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15.4.   最大切分乘积问题

!!! question

给定一个正整数 $n$ ，将其切分为至少两个正整数的和，求切分后所有整数的乘积最大是多少。

Fig. 最大切分乘积的问题定义

假设我们将 n 切分为 m 个整数因子，其中第 i 个因子记为 n_i ，即

$$ n = \sum_{i=1}^{m}n_i

本题目标是求得所有整数因子的最大乘积，即

$$ \max(\prod_{i=1}^{m}n_i)

我们需要思考的是：切分数量 m 应该多大，每个 n_i 应该是多少？

贪心策略确定

根据经验，两个整数的和往往比它们的积更小。假设从 n 中分出一个因子 2 ，则它们的乘积为 2(n-2) 。我们将该乘积与 n 作比较：

$$ \begin{aligned} 2(n-2) & \geq n \newline 2n - n - 4 & \geq 0 \newline n & \geq 4 \end{aligned}

当 n \geq 4 时，切分出一个 2 后乘积会变大，这说明大于等于 4 的整数都应该被切分。

贪心策略一：如果切分方案中包含 \geq 4 的因子，那么它就应该被继续切分。最终的切分方案只应出现 1 , 2 , 3 这三种因子。

Fig. 切分导致乘积变大

接下来思考哪个因子是最优的。在 1 , 2 , 3 这三个因子中，显然 1 是最差的，因为 1 \times (n-1) < n 恒成立，切分出 1 会导致乘积减小。

我们发现，当 n = 6 时，有 3 \times 3 > 2 \times 2 \times 2 。这意味着切分出 3 比切分出 2 更优。

贪心策略二：在切分方案中，最多只应存在两个 2 。因为三个 2 可以被替换为两个 3 ，从而获得更大的乘积。

Fig. 最优切分因子

总结以上，可推出贪心策略：

1. 输入整数 n ，从其不断地切分出因子 3 ，直至余数为 0 , 1 , 2 。
2. 当余数为 0 时，代表 n 是 3 的倍数，因此不做任何处理。
3. 当余数为 2 时，不继续划分，保留之。
4. 当余数为 1 时，由于 2 \times 2 > 1 \times 3 ，因此应将最后一个 3 替换为 2 。

代码实现

在代码中，我们无需开启循环来切分，可以直接利用向下整除得到 3 的个数 a ，用取模运算得到余数 b ，即：

$$ n = 3 a + b

需要单独处理边界情况：当 n \leq 3 时，必须拆分出一个 1 ，乘积为 1 \times (n - 1) 。

=== "Java"

```java title="max_product_cutting.java"
/* 最大切分乘积：贪心 */
int maxProductCutting(int n) {
    // 当 n <= 3 时，必须切分出一个 1
    if (n <= 3) {
        return 1 * (n - 1);
    }
    // 贪心地切分出 3 ，a 为 3 的个数，b 为余数
    int a = n / 3;
    int b = n % 3;
    if (b == 1) {
        // 当余数为 1 时，将一对 1 * 3 转化为 2 * 2
        return (int) Math.pow(3, a - 1) * 2 * 2;
    }
    if (b == 2) {
        // 当余数为 2 时，不做处理
        return (int) Math.pow(3, a) * 2;
    }
    // 当余数为 0 时，不做处理
    return (int) Math.pow(3, a);
}
```

=== "C++"

```cpp title="max_product_cutting.cpp"
/* 最大切分乘积：贪心 */
int maxProductCutting(int n) {
    // 当 n <= 3 时，必须切分出一个 1
    if (n <= 3) {
        return 1 * (n - 1);
    }
    // 贪心地切分出 3 ，a 为 3 的个数，b 为余数
    int a = n / 3;
    int b = n % 3;
    if (b == 1) {
        // 当余数为 1 时，将一对 1 * 3 转化为 2 * 2
        return (int)pow(3, a - 1) * 2 * 2;
    }
    if (b == 2) {
        // 当余数为 2 时，不做处理
        return (int)pow(3, a) * 2;
    }
    // 当余数为 0 时，不做处理
    return (int)pow(3, a);
}
```

=== "Python"

```python title="max_product_cutting.py"
def max_product_cutting(n: int) -> int:
    """最大切分乘积：贪心"""
    # 当 n <= 3 时，必须切分出一个 1
    if n <= 3:
        return 1 * (n - 1)
    # 贪心地切分出 3 ，a 为 3 的个数，b 为余数
    a, b = n // 3, n % 3
    if b == 1:
        # 当余数为 1 时，将一对 1 * 3 转化为 2 * 2
        return int(math.pow(3, a - 1)) * 2 * 2
    if b == 2:
        # 当余数为 2 时，不做处理
        return int(math.pow(3, a)) * 2
    # 当余数为 0 时，不做处理
    return int(math.pow(3, a))
```

=== "Go"

```go title="max_product_cutting.go"
[class]{}-[func]{maxProductCutting}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="max_product_cutting.js"
[class]{}-[func]{maxProductCutting}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="max_product_cutting.ts"
[class]{}-[func]{maxProductCutting}
```

=== "C"

```c title="max_product_cutting.c"
[class]{}-[func]{maxProductCutting}
```

=== "C#"

```csharp title="max_product_cutting.cs"
[class]{max_product_cutting}-[func]{maxProductCutting}
```

=== "Swift"

```swift title="max_product_cutting.swift"
[class]{}-[func]{maxProductCutting}
```

=== "Zig"

```zig title="max_product_cutting.zig"
[class]{}-[func]{maxProductCutting}
```

=== "Dart"

```dart title="max_product_cutting.dart"
[class]{}-[func]{maxProductCutting}
```

Fig. 最大切分乘积的计算方法

时间复杂度取决于编程语言的幂运算的实现方法。以 Python 为例，常用的幂计算函数有三种：

• 运算符 ** 和函数 pow() 的时间复杂度均为 O(\log⁡ a) ；
• 函数 math.pow() 内部调用 C 语言库的 pow() 函数，其执行浮点取幂，时间复杂度为 O(1) 。

变量 a , b 使用常数大小的额外空间，因此空间复杂度为 $O(1)$ 。

正确性证明

使用反证法，只分析 n \geq 3 的情况。

1. 所有因子 $\leq 3$ :假设最优切分方案中存在 \geq 4 的因子 x ，那么一定可以将其继续划分为 2(x-2) ，从而获得更大的乘积。这与假设矛盾。
2. 切分方案不包含 $1$ :假设最优切分方案中存在一个因子 1 ，那么它一定可以合并入另外一个因子中，以获取更大乘积。这与假设矛盾。
3. 切分方案最多包含两个 $2$ ：假设最优切分方案中包含三个 2 ，那么一定可以替换为两个 3 ，乘积更大。这与假设矛盾。