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堆
堆(heap)是一种满足特定条件的完全二叉树,主要可分为两种类型,如下图所示。
- 小顶堆(min heap):任意节点的值
\leq
其子节点的值。 - 大顶堆(max heap):任意节点的值
\geq
其子节点的值。
堆作为完全二叉树的一个特例,具有以下特性。
- 最底层节点靠左填充,其他层的节点都被填满。
- 我们将二叉树的根节点称为“堆顶”,将底层最靠右的节点称为“堆底”。
- 对于大顶堆(小顶堆),堆顶元素(根节点)的值是最大(最小)的。
堆的常用操作
需要指出的是,许多编程语言提供的是优先队列(priority queue),这是一种抽象的数据结构,定义为具有优先级排序的队列。
实际上,堆通常用于实现优先队列,大顶堆相当于元素按从大到小的顺序出队的优先队列。从使用角度来看,我们可以将“优先队列”和“堆”看作等价的数据结构。因此,本书对两者不做特别区分,统一称作“堆”。
堆的常用操作见下表,方法名需要根据编程语言来确定。
表 堆的操作效率
方法名 | 描述 | 时间复杂度 |
---|---|---|
push() |
元素入堆 | O(\log n) |
pop() |
堆顶元素出堆 | O(\log n) |
peek() |
访问堆顶元素(对于大 / 小顶堆分别为最大 / 小值) | O(1) |
size() |
获取堆的元素数量 | O(1) |
isEmpty() |
判断堆是否为空 | O(1) |
在实际应用中,我们可以直接使用编程语言提供的堆类(或优先队列类)。
类似于排序算法中的“从小到大排列”和“从大到小排列”,我们可以通过设置一个 flag
或修改 Comparator
实现“小顶堆”与“大顶堆”之间的转换。代码如下所示:
=== "Python"
```python title="heap.py"
# 初始化小顶堆
min_heap, flag = [], 1
# 初始化大顶堆
max_heap, flag = [], -1
# Python 的 heapq 模块默认实现小顶堆
# 考虑将“元素取负”后再入堆,这样就可以将大小关系颠倒,从而实现大顶堆
# 在本示例中,flag = 1 时对应小顶堆,flag = -1 时对应大顶堆
# 元素入堆
heapq.heappush(max_heap, flag * 1)
heapq.heappush(max_heap, flag * 3)
heapq.heappush(max_heap, flag * 2)
heapq.heappush(max_heap, flag * 5)
heapq.heappush(max_heap, flag * 4)
# 获取堆顶元素
peek: int = flag * max_heap[0] # 5
# 堆顶元素出堆
# 出堆元素会形成一个从大到小的序列
val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 5
val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 4
val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 3
val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 2
val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 1
# 获取堆大小
size: int = len(max_heap)
# 判断堆是否为空
is_empty: bool = not max_heap
# 输入列表并建堆
min_heap: list[int] = [1, 3, 2, 5, 4]
heapq.heapify(min_heap)
```
=== "C++"
```cpp title="heap.cpp"
/* 初始化堆 */
// 初始化小顶堆
priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> minHeap;
// 初始化大顶堆
priority_queue<int, vector<int>, less<int>> maxHeap;
/* 元素入堆 */
maxHeap.push(1);
maxHeap.push(3);
maxHeap.push(2);
maxHeap.push(5);
maxHeap.push(4);
/* 获取堆顶元素 */
int peek = maxHeap.top(); // 5
/* 堆顶元素出堆 */
// 出堆元素会形成一个从大到小的序列
maxHeap.pop(); // 5
maxHeap.pop(); // 4
maxHeap.pop(); // 3
maxHeap.pop(); // 2
maxHeap.pop(); // 1
/* 获取堆大小 */
int size = maxHeap.size();
/* 判断堆是否为空 */
bool isEmpty = maxHeap.empty();
/* 输入列表并建堆 */
vector<int> input{1, 3, 2, 5, 4};
priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> minHeap(input.begin(), input.end());
```
=== "Java"
```java title="heap.java"
/* 初始化堆 */
// 初始化小顶堆
Queue<Integer> minHeap = new PriorityQueue<>();
// 初始化大顶堆(使用 lambda 表达式修改 Comparator 即可)
Queue<Integer> maxHeap = new PriorityQueue<>((a, b) -> b - a);
/* 元素入堆 */
maxHeap.offer(1);
maxHeap.offer(3);
maxHeap.offer(2);
maxHeap.offer(5);
maxHeap.offer(4);
/* 获取堆顶元素 */
int peek = maxHeap.peek(); // 5
/* 堆顶元素出堆 */
// 出堆元素会形成一个从大到小的序列
peek = maxHeap.poll(); // 5
peek = maxHeap.poll(); // 4
peek = maxHeap.poll(); // 3
peek = maxHeap.poll(); // 2
peek = maxHeap.poll(); // 1
/* 获取堆大小 */
int size = maxHeap.size();
/* 判断堆是否为空 */
boolean isEmpty = maxHeap.isEmpty();
/* 输入列表并建堆 */
minHeap = new PriorityQueue<>(Arrays.asList(1, 3, 2, 5, 4));
```
=== "C#"
```csharp title="heap.cs"
/* 初始化堆 */
// 初始化小顶堆
PriorityQueue<int, int> minHeap = new();
// 初始化大顶堆(使用 lambda 表达式修改 Comparator 即可)
PriorityQueue<int, int> maxHeap = new(Comparer<int>.Create((x, y) => y - x));
/* 元素入堆 */
maxHeap.Enqueue(1, 1);
maxHeap.Enqueue(3, 3);
maxHeap.Enqueue(2, 2);
maxHeap.Enqueue(5, 5);
maxHeap.Enqueue(4, 4);
/* 获取堆顶元素 */
int peek = maxHeap.Peek();//5
/* 堆顶元素出堆 */
// 出堆元素会形成一个从大到小的序列
peek = maxHeap.Dequeue(); // 5
peek = maxHeap.Dequeue(); // 4
peek = maxHeap.Dequeue(); // 3
peek = maxHeap.Dequeue(); // 2
peek = maxHeap.Dequeue(); // 1
/* 获取堆大小 */
int size = maxHeap.Count;
/* 判断堆是否为空 */
bool isEmpty = maxHeap.Count == 0;
/* 输入列表并建堆 */
minHeap = new PriorityQueue<int, int>([(1, 1), (3, 3), (2, 2), (5, 5), (4, 4)]);
```
=== "Go"
```go title="heap.go"
// Go 语言中可以通过实现 heap.Interface 来构建整数大顶堆
// 实现 heap.Interface 需要同时实现 sort.Interface
type intHeap []any
// Push heap.Interface 的方法,实现推入元素到堆
func (h *intHeap) Push(x any) {
// Push 和 Pop 使用 pointer receiver 作为参数
// 因为它们不仅会对切片的内容进行调整,还会修改切片的长度。
*h = append(*h, x.(int))
}
// Pop heap.Interface 的方法,实现弹出堆顶元素
func (h *intHeap) Pop() any {
// 待出堆元素存放在最后
last := (*h)[len(*h)-1]
*h = (*h)[:len(*h)-1]
return last
}
// Len sort.Interface 的方法
func (h *intHeap) Len() int {
return len(*h)
}
// Less sort.Interface 的方法
func (h *intHeap) Less(i, j int) bool {
// 如果实现小顶堆,则需要调整为小于号
return (*h)[i].(int) > (*h)[j].(int)
}
// Swap sort.Interface 的方法
func (h *intHeap) Swap(i, j int) {
(*h)[i], (*h)[j] = (*h)[j], (*h)[i]
}
// Top 获取堆顶元素
func (h *intHeap) Top() any {
return (*h)[0]
}
/* Driver Code */
func TestHeap(t *testing.T) {
/* 初始化堆 */
// 初始化大顶堆
maxHeap := &intHeap{}
heap.Init(maxHeap)
/* 元素入堆 */
// 调用 heap.Interface 的方法,来添加元素
heap.Push(maxHeap, 1)
heap.Push(maxHeap, 3)
heap.Push(maxHeap, 2)
heap.Push(maxHeap, 4)
heap.Push(maxHeap, 5)
/* 获取堆顶元素 */
top := maxHeap.Top()
fmt.Printf("堆顶元素为 %d\n", top)
/* 堆顶元素出堆 */
// 调用 heap.Interface 的方法,来移除元素
heap.Pop(maxHeap) // 5
heap.Pop(maxHeap) // 4
heap.Pop(maxHeap) // 3
heap.Pop(maxHeap) // 2
heap.Pop(maxHeap) // 1
/* 获取堆大小 */
size := len(*maxHeap)
fmt.Printf("堆元素数量为 %d\n", size)
/* 判断堆是否为空 */
isEmpty := len(*maxHeap) == 0
fmt.Printf("堆是否为空 %t\n", isEmpty)
}
```
=== "Swift"
```swift title="heap.swift"
/* 初始化堆 */
// Swift 的 Heap 类型同时支持最大堆和最小堆,且需要引入 swift-collections
var heap = Heap<Int>()
/* 元素入堆 */
heap.insert(1)
heap.insert(3)
heap.insert(2)
heap.insert(5)
heap.insert(4)
/* 获取堆顶元素 */
var peek = heap.max()!
/* 堆顶元素出堆 */
peek = heap.removeMax() // 5
peek = heap.removeMax() // 4
peek = heap.removeMax() // 3
peek = heap.removeMax() // 2
peek = heap.removeMax() // 1
/* 获取堆大小 */
let size = heap.count
/* 判断堆是否为空 */
let isEmpty = heap.isEmpty
/* 输入列表并建堆 */
let heap2 = Heap([1, 3, 2, 5, 4])
```
=== "JS"
```javascript title="heap.js"
// JavaScript 未提供内置 Heap 类
```
=== "TS"
```typescript title="heap.ts"
// TypeScript 未提供内置 Heap 类
```
=== "Dart"
```dart title="heap.dart"
// Dart 未提供内置 Heap 类
```
=== "Rust"
```rust title="heap.rs"
use std::collections::BinaryHeap;
use std::cmp::Reverse;
/* 初始化堆 */
// 初始化小顶堆
let mut min_heap = BinaryHeap::<Reverse<i32>>::new();
// 初始化大顶堆
let mut max_heap = BinaryHeap::new();
/* 元素入堆 */
max_heap.push(1);
max_heap.push(3);
max_heap.push(2);
max_heap.push(5);
max_heap.push(4);
/* 获取堆顶元素 */
let peek = max_heap.peek().unwrap(); // 5
/* 堆顶元素出堆 */
// 出堆元素会形成一个从大到小的序列
let peek = max_heap.pop().unwrap(); // 5
let peek = max_heap.pop().unwrap(); // 4
let peek = max_heap.pop().unwrap(); // 3
let peek = max_heap.pop().unwrap(); // 2
let peek = max_heap.pop().unwrap(); // 1
/* 获取堆大小 */
let size = max_heap.len();
/* 判断堆是否为空 */
let is_empty = max_heap.is_empty();
/* 输入列表并建堆 */
let min_heap = BinaryHeap::from(vec![Reverse(1), Reverse(3), Reverse(2), Reverse(5), Reverse(4)]);
```
=== "C"
```c title="heap.c"
// C 未提供内置 Heap 类
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="heap.kt"
/* 初始化堆 */
// 初始化小顶堆
var minHeap = PriorityQueue<Int>()
// 初始化大顶堆(使用 lambda 表达式修改 Comparator 即可)
val maxHeap = PriorityQueue { a: Int, b: Int -> b - a }
/* 元素入堆 */
maxHeap.offer(1)
maxHeap.offer(3)
maxHeap.offer(2)
maxHeap.offer(5)
maxHeap.offer(4)
/* 获取堆顶元素 */
var peek = maxHeap.peek() // 5
/* 堆顶元素出堆 */
// 出堆元素会形成一个从大到小的序列
peek = maxHeap.poll() // 5
peek = maxHeap.poll() // 4
peek = maxHeap.poll() // 3
peek = maxHeap.poll() // 2
peek = maxHeap.poll() // 1
/* 获取堆大小 */
val size = maxHeap.size
/* 判断堆是否为空 */
val isEmpty = maxHeap.isEmpty()
/* 输入列表并建堆 */
minHeap = PriorityQueue(mutableListOf(1, 3, 2, 5, 4))
```
=== "Ruby"
```ruby title="heap.rb"
```
=== "Zig"
```zig title="heap.zig"
```
??? pythontutor "可视化运行"
https://pythontutor.com/render.html#code=import%20heapq%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E5%B0%8F%E9%A1%B6%E5%A0%86%0A%20%20%20%20min_heap,%20flag%20%3D%20%5B%5D,%201%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E5%A4%A7%E9%A1%B6%E5%A0%86%0A%20%20%20%20max_heap,%20flag%20%3D%20%5B%5D,%20-1%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20Python%20%E7%9A%84%20heapq%20%E6%A8%A1%E5%9D%97%E9%BB%98%E8%AE%A4%E5%AE%9E%E7%8E%B0%E5%B0%8F%E9%A1%B6%E5%A0%86%0A%20%20%20%20%23%20%E8%80%83%E8%99%91%E5%B0%86%E2%80%9C%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%8F%96%E8%B4%9F%E2%80%9D%E5%90%8E%E5%86%8D%E5%85%A5%E5%A0%86%EF%BC%8C%E8%BF%99%E6%A0%B7%E5%B0%B1%E5%8F%AF%E4%BB%A5%E5%B0%86%E5%A4%A7%E5%B0%8F%E5%85%B3%E7%B3%BB%E9%A2%A0%E5%80%92%EF%BC%8C%E4%BB%8E%E8%80%8C%E5%AE%9E%E7%8E%B0%E5%A4%A7%E9%A1%B6%E5%A0%86%0A%20%20%20%20%23%20%E5%9C%A8%E6%9C%AC%E7%A4%BA%E4%BE%8B%E4%B8%AD%EF%BC%8Cflag%20%3D%201%20%E6%97%B6%E5%AF%B9%E5%BA%94%E5%B0%8F%E9%A1%B6%E5%A0%86%EF%BC%8Cflag%20%3D%20-1%20%E6%97%B6%E5%AF%B9%E5%BA%94%E5%A4%A7%E9%A1%B6%E5%A0%86%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%85%A5%E5%A0%86%0A%20%20%20%20heapq.heappush%28max_heap,%20flag%20*%201%29%0A%20%20%20%20heapq.heappush%28max_heap,%20flag%20*%203%29%0A%20%20%20%20heapq.heappush%28max_heap,%20flag%20*%202%29%0A%20%20%20%20heapq.heappush%28max_heap,%20flag%20*%205%29%0A%20%20%20%20heapq.heappush%28max_heap,%20flag%20*%204%29%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8E%B7%E5%8F%96%E5%A0%86%E9%A1%B6%E5%85%83%E7%B4%A0%0A%20%20%20%20peek%20%3D%20flag%20*%20max_heap%5B0%5D%20%23%205%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E5%A0%86%E9%A1%B6%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%87%BA%E5%A0%86%0A%20%20%20%20%23%20%E5%87%BA%E5%A0%86%E5%85%83%E7%B4%A0%E4%BC%9A%E5%BD%A2%E6%88%90%E4%B8%80%E4%B8%AA%E4%BB%8E%E5%A4%A7%E5%88%B0%E5%B0%8F%E7%9A%84%E5%BA%8F%E5%88%97%0A%20%20%20%20val%20%3D%20flag%20*%20heapq.heappop%28max_heap%29%20%23%205%0A%20%20%20%20val%20%3D%20flag%20*%20heapq.heappop%28max_heap%29%20%23%204%0A%20%20%20%20val%20%3D%20flag%20*%20heapq.heappop%28max_heap%29%20%23%203%0A%20%20%20%20val%20%3D%20flag%20*%20heapq.heappop%28max_heap%29%20%23%202%0A%20%20%20%20val%20%3D%20flag%20*%20heapq.heappop%28max_heap%29%20%23%201%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8E%B7%E5%8F%96%E5%A0%86%E5%A4%A7%E5%B0%8F%0A%20%20%20%20size%20%3D%20len%28max_heap%29%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%A4%E6%96%AD%E5%A0%86%E6%98%AF%E5%90%A6%E4%B8%BA%E7%A9%BA%0A%20%20%20%20is_empty%20%3D%20not%20max_heap%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E8%BE%93%E5%85%A5%E5%88%97%E8%A1%A8%E5%B9%B6%E5%BB%BA%E5%A0%86%0A%20%20%20%20min_heap%20%3D%20%5B1,%203,%202,%205,%204%5D%0A%20%20%20%20heapq.heapify%28min_heap%29&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&mode=display&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false
堆的实现
下文实现的是大顶堆。若要将其转换为小顶堆,只需将所有大小逻辑判断进行逆转(例如,将 \geq
替换为 \leq
)。感兴趣的读者可以自行实现。
堆的存储与表示
“二叉树”章节讲过,完全二叉树非常适合用数组来表示。由于堆正是一种完全二叉树,因此我们将采用数组来存储堆。
当使用数组表示二叉树时,元素代表节点值,索引代表节点在二叉树中的位置。节点指针通过索引映射公式来实现。
如下图所示,给定索引 i
,其左子节点的索引为 2i + 1
,右子节点的索引为 2i + 2
,父节点的索引为 $(i - 1) / 2$(向下整除)。当索引越界时,表示空节点或节点不存在。
我们可以将索引映射公式封装成函数,方便后续使用:
[file]{my_heap}-[class]{max_heap}-[func]{parent}
访问堆顶元素
堆顶元素即为二叉树的根节点,也就是列表的首个元素:
[file]{my_heap}-[class]{max_heap}-[func]{peek}
元素入堆
给定元素 val
,我们首先将其添加到堆底。添加之后,由于 val
可能大于堆中其他元素,堆的成立条件可能已被破坏,因此需要修复从插入节点到根节点的路径上的各个节点,这个操作被称为堆化(heapify)。
考虑从入堆节点开始,从底至顶执行堆化。如下图所示,我们比较插入节点与其父节点的值,如果插入节点更大,则将它们交换。然后继续执行此操作,从底至顶修复堆中的各个节点,直至越过根节点或遇到无须交换的节点时结束。
设节点总数为 n
,则树的高度为 O(\log n)
。由此可知,堆化操作的循环轮数最多为 O(\log n)
,元素入堆操作的时间复杂度为 $O(\log n)$ 。代码如下所示:
[file]{my_heap}-[class]{max_heap}-[func]{sift_up}
堆顶元素出堆
堆顶元素是二叉树的根节点,即列表首元素。如果我们直接从列表中删除首元素,那么二叉树中所有节点的索引都会发生变化,这将使得后续使用堆化进行修复变得困难。为了尽量减少元素索引的变动,我们采用以下操作步骤。
- 交换堆顶元素与堆底元素(交换根节点与最右叶节点)。
- 交换完成后,将堆底从列表中删除(注意,由于已经交换,因此实际上删除的是原来的堆顶元素)。
- 从根节点开始,从顶至底执行堆化。
如下图所示,“从顶至底堆化”的操作方向与“从底至顶堆化”相反,我们将根节点的值与其两个子节点的值进行比较,将最大的子节点与根节点交换。然后循环执行此操作,直到越过叶节点或遇到无须交换的节点时结束。
与元素入堆操作相似,堆顶元素出堆操作的时间复杂度也为 O(\log n)
。代码如下所示:
[file]{my_heap}-[class]{max_heap}-[func]{sift_down}
堆的常见应用
- 优先队列:堆通常作为实现优先队列的首选数据结构,其入队和出队操作的时间复杂度均为
O(\log n)
,而建堆操作为O(n)
,这些操作都非常高效。 - 堆排序:给定一组数据,我们可以用它们建立一个堆,然后不断地执行元素出堆操作,从而得到有序数据。然而,我们通常会使用一种更优雅的方式实现堆排序,详见“堆排序”章节。
- 获取最大的
k
个元素:这是一个经典的算法问题,同时也是一种典型应用,例如选择热度前 10 的新闻作为微博热搜,选取销量前 10 的商品等。