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13.6. 编辑距离问题

编辑距离，也被称为 Levenshtein 距离，是两个字符串之间互相转换的最小修改次数，通常用于在信息检索和自然语言处理中度量两个序列的相似度。

!!! question

输入两个字符串 $s$ 和 $t$ ，返回将 $s$ 转换为 $t$ 所需的最少编辑步数。

你可以在一个字符串中进行三种编辑操作：插入一个字符、删除一个字符、替换字符为任意一个字符。

如下图所示，将 kitten 转换为 sitting 需要编辑 3 步，包括 2 次替换操作与 1 次添加操作；将 hello 转换为 algo 需要 3 步，包括 2 次替换操作和 1 次删除操作。

Fig. 编辑距离的示例数据

编辑距离问题可以很自然地用决策树模型来解释。字符串对应树节点，一轮决策（一次编辑操作）对应树的一条边。

如下图所示，在不限制操作的情况下，每个节点都可以派生出许多条边，每条边对应一种操作。实际上，从 hello 转换到 algo 有许多种可能的路径，下图展示的是最短路径。从决策树的角度看，本题目标是求解节点 hello 和节点 algo 之间的最短路径。

Fig. 基于决策树模型表示编辑距离问题

第一步：思考每轮的决策，定义状态，从而得到 dp 表

每一轮的决策是对字符串 s 进行一次编辑操作。

我们希望在编辑操作的过程中，问题的规模逐渐缩小，这样才能构建子问题。设字符串 s 和 t 的长度分别为 n 和 m ，我们先考虑两字符串尾部的字符 s[n-1] 和 t[m-1] ：

若 s[n-1] 和 t[m-1] 相同，我们可以直接跳过它们，接下来考虑 s[n-2] 和 t[m-2] ;
若 s[n-1] 和 t[m-1] 不同，我们需要对 s 进行一次编辑（插入、删除、替换），使得两字符串尾部的字符相同，从而可以跳过它们，考虑规模更小的问题；

也就是说，我们在字符串 s 中进行的每一轮决策（编辑操作），都会使得 s 和 t 中剩余的待匹配字符发生变化。因此，状态为当前在 s , t 中考虑的第 i , j 个字符，记为 [i, j] 。

状态 [i, j] 对应的子问题：将 s 的前 i 个字符更改为 t 的前 j 个字符所需的最少编辑步数。

至此得到一个尺寸为 (i+1) \times (j+1) 的二维 dp 表。

第二步：找出最优子结构，进而推导出状态转移方程

考虑子问题 dp[i, j] ，其对应的两个字符串的尾部字符为 s[i-1] 和 t[j-1] ，可根据不同编辑操作分为三种情况：

在 s[i-1] 之后添加 t[j-1] ，则剩余子问题 dp[i, j-1] ；
删除 s[i-1] ，则剩余子问题 dp[i-1, j] ；
将 s[i-1] 替换为 t[j-1] ，则剩余子问题 dp[i-1, j-1] ；

Fig. 编辑距离的状态转移

根据以上分析，可得最优子结构：dp[i, j] 的最少编辑步数等于 dp[i, j-1] , dp[i-1, j] , dp[i-1, j-1] 三者中的最少编辑步数，再加上本次编辑的步数 1 。对应的状态转移方程为：

$$ dp[i, j] = \min(dp[i, j-1], dp[i-1, j], dp[i-1, j-1]) + 1

请注意，当 s[i-1] 和 t[j-1] 相同时，无需编辑当前字符，此时状态转移方程为：

$$ dp[i, j] = dp[i-1, j-1]

第三步：确定边界条件和状态转移顺序

当两字符串都为空时，编辑步数为 0 ，即 dp[0, 0] = 0 。当 s 为空但 t 不为空时，最少编辑步数等于 t 的长度，即 dp[0, j] = j 。当 s 不为空但 t 为空时，等于 s 的长度，即 dp[i, 0] = i 。

观察状态转移方程，解 dp[i, j] 依赖左方、上方、左上方的解，因此通过两层循环正序遍历整个 dp 表即可。

=== "Java"

```java title="edit_distance.java"
/* 编辑距离：动态规划 */
int editDistanceDP(String s, String t) {
    int n = s.length(), m = t.length();
    int[][] dp = new int[n + 1][m + 1];
    // 状态转移：首行首列
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        dp[i][0] = i;
    }
    for (int j = 1; j <= m; j++) {
        dp[0][j] = j;
    }
    // 状态转移：其余行列
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            if (s.charAt(i - 1) == t.charAt(j - 1)) {
                // 若两字符相等，则直接跳过此两字符
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
            } else {
                // 最少编辑步数 = 插入、删除、替换这三种操作的最少编辑步数 + 1
                dp[i][j] = Math.min(Math.min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;
            }
        }
    }
    return dp[n][m];
}
```

=== "C++"

```cpp title="edit_distance.cpp"
/* 编辑距离：动态规划 */
int editDistanceDP(string s, string t) {
    int n = s.length(), m = t.length();
    vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(m + 1, 0));
    // 状态转移：首行首列
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        dp[i][0] = i;
    }
    for (int j = 1; j <= m; j++) {
        dp[0][j] = j;
    }
    // 状态转移：其余行列
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
                // 若两字符相等，则直接跳过此两字符
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
            } else {
                // 最少编辑步数 = 插入、删除、替换这三种操作的最少编辑步数 + 1
                dp[i][j] = min(min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;
            }
        }
    }
    return dp[n][m];
}
```

=== "Python"

```python title="edit_distance.py"
def edit_distance_dp(s: str, t: str) -> int:
    """编辑距离：动态规划"""
    n, m = len(s), len(t)
    dp = [[0] * (m + 1) for _ in range(n + 1)]
    # 状态转移：首行首列
    for i in range(1, n + 1):
        dp[i][0] = i
    for j in range(1, m + 1):
        dp[0][j] = j
    # 状态转移：其余行列
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, m + 1):
            if s[i - 1] == t[j - 1]:
                # 若两字符相等，则直接跳过此两字符
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
            else:
                # 最少编辑步数 = 插入、删除、替换这三种操作的最少编辑步数 + 1
                dp[i][j] = min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1]) + 1
    return dp[n][m]
```

=== "Go"

```go title="edit_distance.go"
[class]{}-[func]{editDistanceDP}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="edit_distance.js"
[class]{}-[func]{editDistanceDP}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="edit_distance.ts"
[class]{}-[func]{editDistanceDP}
```

=== "C"

```c title="edit_distance.c"
[class]{}-[func]{editDistanceDP}
```

=== "C#"

```csharp title="edit_distance.cs"
[class]{edit_distance}-[func]{editDistanceDP}
```

=== "Swift"

```swift title="edit_distance.swift"
[class]{}-[func]{editDistanceDP}
```

=== "Zig"

```zig title="edit_distance.zig"
[class]{}-[func]{editDistanceDP}
```

=== "Dart"

```dart title="edit_distance.dart"
[class]{}-[func]{editDistanceDP}
```

如下图所示，编辑距离问题的状态转移过程与背包问题非常类似，都可以看作是填写一个二维网格的过程。

=== "<1>"

=== "<2>"

=== "<3>"

=== "<4>"

=== "<5>"

=== "<6>"

=== "<7>"

=== "<8>"

=== "<9>"

=== "<10>"

=== "<11>"

=== "<12>"

=== "<13>"

=== "<14>"

=== "<15>"

下面考虑状态压缩，将 dp 表的第一维删除。由于 dp[i,j] 是由上方 dp[i-1, j] 、左方 dp[i, j-1] 、左上方状态 dp[i-1, j-1] 转移而来，而正序遍历会丢失左上方 dp[i-1, j-1] ，倒序遍历无法提前构建 dp[i, j-1] ，因此两种遍历顺序都不可取。

为解决此问题，我们可以使用一个变量 leftup 来暂存左上方的解 dp[i-1, j-1] ，这样便只用考虑左方和上方的解，与完全背包问题的情况相同，可使用正序遍历。