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# AVL 树 *
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在「二叉搜索树」章节中提到，在进行多次插入与删除操作后，二叉搜索树可能会退化为链表。此时所有操作的时间复杂度都会由 $O(\log n)$ 劣化至 $O(n)$ 。
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如下图所示，执行两步删除结点后，该二叉搜索树就会退化为链表。
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再比如，在以下完美二叉树中插入两个结点后，树严重向左偏斜，查找操作的时间复杂度也随之发生劣化。
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G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorithm for the organization of information" 中提出了「AVL 树」。**论文中描述了一系列操作，使得在不断添加与删除结点后，AVL 树仍然不会发生退化**，进而使得各种操作的时间复杂度均能保持在 $O(\log n)$ 级别。
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换言之，在频繁增删查改的使用场景中，AVL 树可始终保持很高的数据增删查改效率，具有很好的应用价值。
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## AVL 树常见术语
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「AVL 树」既是「二叉搜索树」又是「平衡二叉树」，同时满足这两种二叉树的所有性质，因此又被称为「平衡二叉搜索树」。
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### 结点高度
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在 AVL 树的操作中，需要获取结点「高度 Height」，所以给 AVL 树的结点类添加 `height` 变量。
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=== "Java"
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```java title=""
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/* AVL 树结点类 */
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class TreeNode {
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public int val; // 结点值
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||
public int height; // 结点高度
|
||
public TreeNode left; // 左子结点
|
||
public TreeNode right; // 右子结点
|
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public TreeNode(int x) { val = x; }
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}
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```
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=== "C++"
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```cpp title=""
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/* AVL 树结点类 */
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struct TreeNode {
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int val{}; // 结点值
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int height = 0; // 结点高度
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TreeNode *left{}; // 左子结点
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TreeNode *right{}; // 右子结点
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TreeNode() = default;
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explicit TreeNode(int x) : val(x){}
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};
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```
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=== "Python"
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```python title=""
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""" AVL 树结点类 """
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class TreeNode:
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def __init__(self, val: int):
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self.val: int = val # 结点值
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self.height: int = 0 # 结点高度
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self.left: Optional[TreeNode] = None # 左子结点引用
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||
self.right: Optional[TreeNode] = None # 右子结点引用
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||
```
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=== "Go"
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```go title=""
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/* AVL 树结点类 */
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type TreeNode struct {
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Val int // 结点值
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Height int // 结点高度
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Left *TreeNode // 左子结点引用
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||
Right *TreeNode // 右子结点引用
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}
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```
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=== "JavaScript"
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```javascript title=""
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class TreeNode {
|
||
val; // 结点值
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height; //结点高度
|
||
left; // 左子结点指针
|
||
right; // 右子结点指针
|
||
constructor(val, left, right, height) {
|
||
this.val = val === undefined ? 0 : val;
|
||
this.height = height === undefined ? 0 : height;
|
||
this.left = left === undefined ? null : left;
|
||
this.right = right === undefined ? null : right;
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||
}
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||
}
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```
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=== "TypeScript"
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```typescript title=""
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class TreeNode {
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val: number; // 结点值
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||
height: number; // 结点高度
|
||
left: TreeNode | null; // 左子结点指针
|
||
right: TreeNode | null; // 右子结点指针
|
||
constructor(val?: number, height?: number, left?: TreeNode | null, right?: TreeNode | null) {
|
||
this.val = val === undefined ? 0 : val;
|
||
this.height = height === undefined ? 0 : height;
|
||
this.left = left === undefined ? null : left;
|
||
this.right = right === undefined ? null : right;
|
||
}
|
||
}
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```
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=== "C"
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```c title=""
|
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```
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=== "C#"
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```csharp title=""
|
||
/* AVL 树结点类 */
|
||
class TreeNode {
|
||
public int val; // 结点值
|
||
public int height; // 结点高度
|
||
public TreeNode? left; // 左子结点
|
||
public TreeNode? right; // 右子结点
|
||
public TreeNode(int x) { val = x; }
|
||
}
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||
```
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=== "Swift"
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```swift title=""
|
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/* AVL 树结点类 */
|
||
class TreeNode {
|
||
var val: Int // 结点值
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||
var height: Int // 结点高度
|
||
var left: TreeNode? // 左子结点
|
||
var right: TreeNode? // 右子结点
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init(x: Int) {
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val = x
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height = 0
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}
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}
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```
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=== "Zig"
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```zig title=""
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```
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「结点高度」是最远叶结点到该结点的距离，即走过的「边」的数量。需要特别注意，**叶结点的高度为 0 ，空结点的高度为 -1**。我们封装两个工具函数，分别用于获取与更新结点的高度。
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=== "Java"
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```java title="avl_tree.java"
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[class]{AVLTree}-[func]{height}
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[class]{AVLTree}-[func]{updateHeight}
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```
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=== "C++"
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```cpp title="avl_tree.cpp"
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[class]{AVLTree}-[func]{height}
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[class]{AVLTree}-[func]{updateHeight}
|
||
```
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=== "Python"
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```python title="avl_tree.py"
|
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[class]{AVLTree}-[func]{height}
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[class]{AVLTree}-[func]{__update_height}
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||
```
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=== "Go"
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```go title="avl_tree.go"
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[class]{aVLTree}-[func]{height}
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[class]{aVLTree}-[func]{updateHeight}
|
||
```
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=== "JavaScript"
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```javascript title="avl_tree.js"
|
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[class]{AVLTree}-[func]{height}
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[class]{AVLTree}-[func]{#updateHeight}
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```
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=== "TypeScript"
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```typescript title="avl_tree.ts"
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[class]{AVLTree}-[func]{height}
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[class]{AVLTree}-[func]{updateHeight}
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||
```
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=== "C"
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```c title="avl_tree.c"
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[class]{aVLTree}-[func]{height}
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[class]{aVLTree}-[func]{updateHeight}
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```
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=== "C#"
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```csharp title="avl_tree.cs"
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[class]{AVLTree}-[func]{height}
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[class]{AVLTree}-[func]{updateHeight}
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||
```
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=== "Swift"
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```swift title="avl_tree.swift"
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[class]{AVLTree}-[func]{height}
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[class]{AVLTree}-[func]{updateHeight}
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```
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=== "Zig"
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```zig title="avl_tree.zig"
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[class]{AVLTree}-[func]{height}
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[class]{AVLTree}-[func]{updateHeight}
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```
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### 结点平衡因子
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结点的「平衡因子 Balance Factor」是 **结点的左子树高度减去右子树高度**，并定义空结点的平衡因子为 0 。同样地，我们将获取结点平衡因子封装成函数，以便后续使用。
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=== "Java"
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```java title="avl_tree.java"
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[class]{AVLTree}-[func]{balanceFactor}
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```
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=== "C++"
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```cpp title="avl_tree.cpp"
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[class]{AVLTree}-[func]{balanceFactor}
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```
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=== "Python"
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```python title="avl_tree.py"
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[class]{AVLTree}-[func]{balance_factor}
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```
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=== "Go"
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```go title="avl_tree.go"
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[class]{aVLTree}-[func]{balanceFactor}
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```
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=== "JavaScript"
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```javascript title="avl_tree.js"
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[class]{AVLTree}-[func]{balanceFactor}
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```
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=== "TypeScript"
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```typescript title="avl_tree.ts"
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[class]{AVLTree}-[func]{balanceFactor}
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```
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=== "C"
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```c title="avl_tree.c"
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[class]{aVLTree}-[func]{balanceFactor}
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```
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=== "C#"
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```csharp title="avl_tree.cs"
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[class]{AVLTree}-[func]{balanceFactor}
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```
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=== "Swift"
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```swift title="avl_tree.swift"
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[class]{AVLTree}-[func]{balanceFactor}
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```
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=== "Zig"
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```zig title="avl_tree.zig"
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[class]{AVLTree}-[func]{balanceFactor}
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```
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!!! note
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设平衡因子为 $f$ ，则一棵 AVL 树的任意结点的平衡因子皆满足 $-1 \le f \le 1$ 。
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## AVL 树旋转
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AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影响二叉树中序遍历序列的前提下，使失衡结点重新恢复平衡**。换言之，旋转操作既可以使树保持为「二叉搜索树」，也可以使树重新恢复为「平衡二叉树」。
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我们将平衡因子的绝对值 $> 1$ 的结点称为「失衡结点」。根据结点的失衡情况，旋转操作分为 **右旋、左旋、先右旋后左旋、先左旋后右旋**，接下来我们来一起来看看它们是如何操作的。
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### Case 1 - 右旋
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如下图所示（结点下方为「平衡因子」），从底至顶看，二叉树中首个失衡结点是 **结点 3**。我们聚焦在以该失衡结点为根结点的子树上，将该结点记为 `node` ，将其左子结点记为 `child` ，执行「右旋」操作。完成右旋后，该子树已经恢复平衡，并且仍然为二叉搜索树。
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=== "<1>"
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=== "<2>"
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=== "<3>"
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=== "<4>"
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进而，如果结点 `child` 本身有右子结点（记为 `grandChild` ），则需要在「右旋」中添加一步：将 `grandChild` 作为 `node` 的左子结点。
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“向右旋转”是一种形象化的说法，实际需要通过修改结点指针实现，代码如下所示。
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=== "Java"
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```java title="avl_tree.java"
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[class]{AVLTree}-[func]{rightRotate}
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```
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=== "C++"
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```cpp title="avl_tree.cpp"
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[class]{AVLTree}-[func]{rightRotate}
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```
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=== "Python"
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```python title="avl_tree.py"
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[class]{AVLTree}-[func]{__right_rotate}
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```
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=== "Go"
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```go title="avl_tree.go"
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[class]{aVLTree}-[func]{rightRotate}
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```
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=== "JavaScript"
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```javascript title="avl_tree.js"
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[class]{AVLTree}-[func]{#rightRotate}
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```
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=== "TypeScript"
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```typescript title="avl_tree.ts"
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[class]{AVLTree}-[func]{rightRotate}
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```
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=== "C"
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```c title="avl_tree.c"
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[class]{aVLTree}-[func]{rightRotate}
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```
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=== "C#"
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```csharp title="avl_tree.cs"
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[class]{AVLTree}-[func]{rightRotate}
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```
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=== "Swift"
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```swift title="avl_tree.swift"
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[class]{AVLTree}-[func]{rightRotate}
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```
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=== "Zig"
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```zig title="avl_tree.zig"
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[class]{AVLTree}-[func]{rightRotate}
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```
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### Case 2 - 左旋
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类似地，如果将取上述失衡二叉树的“镜像”，那么则需要「左旋」操作。
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同理，若结点 `child` 本身有左子结点（记为 `grandChild` ），则需要在「左旋」中添加一步：将 `grandChild` 作为 `node` 的右子结点。
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观察发现，**「左旋」和「右旋」操作是镜像对称的，两者对应解决的两种失衡情况也是对称的**。根据对称性，我们可以很方便地从「右旋」推导出「左旋」。具体地，只需将「右旋」代码中的把所有的 `left` 替换为 `right` 、所有的 `right` 替换为 `left` ，即可得到「左旋」代码。
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=== "Java"
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```java title="avl_tree.java"
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[class]{AVLTree}-[func]{leftRotate}
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```
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=== "C++"
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```cpp title="avl_tree.cpp"
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[class]{AVLTree}-[func]{leftRotate}
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```
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=== "Python"
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```python title="avl_tree.py"
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[class]{AVLTree}-[func]{__left_rotate}
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```
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=== "Go"
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```go title="avl_tree.go"
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[class]{aVLTree}-[func]{leftRotate}
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```
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=== "JavaScript"
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```javascript title="avl_tree.js"
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[class]{AVLTree}-[func]{#leftRotate}
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```
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=== "TypeScript"
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```typescript title="avl_tree.ts"
|
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[class]{AVLTree}-[func]{leftRotate}
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```
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=== "C"
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```c title="avl_tree.c"
|
||
[class]{aVLTree}-[func]{leftRotate}
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```
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=== "C#"
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```csharp title="avl_tree.cs"
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||
[class]{AVLTree}-[func]{leftRotate}
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```
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=== "Swift"
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||
```swift title="avl_tree.swift"
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{leftRotate}
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||
```
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=== "Zig"
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||
```zig title="avl_tree.zig"
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{leftRotate}
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||
```
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### Case 3 - 先左后右
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对于下图的失衡结点 3 ，**单一使用左旋或右旋都无法使子树恢复平衡**，此时需要「先左旋后右旋」，即先对 `child` 执行「左旋」，再对 `node` 执行「右旋」。
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### Case 4 - 先右后左
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同理，取以上失衡二叉树的镜像，则需要「先右旋后左旋」，即先对 `child` 执行「右旋」，然后对 `node` 执行「左旋」。
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### 旋转的选择
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下图描述的四种失衡情况与上述 Cases 逐个对应，分别需采用 **右旋、左旋、先右后左、先左后右** 的旋转操作。
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具体地，在代码中使用 **失衡结点的平衡因子、较高一侧子结点的平衡因子** 来确定失衡结点属于上图中的哪种情况。
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<div class="center-table" markdown>
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| 失衡结点的平衡因子 | 子结点的平衡因子 | 应采用的旋转方法 |
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| ------------------ | ---------------- | ---------------- |
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| $>0$ （即左偏树） | $\geq 0$ | 右旋 |
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| $>0$ （即左偏树） | $<0$ | 先左旋后右旋 |
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| $<0$ （即右偏树） | $\leq 0$ | 左旋 |
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||
| $<0$ （即右偏树） | $>0$ | 先右旋后左旋 |
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||
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</div>
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||
为方便使用，我们将旋转操作封装成一个函数。至此，**我们可以使用此函数来旋转各种失衡情况，使失衡结点重新恢复平衡**。
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=== "Java"
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```java title="avl_tree.java"
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{rotate}
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||
```
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=== "C++"
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|
||
```cpp title="avl_tree.cpp"
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{rotate}
|
||
```
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=== "Python"
|
||
|
||
```python title="avl_tree.py"
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{__rotate}
|
||
```
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||
|
||
=== "Go"
|
||
|
||
```go title="avl_tree.go"
|
||
[class]{aVLTree}-[func]{rotate}
|
||
```
|
||
|
||
=== "JavaScript"
|
||
|
||
```javascript title="avl_tree.js"
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{#rotate}
|
||
```
|
||
|
||
=== "TypeScript"
|
||
|
||
```typescript title="avl_tree.ts"
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{rotate}
|
||
```
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||
|
||
=== "C"
|
||
|
||
```c title="avl_tree.c"
|
||
[class]{aVLTree}-[func]{rotate}
|
||
```
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||
|
||
=== "C#"
|
||
|
||
```csharp title="avl_tree.cs"
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{rotate}
|
||
```
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|
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=== "Swift"
|
||
|
||
```swift title="avl_tree.swift"
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{rotate}
|
||
```
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||
|
||
=== "Zig"
|
||
|
||
```zig title="avl_tree.zig"
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{rotate}
|
||
```
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## AVL 树常用操作
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### 插入结点
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「AVL 树」的结点插入操作与「二叉搜索树」主体类似。不同的是，在插入结点后，从该结点到根结点的路径上会出现一系列「失衡结点」。所以，**我们需要从该结点开始，从底至顶地执行旋转操作，使所有失衡结点恢复平衡**。
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=== "Java"
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```java title="avl_tree.java"
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{insert}
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||
[class]{AVLTree}-[func]{insertHelper}
|
||
```
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=== "C++"
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||
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||
```cpp title="avl_tree.cpp"
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{insert}
|
||
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{insertHelper}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Python"
|
||
|
||
```python title="avl_tree.py"
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{insert}
|
||
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{__insert_helper}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Go"
|
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||
```go title="avl_tree.go"
|
||
[class]{aVLTree}-[func]{insert}
|
||
|
||
[class]{aVLTree}-[func]{insertHelper}
|
||
```
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||
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||
=== "JavaScript"
|
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```javascript title="avl_tree.js"
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{insert}
|
||
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{#insertHelper}
|
||
```
|
||
|
||
=== "TypeScript"
|
||
|
||
```typescript title="avl_tree.ts"
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{insert}
|
||
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{insertHelper}
|
||
```
|
||
|
||
=== "C"
|
||
|
||
```c title="avl_tree.c"
|
||
[class]{aVLTree}-[func]{insert}
|
||
|
||
[class]{aVLTree}-[func]{insertHelper}
|
||
```
|
||
|
||
=== "C#"
|
||
|
||
```csharp title="avl_tree.cs"
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{insert}
|
||
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{insertHelper}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Swift"
|
||
|
||
```swift title="avl_tree.swift"
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{insert}
|
||
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{insertHelper}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Zig"
|
||
|
||
```zig title="avl_tree.zig"
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{insert}
|
||
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{insertHelper}
|
||
```
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||
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||
### 删除结点
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||
「AVL 树」删除结点操作与「二叉搜索树」删除结点操作总体相同。类似地，**在删除结点后，也需要从底至顶地执行旋转操作，使所有失衡结点恢复平衡**。
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||
=== "Java"
|
||
|
||
```java title="avl_tree.java"
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{remove}
|
||
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{removeHelper}
|
||
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{getInOrderNext}
|
||
```
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||
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||
=== "C++"
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||
|
||
```cpp title="avl_tree.cpp"
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{remove}
|
||
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{removeHelper}
|
||
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{getInOrderNext}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Python"
|
||
|
||
```python title="avl_tree.py"
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{remove}
|
||
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{__remove_helper}
|
||
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{__get_inorder_next}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Go"
|
||
|
||
```go title="avl_tree.go"
|
||
[class]{aVLTree}-[func]{remove}
|
||
|
||
[class]{aVLTree}-[func]{removeHelper}
|
||
|
||
[class]{aVLTree}-[func]{getInOrderNext}
|
||
```
|
||
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||
=== "JavaScript"
|
||
|
||
```javascript title="avl_tree.js"
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{remove}
|
||
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{#removeHelper}
|
||
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{#getInOrderNext}
|
||
```
|
||
|
||
=== "TypeScript"
|
||
|
||
```typescript title="avl_tree.ts"
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{remove}
|
||
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{removeHelper}
|
||
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{getInOrderNext}
|
||
```
|
||
|
||
=== "C"
|
||
|
||
```c title="avl_tree.c"
|
||
[class]{aVLTree}-[func]{remove}
|
||
|
||
[class]{aVLTree}-[func]{removeHelper}
|
||
|
||
[class]{aVLTree}-[func]{getInOrderNext}
|
||
```
|
||
|
||
=== "C#"
|
||
|
||
```csharp title="avl_tree.cs"
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{remove}
|
||
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{removeHelper}
|
||
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{getInOrderNext}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Swift"
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||
|
||
```swift title="avl_tree.swift"
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{remove}
|
||
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{removeHelper}
|
||
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{getInOrderNext}
|
||
```
|
||
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||
=== "Zig"
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||
|
||
```zig title="avl_tree.zig"
|
||
[class]{AVLTree}-[func]{remove}
|
||
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||
[class]{AVLTree}-[func]{removeHelper}
|
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||
[class]{AVLTree}-[func]{getInOrderNext}
|
||
```
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### 查找结点
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「AVL 树」的结点查找操作与「二叉搜索树」一致，在此不再赘述。
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## AVL 树典型应用
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- 组织存储大型数据，适用于高频查找、低频增删场景；
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- 用于建立数据库中的索引系统；
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!!! question "为什么红黑树比 AVL 树更受欢迎？"
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红黑树的平衡条件相对宽松，因此在红黑树中插入与删除结点所需的旋转操作相对更少，结点增删操作相比 AVL 树的效率更高。
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