hello-algo/docs/chapter_heap/top_k.md
2023-08-27 23:40:39 +08:00

139 lines
3.5 KiB
Markdown

# Top-K 问题
!!! question
给定一个长度为 $n$ 无序数组 `nums` ,请返回数组中前 $k$ 大的元素。
对于该问题,我们先介绍两种思路比较直接的解法,再介绍效率更高的堆解法。
## 方法一:遍历选择
我们可以进行下图所示的 $k$ 轮遍历,分别在每轮中提取第 $1$、$2$、$\dots$、$k$ 大的元素,时间复杂度为 $O(nk)$ 。
此方法只适用于 $k \ll n$ 的情况,因为当 $k$ 与 $n$ 比较接近时,其时间复杂度趋向于 $O(n^2)$ ,非常耗时。
![遍历寻找最大的 k 个元素](top_k.assets/top_k_traversal.png)
!!! tip
当 $k = n$ 时,我们可以得到从大到小的序列,等价于“选择排序”算法。
## 方法二:排序
如下图所示,我们可以先对数组 `nums` 进行排序,再返回最右边的 $k$ 个元素,时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。
显然,该方法“超额”完成任务了,因为我们只需要找出最大的 $k$ 个元素即可,而不需要排序其他元素。
![排序寻找最大的 k 个元素](top_k.assets/top_k_sorting.png)
## 方法三:堆
我们可以基于堆更加高效地解决 Top-K 问题,流程如下图所示。
1. 初始化一个小顶堆,其堆顶元素最小。
2. 先将数组的前 $k$ 个元素依次入堆。
3. 从第 $k + 1$ 个元素开始,若当前元素大于堆顶元素,则将堆顶元素出堆,并将当前元素入堆。
4. 遍历完成后,堆中保存的就是最大的 $k$ 个元素。
=== "<1>"
![基于堆寻找最大的 k 个元素](top_k.assets/top_k_heap_step1.png)
=== "<2>"
![top_k_heap_step2](top_k.assets/top_k_heap_step2.png)
=== "<3>"
![top_k_heap_step3](top_k.assets/top_k_heap_step3.png)
=== "<4>"
![top_k_heap_step4](top_k.assets/top_k_heap_step4.png)
=== "<5>"
![top_k_heap_step5](top_k.assets/top_k_heap_step5.png)
=== "<6>"
![top_k_heap_step6](top_k.assets/top_k_heap_step6.png)
=== "<7>"
![top_k_heap_step7](top_k.assets/top_k_heap_step7.png)
=== "<8>"
![top_k_heap_step8](top_k.assets/top_k_heap_step8.png)
=== "<9>"
![top_k_heap_step9](top_k.assets/top_k_heap_step9.png)
总共执行了 $n$ 轮入堆和出堆,堆的最大长度为 $k$ ,因此时间复杂度为 $O(n \log k)$ 。该方法的效率很高,当 $k$ 较小时,时间复杂度趋向 $O(n)$ ;当 $k$ 较大时,时间复杂度不会超过 $O(n \log n)$ 。
另外,该方法适用于动态数据流的使用场景。在不断加入数据时,我们可以持续维护堆内的元素,从而实现最大 $k$ 个元素的动态更新。
=== "Java"
```java title="top_k.java"
[class]{top_k}-[func]{topKHeap}
```
=== "C++"
```cpp title="top_k.cpp"
[class]{}-[func]{topKHeap}
```
=== "Python"
```python title="top_k.py"
[class]{}-[func]{top_k_heap}
```
=== "Go"
```go title="top_k.go"
[class]{}-[func]{topKHeap}
```
=== "JS"
```javascript title="top_k.js"
[class]{}-[func]{topKHeap}
```
=== "TS"
```typescript title="top_k.ts"
[class]{}-[func]{topKHeap}
```
=== "C"
```c title="top_k.c"
[class]{}-[func]{topKHeap}
```
=== "C#"
```csharp title="top_k.cs"
[class]{top_k}-[func]{topKHeap}
```
=== "Swift"
```swift title="top_k.swift"
[class]{}-[func]{topKHeap}
```
=== "Zig"
```zig title="top_k.zig"
[class]{}-[func]{topKHeap}
```
=== "Dart"
```dart title="top_k.dart"
[class]{}-[func]{topKHeap}
```
=== "Rust"
```rust title="top_k.rs"
[class]{}-[func]{top_k_heap}
```