零的二補數相同。這意味著在二補數表示中只存在一個零，正負零歧義從而得到解決。

還剩最後一個疑惑：byte 型別的取值範圍是 [-128, 127] ，多出來的一個負數 -128 是如何得到的呢？我們注意到，區間 [-127, +127] 內的所有整數都有對應的原碼、一補數和二補數，並且原碼和二補數之間可以互相轉換。

然而，二補數 1000 \; 0000 是一個例外，它並沒有對應的原碼。根據轉換方法，我們得到該二補數的原碼為 0000 \; 0000 。這顯然是矛盾的，因為該原碼表示數字 0 ，它的二補數應該是自身。計算機規定這個特殊的二補數 1000 \; 0000 代表 -128 。實際上，(-1) + (-127) 在二補數下的計算結果就是 -128 。

$$ \begin{aligned} & (-127) + (-1) \newline & \rightarrow 1111 ; 1111 ; \text{(原碼)} + 1000 ; 0001 ; \text{(原碼)} \newline & = 1000 ; 0000 ; \text{(一補數)} + 1111 ; 1110 ; \text{(一補數)} \newline & = 1000 ; 0001 ; \text{(二補數)} + 1111 ; 1111 ; \text{(二補數)} \newline & = 1000 ; 0000 ; \text{(二補數)} \newline & \rightarrow -128 \end{aligned}

你可能已經發現了，上述所有計算都是加法運算。這暗示著一個重要事實：計算機內部的硬體電路主要是基於加法運算設計的。這是因為加法運算相對於其他運算（比如乘法、除法和減法）來說，硬體實現起來更簡單，更容易進行並行化處理，運算速度更快。

請注意，這並不意味著計算機只能做加法。透過將加法與一些基本邏輯運算結合，計算機能夠實現各種其他的數學運算。例如，計算減法 a - b 可以轉換為計算加法 a + (-b) ；計算乘法和除法可以轉換為計算多次加法或減法。

現在我們可以總結出計算機使用二補數的原因：基於二補數表示，計算機可以用同樣的電路和操作來處理正數和負數的加法，不需要設計特殊的硬體電路來處理減法，並且無須特別處理正負零的歧義問題。這大大簡化了硬體設計，提高了運算效率。

二補數的設計非常精妙，因篇幅關係我們就先介紹到這裡，建議有興趣的讀者進一步深入瞭解。

浮點數編碼

細心的你可能會發現：int 和 float 長度相同，都是 4 位元組 ，但為什麼 float 的取值範圍遠大於 int ？這非常反直覺，因為按理說 float 需要表示小數，取值範圍應該變小才對。

實際上，這是因為浮點數 float 採用了不同的表示方式。記一個 32 位元長度的二進位制數為：

$$ b_{31} b_{30} b_{29} \ldots b_2 b_1 b_0

根據 IEEE 754 標準，32-bit 長度的 float 由以下三個部分構成。

• 符號位 \mathrm{S} ：佔 1 位 ，對應 b_{31} 。
• 指數位 \mathrm{E} ：佔 8 位 ，對應 b_{30} b_{29} \ldots b_{23} 。
• 分數位 \mathrm{N} ：佔 23 位 ，對應 b_{22} b_{21} \ldots b_0 。

二進位制數 float 對應值的計算方法為：

$$ \text {val} = (-1)^{b_{31}} \times 2^{\left(b_{30} b_{29} \ldots b_{23}\right)2-127} \times\left(1 . b{22} b_{21} \ldots b_0\right)_2

轉化到十進位制下的計算公式為：

$$ \text {val}=(-1)^{\mathrm{S}} \times 2^{\mathrm{E} -127} \times (1 + \mathrm{N})

其中各項的取值範圍為：

$$ \begin{aligned} \mathrm{S} \in & { 0, 1}, \quad \mathrm{E} \in { 1, 2, \dots, 254 } \newline (1 + \mathrm{N}) = & (1 + \sum_{i=1}^{23} b_{23-i} 2^{-i}) \subset [1, 2 - 2^{-23}] \end{aligned}

觀察上圖，給定一個示例資料 \mathrm{S} = 0 ， \mathrm{E} = 124 ，\mathrm{N} = 2^{-2} + 2^{-3} = 0.375 ，則有：

$$ \text { val } = (-1)^0 \times 2^{124 - 127} \times (1 + 0.375) = 0.171875

現在我們可以回答最初的問題：float 的表示方式包含指數位，導致其取值範圍遠大於 int 。根據以上計算，float 可表示的最大正數為 2^{254 - 127} \times (2 - 2^{-23}) \approx 3.4 \times 10^{38} ，切換符號位便可得到最小負數。

儘管浮點數 float 擴展了取值範圍，但其副作用是犧牲了精度。整數型別 int 將全部 32 位元用於表示數字，數字是均勻分佈的；而由於指數位的存在，浮點數 float 的數值越大，相鄰兩個數字之間的差值就會趨向越大。

如下表所示，指數位 \mathrm{E} = 0 和 \mathrm{E} = 255 具有特殊含義，用於表示零、無窮大、\mathrm{NaN} 等。

表   指數位含義

指數位 E	分數位 \mathrm{N} = 0	分數位 \mathrm{N} \ne 0	計算公式
0	\pm 0	次正規數	(-1)^{\mathrm{S}} \times 2^{-126} \times (0.\mathrm{N})
1, 2, \dots, 254	正規數	正規數	(-1)^{\mathrm{S}} \times 2^{(\mathrm{E} -127)} \times (1.\mathrm{N})
255	\pm \infty	\mathrm{NaN}

值得說明的是，次正規數顯著提升了浮點數的精度。最小正正規數為 2^{-126} ，最小正次正規數為 2^{-126} \times 2^{-23} 。

雙精度 double 也採用類似於 float 的表示方法，在此不做贅述。