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13.2. 动态规划问题特性
在上节中，我们学习了动态规划问题的暴力解法，从递归树中观察到海量的重叠子问题，以及了解到动态规划是如何通过记录解来优化时间复杂度的。
实际上，动态规划最常用来求解最优方案问题，例如寻找最短路径、最大利润、最少时间等。这类问题不仅包含重叠子问题，往往还具有另外两大特性：最优子结构、无后效性。
13.2.1. 最优子结构
我们对爬楼梯问题稍作改动，使之更加适合展示最优子结构概念。
!!! question "爬楼梯最小代价"
给定一个楼梯，你每步可以上 $1$ 阶或者 $2$ 阶，每一阶楼梯上都贴有一个非负整数，表示你在该台阶所需要付出的代价。给定一个非负整数数组 $cost$ ，其中 $cost[i]$ 表示在第 $i$ 个台阶需要付出的代价，$cost[0]$ 为地面起始点。请计算最少需要付出多少代价才能到达顶部？
如下图所示，若第 1 , 2 , 3 阶的代价分别为 1 , 10 , 1 ，则从地面爬到第 3 阶的最小代价为 2 。
Fig. 爬到第 3 阶的最小代价
设 dp[i] 为爬到第 i 阶累计付出的代价，由于第 i 阶只可能从 i - 1 阶或 i - 2 阶走来，因此 dp[i] 只可能等于 dp[i - 1] + cost[i] 或 dp[i - 2] + cost[i] 。为了尽可能减少代价，我们应该选择两者中较小的那一个，即：
$$
dp[i] = \min(dp[i-1], dp[i-2]) + cost[i]
这便可以引出「最优子结构」的含义：原问题的最优解是从子问题的最优解构建得来的。本题显然具有最优子结构：我们从两个子问题最优解 dp[i-1] , dp[i-2] 中挑选出较优的那一个，并用它构建出原问题 dp[i] 的最优解。
那么，上节的爬楼梯题目有没有最优子结构呢？它要求解的是方案数量，看似是一个计数问题，但如果换一种问法：求解最大方案数量。我们意外地发现，虽然题目修改前后是等价的，但最优子结构浮现出来了：第 n 阶最大方案数量等于第 n-1 阶和第 n-2 阶最大方案数量之和。所以说，最优子结构的解释方式比较灵活，在不同问题中会有不同的含义。
根据以上状态转移方程，以及初始状态 dp[1] = cost[1] , dp[2] = cost[2] ，我们可以得出动态规划解题代码。
=== "Java"
```java title="min_cost_climbing_stairs_dp.java"
/* 爬楼梯最小代价：动态规划 */
int minCostClimbingStairsDP(int[] cost) {
int n = cost.length - 1;
if (n == 1 || n == 2)
return cost[n];
// 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
int[] dp = new int[n + 1];
// 初始状态：预设最小子问题的解
dp[1] = cost[1];
dp[2] = cost[2];
// 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
for (int i = 3; i <= n; i++) {
dp[i] = Math.min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
}
return dp[n];
}
```
=== "C++"
```cpp title="min_cost_climbing_stairs_dp.cpp"
/* 爬楼梯最小代价：动态规划 */
int minCostClimbingStairsDP(vector<int> &cost) {
int n = cost.size() - 1;
if (n == 1 || n == 2)
return cost[n];
// 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
vector<int> dp(n + 1);
// 初始状态：预设最小子问题的解
dp[1] = cost[1];
dp[2] = cost[2];
// 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
for (int i = 3; i <= n; i++) {
dp[i] = min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
}
return dp[n];
}
```
=== "Python"
```python title="min_cost_climbing_stairs_dp.py"
def min_cost_climbing_stairs_dp(cost: list[int]) -> int:
"""爬楼梯最小代价：动态规划"""
n = len(cost) - 1
if n == 1 or n == 2:
return cost[n]
# 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
dp = [0] * (n + 1)
# 初始状态：预设最小子问题的解
dp[1], dp[2] = cost[1], cost[2]
# 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
for i in range(3, n + 1):
dp[i] = min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i]
return dp[n]
```
=== "Go"
```go title="min_cost_climbing_stairs_dp.go"
[class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDP}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="min_cost_climbing_stairs_dp.js"
[class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDP}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="min_cost_climbing_stairs_dp.ts"
[class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDP}
```
=== "C"
```c title="min_cost_climbing_stairs_dp.c"
[class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDP}
```
=== "C#"
```csharp title="min_cost_climbing_stairs_dp.cs"
/* 爬楼梯最小代价：动态规划 */
int minCostClimbingStairsDP(int[] cost) {
int n = cost.Length - 1;
if (n == 1 || n == 2)
return cost[n];
// 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
int[] dp = new int[n + 1];
// 初始状态：预设最小子问题的解
dp[1] = cost[1];
dp[2] = cost[2];
// 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
for (int i = 3; i <= n; i++) {
dp[i] = Math.Min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
}
return dp[n];
}
```
=== "Swift"
```swift title="min_cost_climbing_stairs_dp.swift"
[class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDP}
```
=== "Zig"
```zig title="min_cost_climbing_stairs_dp.zig"
[class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDP}
```
=== "Dart"
```dart title="min_cost_climbing_stairs_dp.dart"
[class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDP}
```
Fig. 爬楼梯最小代价的动态规划过程
这道题同样也可以进行状态压缩，将一维压缩至零维，使得空间复杂度从 O(n) 降低至 O(1) 。
=== "Java"
```java title="min_cost_climbing_stairs_dp.java"
/* 爬楼梯最小代价：状态压缩后的动态规划 */
int minCostClimbingStairsDPComp(int[] cost) {
int n = cost.length - 1;
if (n == 1 || n == 2)
return cost[n];
int a = cost[1], b = cost[2];
for (int i = 3; i <= n; i++) {
int tmp = b;
b = Math.min(a, tmp) + cost[i];
a = tmp;
}
return b;
}
```
=== "C++"
```cpp title="min_cost_climbing_stairs_dp.cpp"
/* 爬楼梯最小代价：状态压缩后的动态规划 */
int minCostClimbingStairsDPComp(vector<int> &cost) {
int n = cost.size() - 1;
if (n == 1 || n == 2)
return cost[n];
int a = cost[1], b = cost[2];
for (int i = 3; i <= n; i++) {
int tmp = b;
b = min(a, tmp) + cost[i];
a = tmp;
}
return b;
}
```
=== "Python"
```python title="min_cost_climbing_stairs_dp.py"
def min_cost_climbing_stairs_dp_comp(cost: list[int]) -> int:
"""爬楼梯最小代价：状态压缩后的动态规划"""
n = len(cost) - 1
if n == 1 or n == 2:
return cost[n]
a, b = cost[1], cost[2]
for i in range(3, n + 1):
a, b = b, min(a, b) + cost[i]
return b
```
=== "Go"
```go title="min_cost_climbing_stairs_dp.go"
[class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDPComp}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="min_cost_climbing_stairs_dp.js"
[class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDPComp}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="min_cost_climbing_stairs_dp.ts"
[class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDPComp}
```
=== "C"
```c title="min_cost_climbing_stairs_dp.c"
[class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDPComp}
```
=== "C#"
```csharp title="min_cost_climbing_stairs_dp.cs"
/* 爬楼梯最小代价：状态压缩后的动态规划 */
int minCostClimbingStairsDPComp(int[] cost) {
int n = cost.Length - 1;
if (n == 1 || n == 2)
return cost[n];
int a = cost[1], b = cost[2];
for (int i = 3; i <= n; i++) {
int tmp = b;
b = Math.Min(a, tmp) + cost[i];
a = tmp;
}
return b;
}
```
=== "Swift"
```swift title="min_cost_climbing_stairs_dp.swift"
[class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDPComp}
```
=== "Zig"
```zig title="min_cost_climbing_stairs_dp.zig"
[class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDPComp}
```
=== "Dart"
```dart title="min_cost_climbing_stairs_dp.dart"
[class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDPComp}
```
13.2.2. 无后效性
「无后效性」是动态规划能够有效解决问题的重要特性之一，定义为：给定一个确定的状态，它的未来发展只与当前状态有关，而与当前状态过去所经历过的所有状态无关。
以爬楼梯问题为例，给定状态 i ，它会发展出状态 i+1 和状态 i+2 ，分别对应跳 1 步和跳 2 步。在做出这两种选择时，我们无需考虑状态 i 之前的状态，即它们对状态 i 的未来没有影响。
然而，如果我们向爬楼梯问题添加一个约束，情况就不一样了。
!!! question "带约束爬楼梯"
给定一个共有 $n$ 阶的楼梯，你每步可以上 $1$ 阶或者 $2$ 阶，**但不能连续两轮跳 $1$ 阶**，请问有多少种方案可以爬到楼顶。
例如，爬上第 3 阶仅剩 2 种可行方案，其中连续三次跳 1 阶的方案不满足约束条件，因此被舍弃。
Fig. 带约束爬到第 3 阶的方案数量
在该问题中，下一步选择不能由当前状态（当前楼梯阶数）独立决定，还和前一个状态（上轮楼梯阶数）有关。如果上一轮是跳 1 阶上来的，那么下一轮就必须跳 2 阶。
不难发现，此问题已不满足无后效性，状态转移方程 dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] 也失效了，因为 dp[i-1] 代表本轮跳 1 阶，但其中包含了许多“上一轮跳 1 阶上来的”方案，而为了满足约束，我们不能将 dp[i-1] 直接计入 dp[i] 中。
为了解决该问题，我们需要扩展状态定义：状态 [i, j] 表示处在第 i 阶、并且上一轮跳了 j 阶，其中 j \in \{1, 2\} 。此状态定义有效地区分了上一轮跳了 1 阶还是 2 阶，我们可以据此来决定下一步该怎么跳：
- 当
j等于1，即上一轮跳了1阶时，这一轮只能选择跳2阶； - 当
j等于2，即上一轮跳了2阶时，这一轮可选择跳1阶或跳2阶；
在该定义下，dp[i, j] 表示状态 [i, j] 对应的方案数。由此，我们便能推导出以下的状态转移方程：
$$
\begin{cases}
dp[i, 1] = dp[i-1, 2] \
dp[i, 2] = dp[i-2, 1] + dp[i-2, 2]
\end{cases}
Fig. 考虑约束下的递推关系
最终，返回 dp[n, 1] + dp[n, 2] 即可，两者之和代表爬到第 n 阶的方案总数。
=== "Java"
```java title="climbing_stairs_constraint_dp.java"
/* 带约束爬楼梯：动态规划 */
int climbingStairsConstraintDP(int n) {
if (n == 1 || n == 2) {
return n;
}
// 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
int[][] dp = new int[n + 1][3];
// 初始状态：预设最小子问题的解
dp[1][1] = 1;
dp[1][2] = 0;
dp[2][1] = 0;
dp[2][2] = 1;
// 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
for (int i = 3; i <= n; i++) {
dp[i][1] = dp[i - 1][2];
dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2];
}
return dp[n][1] + dp[n][2];
}
```
=== "C++"
```cpp title="climbing_stairs_constraint_dp.cpp"
/* 带约束爬楼梯：动态规划 */
int climbingStairsConstraintDP(int n) {
if (n == 1 || n == 2) {
return n;
}
// 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(3, 0));
// 初始状态：预设最小子问题的解
dp[1][1] = 1;
dp[1][2] = 0;
dp[2][1] = 0;
dp[2][2] = 1;
// 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
for (int i = 3; i <= n; i++) {
dp[i][1] = dp[i - 1][2];
dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2];
}
return dp[n][1] + dp[n][2];
}
```
=== "Python"
```python title="climbing_stairs_constraint_dp.py"
def climbing_stairs_constraint_dp(n: int) -> int:
"""带约束爬楼梯：动态规划"""
if n == 1 or n == 2:
return n
# 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
dp = [[0] * 3 for _ in range(n + 1)]
# 初始状态：预设最小子问题的解
dp[1][1], dp[1][2] = 1, 0
dp[2][1], dp[2][2] = 0, 1
# 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
for i in range(3, n + 1):
dp[i][1] = dp[i - 1][2]
dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2]
return dp[n][1] + dp[n][2]
```
=== "Go"
```go title="climbing_stairs_constraint_dp.go"
[class]{}-[func]{climbingStairsConstraintDP}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="climbing_stairs_constraint_dp.js"
[class]{}-[func]{climbingStairsConstraintDP}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="climbing_stairs_constraint_dp.ts"
[class]{}-[func]{climbingStairsConstraintDP}
```
=== "C"
```c title="climbing_stairs_constraint_dp.c"
[class]{}-[func]{climbingStairsConstraintDP}
```
=== "C#"
```csharp title="climbing_stairs_constraint_dp.cs"
/* 带约束爬楼梯：动态规划 */
int climbingStairsConstraintDP(int n) {
if (n == 1 || n == 2) {
return n;
}
// 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
int[,] dp = new int[n + 1, 3];
// 初始状态：预设最小子问题的解
dp[1, 1] = 1;
dp[1, 2] = 0;
dp[2, 1] = 0;
dp[2, 2] = 1;
// 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
for (int i = 3; i <= n; i++) {
dp[i, 1] = dp[i - 1, 2];
dp[i, 2] = dp[i - 2, 1] + dp[i - 2, 2];
}
return dp[n, 1] + dp[n, 2];
}
```
=== "Swift"
```swift title="climbing_stairs_constraint_dp.swift"
[class]{}-[func]{climbingStairsConstraintDP}
```
=== "Zig"
```zig title="climbing_stairs_constraint_dp.zig"
[class]{}-[func]{climbingStairsConstraintDP}
```
=== "Dart"
```dart title="climbing_stairs_constraint_dp.dart"
[class]{}-[func]{climbingStairsConstraintDP}
```
在上面的案例中，由于仅需多考虑前面一个状态，我们仍然可以通过扩展状态定义，使得问题恢复无后效性。然而，许多问题具有非常严重的“有后效性”，例如：
!!! question "爬楼梯与障碍生成"
给定一个共有 $n$ 阶的楼梯，你每步可以上 $1$ 阶或者 $2$ 阶。**规定当爬到第 $i$ 阶时，系统自动会给第 $2i$ 阶上放上障碍物，之后所有轮都不允许跳到第 $2i$ 阶上**。例如，前两轮分别跳到了第 $2, 3$ 阶上，则之后就不能跳到第 $4, 6$ 阶上。请问有多少种方案可以爬到楼顶。
在这个问题中，下次跳跃依赖于过去所有的状态，因为每一次跳跃都会在更高的阶梯上设置障碍，并影响未来的跳跃。对于这类问题，动态规划往往难以解决，或是因为计算复杂度过高而难以应用。
实际上，许多复杂的组合优化问题（例如著名的旅行商问题）都不满足无后效性。对于这类问题，我们通常会选择使用其他方法，例如启发式搜索、遗传算法、强化学习等，从而降低时间复杂度，在有限时间内得到能够接受的局部最优解。