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归并排序

「归并排序 Merge Sort」是算法中“分治思想”的典型体现，其有「划分」和「合并」两个阶段：

1. 划分阶段：通过递归不断 将数组从中点位置划分开，将长数组的排序问题转化为短数组的排序问题；
2. 合并阶段：划分到子数组长度为 1 时，开始向上合并，不断将 左、右两个短排序数组 合并为 一个长排序数组，直至合并至原数组时完成排序；

算法流程

「递归划分」 从顶至底递归地 将数组从中点切为两个子数组，直至长度为 1 ；

1. 计算数组中点 mid ，递归划分左子数组（区间 [left, mid] ）和右子数组（区间 [mid + 1, right] ）；
2. 递归执行 1. 步骤，直至子数组区间长度为 1 时，终止递归划分；

「回溯合并」 从底至顶地将左子数组和右子数组合并为一个 有序数组 ；

需要注意，由于从长度为 1 的子数组开始合并，所以 每个子数组都是有序的。因此，合并任务本质是要 将两个有序子数组合并为一个有序数组。

=== "<1>"

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=== "<8>"

=== "<9>"

=== "<10>"

观察发现，归并排序的递归顺序就是二叉树的「后序遍历」。

• 后序遍历：先递归左子树、再递归右子树、最后处理根结点。
• 归并排序：先递归左子树、再递归右子树、最后处理合并。

=== "Java"

```java title="merge_sort.java"
[class]{merge_sort}-[func]{merge}

[class]{merge_sort}-[func]{mergeSort}
```

=== "C++"

```cpp title="merge_sort.cpp"
[class]{}-[func]{merge}

[class]{}-[func]{mergeSort}
```

=== "Python"

```python title="merge_sort.py"
[class]{}-[func]{merge}

[class]{}-[func]{merge_sort}
```

=== "Go"

```go title="merge_sort.go"
[class]{}-[func]{merge}

[class]{}-[func]{mergeSort}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="merge_sort.js"
[class]{}-[func]{merge}

[class]{}-[func]{mergeSort}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="merge_sort.ts"
[class]{}-[func]{merge}

[class]{}-[func]{mergeSort}
```

=== "C"

```c title="merge_sort.c"

```

=== "C#"

```csharp title="merge_sort.cs"
[class]{merge_sort}-[func]{merge}

[class]{merge_sort}-[func]{mergeSort}
```

=== "Swift"

```swift title="merge_sort.swift"
[class]{}-[func]{merge}

[class]{}-[func]{mergeSort}
```

=== "Zig"

```zig title="merge_sort.zig"
[class]{}-[func]{merge}

[class]{}-[func]{mergeSort}
```

下面重点解释一下合并方法 merge() 的流程：

1. 初始化一个辅助数组 tmp 暂存待合并区间 [left, right] 内的元素，后续通过覆盖原数组 nums 的元素来实现合并；
2. 初始化指针 i , j , k 分别指向左子数组、右子数组、原数组的首元素；
3. 循环判断 tmp[i] 和 tmp[j] 的大小，将较小的先覆盖至 nums[k] ，指针 i , j 根据判断结果交替前进（指针 k 也前进），直至两个子数组都遍历完，即可完成合并。

合并方法 merge() 代码中的主要难点：

• nums 的待合并区间为 [left, right] ，而因为 tmp 只复制了 nums 该区间元素，所以 tmp 对应区间为 [0, right - left] ，需要特别注意代码中各个变量的含义。
• 判断 tmp[i] 和 tmp[j] 的大小的操作中，还 需考虑当子数组遍历完成后的索引越界问题，即 i > leftEnd 和 j > rightEnd 的情况，索引越界的优先级是最高的，例如如果左子数组已经被合并完了，那么不用继续判断，直接合并右子数组元素即可。

算法特性

• 时间复杂度 $O(n \log n)$ ：划分形成高度为 \log n 的递归树，每层合并的总操作数量为 n ，总体使用 O(n \log n) 时间。
• 空间复杂度 $O(n)$ ：需借助辅助数组实现合并，使用 O(n) 大小的额外空间；递归深度为 \log n ，使用 O(\log n) 大小的栈帧空间。
• 非原地排序：辅助数组需要使用 O(n) 额外空间。
• 稳定排序：在合并时可保证相等元素的相对位置不变。
• 非自适应排序：对于任意输入数据，归并排序的时间复杂度皆相同。

链表排序 *

归并排序有一个很特别的优势，用于排序链表时有很好的性能表现，空间复杂度可被优化至 $O(1)$ ，这是因为：

• 由于链表可仅通过改变指针来实现结点增删，因此“将两个短有序链表合并为一个长有序链表”无需使用额外空间，即回溯合并阶段不用像排序数组一样建立辅助数组 tmp ；
• 通过使用「迭代」代替「递归划分」，可省去递归使用的栈帧空间；

详情参考：148. 排序链表